3. Elektrischer Strom 3.1 Stromstärke und Ampere Prof. Dr. H. Podlech 1 Einführung in die Physik 2
In der Elektrostatik wurden ruhende Ladungen betrachtet Jetzt betrachten wir bewegte elektrische Ladungen ohne Zeitliche Variation Gleichströme Später (Kap. Induktion und Elektrodynamik) betrachten wir auch zeitabhängige Ströme und Spannungen Prof. Dr. H. Podlech 2 Einführung in die Physik 2
In elektrischen Leitern können sich elektrische Ladungen bewegen Ohne Kräfte (elektrische Felder) bleiben die Ladungen in Ruhe Die Ladungsverteilung stellt sich so ein, dass sich ein Gleichgewicht hinsichtlich der Kräfte ergibt Was passiert, wenn man eine Potenzialdifferenz längs eines Leiters anlegt? Es wird ein elektrischer Strom fließen! Prof. Dr. H. Podlech 3 Einführung in die Physik 2
Elektrischer Strom = Bewegte elektrische Ladung Als Ladungsträger kommen Elektronen, Ionen, Löcher in Frage Wir beschränken uns hier auf Elektronenleitung Bewegliche Ladungsträger in Metallen Prof. Dr. H. Podlech 4 Einführung in die Physik 2
Dann ist die Stromstärke I definiert als die Menge an Ladung Q, die pro Zeit durch eine Fläche senkrecht zum Fluss der Ladung durchströmt t Konstanter Strom Variabler Strom Die Einheit des Stroms ist das Ampere: 1 A=1 C/s Prof. Dr. H. Podlech 5 Einführung in die Physik 2
Stromrichtung Die Richtung des Stroms ist definiert als die Bewegungsrichtung der positiven Ladungen (Technische Richtung) Die Bewegungsrichtung von negative Ladungen (Elektronen) heißt physikalische Richtung Historische Gründe Prof. Dr. H. Podlech 6 Einführung in die Physik 2
Wie viele Elektronen fließen bei einen Strom von 1 A durch den Querschnitt eines Leiters? Prof. Dr. H. Podlech 7 Einführung in die Physik 2
3.2 Driftgeschwindigkeit g Prof. Dr. H. Podlech 8 Einführung in die Physik 2
Verbindet man einen Leiter mit den Polen einer Spannungsquelle, bewegen ege sich die Elektronen e zum Plus-Pol _ - - - - - - - + Leiter Frage: Wie schnell bewegen sich die Elektronen? Prof. Dr. H. Podlech 9 Einführung in die Physik 2
Gäbe es einen idealen Leiter, in dem sich die Elektronen ungestört bewegen könnten, würde nur die Potenzialdifferenz wirken. Potenzialdifferenz bewirkt ein elektrisches Feld E Durch die konstante Kraft erfahren die Elektronen eine Beschleunigung a Elektronengeschwindigkeit g würde immer weiter anwachsen Strom würde immer weiter anwachsen Das wird NICHT beobachtet Prof. Dr. H. Podlech 10 Einführung in die Physik 2
In realen Leitern bewegen sich die Elektronen nicht ungestört! Durch Stöße an schwingenden Atomrümpfen und an Gitterfehlern können Elektronen aus der Bahn geworfen werden Streuung Nach kurzer Zeit stellt sich eine Gleichgewichtsgeschwindigkeit ein Driftgeschwindigkeit v D Der Strom erreicht ebenfalls einen Gleichgewichtswert Prof. Dr. H. Podlech 11 Einführung in die Physik 2
Wie groß ist dieser Gleichgewichtsstrom? A A dz Leiter Für den Strom gilt v D Die Ladungsmenge dq bewegt sich in einem Volumen dv=a dz dz durch den Leiter Zahl der Ladungen Ladungsträgerdichte dv dz Prof. Dr. H. Podlech 12 Einführung in die Physik 2
Gleichgewichtsstrom Für die Driftgeschwindigkeit gilt dann nach Auflösen Diese Gleichung setzt die makroskopische Größe Strom mit den mikroskopischen Eigenschaften der Elektronen in Verbindung Prof. Dr. H. Podlech 13 Einführung in die Physik 2
