H.D. Baehr K. Stephan Wärme- und Stoffübertragung

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1 H.D. Baehr K. Stephan Wärme- und Stoffübertragung

2 Hans Dieter Baehr Karl Stephan Wärme- und Stoffübertragung 6. neu bearbeitete Auflage Mit 343 Abbildungen 123

3 Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Hans Dieter Baehr em. o. Professor für Thermodynamik an der Universität Hannover Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. mult. Karl Stephan em. o. Professor für Technische Thermodynamik und Thermische Verfahrenstechnik an der Universität Stuttgart ISBN e-isbn DOI / Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. c 2008, 2006, 2003 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren Herstellung: le-tex publishing services ohg Einbandgestaltung: estudiocalamar S.L., F. Steinen-Broo, Girona, Spain Gedruckt auf säurefreiem Papier springer.de

4 Vorwort zur sechsten Auflage Für die sechste Auflage unseres Buchs haben wir das Kapitel über die numerische Lösung von Wärmeleitproblemen neu gegliedert und erweitert. Hinzugekommen ist ein Kapitel über die numerische Lösung von Wärmeleitproblemen mit der Finite-Element-Methode. Es soll den Studierenden so weit mit der Methode vertraut machen, dass er imstande ist, einfachere Probleme selbst zu lösen und für die Lösung schwierigerer Probleme eines der vielen Programme zu nutzen, die kommerziell oder im Internet erhältlich sind. Auch das Kapitel über den konvektiven Wärme- und Stoffübergang in porösen Körpernhaben wir gründlich überarbeitet und ergänzt um ein Kapitel über die Wärmeübertragung in durchströmtenkanälen, die mit einem porösen Stoff gefüllt sind. Änderungen haben wir wie in früheren Auflagen erneut in den Kapiteln vorgenommen, die Berechnungsgleichungen und auf Messungen basierende Korrelationen des Wärmeübergangs enthalten. Sie geben den neuesten Stand unserer Kenntnisse wieder. Dank schulden wir vielen Freunden und Kollegen, die uns wertvolle Ratschläge gaben und uns auf Druckfehler aufmerksam machten. Besonderer Dank gebührt Herrn Dipl.-Ing. Jens Körber, der uns geholfen hat, dem Verlag eine reproduktionsfähige Vorlage zu liefern. Möge unser Buch auch weiterhin Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis nützlich sein. Den Studenten möge es helfen, die Gesetze der Wärmeund Stoffübertragung zu verstehen und sie befähigen, diese zur Lösung der vielfältigen praktischen Probleme erfolgreich anzuwenden. Bochum und Stuttgart, im Herbst 2008 H.D. Baehr K. Stephan

