Wiederholung. Organisatorisches. VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem. (Berechenbarkeit und Komplexität, WS 2017) Gerhard Woeginger

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1 Organisatorisches VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem (Berechenbarkeit und Komplexität WS 2017) Gerhard Woeginger Nächste Vorlesung: Mittwoch November 22 14:15 15:45 Uhr Roter Hörsaal Webseite: WS 2017 RWTH BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 1/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 2/42 Wdh.: Abschlusseigenschaften von Sprachen Wiederholung Satz Die Menge der rekursiven Sprachen ist abgeschlossen unter Komplementbildung Vereinigungen und Schnitten. Satz Die Menge der rekursiv aufzählbaren Sprachen ist abgeschlossen unter Vereinigungen und Schnitten. Sie ist nicht abgeschlossen unter Komplementbildung. BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 3/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 4/42

2 Wdh.: Berechenbarkeitslandschaft Wdh.: Reduktionen rekursiv aufzählbare H Hɛ D entscheidbare mit rekursiv aufzählbarem Komplement D H ɛ H Definition Es seien L 1 und L 2 zwei Sprachen über einem Alphabet Σ. Dann heisst L 1 auf L 2 reduzierbar (mit der Notation L 1 L 2 ) wenn eine berechenbare Funktion f : Σ Σ existiert so dass für alle x Σ gilt: x L 1 f (x) L 2. Unentscheidbare mit unentscheidbarem Komplement Satz Falls L 1 L 2 und falls L 1 nicht entscheidbar ist so ist L 2 nicht entscheidbar. H tot BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 5/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 6/42 Das Postsche Correspondenzproblem (1) Vorlesung VL-09 Das Postsche Correspondenzproblem Definition des PCP Definition des MPCP Unentscheidbarkeit von MPCP und PCP Leichte und schwierige Varianten Das Postsche Correspondenzproblem (PCP) ist ein Puzzle aus Dominos. Jeder Dominostein ist mit zwei Wörtern über einem Alphabet Σ beschriftet und zwar mit einem Wort in der oberen Hälfte und einem Wort in der unteren Hälfte. Gegeben ist eine Menge K von Dominosteinen. Jeder Dominostein darf beliebig oft verwendet werden. Die Aufgabe besteht darin eine correspondierende Folge von Dominos aus K zu finden mit der sich oben und unten jeweils das selbe Wort ergibt. Die Folge muss mindestens einen Dominostein enthalten. BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 7/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 8/42

3 Das Postsche Correspondenzproblem (2) Das Postsche Correspondenzproblem (3) Beispiel A Für die Dominomenge { b K = ca a ab ca a dbd cef } abc c gibt es die correspondierende Folge mit a b ca a abc ab ca a ab c Beispiel B Nicht für jede Menge K existiert eine correspondierende Folge wie zum Beispiel für die Dominomenge { abc b abcb K = ca aa abc Warum hat dieses PCP keine Lösung? abc bc } BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 9/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 10/42 Das Postsche Correspondenzproblem (4) Zur Übung mögen engagierte Hörer versuchen mit Computer Programmen die kürzeste Lösung für die folgenden drei PCPs zu finden: Beispiel C { aaba K 1 = a K 2 = K 3 = { aaa aab baab a } aa aab baa a } ab b abb aa { aab a } b a ba aab Das Postsche Correspondenzproblem (5) Formale Definition (Postsches Correspondenzproblem; kurz: PCP) Eine Instanz des PCP besteht aus einer endlichen Menge { } x1 xk K =... y 1 y k wobei x 1... x k und y 1... y k nichtleere Wörter über einem endlichen Alphabet Σ sind. Das Problem besteht darin zu entscheiden ob es eine correspondierende Folge i 1... i n von Indizes in {1... k} gibt sodass gilt: x i1 x i2... x in = y i1 y i2... y in Die Elemente von K nennen wir Dominosteine oder Dominos. BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 11/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 12/42