Wie groß ist v D? Dazu betrachten wir ein Beispiel. Wie groß ist die Driftgeschwindigkeit in einem Kupferdraht mit d=3.28mm Durchmesser bei einer Stromstärke von I=1A Molmasse M=63.5 g, Dichte Kupfer ρ Cu =8920 kg/m 3 Wir berechnen zunächst die Elektronendichte n T Prof. Dr. H. Podlech 14 Einführung in die Physik 2
Wie groß ist v D? Querschnittsfläche des Drahtes A Die Driftgeschwindigkeit beträgt nur etwa 10 μm/s!!! Warum fließt sofort ein Strom, wenn ein Stromkreis geschlossen wird? T Prof. Dr. H. Podlech 15 Einführung in die Physik 2
3.3 Ohmsches Gesetz Prof. Dr. H. Podlech 16 Einführung in die Physik 2
Legt man entlang eines metallischen Leiters eine Potenzialdifferenz (Spannung) U an, fließt ein konstanter Strom I Der Strom ist dabei proportional zur Spannung Ohmsches Gesetz Das Verhältnis U/I ist konstant (Georg Simon Ohm, 1826) ΔU ΔI Prof. V: Kennlinien Dr. H. Podlech (Ohmsch, LDR) 17 Einführung in die Physik 2
R wird Widerstand genannt Die Einheit it von R ist [V/A]=[Ω][Ω] (Ohm) Das Ohmsche Gesetz gilt nicht immer!! Dioden Transistoren Supraleiter Kennlinie einer Halbleiterdiode Prof. Dr. H. V: Podlech Kennlinie Diode 18 Einführung in die Physik 2
Eine Autobatterie liefert eine Spannung von 12V. Durch eine Lampe Fließt ein Strom von 1 A. Wie groß ist der Widerstand der Lampe? Bei feuchter Haut liegt der Körperwiderstand bei 500Ω. Ein Strom von 100mA=0.1A 1A kann tödlich sein. Wie groß ist die entsprechende Spannung? Prof. Dr. H. Podlech 19 Einführung in die Physik 2
Bestimmung des elektrischen Widerstandes R Messung von Strom und Spannung Prof. Dr. H. Podlech 20 Einführung in die Physik 2
Bestimmung des elektrischen Widerstandes R Substitutionsmethode Bei der Substitutionsmethode wird der unbekannte Widerstand R X mit bekannten Widerständen d verglichen. Beide Widerstände d sind gleich, wenn der gleiche Strom fließt. Unbekannter Widerstand R X Schalter R Variabler bekannter Widerstand A Prof. Dr. H. Podlech 21 Einführung in die Physik 2
3.4 Spezifischer Widerstand Prof. Dr. H. Podlech 22 Einführung in die Physik 2
Wovon hängt der Widerstand R ab? Aus der Erfahrung wissen wir: Der Widerstand R eines Drahtes ist proportional zu seiner Länge L Der Widerstand R eines Drahtes ist umgekehrt proportional zu seiner Querschnittfläche A Prof. Dr. H. Podlech 23 Einführung in die Physik 2
Die Proportionalitätskonstante heißt spezifischer Widerstand ρ ρ=[ωm] ] Das Inverse von ρ heißt Leitfähigkeit σ σ=[ω -1 m -1 ] Prof. Dr. H. Podlech 24 Einführung in die Physik 2
Beispiel: Wie groß ist der Ohmsche Widerstand einer 500 km langen Überlandleitung mit einem runden Leiter (r=1 cm) aus Kupfer (r=1.7 10-8 Ωm)? Wikipedia Prof. Dr. H. Podlech 25 Einführung in die Physik 2
Während L und A natürlich die Geometrie bestimmen, ist der spezifische Widerstand eine vom Material abhängige Größe Für typische Metalle liegt ρ im Bereich von 10-6 bis 10-8 Ωm Kupfer: 1.7 10-8 Ωm Der spezifische Widerstand ist i.a. keine Konstante, sondern hängt z.b. von der Temperatur ab Für typische Metalle steigt der spezifische Widerstand mit der Temperatur Prof. Dr. H. Podlech 26 Einführung in die Physik 2
Meist wird der spezifische Widerstand bei t 0 =20C angegeben Für nicht zu große Temperaturdifferenzen Δt=t-t 0 ändert sich der Widerstand linear mit der Temperatur Temperaturkoeffizient Für Metalle liegt α bei 4 10-3 K -1 Prof. Dr. H. Podlech 27 Einführung in die Physik 2
3.5 Leistungsverluste Prof. Dr. H. Podlech 28 Einführung in die Physik 2