5 vi Vorwort Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist aus Vorlesungen über Wärme- und Stoffübertragung entstanden, die wir seit vielen Jahren an den Universitäten Hannover bzw. Stuttgart gehalten haben. Es wendet sich an Studenten des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik an Universitäten und Fachhochschulen, aber auch an Studierende verwandter Fachrichtungen wie Elektrotechnik, Physik und Chemie. Unser Buch ist einerseits als Lehrbuch zum Gebrauch neben den Vorlesungen konzipiert; es soll den Studenten mit den Grundlagen der Wärmeund Stoffübertragung vertraut machen und ihn befähigen, dieses Wissen zur Lösung technischer Probleme einzusetzen. Andererseits haben wir das Buch breiter angelegt, die Theorie der Wärme- und Stoffübertragung systematisch entwickelt und die Lösungsmethoden wichtiger Wärme- und Stoffübertragungsprobleme ausführlich dargestellt. Daher dürfte es auch Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis bei der Weiterbildung und als Nachschlagewerk bei der Lösung ihrer Aufgaben gute Dienste leisten. Wir haben den Stoff durch ausführliche Rechenbeispiele erläutert und am Ende eines jeden Kapitels eine Reihe von Übungsaufgaben zusammengestellt. Dies soll auch das Selbststudium erleichtern. Viele Vorgänge der Wärme- und Stoffübertragung und die zugehörigen Apparate lassen sich bereits mit Hilfe der Bilanzgleichungen unter Verwendung von Wärme- und Stoffübertragungskoeffizienten quantitativ erfassen, ohne dass ein tieferes Eindringen in die Theorie der Wärme- und Stoffübertragung erforderlich ist. Solche Vorgänge haben wir im ersten Kapitel behandelt, das auch die grundlegenden Begriffe und die Grundgesetze der Wärmeund Stoffübertragung enthält. Der Student erhält einen Überblick über die verschiedenartigen Vorgänge der Wärme- und Stoffübertragung und lernt zu einem frühen Zeitpunkt, praktische Probleme zu lösen und die Apparate zur Wärme- und Stoffübertragung zu berechnen. Dadurch wird auch die Motivation erhöht, sich eingehender mit der Theorie zu befassen, die Gegenstand der folgenden Kapitel ist. Im zweiten Kapitel behandeln wir die stationäre und instationäre Wärmeleitung und die Diffusion in ruhenden Medien. Es werden die grundlegenden Differentialgleichungen zur Berechnung von Temperaturfeldern hergeleitet. Wir zeigen, wie man sie in praktischen Fällen unter Anwendung analytischer und numerischer Methoden löst. Neben den analytischen Verfahren der Laplace-Transformation und des klassischen Separationsansatzes stellen wir die für die Praxis wichtigen Differenzenverfahren ausführlich dar. Viele der für die Wärmeleitung gewonnenen Ergebnisse lassen sich wegen der hier bestehenden Analogie auf die Diffusion übertragen, und die mathematischen Lösungsansätze sind für beide Gebiete gleich. Das dritte Kapitel ist der konvektiven Wärme- und Stoffübertragung gewidmet. Hier steht die Herleitung der Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie strömender reiner Fluide und Mehrstoffgemische im Vordergrund,

6 Vorwort vii ehe die Materialgesetze eingeführt und die maßgebenden Differentialgleichungen für Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsfelder hergeleitet werden. Als typische Anwendungen behandeln wir Wärme- und Stoffübergang an überströmten Körpern und in durchströmten Kanälen, in Haufwerken und Wirbelschichten, ebenso die freie Konvektion und die Überlagerung von freier und erzwungener Strömung. Eine Einführung in den Wärmeübergang bei kompressibler Strömung beschließt dieses Kapitel. Im vierten Kapitel wird die Wärme- und Stoffübertragung beim Kondensieren und beim Sieden in freier und erzwungener Strömung behandelt. Die Darstellung lehnt sich an das Buch Wärmeübergang beim Kondensieren und beim Sieden (Berlin: Springer-Verlag 1988) von K. Stephan an. Dabei werden nicht nur reine Stoffe betrachtet; auch die Kondensation und das Sieden von Stoffgemischen wird in angemessenem Umfang erörtert. Die Wärmestrahlung ist Gegenstand des fünften Kapitels. Es unterscheidet sich von vielen anderen Darstellungen dadurch, dass zuerst die strahlungsphysikalischen Größen zur quantitativen Beschreibung der Richtungsund Wellenlängenabhängigkeit der Strahlung umfassend und eingehend behandelt werden. Erst nach einer strengen Formulierung des Kirchhoffschen Gesetzes wird der ideale Strahler, der Schwarze Körper, eingeführt. Danach werden die Materialgesetze realer Strahler besprochen. Als Anwendungen werden die Solarstrahlung und die Wärmeübertragung durch Strahlung eingehend behandelt. Eine Einführung in die Gasstrahlung, technisch wichtig für Brennkammern und Feuerungen, schließt das Kapitel ab. Die Wärme- und Stoffübertragung gehört an Universitäten und Fachhochschulen in der Regel zum Hauptstudium. Wir haben daher Kenntnisse in Höherer Mathematik vorausgesetzt, wie sie bis zur Diplom-Vorprüfung gelehrt werden. Für den, der sich nur mit den Grundbegriffen und einfacheren technischen Anwendungen der Wärme- und Stoffübertragung vertraut machen möchte, dürfte bereits das Studium des ersten Kapitels ausreichen. Von Diplomingenieuren des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik werden weitergehende Kenntnisse erwartet. Der Maschineningenieur sollte mit den Grundlagen der Wärmeleitung, der konvektiven Wärmeübertragung und der Strahlung vertraut sein, und er sollte über Grundkenntnisse der Stoffübertragung verfügen. Der Verfahrensingenieur benötigt neben einem vertieften Wissen auf diesen Gebieten auch gute Kenntnisse der Wärme- und Stoffübertragung in mehrphasigen Strömungen. Die zur Verfügung stehende Vorlesungszeit wird in der Regel nicht ausreichen, um den gesamten Stoff dieses Buches zu behandeln. Es ist aber wichtig, dass der Student ein breites Wissen der Grundlagen und Methoden erwirbt. Es genügt dann, dieses an ausgewählten Beispielen zu vertiefen und so die Lösung von Problemen zu üben. Beim Abfassen des Manuskripts haben wir uns die Arbeit geteilt. H.D. Baehr hat die Erstschrift der Abschnitte 1.1 bis 1.3, des Kapitels 2 (außer 2.5) und des Kapitels 5 besorgt, K. Stephan die der Abschnitte 1.4 bis 1.7 und 2.5 sowie der Kapitel 3 und 4. Gleichwohl hat durch gegenseitige Korrektur jedes