4 Emil Leon Post ( ) Wikipedia: Emil Post was a Polish-American mathematician and logician. He is best known for his work in the field that eventually became known as computability theory. In 1936 Post developed independently of Alan Turing a mathematical model of computation. Intending this as the first of a series of models of equivalent power but increasing complexity he titled his paper Formulation 1. Das modifiziertes PCP (MPCP) BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 13/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 14/42 Das modifizierte PCP Definition (Modifiziertes PCP; kurz: MPCP) Eine Instanz des MPCP besteht aus einer endlichen Menge { } x1 xk K =... y 1 y k wobei x 1... x k und y 1... y k nicht-leere Wörter über einem endlichen Alphabet Σ sind. Das Problem besteht darin zu entscheiden ob es eine correspondierende Folge i 1... i n von Indizes mit i 1 = 1 gibt sodass gilt: x i1 x i2... x in = y i1 y i2... y in Die Modifikation besteht also nur darin dass der Stein x1 y 1 nun das Startdomino ist mit dem die correspondierende Folge beginnen muss. Unser Arbeitsplan Wir werden die folgenden beiden Aussagen beweisen. Satz A MPCP PCP Satz B H MPCP Die Transitivität der Reduzierbarkeit (Übung) impliziert H PCP. Satz Das PCP ist unentscheidbar. BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 15/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 16/42

5 Berechenbarkeitslandschaft PCP rekursiv aufzählbare H Hɛ D MPCP entscheidbare mit rekursiv aufzählbarem Komplement D H ɛ H Beweis von Satz A: MPCP PCP Unentscheidbare mit unentscheidbarem Komplement H tot BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 17/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 18/42 Beweis von MPCP PCP (1) Beweis von MPCP PCP (2) Wir modellieren eine MPCP Instanz als PCP Instanz: Wir betrachten MPCP Instanz K = { x1 y 1... xk Es seien # und $ zwei Symbole die nicht im MPCP vorkommen Wir konstruieren x i aus x i indem wir hinter jedem Buchstaben ein # einfügen Wir konstruieren y i aus y i indem wir vor jedem Buchstaben ein # einfügen Ferner setzen wir x 0 = #x 1 ; y 0 = y 1 ; x k+1 = $; und y k+1 = #$. Damit berechnen wir die folgende PCP Instanz { x f (K) = 0 x 1 x... k x } k+1 y 0 y 1 y k y k+1 y k } Beispiel: { ab c MPCP K = { a abc #a#b# a#b# PCP f (K) = #a #a Lösung des MPCP: ab a ab c a b a abc a } wird modelliert als b c# #a#b#c Lösung des PCP: #a#b# a# a#b# c# $ #a #b #a #a#b#c #$ } a# $ #b #$ BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 19/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 20/42

6 Beweis von MPCP PCP Korrektheit (1) Beweis von MPCP PCP Korrektheit (2) Wir zeigen: (1) Wenn K MPCP dann f (K) PCP Wir zeigen: (2) Wenn f (K) PCP dann K MPCP Es sei (i 1 i 2... i n ) Lösung für MPCP K. Dann gilt i 1 = 1 und x i1 x i2... x in = y i1 y i2... y in = a 1 a 2... a s für gewisse Buchstaben a 1... a s aus Σ. Dann ist (0 i 2... i n k + 1) eine Lösung für PCP f (K) denn x 0x i 2... x i n $ = #a 1 #a 2 #... #a s #$ = y 0y i 2... y i n #$ Es sei (i 1 i 2... i n ) eine Lösung minimaler Länge für f (K). Fakt A: i 1 = 0 da nur x 0 und y 0 mit dem selben Zeichen beginnen Fakt B: i n = k + 1 da nur x k+1 und y k+1 mit selbem Zeichen enden Fakt C: i j 0 für 2 j n. Andernfalls folgen im oberen Wort zwei #-Zeichen direkt aufeinander was im unteren Wort unmöglich ist. Fakt D: i j k + 1 für 1 j < n. Andernfalls kürzere Lösung. Aus einer Lösung für MPCP K lässt sich also eine Lösung für PCP f (K) konstruieren. Damit ist die Implikation (1) gezeigt. Durch das Löschen aller # und $ Symbole wird das PCP Lösungswort also zum MPCP Lösungswort. BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 21/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 22/42 Illustrierendes Beispiel (1) Wir betrachten die TM M = (Q Σ Γ B q 0 q δ) mit Σ = {0 1} Γ = {0 1 B} und Q = {q 0 q 1 q 2 q} und mit der folgenden Überführungsfunktion δ: Beweis von Satz B: H MPCP δ 0 1 B q 0 (q 0 0 R) (q 1 1 R) (q 1 N) q 1 (q 2 0 R) (q 1 1 R) (q 1 N) q 2 (q 2 0 R) (q 2 1 R) (q 2 B R) Die TM M erkennt die Sprache 0 1 : Bei Eingabeworten in 0 1 erreicht die Berechnung den Zustand q und die Maschine akzeptiert. Bei Eingabeworten nicht in 0 1 bleibt die Berechnung im Zustand q 2 stecken und der Kopf läuft weiter und weiter nach rechts. BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 23/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 24/42