Wir betrachten den einfachsten möglichen Schaltkreis V R U In diesem Fall liegt das eine Ende von R auf einem um U höheren Potenzial als das andere Ende Durch den Potenzialunterschied werden Elektronen durch den Widerstand getrieben Prof. Dr. H. Podlech 29 Einführung in die Physik 2
Die Elektronen gewinnen in dem Potenzial Energie Diese Energie geben die Elektronen durch Stöße mit dem Gitter als Wärme ab Für die umgesetzte t Leistung P gilt: Prof. Dr. V: H. Widerstand Podlech unter Last 30 Einführung in die Physik 2
Um Ladungen durch einen Widerstand zu bewegen, wird also Arbeit bzw. Arbeit/Zeit=Leistung benötigt. Die Einheit der Leistung ist das Watt [W]=[J/s] Typische Einheit der elektrischen Energie ist die Kilowattstunde (kwh) Wird eine Leistung von P=1kW für 1 Stunde geliefert, so ist die Energiemenge 1 kwh=3.6 36MJ Typische Leistungen verschiedener Kraftwerke (elektrische Nennleistung) Windrad: 1-5MW Kohlekraftwerk: 50-800 MW Kernkraftwerk: 1000-1500 1500 MW Prof. Dr. H. Podlech 31 Einführung in die Physik 2
Wie groß ist der Strom I bei einem Wasserkocher mit U=230V und einer Leistung P=2000W? Prof. Dr. H. Podlech 32 Einführung in die Physik 2
Ein Stromkreis ist mit 16 A abgesichert. Welche Leistung kann über diesen Stromkreis maximal abgegeben werden? Prof. Dr. H. Podlech 33 Einführung in die Physik 2
3.6 Kombinationen von Widerständen Prof. Dr. H. Podlech 34 Einführung in die Physik 2
Analog zur Kondensatoren können auch Widerstande in Reihe oder parallel kombiniert werden Reihe Parallel R R R R Prof. Dr. H. Podlech 35 Einführung in die Physik 2
Reihenschaltung von Widerständen I Der Strom ist durch beide Widerstände gleich groß U 1 R 1 U Die Spannungsabfälle (Potenzialdifferenzen) an den Widerständen sind verschieden, müssen in der U 2 R 2 Summe aber der Spannung der Spannungsquelle entsprechen Prof. Dr. H. Podlech 36 Einführung in die Physik 2
Reihenschaltung von Widerständen I Mit dem Ohmschen Gesetz gilt dann: U 1 R 1 U U 2 R 2 Der Vergleich der Widerstände liefert: Prof. Dr. V: H. Reihenschaltung Podlech R 37 Einführung in die Physik 2
Parallelschaltung von Widerständen Der Spannungsabfall an beiden Widerständen ist gleich groß (U), sonst wäre der Energiegewinn verschieden I 1 I 2 R 1 R U 2 Der Strom teilt sich auf und kann für beide Widerstände verschieden sein Prof. Dr. H. Podlech 38 Einführung in die Physik 2
Parallelschaltung von Widerständen Mit dem Ohmschen Gesetz gilt dann: I 1 I 2 R 1 R 2 U Der Vergleich der Widerstände liefert: V: Parallelschaltung R Prof. Dr. H. Podlech 39 Einführung in die Physik 2
Verallgemeinerung auf n Widerstände Reihenschaltung Parallelschaltung Prof. Dr. H. Podlech 40 Einführung in die Physik 2
Beispiel: Reihenschaltung U 1 2Ω U=10V U 2 8Ω Prof. Dr. H. Podlech 41 Einführung in die Physik 2
Beispiel: Parallelschaltung I 1 I 2 8Ω 2Ω U=10V Prof. Dr. H. Podlech 42 Einführung in die Physik 2
Kombination von Parallel- und Reihenschaltung 5Ω 8Ω I 1 I 2 2Ω U=10V I T Prof. Dr. H. Podlech 43 Einführung in die Physik 2
Beispiel: Klausuraufgabe! R 2 =20Ω 2 R 3 =50Ω I 2 I3 Wie groß ist der Gesamtwiderstand R ges und der Gesamtstrom I? I R 4 =100Ω I 4 R1=10Ω Wie groß ist die abfallende Spannung an jedem Widerstand? U=20V Wie groß ist der Strom durch jeden Widerstand? Prof. Dr. H. Podlech 44 Einführung in die Physik 2
Beispiel: Klausuraufgabe! Wie groß ist der Gesamtwiderstand R ges und der Gesamtstrom I? Lösung: Wir fassen die drei parallelen Widerstände Zu R x zusammen: T Prof. Dr. H. Podlech 45 Einführung in die Physik 2