7 viii Vorwort Kapitel Änderungen erfahren, so dass jeder von uns in gleicher Weise für das ganze Buch verantwortlich ist. Bei der Anfertigung des Manuskripts und der zahlreichen Abbildungen haben uns einige unserer Mitarbeiter, vor allem die Herren Dipl.-Ing. F. Harms-Watzenberg, Hannover, und S. Winkler, Stuttgart, geholfen. Ihnen allen danken wir auch an dieser Stelle. Die hervorragende Beherrschung des elektronischen Textsatzsystems L A TEX durch Herrn Harms-Watzenberg hat es uns ermöglicht, dem Verlag eine reproduktionsfähige Druckvorlage zu liefern. Auch dadurch war es möglich, trotz des erheblichen Umfangs unseres Buches einen für ein Lehrbuch noch akzeptablen Preis zu erreichen. Hannover und Stuttgart, im Herbst 1993 H.D. Baehr K. Stephan

8 Inhaltsverzeichnis Formelzeichen... xv 1 Einführung. Technische Anwendungen Die verschiedenen Arten der Wärmeübertragung Wärmeleitung Stationäre, geometrisch eindimensionale Wärmeleitung Konvektiver Wärmeübergang, Wärmeübergangskoeffizient Die Bestimmung von Wärmeübergangskoeffizienten. DimensionsloseKennzahlen Wärmestrahlung Strahlungsaustausch Wärmedurchgang Der Wärmedurchgangskoeffizient Mehrschichtige Wände Wärmedurchgang durch Wände mit vergrößerter Oberfläche Abkühlung und Erwärmung dünnwandiger Behälter Wärmeübertrager Bauarten und Stromführungen Allgemeine Berechnungsgleichungen. Dimensionslose Kennzahlen Gegenstrom- und Gleichstrom-Wärmeübertrager Kreuzstrom-Wärmeübertrager Betriebscharakteristiken für weitere Stromführungen. Diagramme Die verschiedenen Arten der Stoffübertragung Diffusion Einseitige Diffusion, äquimolarediffusion Konvektiver Stoffübergang Stoffübergangstheorien... 89

