H. D. Baehr. K. Stephan Wärme- und Stoffübertragung

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1 H. D. Baehr. K. Stephan Wärme- und Stoffübertragung

2 H. D. Baehr, K. Stephan Wärmeund Stoffübertragung Vierte, neu bearbeitete und erweiterte Auflage Korrigierter Nachdruck Mit 332 Abbildungen ~ Springer

3 Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E. h. Hans Dieter Baehr (em.) Universitat Hannover Institut fur Thennodynamik CallinstraJ3e Hannover ProfessorDr.-Ing. Dr.-Ing. E. h. Karl Stephan(em.) Universitat Stuttgart Institut fur Technische Thennodynamik und Thermische Verfahrenstechnik PfafIenwaldring Stuttgart Urspriinglich erschienen in der Reihe "Springer Lehrbuch" ISBN ISBN (ebook) DOI / Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek. Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internetiiber < abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der O"bersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfliltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfliltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiltungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. springer.de Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1994, 1996, 1998 and 2004 Urspriinglich erschienen bei Springer Berlin Heidelberg New York 2004 Softcover reprint of the hardcover 4 th edition 2004 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, das solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt aufgesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.b. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, 50 kann der Verlag keine Gewahr rur Richtigkeit, VolIstllndigkeit oder Aktualitat ilbernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls rur die eigenen Arbeiten die vollstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlagen des Autors Einbandgestaltung: Medio, Berlin Gedruckt auf sllurefreiem Papier 7/3020 Rw

4 Vorwort zur vierten Auflage Die gute Aufnahme, die unser Buch bei Studenten, Ingenieuren und Wissenschaftlern erfahren hat, machte wenige Jahre nach Erscheinen der dritten Auflage einen Nachdruck und nun eine Neuauflage erforderlich. Um der neueren Entwicklung Rechnung zu tragen, haben wir zahlreiche Änderungen vorgenommen. Neu eingefügt ist ein Kapitel über die Wärmeübertragung in porösen Körpern. Den Abschnitt über den Wärmeübergang beim Sieden haben wir gründlich überarbeitet. Empirische Gleichungen der Wärme- und Stoffübertragung wurden in allen Kapiteln der neuesten Entwicklung angepasst. Den bisher gebrachten Übungsbeispielen haben wir einige weitere aus der Ingenieurpraxis hinzugefügt. Schließlich haben wir die Gelegenheit einer Neuauflage genutzt, einige Druckfehler und Irrtümer zu korrigieren. Bei der Neugestaltung des Manuskripts hat uns in dankenswerter Weise Herr Dipl.-Ing. M. Hackner geholfen und es uns ermöglicht, dem Verlag eine reproduktionsfähige Vorlage zu liefern. Möge unser Buch auch weiterhin Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis nützlich sein und vielen Studenten helfen, die Gesetze der Wärme- und Stoffübertragung zu verstehen und sie zur Lösung der vielfältigen praktischen Probleme erfolgreich anzuwenden. Bochum und Stuttgart, im Sommer 2003 H.D. Baehr K. Stephan