Beispiel: Klausuraufgabe! Wie groß ist der Gesamtwiderstand R ges und der Gesamtstrom I? T Prof. Dr. H. Podlech 46 Einführung in die Physik 2
Beispiel: Klausuraufgabe! Wie groß ist die an jedem Widerstand abfallende Spannung? T Prof. Dr. H. Podlech 47 Einführung in die Physik 2
Wie groß ist der durch jeden Widerstand fließende Strom? T Prof. Dr. H. Podlech 48 Einführung in die Physik 2
Kombination von Parallel- und Reihenschaltung T Prof. Dr. H. Podlech 49 Einführung in die Physik 2
3.7 Kirchhoffsche Regeln Prof. Dr. H. Podlech 50 Einführung in die Physik 2
Es gibt Schaltungen, die lassen sich nicht auf entsprechende Ersatzwiderstände reduzieren K 1 R 1 M 1 R 2 Ein Knoten K ist eine Verzweigung in der Schaltung R 5 K 3 K 4 M K 4 M 3 U B Eine Masche M ist ein einfacher geschlossener Weg der Schaltung M 2 R 4 R 3 K 2 Prof. Dr. H. Podlech 51 Einführung in die Physik 2
Knotenregel Der Strom, der in einen Punkt (Knoten) der Schaltung hinein fließt, muss auch wieder raus fließen Die Summe aller in einen Knoten fließenden Ströme ist null Die Knotenregel ist letztlich eine Folge der Erhaltung der elektrischen Ladung Hinein fließende Ladung muss wieder raus fließen, sie kann nicht verschwinden Prof. Dr. H. Podlech 52 Einführung in die Physik 2
Maschenregel Innerhalb einer Masche ist die die Summe aller Batteriespannungen gleich der Summe aller Spannungsabfälle die Summe aller Teilspannungen ist null U 1 R 1 I U B U 2 R 2 Die Maschenregel ist letztendlich eine Folge der Erhaltung der Energie Prof. V: Dr. Knoten- H. Podlech und Maschenregel 53 Einführung in die Physik 2
Vorgehensweise Zunächst werden die Ströme definiert I fließt vom Pluspol der Spannungsquelle K 1 R 1 M 1 R 2 R 1 R 2 R 5 _ + K 3 K 4 M K 4 M 3 U B R 5 _ + U B R M 4 2 R 3 R R 4 3 I K 2 Prof. Dr. H. Podlech 54 Einführung in die Physik 2
K 1 Entsprechend der Knoten ergeben sich verschiedene Gleichungen für die Ströme I 1 R 1 R 2 I 2 I K 1 I 5 U B K 2 K 3 R 5 K 4 K 3 _ + R 4 R 3 I 4 3 I 3 K 4 I 4 K 2 Prof. Dr. H. Podlech 55 Einführung in die Physik 2
Nun werden die Maschen mit ihrem Umlaufsinn definiert und die Maschenregel angewendet I 1 U 1 K 1 M 1 R 1 R 2 I 2 U 2 I Fließt der Strom innerhalb einer Masche mit der Maschenrichtung, wird die Spannung positiv gezählt, sonst negativ I 5 K 3 R 5 K 4 U 4 M 3 _ + U B M1 U 5 I M 2 R 4 I 3 R 3 U 3 3 M 2 M 3 I 4 K 2 Prof. Dr. H. Podlech 56 Einführung in die Physik 2
Diese Bestimmungsgleichungen führen auf ein lineares Gleichungssystem, welches die Ströme liefert Der Umlaufsinn der Maschen war zunächst willkürlich. li Fließt der Strom entgegengesetzt der zunächst angenommenen Richtung, ist er negativ, sein Betrag aber korrekt. Die Analyse von Schaltkreisen mittels der Kirchhoffschen Regeln funktioniert nur bei linearen (passiven) Bauteilen wie Spannungsquellen, Widerständen, Spulen und Kondensatoren Befinden sich aktive Bauteile wie Dioden, Verstärker, Transistoren in der Schaltung, müssen andere Verfahren benutzt werden Prof. Dr. H. Podlech 57 Einführung in die Physik 2
Wir betrachten ein besonders einfaches Beispiel K 1 K 1 I 1 I I 2 K 2 R 1 R 2 U B 1 2 U 1 U 2 K 2 Prof. Dr. H. Podlech 58 Einführung in die Physik 2
Der Widerstandswürfel A Der Widerstandswürfel besteht aus 12 identischen ohmschen Widerständen, die sich jeweils an den Kanten des Würfels befinden. Wie groß ist der Gesamtwiderstand, wenn der Strom von Punkt A nach Punkt B fließt? B Prof. Dr. H. Podlech 59 Einführung in die Physik 2
