D-MATH Algebra I HS 2015 Prof. Richard Pink. Musterlösung 14

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1 D-MATH Algebra I HS 205 Prof. Richard Pink Musterlösung 4 p-adische Zahlen. Sei p eine Prizahl. Zu jede Syste von Ziffern α i {0,,..., p } it α i = 0 für alle i 0 assoziieren wir die rationale p-adische Zahl α i p i Q p. i Z Jedes Eleent von Q p besitzt eine eindeutige solche Ziffernentwicklung. Wir nennen die Ziffernfolge schliesslich periodisch, falls eine Periode d > 0 existiert, so dass für alle i 0 gilt α i+d = α i. Zeige, dass die p-adischen Zahlen it schliesslich periodischer Ziffernfolge genau die rationalen Zahlen sind. (Hinweis: Bestie zuerst die ganzen p-adischen Zahlen it vollständig periodischer Ziffernfolge. Lösung: (a First consider a p-adic integer β whose digits β i are copletely periodic with period d. Thus β = i 0 β ip i it β i+d = β i für alle i 0. Rearranging the ters and using the convergence of the geoetric series, we obtain β = d i=0 β i+jd p i+jd = j=0 d β i p i p jd = i=0 j=0 B p d with B := d i=0 β ip i. Thus β is a rational nuber with denoinator dividing p d. Moreover, since the digits β 0,..., β d are arbitrary in {0,,..., p }, the nuber B is an arbitrary eleent of {0,,..., p d }. It follows that β is an arbitrary eleent of p d Z satisfying β 0. (b Next we vary d. We clai that the p-adic integers with copletely periodic digit sequences are precisely the rational nubers β 0 with ord p (β 0. By (a we already know one direction, because p p d. For the other direction consider any rational nuber β 0 with ord p (β 0. Write β = a b with relatively prie integers 0 a b > 0. Then by assuption ggt(p, b =. Thus the residue class of p in Z/bZ is a unit. As (Z/bZ is a finite group, each eleent has finite order; hence there exists an integer d with p d od (b. Write p d = kb with k Z >0. Then β = a b = ka p d = ka p d.

2 By construction ka is an integer satisfying 0 ka kb = p d. It can therefore be written in the for ka = d i=0 β ip i with digits β i {0,,..., p }. The calculation in (a thus shows that β has a copletely periodic digit sequence, as desired. (c Now consider any rational p-adic nuber α = i Z α ip i whose digits satisfy α i+d = α i for all i i 0. Write α = α i p i + p i 0 α i p i i0. i<i 0 i i 0 Here the first su is finite and therefore represents a rational nuber in Z[ ]. The p second su represents a rational nuber by (a. Thus α is rational. This proves that any eleent of Q p with an eventually periodic digit sequence lies in Q. (d Conversely consider an arbitrary rational nuber α. Choose l Z 0 such that ord p (p l α 0. Case : If p l α >, write p l α = b + β with b Z 0 and < β 0. Then ord p (β in{ord p (p l α, ord p (b} 0. By (a and (b we can therefore write β = i 0 β ip i = B with B = d p d i=0 β ip i {0,,..., p d }. Then the assuption < β is equivalent to B p d 2. Choose an integer e 0 such that b p de. Then 0 b+bp de (+Bp de (p d p de. On the other hand 0 e j=0 Bpdj e j=0 (pd p dj p de. Thus p l α = b + β = ( e Bp dj + b + Bp de + j=0 j=e+ Bp dj, where the content of the parentheses is an integer 0 and p d(e+. It is therefore equal to de+d i=0 γ i p i for certain digits γ i {0,,..., p }. Thus p l α has the digits γ i for all 0 i < d(e+, and the periodic digits β i for all i d(e+. The digits of α are obtained by shifting these by l positions to the right hand side. Thus α has an eventually periodic digit sequence, as desired. Case 2: If p l α < 0, write p l α = b + β with b Z 0 and β < 0. Then ord p (β in{ord p (p l α, ord p (b} 0. By (a and (b we can therefore write β = i 0 β ip i = B with B = d p d i=0 β ip i {0,,..., p d }. Then the assuption β < 0 is equivalent to B. Choose an integer e 0 such that b p de. Then 0 b+bp de (p d p de. On the other hand 0 e j=0 Bpdj e j=0 (pd p dj p de. Thus p l α = b + β = ( e Bp dj b + Bp de + j=0 j=e+ Bp dj, where the content of the parentheses is an integer 0 and p d(e+. It is therefore equal to de+d i=0 γ i p i for certain digits γ i {0,,..., p }. Thus p l α 2

