Amerikanischen Optionen

Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof. Dr. Peter Bürgisser

INHAL 0. EINLEIUNG... 3 1. AMERIKANISCHE CLAIMS... 3 2. DER FAIRE PREIS EINES AMERIKANISCHEN CLAIMS... 4 3. DAS PRINZIP DER RÜCKWÄRSINDUKION... 6 4. DIE ABSICHERBARKEI EINES AMERIKANISCHEN CLAIMS UND DIE KONSRUKION EINES HEDGE... 9 5. ANWENDUNG AUF DAS COX-ROSS-RUBINSEIN-MODELL...10 6. LIERAURVERZEICHNIS...12 2

0. Einleitung Die amerikanischen Optionen werden neben den europäischen und den exotischen Optionen (Barriere-Optionen, Lookback-Optionen, Asiatische- Optionen) am häufigsten gehandelt. Die amerikanischen und die europäischen Optionen sind im Gegensatz zu den anderen jedoch durch den Aktienkurs im jeweiligen Zeitpunkt festgelegt und nicht durch den Kursverlauf der Aktie. Im Unterschied zu den europäischen verbriefen die amerikanischen Call- (Put-) Optionen auf eine Aktie das Recht, die Aktie zu einem beliebigen Zeitpunkt t zum vorher fixierten Ausübungspreis K zu kaufen (verkaufen) und nicht ausschließlich zum Zeitpunkt. Im folgenden sei ein Mehrperiodenmodell betrachtet. 1. Amerikanische Claims 1.1. Definition eines amerikanischen Claims: Ein amerikanischer Claim ist gegeben durch einen reellwertigen adaptierten stochastischen Prozeß (Z t ) 0=t= :=Z, wobei Z t die Auszahlung angibt, die der Inhaber bei Ausübung zur Zeit t erhält. Die Entscheidung zur Ausübung der Option zum Zeitpunkt t ist vom Käufer frei wählbar und hängt von den Informationen bis zur Zeit t erhältlich ab. (A t ) 0=t= sei eine zugehörige Filtration. Daher betrachten wir Strategien zur Wahl des Ausübungszeitpunktes als Stopzeiten τ bzgl. (A t ) 0=t=, wobei τ eine Zufallsvariable τ: Ω {0,1,...,} ist. Man kann jeder Stoppzeit τ den Claim C(Z, τ) = ( Z 0 1 {τ=0}, Z 1 1 {τ=1},..., Z 1 {τ=} ) zuordnen. Bei Ausübung der Option erhält man die Gesamtauszahlung Z t = Σ Z τ 1 {τ=t}. t=0 Die diskontierte Gesamtauszahlung ist entsprechend Z τ /B τ = Σ Z τ /B τ 1 {τ=t}. t=0 1.2. Beispiel: Der zugehörige Prozeß Z einer amerikanischen Call-Option mit Aktienkursen S 0, S 1,..., S zum Ausübungspreis K ist gegeben durch Z t = (S t - K) +, t=0,...,. 3

Eine mögliche Ausübungsstrategie wäre: τ:= min({0 t S t a } {}) mit a K, d. h. man nutzt das Optionsrecht, sobald a zum ersten Mal überschritten wird. Falls dies nicht bis zum Zeitpunkt - 1 eintritt, übt man sie zum Zeitpunkt aus oder läßt sie verfallen. Der zugehörige Prozeß Z einer amerikanischen Put-Option mit Aktienkursen S 0, S 1,..., S zum Ausübungspreis K ist gegeben durch Z t = (K - S t ) +, t=0,...,. 2. Der faire Preis eines amerikanischen Claims Z sei ein absicherbarer amerikanischer Claim. Mit dem Kauf einer amerikanischen Option erhält der Käufer die Möglichkeit, die Option zu einem beliebigen Zeitpunkt auszuüben, d. h. er hat z.b. bei einer Call-Option die Chance, beim maximalen Preis der Aktie zu stoppen. Deshalb definieren wir den fairen Preis eines amerikanischen Claims als Supremum über die fairen Preise aller Claims, die für diese Auswahl zur Verfügung stehen: s(z) = sup s(c(z, τ )). τ Allgemein gilt für den fairen Preis für k = 0, 1,..., -1: s(z, k) = sup s(c(z, τ)). τ k Unter Benutzung eines äquivalenten Martingalmaßes Q erhalten wir folgendes Ergebnis: 2.1. Satz: Der faire Preis eines absicherbaren amerikanischen Claims bzgl. eines Martingalmaßes Q ist zur Zeit 0 gegeben durch sup E Q (Z τ /B τ A 0 ), τ und allgemein zum Zeitpunkt k = 0, 1,..., -1 durch sup B k *E Q (Z τ /B τ A k ). τ Diese Preisfestsetzung kann mit dem No-Arbitrageprinzip erklärt werden: Fall 1: Wäre s(z) < sup s(c(z, τ)), dann gäbe es ein τ mit s(z) < s(c(z, τ)). Man hätte den Claim damit unterhalb des fairen Preises, zum Preis s(z), 4

