7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) = 1. Damit schreibt sich det A in der Form det A = sign(id) a 1,id(1) a 2,id(2) + sign(τ)a 1,τ(1)a 2,τ(2) Allgemein definiert man für A = (a ij )ij = 1,..., n(n 2) det A := π S n sign(π)a 1,π(1) a 2,π(2)... a n,π(n) Für n = 1 setzt man det(a 11 ) = a 11 Im Fall n = 3 gilt die Regel von Sarrus: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 + + + det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Für n 4 ist die Definition für die konkrete Berechnung von det A nicht besonders geeignet. Wir suchen daher Eigenschaften der Determinante, welche ihre Berechnung erleichtern. Dazu fassen wir det A auf als Funktion ihrer Zeilen 1

v 1 = (a 11, a 12,..., a 1n ) v 2 = (a 21, a 22,..., a 2n ). v n = (a n1, a n2,..., a nn ) und setzen det(v 1,..., v n ) := det A. Die Determinante ist somit eine Funktion in n variablen 1 n Matrizen v 1,..., v n V = M(1 n, K): det : V n K, (v 1,..., v n ) det(v 1,..., v n ) (7.1) Satz: (Charakteristische Eigenschaften der Determinante) a) Die Funktion det hat folgende Eigenschaften: (D1) ( Linearität in den Zeilen). Für jedes i {1,..., n} gilt det(v 1,..., v i 1, v i + v i, v i+1,..., v n ) = = det(v 1,..., v i,..., v n ) + det(v 1,..., v i 1, v i, v i+1,..., v n ) = = det(v 1,..., v i 1, λv i, v i+1,..., v n ) = λ det(v 1,..., v n ) (D2) Ist v i = v j für ein Paar i j, so ist det (v1,...,v n ) = 0 (D3) det E n = 1 b) det ist die einzige Funktion V n K, welche die Eigenschaften (D1), (D2), (D3) besitzt. Beweis: a) (D1) für i = 1: Sei v 1 = (a 11,..., a 1n), also v 1 + v 1 = (a 11 + a 11, a 12 + a 12,..., a 1n + a 1n), λv 1 = (λa 11, λa 12,..., λa 1n ) det(v 1 + v 1, v 2,..., v n ) = π S n sign(π)(a 1,π(1) + a 1,π(1))a 2,π(2)... a n,π(n) = 2

= π S n sign(π)a 1,π(1) a 2,π(2)... a n,π(n) + π S n sign(π)a 1,π(1)a 2,π(2)... a n,π(n) = = det(v 1, v 2,..., v n ) + det(v 1, v 2,..., v n ) det(λv 1, v 2,..., v n ) = π S n sign(π)(λa 1π(1) )... a n,π(n) = = λ π S n sign(π)a 1,π(1)... a n,π(n) = λ det(v 1,..., v n ) (D2) für i = 1, j = 2 : v 1 = v 2, d.h. a 1j = a 2j für j = 1,..., n. Sei τ = (12). Dann ist S n = A n A n τ und ( ) sign(πτ) = sign(π)sign(τ) = 1 ( 1) = 1 für alle π A n det(v 1,..., v n ) = = V or sign(π)a 1π(1) a 2π(2)... a nπ(n) = π S n = π S n sign(π)a 2π(1) a 2π(2)... a nπ(n) = ( ) = a 2π(1) a 2π(2) a 3π(3)... a nπ(n) a 2π(τ(1)) a 2π(τ(2)) a 3π(3)... a nπ(n) = π A n π A n = a 2π(1) a 2π(2) a 3π(3)... a nπ(n) a 2π(2) a 2π(1) a 3π(3)... a nπ(n) = 0 π A n π A n { 1 falls i = j (D3) E n = (δ ij ), wobei δ ij = ; also ist 0 falls i j { 1 falls π = id δ 1π(1)... δ nπ(n) = ; ferner ist sign(id) = 1. 0 falls π id Es folgt det E n = sign(π)δ 11 δ 22... δ nn = 1. (7.2) Lemma: Sei d : V n K eine Funktion mit den Eigenschaften (D1), (D2), (D3). Setze d(a) := d(v 1,..., v n ), wenn v 1,..., v n die Zeilen von A sind. Dann gilt: a) d(a) = 0, falls Rang A < n 3

