Übungen zur Physik der Materie 1 Lösungsvorschlag Blatt 12 - Teilchenphysik

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1 Übungen zur Physik der Materie 1 Lösungsvorschlag Blatt 1 - Teilchenphysik Sommersemester 018 Vorlesung: Boris Bergues ausgegeben am Übung: Nils Haag (Nils.Haag@lmu.de) besprochen in den Vorlesungen Das vorliegende Blatt werden wir gemeinsam in den Übungen und Vorlesungen der nächsten zwei Wochen besprechen. Es dient als Anhaltspunkt, in welcher Tiefe Sie die Teilchenphysik anwenden können sollten. Nützliche Konstanten: Massen der Elementarteilchen: Weitere Teilchenmassen m u =, 3 MeV/c m d = 4, 8 MeV/c m c = 1, 3 GeV/c m s = 95 MeV/c m t = 170 GeV/c m b = 4, GeV/c m e = 511 kev/c m µ = 106 MeV/c m τ = 1, 8 GeV/c m ν < ev 0 m π ± = 140 MeV/c m π 0 = 135 MeV/c m p = 938, 3 MeV/c m n = 939, 6 MeV/c Beachten Sie, dass einige Massen noch erhebliche experimentelle Fehlerbalken aufweisen, die wir hier aber nicht diskutieren wollen.

2 Aufgabe 31: Teilchenzerfälle Hinweis: Beachten Sie für diese Aufgabe die Tabelle auf der ersten Seite dieses Übungsblattes. a) Benennen Sie alle Elementarfermionen und gruppieren Sie sie zu sinnvollen Kategorien. Erklären Sie die Unterschiede und Gemeinsamkeiten. b) Erklären Sie die Begriffe Quark, Lepton, Hadron, Baryon und Meson. Zu welcher dieser Kategorien gehört das Pion? Geben Sie die Zusammensetzung eines Pions an. c) Beschreiben Sie, welcher der folgenden Zerfälle anfangs ruhender Teilchen erlaubt (möglich) ist und geben Sie an, welche kinetische Energie die Zerfallsprodukte erhalten. τ µ + ν µ + ν τ (1) τ µ + ν µ + ν τ () n p + π (3) π + µ + + ν µ (4) p n + e + + ν e (5) d) Ergänzen Sie, welches Teilchen in folgenden Wechselwirkungsprozessen fehlt. Begründen Sie Ihre Entscheidung: µ e + ν µ + (6) γ + γ c + (7) p + n + e + (8) e) Nennen Sie die Voraussetzung dafür, dass die Reaktionen (7) und (8) auftreten können. Lösungsvorschlag 31: a) Quarks: (up, down)(charm, strange)(top, bottom) mit B = 1 und L = 0. up, charm und top 3 haben elektrische Ladung von + der Elementarladung, down, strange und bottom tragen 3 1 Elementarladung. Sie nehmen an allen Wechselwirkungen teil. 3 Leptonen: Elektron, Myon und Tauon mit den zugehörigen Neutrinos. Die ersten drei haben elektrische Ladung -1, die Neutrinos tragen keine elektrische Ladung. Die Leptonen nehmen an der schwachen WW teil, die geladenen Leptonen zudem noch an der Coulomb-WW. Die Leptonen haben B = 0 und L = 1. Quarks ( ) u ( ) c ( ) t q = +/3 d s b q = 1/3 Leptonen ( ) ( ) ( ) e µ τ ν e ν µ ν τ L e = 1 L µ = 1 L τ = 1 q = 1 q = 0