erworben. Dies ist eine Arbitragestrategie. Fall 2: Wäre s(z) > sup s(c(z, τ)), hätte der Käufer jeden dieser Claims oberhalb des fairen Preises erworben. Dies ist ebenfalls eine Arbitragestrategie. Den fairen Preis erhält man also durch Lösen der Optimierungsaufgabe sup E Q (Z τ /B τ A 0 ). τ Da wir A 0 = {, Ω} annehmen, müssen wir nur noch sup E Q (Z τ /B τ ) τ bestimmen. Um diese Aufgabe zu lösen, verwenden wir die heorie des optimalen Stoppens. 2.2. heorem: Sei S:={τ τ Stopzeit}. Dann lautet das Problem des optimalen Stoppens: Maximiere EZ τ über τ S; bestimme also v:= sup EZ τ und τ* S mit τ S EZ τ* = sup EZ τ. τ S Wir setzen: S r t := {τ S r τ t} und v r t := sup EZ τ τ Srt 2.3. Bemerkung: Zu einem amerikanischem Claim kann ein zugehöriger europäischer Claim betrachtet werden, der nur zur Zeit ausgeübt werden kann: C(Z, ) = ( 0,, 0, Z ) zur Stopzeit τ =. Also gilt s(z) = sup s(c(z, τ)) s(c(z, )), d.h. der faire Preis eines amerikanischen Claims ist immer größer oder gleich dem eines europäischen Claims. 2.4. Satz: Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß. Dann gilt für jede Kapitalanlage und für jeden Ausübungspreis K 0: sup E Q (1/B τ * ( S τ - K) + ) = E Q (1/B * (S - K) + ) τ S Beweis: Man zeigt, daß (1/B t *(S t - K) + ) für t= 0,, ein Submartingal bzgl. Q ist. Dann gilt für alle τ S : E Q (1/B τ *( S τ - K) + ) E Q (1/B *(S - K) + ). Da x (x - K) + eine konvexe Abbildung ist, folgt mit der Jensenschen Ungleichung: 5

E Q (1/B t+1 *( S t+1 - K) + A t ) 1/B t+1 *(E Q (S t+1 A t ) - K) + = (E Q (S t+1 /B t+1 A t ) - K /B t+1 ) + = (S t /B t - K /B t+1 ) + = 1/B t *(S t - K /B 1 ) + 1/B t * (S t - K) +, da (x - K /B 1 ) + (x - K) + für 1/B 1 1, K 0. 2.5. Folgerung: Falls 1 /B 1 < 1, stimmen also die fairen Preise sup E Q (1/B τ *( S τ - K) + ) des τ S amerikanischen Calls und E Q (1/B *(S - K) + ) des europäischen Calls überein. Erstaunlicherweise spielt das Verhalten des Preisprozesses dabei keine Rolle. 2.6. Bemerkung: Aufgrund der Preisgleichheit bietet eine amerikanische Call-Option theoretisch keinen Vorteil gegenüber einer europäischen Call-Option. In der Praxis sieht dies natürlich anders aus. (Man betrachte z.b. Dividenden.) 2.7. Bemerkung: Im Gegensatz zur Preisgleichheit des amerikanischen und europäischen Calls unterscheiden sich die fairen Preise der amerikanischen und europäischen Put-Optionen. 3. Das Prinzip der Rückwärtsinduktion Wir betrachten ein allgemeines Stopproblem mit der Zeitparametermenge = {0, 1,,}. Befinden wir uns schon im Zeitpunkt, ohne vorher gestoppt zu haben, müssen wir die Auszahlung Z akzeptieren. Zur Zeit -1 können wir entweder stoppen und erhalten somit den Betrag Z -1,oder wir warten noch bis zum Zeitpunkt und bekommen die zur Zeit -1 noch unbekannte Auszahlung Z. Geeignet ist folgendes Vorgehen: Stoppe in -1, falls Z -1 E(Z A -1 ), beobachte weiter, falls Z -1 < E(Z A -1 ). Allgemein gilt zum Zeitpunkt t: Stoppe in t, falls Z t größer oder gleich dem bedingten Erwartungswert dessen ist, was sich bei optimaler Fortsetzung ergibt. Andernfalls mache eine weitere Beobachtung. 6