b) Geht B aus A durch elementare Zeilenumformungen vom Typ I hervor, so ist d(a) = d(b). c) Entsteht B aus A durch Vertauschung von 2 Zeilen, so ist d) Für eine obere Dreiecksmatrix gilt d(a) = d(b) b 11. 0.. d....... = b 11... b nn (Produkt der Diagonalelemente) 0... 0 b nn Beweis von 7.1 b) mit Hilfe des Lemmas: Sei d eine Funktion mit den Eigenschaften (D1), (D2) und (D3). Die Aussagen von (7.2) gelten nun für d und für det. 1. Fall: Ist Rang A < n, so ist nach 7.2 a) det A = 0 = d(a). 2. Fall: Sei Rang A = n. Nach I.3.4 geht A durch elementare Zeilenumformungen vom Typ I und II über in eine obere Dreiecksmatrix b 11 B =... mit b 11... b nn 0 0 b nn Sind darunter genau k Zeilenvertauschungen, so folgt aus 7.2 c), d) d(a) = ( 1) k d(b) = ( 1) k b 11... b nn ; ebenso det A = ( 1) k det B = ( 1) k b 11... b nn. Der Beweis von 7.1 b) zeigt auch, wie man det A berechnen kann. (7.3) Verfahren zur Berechnung der Determinante einer Matrix 4

(i) Forme A elementar um auf obere Dreiecksgestalt, und zwar allein durch Zeilenumformungen vom Typ I und II. Erhalte b 11 B =... 0 b nn Sei k die Zahl der dabei vorgenommenen Vertauschungen. (ii) det A = ( 1) k b 11... b nn Beispiel: 0 1 4 A = 1 2 1 II 1 2 1 0 1 4 I 1 2 1 0 1 4 I 1 2 1 0 1 4 = B; k = 1 1 1 2 1 1 2 0 1 3 0 0 1 Also ist det A = det B = 1 1 ( 1) = 1. Berechnung von det A m.h. der Regel von Sarrus: 0 1 4 0 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 Beweis des Lemmas: det A = 0 1 4 ( 8) 0 2 = 1 a) Sei etwa v 1 = λ 2 v 2 +... + λ n v n. Es folgt d(v 1, v 2,..., v n ) (D1) = λ 2 d(v 2, v 2,..., v n ) + λ 3 d(v 3, v 2, v 3,..., v n ) +... + λ n d(v n, v 2,..., v n ) (D2) = 0 b) Sei etwa B = (v 1 + λv 2, v 2,..., v n ) : d(b) (D1) = d(v 1,..., v n ) + λd(v 2, v 2,..., v n ) (D2) = d(v 1,..., v n ) = d(a) c) Sei etwa B = (v 2, v 1, v 3,..., v n ) : 0 (D2) = d(v 1 + v 2, v 1 + v 2, v 3,..., v n ) (D1) = d(v 1, v 1 + v 2, v 3,..., v n ) + +d(v 2, v 1 +v 2, v 3,..., v n ) (D1) = d(v 1, v 1, v 3,..., v n )+ d(v 1, v 2, v 3,..., v n )+ + d(v 2, v 1, v 3,..., v n ) + d(v 2, v 2, v 3,..., v n ) (D2) = d(v 1, v 2, v 3,..., v n ) + + d(v 2, v 1, v 3,..., v n ) = d(a) + d(b) und d(a) = d(b) 5