3 b) Die Quarks sind die oben schon erwähnten Elementarteilchen. Hadronen sind ganz allgemein aus Quarks zusammengesetzte Teilchen. Hadronen aus 3 Quarks nennt man Baryonen. Hadronen aus einem Quark-Antiquark-Paar nennt man Mesonen. (Teilchen aus Quarks kann es nicht geben, da sonst - unter anderem - die elektrische Ladung des entstandenen freien Teilchens nicht ganzzahlig wäre.). Pionen sind die leichtesten Mesonen und eine Kombination von up- und down- Quarks bzw. ihren Antiteilchen. Es gibt drei davon: π = ūd π + = du π 0 = 1 (uū + d d) c) Um zu überprüfen, welche Reaktionen erlaubt sind, muss man die Erhaltung der Erhaltungsgrößen Leptonenfamilienzahl, Baryonenzahl, elektrischer Ladung und Energieerhaltung testen. (Wir setzen die Neutrinomassen im Folgenden immer Null.) τ µ + ν µ + ν τ L e : 0 = L µ : 0 = L τ : 1 = B : 0 = Erlaubt mit E = [m τ m µ ]c = 1, 7 GeV τ µ + ν µ + ν τ L e : 0 = L µ : L τ : B : 0 = Nicht erlaubt, da L µ und L τ nicht erhalten sind. n p + π Nicht erlaubt, da die Ruhemasse des Neutrons nicht ausreicht, um beide Teilchen zu erzeugen. π + µ + + ν µ Erlaubt: Dies ist der Hauptzerfallskanal von π + mit einer Restenergie von E = [m π + m µ ]c = 34 MeV p n + e + + ν e Nicht erlaubt: Das Proton ist leichter als das Neutron, somit findet dieser Zerfall nicht statt.

4 d) Die vollständigen Teilchenreaktionen sehen wie folgt aus: µ e + ν µ + ν e γ + γ c + c p + ν e n + e + Dies begründet sich jeweils aus der Erhaltung der Leptonenfamilienzahlen, der Baryonzahlerhaltung und der Ladungserhaltung. e) Die Reaktionen finden nur statt, wenn die beiden Stoßpartner genug kinetische Energie haben, um die Massen der Teilchen erzeugen zu können. Bei der c c- Erzeugung muss z.b. jedes Photon eine Energie mitbringen, die der Ruheenergie eines charm-quarks entspricht (natürlich kann die Energie auch ungleich auf die Photonen verteilt sein - die sogenannte Schwerpunktsenergie muss der Ruheenergie der Teilchen entsprechen.) Auch bei dem sogenannten induzierten inversen Betazerfall (Antielektronneutrinoeinfang am Proton) muss das Neutrino genug kinetische Energie mitbringen, um die Massendifferenz zwischen Proton auf der einen Seite und Neutron und Positron auf der anderen Seite zu überwinden: E kin (ν e )! (m n + m e m p )c Aufgabe 3: SE Herbst 13: Betazerfall des freien Neutrons In einer Nebelkammer werden beim Betazerfall eines freien ruhenden Neutrons, das sich in einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B = 0, 050 T befindet, die Kreisbahnen des entstehenden Protons und Elektrons beobachtet. Die Kreisbahnen liegen senkrecht zu den Magnetfeldlinien. Für den Bahnradius des Protons misst man r p = 65 mm und für den Bahnradius des Elektrons r e = 33 mm. Nehmen Sie für die folgenden Rechnungen vereinfachend an, dass die Ruhemasse des Antineutrinos vernachlässigt werden kann. a) ( Punkte) Die Zerfallskonstante eines freien Neutrons beträgt λ = 1, s. Berechnen Sie die Halbwertszeit freier Neutronen! b) (5 Punkte) Berechnen Sie den Impuls und die kinetische Energie (in ev) des Protons und des Elektrons! Rechnen Sie dabei für das Proton klassisch und für das Elektron relativistisch! Hinweis: Die Lorentzkraft liefert für den Impuls eines Teilchens mit der Elementarladung e und einem Bahnradius r in einem Magnetfeld der magnetischen Flussdichte B die klassisch und relativistisch gültige Beziehung: p = ebr. (Ersatzlösung für kinetische Energie des Protons = 400 ev und für kinetische Energie des Elektrons = 180 kev). c) (3 Punkte) Berechnen Sie aus dem Massendefekt der Reaktion die gesamte kinetische Energie (in ev), die Proton, Elektron und Antineutrino zusammen besitzen. (Ersatzlösung: 700 kev) d) (4 Punkte) Berechnen Sie die Gesamtenergie des Antineutrinos in der Einheit Elektronenvolt! e) ( Punkte) Berechnen Sie den Impuls des Antineutrinos! f) (4 Punkte) Begründen Sie, warum ein freies Proton NICHT gemäß zerfallen kann! p n + e + + ν