5 vi Vorwort Vorwort zur ersten A ufiage Dieses Buch ist aus Vorlesungen über Wärme- und Stoffübertragung entstanden, die wir seit vielen Jahren an den Universitäten Hannover bzw. Stuttgart gehalten haben. Es wendet sich an Studenten des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik an Universitäten und Fachhochschulen, aber auch an Studierende verwandter Fachrichtungen wie Elektrotechnik, Physik und Chemie. Unser Buch ist einerseits als Lehrbuch zum Gebrauch neben den Vorlesungen konzipiert; es soll den Studenten mit den Grundlagen der Wärmeund Stoffübertragung vertraut machen und ihn befähigen, dieses Wissen zur Lösung technischer Probleme einzusetzen. Andererseits haben wir das Buch breiter angelegt, die Theorie der Wärme- und Stoffübertragung systematisch entwickelt und die Lösungsmethoden wichtiger Wärme- und Stoffübertragungsprobleme ausführlich dargestellt. Daher dürfte es auch Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis bei der Weiterbildung und als Nachschlagewerk bei der Lösung ihrer Aufgaben gute Dienste leisten. Wir haben den Stoff durch ausführliche Rechenbeispiele erläutert und am Ende eines jeden Kapitels eine Reihe von Übungsaufgaben zusammengestellt. Dies soll auch das Selbststudium erleichtern. Viele Vorgänge der Wärme- und Stoffübertragung und die zugehörigen Apparate lassen sich bereits mit Hilfe der Bilanzgleichungen unter Verwendung von Wärme- und Stoffübertragungskoeffizienten quantitativ erfassen, ohne daß ein tieferes Eindringen in die Theorie der Wärme- und Stoffübertragung erforderlich ist. Solche Vorgänge haben wir im ersten Kapitel behandelt, das auch die grundlegenden Begriffe und die Grundgesetze der Wärmeund Stoffübertragung enthält. Der Student erhält einen Überblick über die verschiedenartigen Vorgänge der Wärme- und Stoffübertragung und lernt zu einem frühen Zeitpunkt, praktische Probleme zu lösen und die Apparate zur Wärme- und Stoffübertragung zu berechnen. Dadurch wird auch die Motivation erhöht, sich eingehender mit der Theorie zu befassen, die Gegenstand der folgenden Kapitel ist. Im zweiten Kapitel behandeln wir die stationäre und instationäre Wärmeleitung und die Diffusion in ruhenden Medien. Es werden die grundlegenden Differentialgleichungen zur Berechnung von Temperaturfeldern hergeleitet. Wir zeigen, wie man sie in praktischen Fällen unter Anwendung analytischer und numerischer Methoden löst. Neben den analytischen Verfahren der Laplace-Transformation und des klassischen Separationsansatzes stellen wir die für die Praxis wichtigen Differenzenverfahren ausführlich dar. Viele der für die Wärmeleitung gewonnenen Ergebnisse lassen sich wegen der hier bestehenden Analogie auf die Diffusion übertragen, und die mathematischen Lösungsansätze sind für beide Gebiete gleich. Das dritte Kapitel ist der konvektiven Wärme- und Stoffübertragung gewidmet. Hier steht die Herleitung der Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie strömender reiner Fluide und Mehrstoffgemische im Vordergrund,

6 Vorwort vii ehe die Materialgesetze eingeführt und die maßgebenden Differentialgleichungen für Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsfelder hergeleitet werden. Als typische Anwendungen behandeln wir Wärme- und Stoffübergang an überströmten Körpern und in durchströmten Kanälen, in Haufwerken und Wirbelschichten, ebenso die freie Konvektion und die Überlagerung von freier und erzwungener Strömung. Eine Einführung in den Wärmeübergang bei kompressibler Strömung beschließt dieses Kapitel. Im vierten Kapitel wird die Wärme- und Stoffübertragung beim Kondensieren und beim Sieden in freier und erzwungener Strömung behandelt. Die Darstellung lehnt sich an das Buch" Wärmeübergang beim Kondensieren und beim Sieden" (Berlin: Springer-Verlag 1988) von K. Stephan an. Dabei werden nicht nur reine Stoffe betrachtet; auch die Kondensation und das Sieden von Stoffgemischen wird in angemessenem Umfang erörtert. Die Wärmestrahlung ist Gegenstand des fünften Kapitels. Es unterscheidet sich von vielen anderen Darstellungen dadurch, daß zuerst die strahlungsphysikalischen Größen zur quantitativen Beschreibung der Richtungs- und Wellenlängenabhängigkeit der Strahlung umfassend und eingehend behandelt werden. Erst nach einer strengen Formulierung des Kirchhoffschen Gesetzes wird der ideale Strahler, der Schwarze Körper, eingeführt. Danach werden die Materialgesetze realer Strahler besprochen. Als Anwendungen werden die Solarstrahlung und die Wärmeübertragung durch Strahlung eingehend behandelt. Eine Einführung in die Gasstrahlung, technisch wichtig für Brennkammern und Feuerungen, schließt das Kapitel ab. Die Wärme- und Stoffübertragung gehört an Universitäten und Fachhochschulen in der Regel zum Hauptstudium. Wir haben daher Kenntnisse in Höherer Mathematik vorausgesetzt, wie sie bis zur Diplom-Vorprüfung gelehrt werden. Für den, der sich nur mit den Grundbegriffen und einfacheren technischen Anwendungen der Wärme- und Stoffübertragung vertraut machen möchte, dürfte bereits das Studium des ersten Kapitels ausreichen. Von Diplomingenieuren des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik werden weitergehende Kenntnisse erwartet. Der Maschineningenieur sollte mit den Grundlagen der Wärmeleitung, der konvektiven Wärmeübertragung und der Strahlung vertraut sein, und er sollte über Grundkenntnisse der Stoffübertragung verfügen. Der Verfahrensingenieur benötigt neben einem vertieften Wissen auf diesen Gebieten auch gute Kenntnisse der Wärme- und Stoffübertragung in mehrphasigen Strömungen. Die zur Verfügung stehende Vorlesungszeit wird in der Regel nicht ausreichen, um den gesamten Stoff dieses Buches zu behandeln. Es ist aber wichtig, daß der Student ein breites Wissen der Grundlagen und Methoden erwirbt. Es genügt dann, dieses an ausgewählten Beispielen zu vertiefen und so die Lösung von Problemen zu üben. Beim Abfassen des Manuskripts haben wir uns die Arbeit geteilt. H.D. Baehr hat die Erstschrift der Abschnitte 1.1 bis 1.3, des Kapitels 2 (außer 2.5) und des Kapitels 5 besorgt, K. Stephan die der Abschnitte 1.4 bis 1.7 und 2.5 sowie der Kapitel 3 und 4. Gleichwohl hat durch gegenseitige Korrektur jedes