9 x Inhaltsverzeichnis DieFilmtheorie DieGrenzschichttheorie Die Penetrations- und die Oberflächenerneuerungstheorie Anwendung der Filmtheorie auf die Verdunstungskühlung Stoffdurchgang Stoffübertrager DieMengenbilanzen Konzentrationsverlauf und Höhe von Stoffaustauschkolonnen Aufgaben Wärmeleitung und Diffusion Die Wärmeleitungsgleichung Die Herleitung der Differentialgleichung für das Temperaturfeld Die Wärmeleitungsgleichung für einen Körper mit konstantenstoffwerten DieRandbedingungen TemperaturabhängigeStoffwerte ÄhnlicheTemperaturfelder Stationäre Wärmeleitung Geometrisch eindimensionale Wärmeleitung mit Wärmequellen Wärmeleitung in LängsrichtungeinesStabes Der Temperaturverlauf in Rippen und Nadeln DerRippenwirkungsgrad Geometrisch mehrdimensionaler Wärmefluss Instationäre Wärmeleitung Lösungsmethoden DieLaplace-Transformation Der einseitig unendlich ausgedehnte Körper Abkühlung und Erwärmung einfacher Körper bei eindimensionalem Wärmefluss Abkühlung und Erwärmung bei mehrdimensionalem Wärmefluss Erstarren geometrisch einfacher Körper Wärmequellen Numerische Lösung von Wärmeleitproblemen mit Differenzenverfahren Das einfache explizite Differenzenverfahren für instationäre Wärmeleitprobleme DieDiskretisierungderRandbedingungen Das implizite Differenzenverfahren von J. Crank und P.Nicolson...223

10 Inhaltsverzeichnis xi Nichtkartesische Koordinaten. Temperaturabhängige Stoffwerte Instationäre ebene und räumliche Temperaturfelder StationäreTemperaturfelder Numerische Lösung von Wärmeleitproblemen mit der Finite-Element-Methode Die Finite-Element-Methode für stationäre, geometrisch eindimensionale Temperaturfelder Die Finite-Element-Methode für ebene stationäre Temperaturfelder Die Finite-Element-Methode für instationäre, geometrisch eindimensionale Wärmeleitprobleme Erweiterung auf instationäre, geometrisch zweidimensionale Wärmeleitprobleme Diffusion Bemerkungen überruhendesysteme Die Herleitung der Differentialgleichung für das Konzentrationsfeld Vereinfachungen Randbedingungen Stationäre Diffusion mit katalytischer Oberflächenreaktion Stationäre Diffusion mit homogener chemischer Reaktion InstationäreDiffusion Aufgaben Konvektiver Wärme- und Stoffübergang. Einphasige Strömungen Die längsangeströmte ebene Platte bei reibungsfreier Strömung DieBilanzgleichungen DasReynoldsscheTransporttheorem DieMassenbilanz DieImpulsbilanz DieEnergiebilanz Zusammenfassung Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Strömung Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen Schleichende Strömungen Reibungsfreie Strömungen Grenzschichtströmungen DieGrenzschichtgleichungen Die Strömungsgrenzschicht DieTemperaturgrenzschicht DieKonzentrationsgrenzschicht...350

