Aufnahmeprüfung 2017 BMS gibb Mathematik Lösungen

Transkript

1 07 BMS gibb Zeit: Hilfsmittel: Hinweis: Punkte: 75 Minuten Schreibzeug, Geodreieck, Zirkel, Lineal, Taschenrechner ohne CAS und ohne Solver-Funktion Die Aufgaben sind unter Angabe aller Berechnungen und Begründungen direkt auf diese Blätter zu lösen. Achten Sie auf eine saubere Darstellung. Die Seiten -6 stehen Ihnen bei Platzmangel zusätzlich zur Verfügung. Jede der 6 Aufgaben wird mit je 6 Punkten bewertet. Durch den/die KandidatIn auszufüllen: Name Vorname Nummer Durch den/die ExpertIn auszufüllen: Punkte Note Bemerkungen März 07 Seite von 6

2 Aufgabe a) Das Volumen eines geraden Kegelstumpfes kann nach folgender Formel berechnet werden: V h R Rr r Berechnen Sie das Volumen des geraden Kegelstumpfes mit den folgenden Abmessungen: R cm, r cm, h cm Lösungsweg: V cm Lösung: a).9cm (P) März 07 Seite von 6

3 Zerlegen Sie den Term in ein Produkt mit möglichst vielen Faktoren. k k k b) a ab 0b Lösungsweg: a k a ab 0b a ba b k k k k ab 0b 0 Nur eine Zerlegung: Vollständige Zerlegung: (P) Lösung: b) k a ba 0 b (P) c) y9 x y 7x9 x y Lösungsweg: 9 x y 7x9 x y 9 x y y 7x x y x y y x y 7 Nur eine Zerlegung: Vollständige Zerlegung: (P) Lösung: c) x y x y y 7x (P) Erreichte Punkte Aufgabe : (6P) März 07 Seite von 6

4 Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung in der Grundmenge a) x x x Lösungsweg: x x x x 6x 6x 9 x 6x x 6x x x Korrektes Auflösen der Klammern: G R. Lösungsmenge: a) L (P) b) x x 0 xx x Lösungsweg: x x x x x 0 xx x x x 0 x x x 0 x x 0 0 x 0 x Korrektes Ausmultiplizieren: Lösungsmenge: b) 0 L (P) März 07 Seite von 6

5 x c) Gegeben ist die Gleichung 7 ( G R). Die Gleichung wird nach x aufgelöst. Welche Umformungen sind korrekt? Kreuzen Sie an: 7 x 7 7 x 7 x 7 x 7 x Keine Antwort ist richtig. 0 Fehlentscheide: (P) Fehlentscheid: -6 Fehlentscheide: (0P) Erreichte Punkte Aufgabe : (6P) März 07 Seite 5 von 6

6 Aufgabe Bestimmen Sie in der gezeichneten Figur in Abhängigkeit von r a) die Streckenlänge s. b) den Winkel CAD. c) den Inhalt der blauen Fläche. Vereinfachen Sie das Resultat soweit möglich und lassen Sie als Konstante stehen. Falls Sie Aufgabe b) nicht lösen konnten, dann nehmen Sie 5 an. r r D F A E C s r Lösungswege: B a) s BD r b) CAD 60 0 BAD c) Falls 0 : 0 0 Ablau ASek( CAD) ASek( EAF ) r 60 r 60 r r r r Vorgehen Formel Sektorfläc he Falls 5 : 5 5 Ablau ASek( CAD) ASek( EAF ) r 60 r 60 r r r Vorgehen Formel Sektorfläc he Korrektes Vorgehen: Korrekte Formel für die Sektorfläche: Korrektes Vorgehen, korrekte Formel und korrekte Berechnung/Vereinfachung: (P) März 07 Seite 6 von 6

7 a) r b) 0 (P) : c) (falls 5 : r r ) (P) Erreichte Punkte Aufgabe : (6P) März 07 Seite 7 von 6