7 Illustrierendes Beispiel (2) Die Berechnung der TM M auf einem gegebenen Eingabewort wird durch eine Konfigurationsfolge beschrieben: Konfigurationsfolge von M auf Eingabe w = 0011 q q q q q 1 B 0011q1 Illustrierendes Beispiel (3) Dominosteine / Teil 2 Weiters gibt es für jedes Zeichen aus Γ {#} einen entsprechenden Stein: 0 1 B # 0 1 B # Wir werden solche Konfigurationsfolgen nun durch geeignet gewählte Dominos in einem MPCP beschreiben kodieren und simulieren. Dominosteine / Teil 1 Beim Startdomino besteht das untere Wort aus der Anfangskonfiguration mit drei zusätzlichen Trennzeichen: # ##q # Dominosteine / Teil 3 Auch für jeden Eintrag in der Tabelle der Überführungsfunktion δ gibt es einen entsprechenden Stein der den jeweiligen Übergang inklusive der Kopfbewegung beschreibt: q0 0 q0 1 q1 0 q1 1 q2 0 q2 1 q2 B 0q 0 1q 1 q0 B q1 0q 2 1q 1 q1 B q1 0q 2 1q 2 (Die Konstruktion wird später noch erweitert und fortgesetzt.) Bq 2 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 25/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 26/42 Illustrierendes Beispiel (4) Illustrierendes Beispiel (5) Beobachtung: # Angenommen wir ergänzen den Startdomino mit einer ##q # Folge von Dominos aus der bisherigen Liste erlaubter Dominos derart dass der obere String einen Präfix des unteren Strings bildet. In der ersten Ergänzungsphase konstruieren wir dadurch im unteren String die Nachfolge-Konfiguration von M für q In den späteren Ergänzungsphasen konstruieren wir weitere Nachfolge-Konfigurationen wobei der obere String dem unteren String immer um genau eine Konfiguration nachhinkt. Rekonstruktion der Konfigurationsfolge Die ersten Dominos in der Lösung des Puzzles sind # # q # ##q # # 0q # # 0 q # # 0 0q # # 0 0 q0 1 1 # # 0 0 1q 1 1 # # q1 1 # # q 1 # # q1 # # q 1# BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 27/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 28/42

8 Illustrierendes Beispiel (6) Illustrierendes Beispiel (7) Alarm! Alarm! Alarm! Alarm! Alarm! Alarm! Alarm! Alarm! Der letzte Schritt war illegal da er einen nicht definierten Dominostein verwendet. Deshalb ergänzen wir nun die Liste erlaubter Dominos: Dominosteine / Teil 4 Die folgenden Dominos realisieren Überführungen die ein zusätzliches Blank-Symbol benötigen da der Kopf am Ende des Wortes steht. q0 # q1 # q 1# q 1# Wie beenden wir die Geschichte nun? Wie kann der obere String seinen ewigen Rückstand am Ende der Rechnung doch noch aufholen? Dominosteine / Teil 5 Wir führen einige Dominos ein die nur dann zum Einsatz kommen können wenn der Endzustand q bereits erreicht ist: q0 q1 qb 0q 1q Bq q q q q q q Schlussendlich fügen wir noch den Abschlussdomino hinzu: #q## # BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 29/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 30/42 Illustrierendes Beispiel (8) Zurück zum Beweis von Satz B Rekonstruktion der Konfigurationsfolge / Fortsetzung... # q1 # # q1# # q1 # # q # # q # # q # # 0 0 1q # # 0 0 q # # 0 0q # # 0 q # # 0q # #q## # q # # (Fertig) Nach dem illustrierenden Beispiel kehren wir zum Beweis von Satz B zurück und beweisen H MPCP. Wir beschreiben eine berechenbare Funktion f die eine syntaktisch korrekte Instanz M w fürs Halteproblem H in eine syntaktisch korrekte Instanz K := f ( M w ) fürs MPCP übersetzt Dabei gilt: M hält auf w K hat correspondierende Folge Syntaktisch nicht korrekte Eingaben für H werden auf syntaktisch nicht korrekte Eingaben fürs MPCP abgebildet Für die MPCP Instanz verwenden wir das Alphabet Γ Q {#} mit # Γ Q BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 31/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 32/42