7 viii Vorwort Kapitel Änderungen erfahren, so daß jeder von uns in gleicher Weise für das ganze Buch verantwortlich ist. Bei der Anfertigung des Manuskripts und der zahlreichen Abbildungen haben uns einige unserer Mitarbeiter, vor allem die Herren Dipl.-Ing. F. Harms-Watzenberg, Hannover, und S. Winkler, Stuttgart, geholfen. Ihnen allen danken wir auch an dieser Stelle. Die hervorragende Beherrschung des elektronischen Textsatzsystems ~'IEX durch Herrn Harms-Watzenberg hat es uns ermöglicht, dem Verlag eine reproduktionsfähige Druckvorlage zu liefern. Auch dadurch war es möglich, trotz des erheblichen Umfangs unseres Buches einen für ein Lehrbuch noch akzeptablen Preis zu erreichen. Hannover und Stuttgart, im Herbst 1993 H.D. Baehr K. Stephan

8 Inhaltsverzeichnis Formelzeichen... xv 1 Einführung. Technische Anwendungen Die verschiedenen Arten der Wärmeübertragung Wärmeleitung Stationäre, geometrisch eindimensionale Wärmeleitung Konvektiver Wärmeübergang, Wärmeübergangskoeffizient Die Bestimmung von Wärmeübergangskoeffizienten. Dimensionslose Kennzahlen Wärmestrahlung Strahlungsaustausch Wärmedurchgang Der Wärmedurchgangskoeffizient Mehrschichtige Wände Wärmedurchgang durch Wände mit vergrößerter Oberfläche Abkühlung und Erwärmung dünnwandiger Behälter Wärmeübertrager Bauarten und Stromführungen Allgemeine Berechnungsgleichungen. Dimensionslose Kennzahlen Gegenstrom- und Gleichstrom-Wärmeübertrager Kreuzstrom-Wärmeübertrager Betriebscharakteristiken für weitere Stromführungen. Diagramme Die verschiedenen Arten der Stoffübertragung Diffusion Einseitige Diffusion, äquimolare Diffusion Konvektiver Stoffübergang Stoffübergangstheorien

9 x Inhaltsverzeichnis Die Filmtheorie Die Grenzschichttheorie Die Penetrations- und die Oberflächenerneuerungstheorie Anwendung der Filmtheorie auf die Verdunstungskühlung Stoffdurchgang Stoffübertrager Die Mengenbilanzen Konzentrationsverlauf und Höhe von Stoffaustauschkolonnen Aufgaben Wärmeleitung und Diffusion Die Wärmeleitungsgleichung Die Herleitung der Differentialgleichung für das Temperaturfeld Die Wärmeleitungsgleichung für einen Körper mit konstanten Stoffwerten Die Randbedingungen Temperaturabhängige Stoffwerte Ähnliche Temperaturfelder Stationäre Wärmeleitung Geometrisch eindimensionale Wärmeleitung mit Wärmequellen Wärmeleitung in Längsrichtung eines Stabes Der Temperaturverlauf in Rippen und Nadeln Der Rippenwirkungsgrad Geometrisch mehrdimensionaler Wärmefluß Instationäre Wärmeleitung Lösungsmethoden Die Laplace-Transformation Der einseitig unendlich ausgedehnte Körper Abkühlung und Erwärmung einfacher Körper bei eindimensionalem Wärmefluß Abkühlung und Erwärmung bei mehrdimendionalem Wärmefluß Erstarren geometrisch einfacher Körper Wärmequellen Numerische Lösung von Wärmeleitproblemen Das einfache explizite Differenzenverfahren für instationäre Wärmeleitprobleme Die Diskretisierung der Randbedingungen Das implizite Differenzenverfahren von J. Crank und P. Nicolson