11 xii Inhaltsverzeichnis Allgemeine Bemerkungen zur Lösung der Grenzschichtgleichungen Einfluss der Turbulenz auf den Wärme- und Stoffübergang Turbulente Strömungen an festen Wänden Überströmte Körper Die parallel angeströmte ebene Platte Der quer angeströmtezylinder Quer angeströmte Rohrbündel Einige empirische Gleichungen für den Wärme- und Stoffübergang an überströmten Körpern Durchströmte Kanäle,Haufwerke,Wirbelschichten Die laminare Rohrströmung Die turbulente Rohrströmung Haufwerke Poröse Körper Wirbelschichten Einige empirische Gleichungen für den Wärme- und Stoffübergang in durchströmten Kanälen, Haufwerken undwirbelschichten Freie Strömung DieImpulsgleichung Wärmeübergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Strömung Einige empirische Gleichungen für den Wärmeübergang bei freier Strömung Stoffübergang bei freier Strömung Überlagerung von freier und erzwungener Strömung Kompressible Strömungen Das Temperaturfeld in einer kompressiblen Strömung Berechnung des Wärmeübergangs Aufgaben Konvektiver Wärme- und Stoffübergang mit Phasenumwandlungen WärmeübergangbeimKondensieren Die verschiedenen Arten der Kondensation DieNußeltscheWasserhauttheorie Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie Einfluss nicht kondensierbarer Gase Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut Kondensation strömender Dämpfe Tropfenkondensation KondensationvonDampfgemischen EinigeempirischeGleichungen WärmeübergangbeimSieden...524

12 Inhaltsverzeichnis xiii Die verschiedenen Arten der Wärmeübertragung DieEntstehungvonDampfblasen Mechanismen der Wärmeübertragung beim Sieden in freier Strömung BlasenfrequenzundAbreißdurchmesser DieNukijama-Kurve Stabilität beim Sieden in freier Strömung Berechnung von Wärmeübergangskoeffizienten beim Sieden in freier Strömung Einige empirische Gleichungen zum Wärmeübergang beim Blasensieden in freier Strömung Zweiphasige Strömungen WärmeübergangbeimSiedenvonGemischen Aufgaben Wärmestrahlung Grundlagen. Strahlungsphysikalische Größen Temperaturstrahlung Ausstrahlung Bestrahlung AbsorptionvonStrahlung ReflexionvonStrahlung Hohlraumstrahlung. Gesetz von Kirchhoff Die Strahlung des Schwarzen Körpers Definition und Realisierung des Schwarzen Körpers Die spektrale Strahldichte und die spektrale spezifische Ausstrahlung Die spezifische Ausstrahlung und die Ausstrahlung in einem Wellenlängenbereich Strahlungseigenschaften realer Körper Emissionsgrade Die Beziehungen zwischen Emissions-, Absorptionsund Reflexionsgraden. Der graue Lambert-Strahler Emissionsgrade realer Körper Strahlungsdurchlässige Körper Solarstrahlung ExtraterrestrischeSolarstrahlung Die Schwächung der Solarstrahlung in der Erdatmosphäre DirekteSolarstrahlungamErdboden Diffuse Solarstrahlung und Globalstrahlung Absorptionsgrade fürsolarstrahlung Strahlungsaustausch Sichtfaktoren Strahlungsaustausch zwischen Schwarzen Körpern

13 xiv Inhaltsverzeichnis Strahlungsaustausch zwischen grauen Lambert-Strahlern Strahlungsschutzschirme Gasstrahlung Absorptionskoeffizient und optische Dicke Absorptions-und Emissionsgrade Ergebnisse für denemissionsgrad Emissionsgrade und gleichwertige Schichtdicken von Gasräumen Strahlungsaustausch in einem gasgefüllten Hohlraum Aufgaben Anhang A: Ergänzungen A.1 EinführungindieTensornotation A.2 Zusammenhang zwischen mittlerem und thermodynamischem Druck A.3 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosität in kartesischen Koordinaten A.4 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosität in Zylinderkoordinaten A.5 Entropiebilanz für Gemische A.6 Zusammenhang zwischen partieller und spezifischer Enthalpie. 720 A.7 Berechnung der Konstanten a n des Graetz-Nußelt-Problems (3.243) Anhang B: Stoffwerte Anhang C: Lösungen der Aufgaben Literatur Sachverzeichnis...777