5 Lösung Aufgabe 3: a) Das Zerfallsgesetz lautet: Die Halbwertsteit t 1 zerfallen ist: N = N 0 e λt rechnen wir aus, indem wir berechnen, wann die Hälfte der Teilchen 1 N 0 = N 0 e λt 1 1 = e λt 1 ln() = λt 1 t 1 = ln λ = 618 s Dies ist übrigens eine veraltete Zahl, mittlerweile hat man die Neutronenhalbwertszeit auf etwa 610 s bestimmt (mit einer experimentellen Unsicherheit von etwa 1 s). b) Proton: kg m p = ebr p + = 5, 10 s E kin,p + = p = 507 ev m Elektron: kg m p = ebr e =, s Die kinetische Energie berechnen wir relativistisch: E ges,e = E 0,e + E kin,e = m oc 4 + p c E kin = m oc 4 + p c E 0 = 189 kev c) E = [m n (m p + m e + m νe )]c = 790 kev d) Das Neutrino hat eine zu vernachlässigende Masse, weswegen sich die Gesamtenergie nur aus der kinetischen Energie ergibt. e) Als nahezu masseloses Teilchen gilt E ν = E E kin,p + E kin,e = 600 kev p = E c = 3, 10 kg m s f) (4 Punkte) Wir haben eben gezeigt, dass der Massendefekt aufgrund der höheren Masse des Neutrons im Vergleich zum Proton zum Zerfall des Neutrons führt. Die Antiteilchen haben dieselbe Masse wie die Teilchen (das Positron also die selbe Masse wie das Elektron) und damit reicht die Ruheenergie des Protons nicht aus, um zu zerfallen.

6 Aufgabe 33: Kosmische Strahlung a) Erläutern Sie, warum die bei der Erde ankommende kosmische Strahlung nicht aus (H- und He-) Atomen, sondern aus Protonen und Heliumkernen besteht. b) Die höchstenergetischen Teilchen der kosmischen Strahlung haben Energien von 10 0 ev (und einen Fluss von ungefähr einem Teilchen pro m und Jahrhundert!). Berechnen Sie, welche Geschwindigkeit ein Tennisball haben muss (m = 57 g), damit seine kinetische Energie hiermit vergleichbar ist. c) Bei Spallationsreaktionen zwischen den Protonen der kosmischen Strahlung und Atomen und Molekülen der Atmosphäre entstehen unter anderem Pionen. Geben Sie einen qualitativen Grund an, weswegen hierbei mehr π + als π entstehen! d) Welche Teilchen entstehen in der gesamten Zerfallskette der positiv geladenen Pionen π +? e) Wie ist das entstehende Verhältnis von myonartigen zu elektronartigen (Anti)Neutrinos in der atmosphärischen Strahlung durch den Pionzerfall? f) Ein Myon (Masse 106 MeV/c ) habe eine kinetische Energie von 1 GeV. Berechnen Sie, wie lange das Myon für einen Beobachter auf der Erde im Mittel lebt, wenn die Halbwertszeit des Myonzerfalls µs ist, und welche Strecke es im Mittel zurücklegen kann, bevor es zerfällt. Hinweis: Die Zeit t 0, die für das Myon vergeht, erscheint für einen externen Beobachter um den relativistischen Faktor γ länger : γt 0 = t. Außerdem gilt E ges = E 0 + E kin = γe 0 und γ = 1 1 v c Lösungsvorschlag A33: a) Damit kosmische Strahlung uns erreichen kann, muss sie auf hohe Energien beschleunigt worden sein. Das funktioniert nur mit geladenen Teilchen und nicht mit neutralen Atomen. Wasserstoffatome gibt es zwar auch im Universum, diese werden aber nicht effizient beschleunigt. b) 1 mv = E kin = 10 0 ev Ekin v = m = 3.7m s = 85 km h c) Die kosmische Strahlung besteht hauptsächlich aus positiv geladenen Kernen. Aufgrund der Ladungserhaltung entstehen also mehr positiv geladene Produkte. d) π + µ + + ν µ e + + ν e + ν µ + ν µ e) Wie man an obiger Reaktionsgleichung sehen kann, entstehen doppelt so viele myonartige Neutrinos (bzw. Antineutrinos) als elektronartige.