Der Widerstandswürfel Abbildung des Würfels in der Ebene Prof. Dr. H. Podlech 60 Einführung in die Physik 2
Ersatzschaltbild des Widerstandswürfels R 1 R 2 R 1 Prof. Dr. H. Podlech 61 Einführung in die Physik 2
Der Widerstandswürfel Prof. Dr. H. Podlech 62 Einführung in die Physik 2
3.8 Strom- und Spannungsmessung g Prof. Dr. H. Podlech 63 Einführung in die Physik 2
Galvanometer Der zu messende Strom fließt durch eine gelagerte Spule, die sich in einem Magnetfeld befindet. Durch den fließenden Strom entsteht ein Magnetfeld, das zu einem Drehmoment führt Auslenkung Prof. Dr. H. Podlech 64 Einführung in die Physik 2
Amperemeter zur Strommessung Klassische Strommessgeräte beruhen meist auf der Messung des Magnetfeldes, welches mit dem Stromfluss einhergeht. Das Amperemeter besitzt einen eigenen Widerstand Innenwiderstand R i Dieser Innenwiderstand bewirkt, dass der Gesamtwiderstand der Schaltung steigt und damit die Messung verfälscht wird Prof. Dr. H. Podlech 65 Einführung in die Physik 2
Amperemeter zur Strommessung Für den Gesamtwiderstand R s gilt (Reihenschaltung) R A U Für den Strom I mit Amperemeter gilt R i Für das Verhältnis der Ströme mit (I) und ohne Amperemeter (I 0 ) gilt Der Innenwiderstand muss klein sein (Niederohmig) Prof. Dr. H. Podlech 66 Einführung in die Physik 2
Aufbau eines Amperemeters R A U Das Amperemeter besitzt zwei parallel geschaltete Widerstände Durch R G fließt der eigentliche Messstrom. Dabei gilt für die Widerstände: G R G R Sh R G ist groß, um das Messgerät nicht zu zerstören, der Shunt-Widerstand R Sh ist klein, um den Innenwiderstand klein zu machen G=Galvanometer V: Messbereichserweiterung Prof. Dr. H. Podlech 67 Einführung in die Physik 2
Voltmeter zur Spannungsmessung R i V R U Das Voltmeter wird parallel zum messenden Spannungsabfall eingebaut Das Voltmeter soll den Spannungsabfall am Widerstand R nicht ändern Es darf (fast) kein Strom durch das Voltmeter fließen Hoher Innenwiderstand R i Prof. Dr. H. Podlech 68 Einführung in die Physik 2
Voltmeter zur Spannungsmessung Für den Gesamtwiderstand R p gilt (Parallelschaltung) R i V R U Für den Spannungsabfall U mit Voltmeter gilt: Der Innenwiderstand muss groß sein (Hochohmig) Für das Verhältnis der Spannungen mit (U) und ohne Voltmeter (U 0 ) gilt Prof. Dr. H. Podlech 69 Einführung in die Physik 2
Aufbau eines Voltmeters V R U Das Voltmeter besitzt einen Widerstand R G und gegebenenfalls einen zusätzlichen Widerstand R m in Reihe. R m Bei hohen zu messenden Spannungen wird R m vergrößert, um den Strom durch das Galvanometer zu begrenzen G Der Innenwiderstand ist die Summe aus R G und R i. R G Prof. Dr. H. Podlech 70 Einführung in die Physik 2
Fehler bei Strom- und Spannungsmessung Es gibt keine beliebig genaue Messung Messfehler Fehler bei Messinstrumenten t (z.b. 1%) beziehen sich immer auf den Vollausschlag Der absolute Fehler ist konstant, unabhängig gg vom Zeigerausschlag g Der relative Fehler hängt vom Zeigerausschlag ab Prof. Dr. H. Podlech 71 Einführung in die Physik 2
WICHTIG: Relativer Fehler hängt vom Messbereich ab!! Vollausschlag 30 ma Vollausschlag 100 ma Absoluter Fehler 0.3 ma Absoluter Fehler 1.0 ma Messwert 29 ma Messwert 30 ma Relativer Fehler 1.03 % Relativer Fehler 3.33 % Prof. Dr. H. Podlech 72 Einführung in die Physik 2