14 Formelzeichen Lateinische Buchstaben Zeichen Bedeutung SI-Einheit A Fläche m 2 A m mittlere Fläche m 2 A q Querschnittsfläche m 2 A R Rippen-Oberfläche m 2 a Temperaturleitfähigkeit m 2 /s a hemisphärischer Gesamt-Absorptionsgrad a λ spektraler Absorptionsgrad a λ gerichteter spektraler Absorptionsgrad a t turbulente Temperaturleitfähigkeit m 2 /s a volumenbezogene Oberfläche m 2 /m 3 b Wärmeeindringkoeffizient, b = λcϱ Ws 1/2 /(m 2 K) b Laplace-Konstante, b = 2σ/g (ϱ L ϱ G ) m C Verhältnis der Wärmekapazitätsströme c spez. Wärmekapazität J/(kg K) c Stoffmengenkonzentration mol/m 3 c Fortpflanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer m/s Wellen c 0 Vakuum-Lichtgeschwindigkeit m/s c f Reibungsbeiwert c p spez. isobare Wärmekapazität J/(kg K) c W Widerstandsbeiwert

15 xvi Formelzeichen D binärer Diffusionskoeffizient m 2 /s D t turbulenter Diffusionskoeffizient m 2 /s d Durchmesser m d A Abreißdurchmesser von Dampfblasen m d h hydraulischer Durchmesser m E Bestrahlungsstärke W/m 2 E 0 Solarkonstante W/m 2 E λ spektrale Bestrahlungsstärke W/(m 2 μm) e Einheitsvektor F Kraft N F A Auftriebskraft N F W Widerstandskraft N F ij Sichtfaktor zwischen den Flächen i und j F (0,λT) Anteilsfunktion der schwarzen Strahlung f Frequenz von Dampfblasen 1/s f j volumenbezogene Kraft N/m 3 g Fallbeschleunigung m/s 2 H Höhe m H Helligkeit W/m 2 H Enthalpie J Ḣ Enthalpiestrom J/s h Planck-Konstante J s h spez. Enthalpie J/kg h g spez. Gesamtenthalpie, h g = h + w 2 /2 J/kg h i partielle spez. Enthalpie J/kg Δh v spez. Verdampfungsenthalpie J/kg Δ h v molare Verdampfungsenthalpie J/mol I Impuls kg m/s I Strahlstärke W/(m 2 sr) j Diffusionsstromdichte mol/(m 2 s) j Diffusionsstromdichte im Schwerpunktssystem kg/(m 2 s) uj Diffusionsstromdichte im Teilchenbezugssystem mol/(m 2 s) K Bestrahlungsdichte W/(m 2 sr) K Permeabilität m 2 K λ spektrale Bestrahlungsdichte W/(m 2 μm)

16 Formelzeichen xvii k Wärmedurchgangskoeffizient W/(m 2 K) k Absorptionszahl k Boltzmann-Konstante J/K k G spektraler Absorptionskoeffizient 1/m k H Henry-Koeffizient N/m 2 k j massebezogene Kraft N/kg k 1 Geschwindigkeitskonstante einer homogenen Reaktion erster Ordnung 1/s k 1,k 1 Geschwindigkeitskonstante einer homogenen m/s (heterogenen) Reaktion erster Ordnung k n mol/(m 2 s) (mol/m 3 ) n Geschwindigkeitskonstante einer heterogenen Reaktion n-ter Ordnung L Länge m L Strahldichte W/(m 2 sr) L λ spektrale Strahldichte W/(m 2 μmsr) L 0 Bezugslänge m L S Löslichkeit mol/(m 3 Pa) l Länge, Mischungsweg m M Masse kg M Modul, M = aδt/δx 2 M spez. Ausstrahlung W/m 2 M λ spektrale spez. Ausstrahlung W/(m 2 μm) Ṁ Massenstrom kg/s M molare Masse, Molmasse kg/mol m optische Masse kg/m 2 m r relative optische Masse ṁ Massenstromdichte kg/(m 2 s) N Stoffmenge mol N i dimensionslose Übertragungsfähigkeit (number of transfer units) des Stoffstroms i Ṅ Stoffmengenstrom mol/s n Brechzahl n Normalenvektor ṅ Stoffmengenstromdichte mol/(m 2 s) P Leistung W