7 f) E = E 0 + E kin = γe 0 γ = E 0 + E kin E 0 = 1000 MeV MeV 106 MeV = 10, 4 Dadurch lebt ein Myon für einen Beobachter also nicht nur µs, sondern etwa 0 µs lang. Für die Geschwindigkeit erhält man: γ = v = c 1 1 v c 1 1 = 0, 995c γ Dies ist also fast die Lichtgeschwindigkeit. Die Strecke, die das Myon zurücklegen kann ist folglich etwa c t = 6 km und die Myonen können die Erdoberfläche erreichen. Aufgabe 34: Feynmangraphen a) Wie werden in den Feynmangraphen Fermionen, Bosonen und die Antiteilchen dargestellt? b) Welche Erhaltungssätze müssen jeweils an den einzelnen Vertices gelten? c) Ergänzen Sie die folgenden Reaktionen und zeichnen Sie den jeweiligen Feynmangraphen (Das kann auch mehrere Teilchen repräsentieren): τ (9) c s + e + + (10) c s + u + (11) ν µ + e µ + (1) u + ū (13) d) Welche der folgenden Feynmangraphen sind nicht korrekt und korrigieren sie die eventuellen Fehler:

8 i) ii) ii) iv) Lösungsvorschlag A34: a) Fermionen und Antifermionen werden durch Pfeile dargestellt. Hierbei laufen Fermionen mit der Zeit und Antifermionen gegen die Zeit. Austauschbosonen werden je nach Typ dargestellt als Welle (Photon), gestrichelte Linie (W- und Z-Bosonen) oder als Feder (Gluonen). b) In der Zeitrichtung müssen immer die Ladungserhaltung sowie Leptonen- und Baryonenzahlerhaltung gelten. Energieerhaltung ist aufgrund der Heisenberg schenunschärfe für virtuelle Teilchen nicht nötig. Nur insgesamt muss die Reaktion natürlich die Energie erhalten. c) τ µ + ν τ + ν mu c s + e + + ν e c s + u + d Diese beiden Reaktionen sehen sehr ähnlich aus, und unterscheiden sich nur durch den Zerfallskanal des W-Bosons:

9 ν µ + e µ + ν e u + ū γ + γ u + ū e + e + Die letzte Reaktion entweder über ein Photon oder über ein Z 0 stattfinden. Es werden aber die Reaktionen über Photonen/ die e.m. WW bevorzugt. d) Es gibt zu den fehlerhaften Graphen immer mehrere Möglichkeiten, diese zu korrigieren. Hier ist nur ein Vorschlag dazu: i) Es sollte nicht ein up- in ein down-quark zerfallen, sondern ein down- in ein up-quark - denn das up hat eine positive Ladung. Dann kann der Rest des Diagramms stehenbleiben. Andernfalls müsste ein W + ausgesendet werden, welches in e + und ν e zerfallen würde, aber die Energieerhaltung wäre nicht mehr gewährleistet. ii) Elektronen nehmen nicht an der starken Wechselwirkung teil. Deswegen darf hier kein Gluon als Boson verwendet werden. Ein Photon wäre richtig (oder ein Z 0, auch wenn das in Realität aufgrund der geringen Kopplungsreichweite vergleichsweise selten passiert).