10 Inhaltsverzeichnis xi Nichtkartesische Koordinaten. Temperaturabhängige Stoffwerte Instationäre ebene und räumliche Temperaturfelder Stationäre Temperaturfelder Diffusion Bemerkungen über ruhende Systeme Die Herleitung der Differentialgleichung für das Konzentrationsfeld Vereinfachungen Randbedingungen Stationäre Diffusion mit katalytischer Oberflächenreaktion Stationäre Diffusion mit homogener chemischer Reaktion Instationäre Diffusion Aufgaben Konvektiver Wärme- und Stoffübergang. Einphasige Strömungen Die längsangeströmte ebene Platte bei reibungsfreier Strömung Die Bilanzgleichungen..., Das Reynoldssche Transporttheorem Die Massenbilanz Die Impulsbilanz Die Energiebilanz Zusammenfassung Einfluß der Reynolds-Zahl auf die Strömung Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen Schleichende Strömungen Reibungsfreie Strömungen Grenzschichtströmungen Die Grenzschichtgleichungen Die Strömungsgrenzschicht Die Temperaturgrenzschicht Die Konzentrationsgrenzschicht Allgemeine Bemerkungen zur Lösung der Grenzschichtgleichungen Einfluß der Thrbulenz auf den Wärme- und Stoffübergang Thrbulente Strömungen an festen Wänden Überströmte Körper Die parallel angeströmte ebene Platte Der quer angeströmte Zylinder Quer angeströmte Rohrbündel Einige empirische Gleichungen für den Wärme- und Stoffübergang an überströmten Körpern Durchströmte Kanäle, Haufwerke, Wirbelschichten

11 xii Inhaltsverzeichnis Die laminare Rohrströmung Die turbulente Rohrströmung Haufwerke Poröse Körper Wirbelschichten Einige empirische Gleichungen für den Wärme- und Stoffübergang in durchströmten Kanälen, Haufwerken und Wirbelschichten Freie Strömung Die Impulsgleichung Wärmeübergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Strömung Einige empirische Gleichungen für den Wärmeübergang bei freier Strömung Stoffübergang bei freier Strömung Überlagerung von freier und erzwungener Strömung Kompressible Strömungen Das Temperaturfeld in einer kompressiblen Strömung Berechnung des Wärmeübergangs Aufgaben Konvektiver Wärme- und Stoffübergang mit Phasenumwandlungen Wärmeübergang beim Kondensieren Die verschiedenen Arten der Kondensation Die Nußeltsche Wasserhauttheorie Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie Einfluß nicht kondensierbarer Gase Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut Kondensation strömender Dämpfe Tropfenkondensation Kondensation von Dampfgemischen Einige empirische Gleichungen Wärmeübergang beim Sieden Die verschiedenen Arten der Wärmeübertragung Die Entstehung von Dampfblasen Mechanismen der Wärmeübertragung beim Sieden in freier Strömung Blasenfrequenz und Abreißdurchmesser Die Nukijama-Kurve Stabilität beim Sieden in freier Strömung Berechnung von Wärmeübergangskoeffizienten beim Sieden in freier Strömung Einige empirische Gleichungen zum Wärmeübergang beim Blasensieden in freier Strömung