b 11 d) Ist b kk = 0 für ein k, so sind die ersten k Spalten von B =... 0 b nn linear abhängig, also Rang B < n und d(b) = 0 = b 11... b nn. Im Fall b 11 0,..., b nn 0 geht B durch elementare Umformungen b 11 0 b 11 e t 1 vom Typ I über in D =... =. und es folgt 0 b nn b nn e t n d(b) = b) d(d) = d(b 11 e t 1,..., b nn e t n) (D1) = b 11... b nn d(e n ) (D3) = b 11... b nn (7.4) Satz: det AB = det A det B Beweis: Ist Rang B < n, so ist auch Rang AB (5.3) Rang B n und daher det AB = 0 = det A det B nach 7.2 a). Ist Rang B = n, so ist det B 0 nach (7.2) und (5.4) f). Setze δ = det B und betrachte die Funktion d(v 1,..., v n ) := 1 det AB, wenn δ A die Matrix mit den Zeilen v 1,..., v n ist. Behauptung: d hat die Eigenschaften (D1), (D2), (D3). Ist dies gezeigt, so folgt aus 7.1 b: det A = d(v 1,..., v n ) = det AB det B. Beweis der Zwischenbehauptung: Nach 4 sind v 1 B,..., v n B die Zeilen von AB, also d(v 1,..., v n ) = 1 δ det(v 1B,..., v n B). (D1) : d(v 1 + v 1, v 2,..., v n ) = 1 δ det(v 1B + v 1B, v 2 B,..., v n B) (D1) = = 1 δ det(v 1B, v 2 B,..., v n B) + 1 δ det(v 1B, v 2 B,..., v n B) = = d(v 1,..., v n ) + d(v 1, v 2,..., v n ) d(λv 1, v 2,..., v n ) = 1 δ det((λv 1)B, v 2 B,..., v n B) (D1) = = 1 δ λ det(v 1B, v 2 B,..., v n B) = λ d(v 1,..., v n ) (D2) d(v 2, v 2, v 3,..., v n ) = 1 det(v δ 2B, v 2 B, v 3 B,..., v n B) (D2) = 0 (D3) d(e n ) = 1 det B det(e nb) = 1 6

(7.5) Satz: det A = det A t Beweis: A t = B = (b ij ) i,j=1,...,n mit b ij = a ji für i, j = 1,..., n. Zeige zunächst gewisse Aussagen über Permutationen π S n (1) Die Mengen M = {a π 1 (1),1,..., a π 1 (n),n} und N = {a 1,π(1),..., a nπ(n) } sind gleich. (2) sign(π) = sign(π 1 ) (3) Die Abbildung ϕ : S n S n, π π 1 = σ ist bijektiv. Beweis: (3) Wegen (π 1 ) 1 = π ist ϕ ϕ = id. (2) 1 = sign(id) = sign(ππ 1 ) = sign(π) sign(π 1 ) und beide Zahlen sind ±1. (1) Zeige M N: Sei a π 1 (j),j M. Setze k := π 1 (j) π(k) = π(π 1 (j)) = j; also ist a π 1 (j),j = a k,π(k) N. Analog zeigt man, dass N M. Also ist M = N. Aus (1), (2) und (3) folgt nun det A = (1) sign(π)a 1π(1)... a nπ(n) = sign(π)a π 1 (1),1... a n 1 (n),n π S n π S n (2) = sign(π 1 )a π 1 (1),1... a π 1 (n),n = sign(σ)a σ(1),1... a σ(n),n = π S n σ S n = σ S n sign(σ)b 1σ(1)... b nσ(n) = det B Analog zu elementaren Zeilenumformungen sind elementare Spaltenumformungen vom Typ I und Typ II erklärt. Wegen det A = det A t und da die Spalten von A die Zeilen von A t sind, gelten für Spalten entsprechende Aussagen wie für Zeilen. Wir fassen die wichtigsten Regeln für das Rechnen mit Determinanten zusammen: (7.6) Regel: 7

a) det E n = 1 (D3) b) det(λa) = λ n det A (D1) c) det AB = det A det B (7.4) d) Bei elementaren Zeilen- bzw. Spaltenumformungen vom Typ I ändert sich die Determinante nicht. e) Bei Vertauschung von zwei Zeilen bzw. Spalten ändert sich nur das Vorzeichen der Determinante. f) Genau dann ist A invertierbar, wenn det A 0 (7.2 und 5.4). In diesem Fall ist det(a 1 ) = (det A) 1 (a) und c)) g) det A = det A t a 11 h) det... = a 11... a nn 0 a nn (7.7) Satz: Seien B M(r r, K), C M((n r) (n r), K) und D M(r (n r), K). Dann gilt für die Matrix ( ) B D A = : det A = det B det C 0 C Beweis: B geht durch Zeilenumformungen vom Typ I und II über in eine Matrix b 11 B =... ; sind dabei k 1 Zeilenvertauschungen 0 b rr vorgenommen worden, so ist det B = ( 1) k 1 b 11... b 1r. Entsprechend kann C in eine Matrix C = c 11... übergeführt 0 c n r,n r werden, bei k 2 Zeilenvertauschungen, und es ist det C = ( 1) k 2 c 11... c n r,n r. 8