10 iii) Die Antiteilchen zeigen hier fälschlicherweise in Zeitrichtung. Man kann entweder die Antiteilchen alle durch Teilchen ersetzen oder man muss alle Pfeile umdrehen. iv) Der Prozess kann prinzipiell stattfinden, es sind alle Erhaltungssätze beachtet. Allerdings wird der Prozess nur funktionieren, wenn das Myon genug kinetische Energie mitbringt. Die Quarks dürfen nämlich nicht als freie Teilchen vorkommen, sondern müssen sich zu einem gebundenen Teilchen (hier ein π ) binden. Das Pion hat aber eine Masse von etwa 140 MeV, was mehr ist, als die Ruhemasse des Myons. Aufgabe 35: Wechselwirkungen a) Welche Wechselwirkungen enthält das Standardmodell der Teilchenphysik? Erklären Sie das Konzept der virtuellen Austauschbosonen und nennen Sie die Eigenschaften der Bosonen. b) Welche Teilchen nehmen an den verschiedenen Wechselwirkungen Teil? c) Erklären Sie, weswegen das Photon zwar unendliche Reichweite hat, die anderen Austauschbosonen jedoch nicht. d) Welche verschiedenen Farbzusammensetzungen können Gluonen haben? Welche Farbe haben Baryonen und Mesonen? e) Welche Farben können Gluonen tragen, die zwischen einem roten und einem blauen Quark ausgetauscht werden. Welche Farbe erhält ein Gluon, das bei der Vernichtung eines blauen u und eines antigrünen ū entsteht? Lösungsvorschlag A35: a) Die Austauschbosonen vermitteln die Wechselwirkungen als virtuelle Teilchen zwischen den Fermionen. Diese Teilchen transportieren die nötigen Quantenzahlen und gewährleisten die Erhaltungssätze, aber sind nicht selbst messbar. Die starke WW wird durch Gluonen vermittelt. Diese haben keine Ruhemasse und tragen selbst Farbladung. Sie haben Spin 1. Die schwache WW wird durch Z 0 - und W ± - Bosonen vermittelt. Diese haben Ruhemassen im Bereich von 80 und 90 GeV und tragen elektrische Ladungen. Sie haben Spin 1. Das Photon ist das WW-Teilchen der e.m. WW. Sie haben keine Ruhemasse, Spin 1 und tragen keine Ladungen. Die Gravitation ist im Standardmodell (noch?) nicht integriert. b) Alle elektrisch geladenen Teilchen, also speziell alle elementaren Fermionen außer der Neutrinos nehmen an der e.m. WW teil. Nur Quarks und Gluonen tragen eine Farbe und nehmen somit an der starken WW teil. Alle Teilchen nehmen an der schwachen WW teil. Alle Teilchen nehmen an der Gravitation teil (da auch bewegte Teilchen ohne Ruhemasse eine effektive Masse über ihre kinetische Energie haben). c) Das Photon hat keine Ruhemasse und keine Ladung und kann sich somit ungestört im Raum ausbreiten. Die W- und Z-Bosonen jedoch sind sehr schwer und dürfen nur als virtuelle Austauschteilchen erschaffen werden, was die WW sehr kurzreichweitig macht. Die starke WW wird in der Reichweite trotz der Ruhemasselosigkeit der Gluonen begrenzt, da die Gluonen selbst eine Farbladung tragen und somit aneinander koppeln können.