17 xviii Formelzeichen P diss dissipierte Leistung W p Druck Pa p + dimensionsloser Druck Q Wärme J Q Wärmestrom W q Wärmestromdichte W/m 2 R Radius m R L Wärmeleitwiderstand K/W R m molare (universelle) Gaskonstante J/(mol K) r radiale Koordinate m r hemisphärischer Gesamt-Reflexionsgrad r λ spektraler Reflexionsgrad r λ gerichteter spektraler Reflexionsgrad r e spez. elektrischer Widerstand Ω m r + dimensionslose radiale Koordinate ṙ Reaktionsrate mol/(m 3 s) S Abschwächungsfaktor beim Strömungssieden S Entropie J/K s spez. Entropie J/(kg K) s Parameter der Laplace-Transformation 1/s s Schichtdicke m s Schlupf-Faktor, s = w G /w L s l Längsteilung m s q Querteilung m T thermodynamische Temperatur K T e Eigentemperatur K T St Staupunktstemperatur K t Zeit s t + dimensionslose Zeit t k Abkühlzeit, Kühldauer s t j Spannungsvektor N/m 2 t R Relaxationszeit, t R =1/k 1 s t D Relaxationszeit der Diffusion, t D = L 2 /D s U Umfang m U innere Energie J

18 Formelzeichen xix u mittlere molare Geschwindigkeit m/s u spez. innere Energie J/kg u Laplace-Transformierte der Temperatur K V Volumen m 3 V A Abreißvolumen von Dampfblasen m 3 v spez. Volumen m 3 /kg W Arbeit J Ẇ Leistungsdichte W/m 3 Ẇ i Wärmekapazitätsstrom des Fluids i W/K w Geschwindigkeit m/s w 0 Bezugsgeschwindigkeit m/s w S Schallgeschwindigkeit m/s w τ Schubspannungsgeschwindigkeit, w τ = m/s τ 0 /ϱ w Schwankungsgeschwindigkeit m/s w + dimensionslose Geschwindigkeit X Beladung; Lockhart-Martinelli-Parameter X molare Beladung in der Flüssigphase x Koordinate m x Molanteil in der Flüssigkeit x + dimensionslose x-koordinate x Strömungsdampfgehalt, x = ṀG/ṀL x th thermodynamischer Dampfgehalt Ỹ molare Beladung in der Gasphase y Koordinate m ỹ Molanteil in der Gasphase y + dimensionslose y-koordinate z Anzahl z axiale Koordinate m z + dimensionslose z-koordinate z R Rohrreihenzahl Griechische Buchstaben Zeichen Bedeutung SI-Einheit α Wärmeübergangskoeffizient W/(m 2 K) α m mittlerer Wärmeübergangskoeffizient W/(m 2 K)

19 xx Formelzeichen β Stoffübergangskoeffizient m/s β thermischer Ausdehnungskoeffizient 1/K β Polarwinkel, Zenitwinkel rad β 0 Randwinkel rad Γ Massen-Produktionsrate kg/(m 3 s) γ molare Produktionsrate mol/(m 3 s) Δ Differenz δ Dicke; Grenzschichtdicke m δ ij Kronecker-Symbol ε Hohlraumanteil ε volumetrischer Dampfgehalt ε volumetrischer Strömungsdampfgehalt ε hemisphärischer Gesamt-Emissionsgrad ε λ hemisphärischer spektraler Emissionsgrad ε λ gerichteter spektraler Emissionsgrad ε D turbulenter Diffusionskoeffizient m 2 /s ε i dimensionslose Temperaturänderung des Stoffstroms i ε ii Dilatation 1/s ε ji Verzerrungstensor 1/s ε p Lückengrad ε t turbulente Viskosität m 2 /s ζ Widerstandsbeiwert ζ Volumenviskosität kg/(m s) η dynamische Viskosität kg/(m s) η R Rippenwirkungsgrad Θ Übertemperatur K ϑ Temperatur K ϑ + dimensionslose Temperatur κ Isentropenexponent κ G optische Dicke einer Gasschicht Λ Wellenlänge einer Schwingung m λ Wellenlänge m λ Wärmeleitfähigkeit W/(K m) λ t turbulente Wärmeleitfähigkeit W/(K m)