Führe an den ersten r Zeilen von A die gleichen Umformungen durch wie bei B und erhalte bei k 1 Zeilenvertauschungen ( ) B A D = mit det A = ( 1) k 1 det A. 0 C Führe an den letzten n r Zeilen von A die gleichen Umformungen durch wie bei C und erhalte b 11. ( ).. B A D b = 0 C = rr c mit det A = ( 1) k 2 det A = 11... 0 c n r,n r = ( 1) k 2 b 11... b rrc 11... c n r,n r. Es folgt det A = ( 1) k 1 det A = ( 1) k 1 ( 1) k 2 b 11... b rrc 11... c n r,n r = det B det C Wir wollen noch eine weitere Methode zur Berechnung von Determinanten kennen lernen. Sei A = (a ij ) M(n n, K). Wir bezeichnen mit A ij die (n 1) (n 1) Matrix, welche aus A entsteht, indem man die i te Zeile und die j te Spalte streicht. a 11...a 1j... a 1n... A ij = a i1...a ij... a in... a n1...a nj... a nn (7.8) Regel: a) Entwicklung nach der 1. Zeile: det A = a 11 det A 11 a 12 det A 12 +... + ( 1) n+1 a 1n det A 1n b) Entwicklung nach der 1. Spalte: det A = a 11 det A 11 a 21 det A 21 +... + ( 1) n+1 a n1 det A n1 9

c) Allgemeiner gilt für i, j {1,..., n}: det A = det A = n ( 1) i+j a ij det A ij (Enwicklung nach i ter Zeile) j=1 n ( 1) i+j a ij det A ij (Enwicklung nach j ter Spalte) i=1 Beweis von a) (b) und c) analog): a 11 0... 0 det A (D1) a 21 = det. A 11 +det 7.6e) a n1 0 a 12 0... 0 a 22. a n2 +...+det 0... 0 a 1n a 2n A 1n. a 11 0... 0 a 12 0... 0 a 1n 0... 0 a 21 = det. A 11 det a 22. A 12 +.. a 2n.+( 1)n+1 det. A 1n 7.7 = 7.5 a n1 a n2 a 11 det A 11 a 12 det A 12 +... + ( 1) n+1 a 1n det A 1n 0 1 4 Beispiel A = 1 2 1. Enwickle nach der 1. Zeile. 1 1 2 det A = 0 det ( ) 2 1 1 det 1 2 ( ) 1 1 + ( 4) det 1 2 = (2 + 1) + ( 4) (1 2) = 3 + 4 = 1 a nn ( ) 1 2 1 1 a nn (7.9) Die Cramersche Regel: Sei A GL n (K) und b K n. A j sei die Matrix, die aus A durch Streichen der j ten Spalte entsteht. Dann ist x 1 = ( 1) n 1 det(a 1 b) det A, x 2 = ( 1) n 2 det(a 2 b) det A,..., x n = det(a n b) det A die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b. 10

Beweis: Es ist zu zeigen, dass ( ) a i1 + a i2 x 2 +... + a in x n b i = 0 für alle i = 1,..., n Betrachte dazu die (n + 1) (n + 1) Matrix ( ) ai1 a à = i2... a in b i A b Da à zwei gleiche Zeilen hat ist det à = 0. Entwicklung von det à nach der 1. Zeile ergibt a i1 det(a 1 b) a i2 det(a 2 b)+...+( 1) n 1 a in det(a n b)+( 1) n b i det A = 0 Multiplikation mit ( 1)n 1 det A ergibt ( ). 11