11 d) Gluonen tragen immer eine Farbe und eine Antifarbe, also z.b. (rot,antiblau) = (r, b). Mesonen und Baryonen sind in der Summe ihrer Quarks immer weiß. e) Tun wir so, als würde das Gluon vom roten Quark losfliegen und zum blauen hin. Dann nimmt es die rote Ladung mit und transportiert zudem antiblau: (r, b). Somit haben sich die Farben genau umgedreht. Allerdings kann man dies nicht davon unterscheiden, ob nicht ein (b, r)-gluon andersherum geflogen ist (Im Prinzip ist es bei den virtuellen Austauschteilchen nicht korrekt von einer Flugrichtung zu sprechen). Bei der Vernichtung der beiden Quarks werden genau diese Farben auf das Gluon übertragen: (b, ḡ). Aufgabe 36: Teilchennachweis a) Weswegen verwendet man für den Nachweis hochenergetischer Gammastrahlung meist keine Gaszähler, sondern Halbleiterdetektoren? b) Erklären Sie, was der Bragg-Peak bei der Energiedeposition von Strahlung bedeutet und überlegen Sie, wie dies in medizinischen Therapien genutzt werden kann. c) Überlegen Sie sich, weswegen Abschirmungen von Neutronenstrahlung häufig aus verschiedenen Schichten von Blei und Plastik (wasserstoffreiches Material) bestehen, also einem Material mit hohem Z und einem mit sehr niedrigem Z. d) Sie stehen in 100 m Abstand neben einem Reaktor, der eine thermische Leistung von 10 GW hat. Durch die Kernreaktionen im inneren des Reaktors werden etwa 10 0 Antineutrinos pro Sekunde und pro GW emittiert. Wieviele Wechselwirkungen passieren in Ihrem Körper aufgrund dieser Antineutrinostrahlung, wenn der typische Wechselwirkungsquerschnitt von Materie und ν bei etwa cm liegt? Atom e) Sie wollen das β-spektrum eines bestimmten Kernzerfalls messen. Allerdings emittiert der Kern nicht nur Elektronen, sondern gleichzeitig auch Gammastrahlung - beides im niedrigen MeV Bereich. Entwerfen Sie einen Detektor (evtl. auch aus mehreren Modulen zusammengesetzt), der es Ihnen ermöglicht, das Energiespektrum der Elektronen untergrundfrei zu messen. Beachten Sie hierbei auch mögliche Untergrundereignisse durch kosmische Strahlung oder Umgebungsradioaktivität. Lösungsvorschlag Aufgabe 36 a) Durch die geringe Dichte von Gasen können Gammastrahlen diese leicht durchdringen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung im Gas eher gering. b) Der Bragg-Peak besagt, dass Teilchen mit kinetischen Energien kleiner als ungefähr ihre Ruheenergie, die restliche kinetische Energie sehr lokalisiert abgeben. Dies wird zum Beispiel in der Bestrahlungstherapie von Krebs ausgenutzt, da somit das durchdrungene Gewebe nur minimal geschädigt wird und die meiste Energieabsorption an einem gut bestimmbaren Punkt passiert - am Tumorort. c) An leichten Kernen, besonders an Wasserstoff, werden Neutronen sehr effektiv gebremst. Dies kann schon einfach mechanisch erklärt werden, da der Stoß zweier gleichschwerer Partner zum vollständigen Impulsübertrag führen kann (beim Snooker bleibt die weiße Kugel beim zentralen Stoß ohne Drehimpuls einfach liegen). Die Neutronen können dann vom Wasserstoff eingefangen werden, was zu Gammastrahlung führt, die ihrerseits durch Materialen mit hoher Kernladungszahl abgeschirmt werden muss.

12 d) Der Fluss F von Neutrinos durch unseren Körper in einem Abstand von 100 m ist etwa: F = Anzahl ausgesandter ν Kugeloberfläche = ν GW GW s = ν 4π(100m) m s Dieser Fluss trifft nun auf eine Trefferfläche σ von σ = Anzahl Atome im Körper Wirkungsquerschnitt pro Atom Da der Körper hauptsächlich aus Wasser besteht (molare Masse 18 g ) kommen wir bei mol einem 100 kg schweren Menschen auf eine Anzahl an Atomen von etwa Anzahl Atome = 100 kg 18 g mol = 5, 6kmol = und somit auf eine Trefferfläche von cm = 10 0 m. Die Anzahl der Wechselwirkungen ist somit etwa F σ Verglichen mit der eigenen s natürlichen Strahlung unseres Körpers von etwa 8 kbq ist dies also vernachlässigbar. e) Die Antwort hierzu ist natürlich nicht eindeutig. Sie hängt zudem noch von mehreren Faktoren ab, wie der Rate der Kernzerfälle, der Energie der Strahlung, des Zustandes der Quelle... Ein Beispiel könnte aber eine Kombination aus einem dünnen Gasdetektor (z.b. einer Vieldrahtkammer) und einem Plastikszintillator sein. Der Szintillator würde Elektronen von der Quelle absorbieren und dabei die kinetische Energie in Licht umwandeln - welches wiederum mit einem Photomultiplier betrachtet werden kann. Bringen wir zwischen den Szintillator und die Quelle noch eine dünne Vieldrahtkammer, so erzeugen hindurchfliegende Elektronen ein Signal, ohne viel Energie zu verlieren. Gammastrahlung würde hier aber keine Signale erzeugen. Damit wäre eine Koinzidenzmessung zwischen den beiden Detektoren möglich. Um kosmische Myonen auszuschalten, könnte man entweder einen weiteren Detektor über dem Experiment platzieren, der ein Vetosignal gibt, wenn ein Myon hindurchfliegt, oder man misst die Myonen einfach mit uns kann anhand einer Messung ohne Quelle das Myonenspektrum einzeln bestimmen. und später in der Auswertung der Daten abziehen. Um Umgebungsradioaktivität abzuschirmen packt man das Experiment hinter eine Bleiabschirmung.