9 Die Reduktion (1) Die Reduktion (2) Dominosteine (Startdomino) Der Startdomino ist von der Form # ##q 0 w# Dominosteine (Kopierdominos) Weiters enthält K die folgenden Kopierdominos: a a für alle a Γ {#} Dominosteine (Überführungsdominos) qa q c qa cq bqa q bc falls δ(q a) = (q c N) für q Q \ {q} a Γ falls δ(q a) = (q c R) für q Q \ {q} a Γ falls δ(q a) = (q c L) für q Q \ {q} a b Γ BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 33/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 34/42 Die Reduktion (3) Dominosteine (Überführungsdominos für implizite Blanks) #qa #q Bc falls δ(q a) = (q c L) für q Q \ {q} a Γ q# q c# falls δ(q B) = (q c N) für q Q \ {q} q# cq # falls δ(q B) = (q c R) für q Q \ {q} bq# q bc# falls δ(q B) = (q c L) für q Q \ {q} b Γ #q# #q Bc# falls δ(q B) = (q c L) für q Q \ {q} Die Reduktion (4) Dominosteine (Löschdominos) Weiters enthält K die folgenden Löschdominos: aq qa und für a Γ q q Dominosteine (Abschlussdomino) Der Abschlussdomino ist von der Form #q## # Die Reduktion und die Beschreibung der Funktion f sind damit abgeschlossen. BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 35/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 36/42

10 Korrektheit (1) Korrektheit (2) Zum Beweis von Teil 2: M hält auf w K MPCP Das Korrektheitsargument besteht aus drei Teilen: Teil 1: f ist berechenbar Teil 2: M hält auf w K MPCP Teil 3: K MPCP M hält auf w Die Berechnung von M auf w entspricht einer endlichen Konfigurationsfolge k 0 k 1 k t 1 k t wobei k 0 die Startkonfiguration im Zustand q 0 und k t die Endkonfiguration im Zustand q ist. Wir konstruieren eine correspondierende Folge die mit dem Startdomino beginnt. Der obere String ist ein Präfix des unteren Strings: ## k 0 ## k 1 ## ## k t 1 # Der untere String gibt die vollständige Konfigurationsfolge an: ## k 0 ## k 1 ## ## k t 1 ## k t # Durch Hinzufügen von einer Folge von Löschdominos kann das Nachhinken des oberen Strings fast ausgeglichen werden. Danach sind beide Strings identisch bis auf einen Suffix der Form #q# der im oberen String fehlt. Hinzufügen des Abschlussdominos macht beide Strings identisch. BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 37/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 38/42 Korrektheit (3) Zum Beweis von Teil 3: K MPCP M hält auf w Der Satz von Dominosteinen im MPCP hat folgende Eigenschaften: Beim Startdomino ist der obere String kürzer als der untere Bei den Kopier- und Überführungsdominos ist der obere String immer höchstens so lang wie der untere String Nur auf Abschluss- und Löschdominos ist der obere String länger als der untere String Die correspondierende Folge für K liefert uns eine entsprechende Konfigurationsfolge von M auf w. Diese Konfigurationsfolge beginnt mit dem Startdomino Diese Konfigurationsfolge muss zumindest einen Lösch- oder Abschlussdomino enthalten (andernfalls wäre der untere String länger als der obere String) Deshalb erscheint der Zustand q in dieser Konfigurationsfolge und die Rechnung von M auf w terminiert BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 39/42 Leichte und schwierige Varianten BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 40/42

11 Varianten des PCPs (1) Varianten des PCPs (2) Falls nur wenige Dominos erlaubt sind: Wie ist die Komplexität für eingeschränkte Varianten des Problems? Falls nur kurze Wörter erlaubt sind: Wenn alle Wörter auf den Dominos Länge 1 haben so ist das PCP entscheidbar. Wenn alle Wörter Länge 1 oder 2 haben so ist das PCP unentscheidbar. Für 1 Domino ist das PCP trivial. Für 2 Dominos ist das PCP entscheidbar. Ehrenfeucht Rozenberg (1981) Für 3 und 4 Dominos ist die Komplexität ungeklärt. Für 5 Dominos ist das PCP unentscheidbar. Neary (2015) Für 7 Dominos oder mehr ist das PCP unentscheidbar. Matijasevich Sénizergues (1996) Für unbeschränkt viele Dominos ist das PCP unentscheidbar. Post (1947) BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 41/42 BuK/WS 2017 VL-09: Das Postsche Correspondenzproblem 42/42