3.1. Definition: Betrachte ein Stopproblem mit ={0, 1,,}. Dann setze: U := Z U -1 := max {Z -1, E(U A -1 )} U t := max {Z t, E(U t+1 A t )} für alle t = -2,, 0 Weiter sei für t = 0,,: τ t := inf { k t Z k = U k } = inf { k t Z k E(U k+1 A k )} 3.2. Satz: Mit Definition 3.1. gilt für t = 0,,: E( Zτ t A t ) = U t E(Z τ A t ) für alle τ S t, also EZτ t = EU t EZ τ für alle τ S t. Insbesondere folgt: v t = EU t, τ t ist optimal in S t,und τ* = τ 0 ist optimal. Beweis: Offensichtlich ist τ t S t für alle t. Wir führen den weiteren Beweis durch Rückwärtsinduktion über t = 0,, durch: Für t = ist die Aussage klar, denn U = Z, τ =, S = {τ }. Die Behauptung sei richtig für ein t {1,,}. Sei A A t-1. Sei τ S t-1, weiter τ = max {τ, t} S t. Zusammen mit der Induktionsvoraussetzung folgt aus der Definition von U t : Z τ dp = Z t-1 dp + Z τ dp A A {τ =t-1} A {τ t} = Z t-1 dp + Z τ dp A {τ =t-1} A {τ t} = Z t-1 dp + E(E(Z τ A t ) A t-1 ) dp A {τ =t-1} A {τ t} I.V. Z t-1 dp + E(U t A t-1 ) dp A {τ =t-1} A {τ t} U t-1 dp A Also E(Z τ A t-1 ) U t-1. 7

Die entsprechende Rechnung für τ t-1 : Zτ t-1 dp = Z t-1 dp + Z τ t-1 dp A A {Zt-1 E(Ut At-1)} A {Zt-1 < E(Ut At-1)} = Z t-1 dp + Zτ t dp A {Zt-1 E(Ut At-1)} A { Zt-1 < E(Ut At-1)} = Z t-1 dp + E (Zτ t A t-1 ) dp A { Zt-1 E(Ut At-1)} A { Zt-1 < E(Ut At-1)} I.V. Z t-1 dp A { Zt-1 E(Ut At-1)} + E(U t A t-1 ) dp A { Zt-1 < E(Ut At-1)} = U t-1 dp A Also E(Zτ t A t-1 ) = U t-1. 3.3. Satz: Seien Z:= (Z t ) 0 t und U:= (U t ) 0 t definiert wie bisher. Dann gilt: U ist minimales dominierendes Supermartingal, d.h. (i) U Z (ii) U ist Supermartingal (iii) Ist Y:= (Y t ) 0 t ein weiteres Supermartingal mit Y Z, so ist Y U. Beweis: (i) und (ii) folgen sofort aus der Definition von U ( U t-1 := max {Z t-1, E(U t A t-1 )}, t = 0, ) (iii) wird bewiesen durch Rückwärtsinduktion: Wir nehmen an, daß Y ein beliebiges Supermartingal mit Y Z für alle t ist. Dann gilt Y Z = U. Für ein festes t sei Y t U t. Da Y Supermartingal, gilt: Y t-1 E Q (Y t A t-1 ). Dann Y t-1 E Q (U t A t-1 ). Andererseits dominiert Y Z. Nehme Y t-1 Z t-1 an. Dann Y t-1 max {Z t-1, E Q (U t-1 A t-1 )} =U t-1. 8