20 Formelzeichen xxi μ Diffusionswiderstandsfaktor ν kinematische Viskosität m 2 /s ν Frequenz 1/s ϱ Dichte kg/m 3 σ Stefan-Boltzmann-Konstante W/(m 2 K 4 ) σ Grenzflächenspannung N/m ξ Massenanteil τ Transmissionsgrad τ λ spektraler Transmissionsgrad τ Schubspannung N/m 2 τ ji Schubspannungstensor N/m 2 Φ Strahlungsleistung, Strahlungsfluss W Φ Dissipationsleistung W/m 3 ϕ Winkel, Azimutwinkel rad Ψ Stromfunktion m 2 /s ω Raumwinkel sr ω Bezugsgeschwindigkeit m/s ω Leistungsdichte W/m 2 Indizes Zeichen A a abs B b dgl diss E e eff eq F G g I Bedeutung Stoff A außen, Austrittquerschnitt absorbiert Stoff B Bestrahlung durchgelassen dissipiert Exzess, Überschuss, Erzeugnis, Erstarrung Eintrittquerschnitt effektiv Gleichgewicht Fluid, Feed Gas geodätisch an der Phasengrenze

21 xxii Formelzeichen i innen id ideal K Stoff K, Kühlmittel, Kondensator L Flüssigkeit, Luft lam laminar m mittel, molar (stoffmengenbezogen) max Maximum min Minimum n Normalrichtung P Partikel r Reibung ref reflektiert, Referenzzustand S Festkörper, Sumpfprodukt, Sonne s Schwarzer Körper, Sättigung tot total turb turbulent U Umgebung u im Teilchenbezugssystem V Verdampfer W Wand, Wasser α Anfang δ an der Stelle y = δ λ spektral ω Ende 0 hervorgehobener Zustand; an der Stelle y =0 in sehr großem Abstand; im Unendlichen Dimensionslose Kennzahlen Ar =[(ϱ S ϱ F )/ϱ F ] ( d 3 P g/ν2) Archimedes-Zahl Bi = αl/λ Biot-Zahl Bi D = βl/d Biot-Zahl für die Stoffübertragung Bo = q/ (ṁδh v ) Siedekennzahl (boiling number) Da = k 1 L/D Damköhler-Zahl (für heterogene Reaktion 1. Ordnung) Ec = w 2 / (c p Δϑ) Eckert-Zahl Fo = at/l 2 Fourier-Zahl

22 Formelzeichen xxiii Fr = w 2 / (gx) Ga = gl 3 /ν 2 Gr = gβδϑl 3 /ν 2 Ha = ( k 1 L 2 /D ) 2 Le = a/d Ma = w/w S Nu = αl/λ Pe = wl/a Ph = h E / [c (ϑ E ϑ 0 )] Pr = ν/a Ra = GrP r Re = wl/ν Sc = ν/d Sh = βl/d St = α/ (wϱc p ) St =1/P h Froude-Zahl Galilei-Zahl Grashof-Zahl Hatta-Zahl Lewis-Zahl Mach-Zahl Nußelt-Zahl Péclet-Zahl Phasenübergangszahl Prandtl-Zahl Rayleigh-Zahl Reynolds-Zahl Schmidt-Zahl Sherwood-Zahl Stanton-Zahl Stefan-Zahl