12 Inhaltsverzeichnis xiii Zweiphasige Strömungen Wärmeübergang beim Sieden von Gemischen Aufgaben Wärmestrahlung Grundlagen. Strahlungsphysikalische Größen Temperaturstrahlung Ausstrahlung Bestrahlung Absorption von Strahlung Reflexion von Strahlung Hohlraumstrahlung. Gesetz von Kirchhoff Die Strahlung des Schwarzen Körpers Definition und Realisierung des Schwarzen Körpers Die spektrale Strahldichte und die spektrale spezifische Ausstrahlung Die spezifische Ausstrahlung und die Ausstrahlung in einem Wellenlängenbereich Strahlungseigenschaften realer Körper Emissionsgrade Die Beziehungen zwischen Emissions-, Absorptionsund Reflexionsgraden. Der graue Lambert-Strahler Emissionsgrade realer Körper Strahlungsdurchlässige Körper Solarstrahlung Extraterrestrische Solarstrahlung Die Schwächung der Solarstrahlung in der Erdatmosphäre Direkte Solarstrahlung am Erdboden Diffuse Solarstrahlung und Globalstrahlung Absorptionsgrade für Solarstrahlung Strahlungsaustausch Sichtfaktoren Strahlungsaustausch zwischen Schwarzen Körpern Strahlungsaustausch zwischen grauen Lambert-Strahlern Strahlungsschutzschirme Gasstrahlung Absorptionskoeffizient und optische Dicke Absorptions- und Emissionsgrade Ergebnisse für den Emissionsgrad Emissionsgrade und gleichwertige Schichtdicken von Gasräumen Strahlungsaustausch in einem gasgefüllten Hohlraum Aufgaben

13 xiv Inhaltsverzeichnis Anhang A: Ergänzungen A.l Einführung in die Tensornotation A.2 Zusammenhang zwischen mittlerem und thermodynamischem Druck A.3 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosität in kartesischen Koordinaten A.4 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosität in Zylinder koordinaten A.5 Entropiebilanz für Gemische A.6 Zusammenhang zwischen partieller und spezifischer Enthalpie. 692 A.7 Berechnung der Konstanten an des Graetz-Nußelt-Problems (3.243) Anhang B: Stoff werte Anhang C: Lösungen der Aufgaben Literatur Sachverzeichnis

14 Formelzeichen Lateinische Buchstaben Zeichen A Am Aq AR a a a>. b b C C C C Cf cw Bedeutung SI-Einheit Fläche mittlere Fläche Querschnittsfläche Rippen-Oberfläche Temperaturleitfähigkeit hemisphärischer Gesamt-Absorptionsgrad spektraler Absorptionsgrad gerichteter spektraler Absorptionsgrad turbulente Temperaturleitfähigkeit m 2 js volumenbezogene Oberfläche m 2 jm 3 Wärmeeindringkoeffizient, b = ~ W SI/2 j(m2 K) Laplace-Konstante, b = v2ujg((!l - UG) m Verhältnis der Wärmekapazitätsströme spez. Wärmekapazität Jj(kg K) Stoffmengenkonzentration moljm3 Fortpflanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer mjs Wellen Vakuum-Lichtgeschwindigkeit mjs Reibungsbeiwert spez. isobare Wärmekapazität Jj(kg K) Widerstandsbeiwert

15 xvi Formelzeichen D binärer Diffusionskoeffizient m 2 js Dt turbulenter Diffusionskoeffizient m 2 js d Durchmesser m da Abreidurchmesser von Dampfblasen m dh hydraulischer Durchmesser m E Bestrahlungsstärke Wjm 2 Eo Solarkonstante Wjm 2 E>.. spektrale Bestrahlungsstärke W j(m 2 J.Lm) e Einheitsvektor F Kraft N FA Auftriebskraft N Fw Widerstandskraft N Fii Sichtfaktor zwischen den Flächen i und j F(O,AT) Anteilsfunktion der schwarzen Strahlung f Frequenz von Dampfblasen 1js fi volumenbezogene Kraft Njm 3 g Fallbeschleunigung mjs2 H Höhe m H Helligkeit Wjm 2 H Enthalpie J ii Enthalpiestrom Jjs h Planck-Konstante J s h spez. Enthalpie Jjkg h g spez. Gesamtenthalpie, h g = h + w 2 j2 Jjkg hi partielle spez. Enthalpie Jjkg t1hv spez. Verdampfungsenthalpie Jjkg t1hv molare Verdampfungsenthalpie Jjmol I Impuls kg mjs I Strahlstärke Wj(m 2 sr) j Diffusionsstromdichte molj(m 2 s) j* Diffusionsstromdichte im Schwerpunktssystem kgj(m 2 s) uj Diffusionsstromdichte im Teilchenbezugssystem molj(m 2 s) K Bestrahlungsdichte Wj(m 2 sr) K Permeabilität m 2 K>.. spektrale Bestrahlungsdichte Wj(m 2 J.Lm)