4. Die Absicherbarkeit eines amerikanischen Claims und die Konstruktion eines Hedge 4.1. Definition: Sei Q ein äquivalentes Martingalmaß. Dann heißt Z absicherbar, falls eine selbstfinanzierende Handeslstrategie H existiert, so daß für den Wertprozeß V:= (V t ) 0 t gilt: V Z. Dann heißt H Hedge zu V. (Der Verkäufer eines amerikanischen Claims kann nach Bildung des Portfolios H zur Zeit 0 zum Preis V 0 jeden möglichen Anspruch des Käufers ohne Zufuhr weiterer Mittel erfüllen.) Für einen amerikanischen Claim Z zum Anfangsportfoliopreis V 0 = H 0 S 0 = s(z) = sup E Q (Z τ /B τ A 0 ) können wir einen selbstfinanzierenden Hedge konstruieren. Um dieses zu zeigen, betrachten wir das Stopproblem mit Auszahlungsprozeß (Z t /B t ) t = 0,, und das dazugehörige minimale dominierende Supermartingal U. Mit der Doobschen Zerlegung schreiben wir U = M + C, wobei M:= (M t ) 0 t ein Martingal ist und C:= (C t ) 0 t monoton fallend mit C 0 = 0 ist. 4.2. Satz: Der Claim C = (0,,B M ) sei absicherbar. H sei zugehöriger Hedge. Dann ist H auch Hedge für den amerkanischen Claim, und es gilt H 0 S 0 = s(z). Beweis: Da H selbstfinanzierend ist und (V t /B t ) t = 0,, ein Martingal bzgl. Q ist, folgt V /B = M U = Z /B. Mit der Minimalität von U folgt: V t /B t U t Z t /B t, t = 0,,-1, also V Z. Für den Anfangspreis des Portfolios erhalten wir mit der Martingaleigenschaft H 0 S 0 = V 0 /B 0 = E Q V /B = E Q M = M 0 = U 0 = s(z). Nun definieren wir den fairen Preis eines amerikanischen Claims Z durch s* = inf { H 0 S 0 H ist selbstfinanzierender Hedge für Z}. Dann gilt unter der Voraussetzung der Absicherbarkeit des Claims C = (0,,0, B M ): s* s(z). Andererseits erhalten wir für jeden selbstfinanzierenden Hedge H: V t /B t Z t /B t, t =0,,, also V t /B t U t, t = 0,,. Damit folgt H 0 S 0 = V 0 /B 0 U 0 = s(z) und s* s(z). 9

Wir konstruieren also einen Hedge für einen amerikanischen Claim, indem wir den Hedge für einen durch die Doobsche Zerlegung eindeutig bestimmten europäischen Claim berechnen. 5. Die Anwendung auf das Cox-Ross-Rubinstein-Modell S t = S 0 Y 1 Y 2 Y t sei der Aktienpreis zur Zeit t, wobei 0 t und Y 1,,Y t bzgl. Q stochastisch unabhängig und identisch verteilt seien. Es gelte q:= Q(Y t = u) = (1 + r - d) /(u - d), Q(Y t = d) = 1 - q Z:= (Z t ) 0 t sei ein amerikanischer Claim mit diskontierten Auszahlungen Z t /B t := h t (S t ) für t = 0,,, wobei h eine meßbare Funktion sei. (Betrachtet man z.b. eine Put-Option, so ist h t (S t ) = 1/B t *( K - S t ) +. Abb.: Binomialbaum für = 3 S 0 u 2 S 0 u 3 S 0 u S 0 u 2 d S 0 S 0 ud S 0 d S 0 ud 2 S 0 d 2 S 0 d 3 Man bestimmt den fairen Preis eines amerikanischen Claims am effizientesten rekursiv, d. h. man folgt dem Binomialbaum von rechts nach links. Wir berechnen also den fairen Preis zur Zeit 0 (den Wert ω 0 (S 0 )), indem wir die ω t -t (die fairen Preise zu den Zeitpunkten t = 0,,) rekursiv bestimmen. Wir beschränken uns hier auf den Fall =3: t Entsprechend der Definition von U t lassen sich die ω -t folgendermaßen berechnen: ω 2 1 (S 0 u 2 ) = q* h 3 (S 0 u 3 ) + (1- q)* h 3 (S 0 u 2 d) ω 2 1 (S 0 ud) = q* h 3 (S 0 u 2 d) + (1- q)* h 3 (S 0 ud 2 ) ω 2 1 (S 0 d 2 ) = q* h 3 (S 0 ud 2 ) + (1- q)* h 3 (S 0 d 3 ) ω 1 2 (S 0 u) = q*max{h 2 (S 0 u 2 ), ω 2 1 (S 0 u 2 )} + (1- q)* max{h 2 (S 0 ud), ω 2 1 (S 0 ud)} ω 1 2 (S 0 d) = q* max{h 2 (S 0 ud), ω 2 1 (S 0 ud)} + (1- q)*max{h 2 (S 0 d 2 ), ω 2 1 (S 0 d 2 )} 10

ω 0 3 (S 0 ) = q* max{h 1 (S 0 u), ω 1 2 (S 0 u)} + (1- q)*max{h 1 (S 0 d), ω 1 2 (S 0 d)} Der Wert ω 0 3 (S 0 ) ist folglich der faire Preis eines amerikanischen Claims zur Zeit 0 im binomialen Modell. 11

6. Literaturverzeichnis Irle, Albrecht: Finanzmathematik. Die Bewertung von Derivaten. Stuttgart: eubner 1998. Elliot, Robert James: Mathematics of financial markets. New York: Springer 1999. 12