8 Aufgabe Damit Sie sich nach erfolgreicher auf die BMS konzentrieren können, mieten Sie eine Wohnung in Bern. Für den eintägigen Umzug von Krauchthal rechnen Sie die folgenden zwei Fahrzeuge durch: Der VW Sharan der Eltern hat ein Ladevolumen von 700 l. Sie müssen den Eltern pro gefahrenen Kilometer 50 Rp. zahlen. Ein Transporter mit einem Ladevolumen von m kostet 50 Fr. pro Tag, darin eingeschlossen sind 50 gefahrene Kilometer. Jeder weitere Kilometer kostet.0 Fr.. Sie schätzen, dass ihr Hausrat ein Volumen von 5 m einnimmt. Am Ende müssen Sie das Fahrzeug wieder in Krauchthal abgeben. Nach Routenplaner liegt Bern 5 km von Krauchthal entfernt. a) Berechnen Sie die Kosten des VW Sharans für den Umzug an einem Tag. b) Berechnen Sie die Kosten des Transporters für den Umzug an einem Tag. c) Zeichnen Sie die Kosten (in Fr.) in Abhängigkeit der gefahrenen Kilometer der beiden Fahrzeuge in das vorgegebene Koordinatensystem ein. Fr Kilometer März 07 Seite von 6

9 Lösungswege: 5 a) Anzahl Fahrten: Es folgt: Fahrten von Krauchthal nach Bern und zurück sind notwendig. Zurückzulegende Strecke: 5 90km Kosten: Fr. 5 b) Anzahl Fahrten:. 75 Es folgt: 9 Fahrten von Krauchthal nach Bern und zurück sind notwendig. Zurückzulegende Strecke: km Kosten: Fr. : a) 95 Fr. (P) b) 9 Fr. (P) Erreichte Punkte Aufgabe : März 07 Seite 9 von 6

10 Aufgabe 5 Sie möchten ihrem Patenkind mit einer selbstgemachten Sortier-Box eine Freude machen. Die Körper sollten die gleichen wie auf dem Bild sein: ein gerades Prisma mit einem symmetrischen Trapez als Grundfläche ein gerader Zylinder ein gerades Prisma mit einem regulären Sechseck als Grundfläche Alle Körper haben eine Höhe von 5 cm. 5a) Der gerade Zylinder hat einen Durchmesser von cm. Berechnen Sie den Inhalt der Mantelfläche des Zylinders. 5b) Vom Prisma mit dem symmetrischen Trapez als Grundfläche sind die Masse aus der Skizze zu entnehmen. Berechnen Sie das Prismavolumen..5 cm cm 5 cm 5 cm 5c) Sie möchten verhindern, dass der Zylinder mit einem Durchmesser von cm in die Öffnung der Sortier-Box des Prismas mit dem Sechseck als Grundfläche passt und umgekehrt. Geben Sie den Bereich für die Seitenlänge s der Grundfläche des Sechsecks an, so dass die beiden Körper nicht vertauscht werden können. März 07 Seite 0 von 6

11 Lösungswege: 5a) M d h cm 5b) Grundfläche (Trapezfläche): G cm Prismavolumen: V Gh 5 70cm 5c) Skizze: s min s max s d cm min s s.09cm max min Gesuchter Bereich: cm s.09cm 5a) 6.cm 5b) 70 cm (P) : 5c) cm s.09cm (P) Erreichte Punkte Aufgabe 5: März 07 Seite von 6

12 Aufgabe 6 Gegeben ist ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge s. M, M, M,..., M n sind die Seitenmittelpunkte. Werden die vier zusammengehörenden Seitenmittelpunkte miteinander verbunden, entsteht wieder ein Quadrat, z.b. M MMM. Die Folgen der Seitenmittenquadrate in den beiden Spiralen werden unendlich lange fortgesetzt. B M A M 6 M 5 s M M M 7 M C M s D 6a) Berechnen Sie in Abhängigkeit der Seitenlänge s den Flächeninhalt der Dreiecke und. 6b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des 0. Dreiecks, falls s 000km. 6c) Geben Sie einen Term an, mit welchem in Abhängigkeit der Seitenlänge s der Flächeninhalt des n-ten Dreiecks berechnet werden kann. Der Term muss nicht vereinfacht werden. 6d) Bestimmen Sie den gesamten Flächeninhalt der beiden grünen Spiralen ausgedrückt in s. März 07 Seite von 6

13 Lösungswege: 6a) A A s A s 6 s 6b) Für s 000km: A A km A km n 6c) A s n 6d) A s : 6a) A, s n 6c) A (P) 6b) 6 s s 6d) 0.km (P) s Erreichte Punkte Aufgabe 6: März 07 Seite von 6

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