16 Formelzeichen XVII k W ärmed urchgangskoeffizient W/(m 2 K) k Absorptionszahl k Boltzmann-Konstante J/K ko spektraler Absorptionskoeffizient I/rn kh Henry-Koeffizient N/m 2 k j massebezogene Kraft N/kg k1 Geschwindigkeitskonstante einer homogenen Reak- l/s tion erster Ordnung k~, k~' Geschwindigkeitskonstante einer homogenen (hete- m/s rogenen) Reaktion erster Ordnung k" n moil(m Geschwindigkeitskonstante einer heterogenen Re- s) (mol/m 3 )n aktion n-ter Ordnung L Länge m L Strahldichte W /(m 2 sr) LA spektrale Strahldichte W /(m 2 J.Lm sr) La Bezugslänge m Ls Löslichkeit mol/(m 3 Pa) I Länge, Mischungsweg m M Masse kg M Modul, M = alj.t / LJ.x 2 M spez. Ausstrahlung W/m 2 MA spektrale spez. Ausstrahlung W/(m 2 J.Lm) 111 Massenstrom kg/s!vi molare Masse, Moirnasse kg/mol m optische Masse kg/m 2 m r relative optische Masse rh Massenstromdichte kg/(m 2 s) N Stoffmenge mol Ni dimensionslose Übertr agungsfähigkei t (number of transfer units) des Stoffstroms i IV Stoffmengenstrom molls n Brechzahl n Normalenvektor n Stoffmengenstromdichte mol/(m 2 s) P Leistung W

17 xviii Formelzeichen Pdiss dissipierte Leistung W p Druck Pa p+ dimensions loser Druck Q Wärme J Q Wärmestom W q Wärmestromdichte W/m 2 R Radius m RL Wärmeleitwiderstand K/W Rm molare (universelle) Gaskonstante J/(mol K) r radiale Koordinate m r hemisphärischer Gesamt-Reflexionsgr ad r). spektraler Reflexionsgrad r ). ' gerichteter spektraler Reflexionsgrad r e spez. elektrischer Widerstand Dm r+ dimensions lose radiale Koordinate r Reaktionsrate mol/(m 3 s) S Abschwächungsfaktor beim Strömungssieden S Entropie J/K S spez. Entropie J/(kg K) S Parameter der Laplace-Transformation l/s S Schichtdicke m S Schlupf-Faktor, S = WG/WL SI Längsteilung m Sq Querteilung m T thermodynamische Temperatur K Te Eigentemperatur K Tst Staupunkttemperatur K t Zeit s t+ dimensionslose Zeit tk Abkühlzeit, Kühldauer s tj Spannungsvektor N/m 2 tr Relaxationszeit, tr = 1/k1 S td Relaxationszeit der Diffusion, td = L 2 / D s U Umfang m U innere Energie J

18 Formelzeichen XIX u u u Wo Ws x X x X x+ x* mittlere molare Geschwindigkeit spez. innere Energie Laplace-Transformierte der Temperatur Volumen Abreivolumen von Dampfblasen spez. Volumen Arbeit Leistungsdichte Wärmekapazitätsstrom des Fluids i Geschwindigkeit Bezugsgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Schubspannungsgeschwindigkeit, W r = VTo/f] Schwankungsgeschwindigkeit dimensionslose Geschwindigkeit Beladung; Lockhart-Martinelli-Parameter molare Beladung in der Flüssigphase Koordinate Molanteil in der Flüssigkeit dimensionslose x-koordinate Strömungsdampfgehalt, x* = MG/ML thermodynamischer Dampfgehalt molare Beladung in der Gasphase Koordinate Molanteil in der Gasphase dimensionslose y-koordinate Anzahl axiale Koordinate dimensionslose z-koordinate Rohrreihenzahl m/s J/kg K m3 m 3 m 3 /kg J W/m 3 W/K m/s m/s m/s m/s m/s m m m Griechische Buchstaben Zeichen Bedeutung Wärmeübergangskoeffizient SI-Einheit W/(m 2 K)

19 xx Formelzeichen a m mittlerer Wärmeübergangskoeffizient W/(m 2 K) ß Stoffübergangskoeffizient m/s ß thermischer Ausdehnungskoeffizient l/k ß Polarwinkel, Zenitwinkel rad ßo Randwinkel rad t Massen-Produktionsrate kg/(m 3 s) 1- molare Produktionsrate mol/(m 3 s) Ll Differenz 8 Dicke; Grenzschichtdicke m 8ij Kronecker-Symbol E: Hohlraumanteil E: volumetrischer Dampfgehalt E:* volumetrischer Stömungsdampfgehalt E: hemisphärischer Gesamt-Emissionsgrad E:).. hemisphärischer spektraler Emissionsgrad E:' ).. gerichteter spektraler Emissionsgrad E:n turbulenter Diffusionskoeffizient m 2 /s E:i dimensionslose Temperaturänderung des Stoffstroms i eii Dilatation l/s eji Verzerrungstensor l/s Lückengrad E:p E:t turbulente Viskosität m 2 /s ( Widerstandsbeiwert ( Volumenviskosität kg/(m s) 'f/ dynamische Viskosität kg/(m s) 7JR Rippenwirkungsgrad e bertemperatur K {) Temperatur K {)+ dimensionslose Temperatur K Isentropenexponent KG optische Dicke einer Gasschicht A Wellenlänge einer Schwingung m A Wellenlänge m A Wärmeleitfähigkeit W/(K m)

20 Formelzeichen xxi At turbulente Wärmeleitfähigkeit W /(K m) I-t Diffusionswiderstandsfaktor 1/ kinematische Viskosität m 2 /s 1/ Frequenz l/s (} Dichte kg/m 3 a Stefan-Boltzmann-Konstante W /(m 2 K 4 ) a Grenzflächenspannung N/m ~ Massenanteil T Transmissionsgrad spektraler Transmissionsgrad TA T Schubspannung N/m 2 Tji Schubspannungstensor N/m 2 cp Strahlungsleistung, Strahlungsfluß W cp Dissipationsleistung W/m 3 cp Winkel, Azimutwinkel rad.p Stromfunktion m 2 /s w Raumwinkel sr w Bezugsgeschwindigkeit m/s W Leistungsdichte W/m 2 Indizes Zeichen A a abs B b dgl diss E e eff eq F G g Bedeutung Stoff A außen, Austrittquerschnitt absorbiert Stoff B Bestrahlung durchgelassen dissipiert Exzeß, Überschuß, Erzeugnis, Erstarrung Eintrittquerschnitt effektiv Gleichgewicht Fluid, Feed Gas geodätisch

21 xxii Formelzeichen I id K L lam m max min n P r ref S s tot turb U u V W a an der Phasengrenze innen ideal Stoff K, Kühlmittel, Kondensator Flüssigkeit, Luft laminar mittel, molar (stoffmengenbezogen) Maximum Minimum Normalrichtung Partikel Reibung reflektiert, Referenzzustand Festkörper, Sumpfprodukt, Sonne Schwarzer Körper, Sättigung total turbulent Umgebung im Teilchenbezugssystem Verdampfer Wand, Wasser Anfang 8 an der Stelle y = 8 >. spektral wende o hervorgehobener Zustand; an der Stelle y = 0 00 in sehr großem Abstand; im Unendlichen Dimensionslose Kennzahlen Ar = [(es - ef)/ef) (4g/V2 ) Bi = all>' Bin = ßL/D Ba = q/ (rhl1hv ) Da = k~l/d Archimedes-Zahl Biot-Zahl Biot-Zahl für die Stoffübertragung Siedekennzahl (boiling number) Damköhler-Zahl (für heterogene Reaktion 1. Ordnung) Eckert-Zahl

22 Formelzeichen xxiii Fo = atjl2 Fr = w 2 j (gx) Ga = gl 3 jv 2 Gr = gßt1{jl3 jv2 Ha = (k1l 2jD)2 Le = ajd Ma = wjws Nu = alj>.. Pe = wlja Ph = hej [c ({JE - {Jo)] Pr = vja Ra = GrPr Re = wljv Sc=vjD Sh = ßLjD St = aj (W{!Cp ) St = IjPh Fourier-Zahl Froude-Zahl Galilei-Zahl Grashof-Zahl Hatta-Zahl Lewis-Zahl Mach-Zahl Nußelt-Zahl Peclet-Zahl Phasenübergangszahl Prandtl-Zahl Rayleigh-Zahl Reynolds-Zahl Schmidt-Zahl Sherwood-Zahl Stanton-Zahl Stefan-Zahl