3 has the digits γ i for all 0 i < d(e+, and the periodic digits β i for all i d(e+. The digits of α are obtained by shifting these by l positions to the right hand side. Thus α has an eventually periodic digit sequence, as desired. Together this proves that every rational nuber has an eventually periodic digit sequence. 2. Welche der folgenden Gleichungen hat eine Lösung? (a x 2 + x + = 0 in Q 5 (b x 2 + x + = 0 in Q 7 (c x 3 + y 3 = z 3 it xyz 0 in Q 5 *(d x 3 + y 3 = z 3 it xyz 0 in Q 3 Lösung: (a Sei a Q 5 it a 2 + a + = 0. Dann ist jedenfalls a 0, also d := ord 5 (a Z. Wir rechnen unter Benutzung der verschärften Dreiecksungleichung 2d = ord 5 (a 2 = ord 5 ( a in{ord 5 ( a, ord 5 ( } = in{d, 0}. Dies ist nur öglich it d = 0, also it a Z 5. Schreibe a = (a n n 0 it a n Z/5 n Z. Dann ist jedes a n eine Lösung der Gleichung x 2 + x + = 0 in Z/5 n Z. Insbesondere ist a eine Lösung in de Körper F 5. Die Werte des Polynos x 2 + x + an den Stellen 0,, 2, 3, 4 F 5 sind aber, 3, 2, 3,. Also existiert keine Lösung in F 5, und soit auch keine in Q 5. (b Die Gleichung x 2 + x + = 0 ist äquivalent zu x 3 = x. Die Lösungen sind also genau die Eleente der Ordnung 3 in der Gruppe Q 7. Für jedes n ist (Z/7 n Z eine abelsche Gruppe der Ordnung 7 n 7 n = n. Sie enthält also genau eine Untergruppe der Ordnung 3. Diese liegt nicht in der Untergruppe + 7Z/7 n Z < (Z/7 n Z, weil letztere die Ordnung 7 n hat. Für jedes n liegt sie soit auch nicht i Kern der Projektionsabbildung proj n : (Z/7 n Z (Z/7 Z. Also induziert proj n einen Isoorphisus zwischen den jeweiligen Untergruppen der Ordnung 3. Das bedeutet, dass wir jedes Eleent der Ordnung 3 von (Z/7 Z zu eine Eleent der Ordnung 3 von (Z/7 n Z hochheben können. Wir können daher eine Folge von Eleenten a n (Z/7 n Z der Ordnung 3 finden it proj n (a n = a für alle n. Zusaen ist dann a := (a n n Z 7 ein Eleent der Ordnung 3, wie gewünscht. (c Wir konstruieren eine Lösung der Gleichung x 3 +y 3 = z 3 it x := und y := 5. Für jede solche ist z 3 = = 26 0 und soit xyz 0. Wir brauchen also nur eine dritte Wurzel aus 26 in Q 5. Wegen 26 0 od (5 liegt die Restklasse n Z in der Einheitengruppe (Z/5 n Z für jedes n. Dies ist eine abelsche Gruppe der Ordnung 5 n 5 n = 3

4 4 5 n. Da diese Ordnung kein Vielfaches von 3 ist, besitzt die Gruppe keine Eleente der Ordnung 3. Also ist der Hooorphisus (Z/5 n Z (Z/5 n Z, x x 3 injektiv und soit bijektiv. Für jedes n existiert also ein eindeutiges Eleent a n (Z/5 n Z it a 3 n = n Z. Aufgrund der Eindeutigkeit gilt dann auch proj n (a n = a für alle n. Zusaen ist dann a := (a n n ein Eleent von Z 5 it a 3 = 26 = , wie gewünscht. Aliter it der binoischen Forel, unter Verwendung von Aufgabe 3: (b Existiert eine Lösung, so ist sie nach der Mitternachtsforel gleich ± 3 2. Es genügt also, ein Eleent der For 3 Q 7 zu finden, das heisst, eine Lösung der Gleichung y 2 = 3. Wegen od (7 ist schon 2 eine Lösung in Z/7Z. Wir schreiben also y = 2z und suchen eine Lösung der Gleichung z 2 = 3 4 = 7 4 in Q 7. Wie in der Vorlesung benutzen wir dafür die binoische Forel a := ( 2 ( 7 4. Wegen ( 2 Z[ ] hat der -te Ter die Ordnung ord 2 7(.... Soit konvergiert die Reihe zu eine wohldefinierten Eleent in Z 7. Wie in der Vorlesung, oder nach Aufgabe 3, erfüllt dieses die Gleichung a 2 = 7. Also hat die ursprüngliche 4 Gleichung eine Lösung in Q 7. (c Eine dritte Wurzel aus finden wir it der binoischen Forel durch z := ( Wegen ( 3 Z[ ] hat der -te Ter die Ordnung ord 3 5( Soit konvergiert die Reihe zu eine wohldefinierten Eleent in Z 5. Nach Aufgabe 3 erfüllt dieses die Gleichung z 3 = + 5 3, wie gewünscht. (d Analog zu (c setzen wir x := und y := 3 sowie z := ( 3 3 3, üssen aber it der Konvergenz aufpassen. Jedoch ist ( ( ( ord 3 3 = ord ( ( ! Ausserde gilt für jede Prizahl p und jede natürliche Zahl ord p (! =, p k k = ord 3 (!. 4

5 was an durch Induktion über beweist. Soit ist und daher ord p (! < k ( ( ord p k = p, > = 3 2. Daru konvergiert die Reihe zu eine wohldefinierten Eleent in Z 3. Analog zu Aufgabe 3 zeigt an, dass dieses die Gleichung z 3 = erfüllt, wie gewünscht. Beerkung: Jedes der beiden Arguente für (c lässt sich auf alle Prizahlen p 3 verallgeeinern und liefert eine Lösung in Q p. Mit (d sehen wir soit, dass für jede Prizahl p überhaupt eine Lösung in Q p existiert. Ausserde existiert eine Lösung in R. Nach de grossen Feratschen Satz existiert aber keine Lösung in Q. *3. Zeige: (a Für jedes α Q und jedes Z 0 liegt der Binoialkoeffizient ( α in Z[α]. (b Für alle α, β Q und Z 0 gilt ( α+β = ( α ( n=0 n β n in Q. (c Seien p eine Prizahl und α Q Z p sowie a pz p. Dann konvergiert die Reihe A(a, α := ( α a Z p. (d Für alle α, β Q Z p gilt A(a, α A(a, β = A(a, α + β. (e Schreibe α Q Z p in der For α = r s it r Z und s Z>0 und p s. Dann gilt A(a, α s = ( + a r. Lose gesprochen gilt also A(a, r s = ( + aα. Lösung: (a Schreibe α = r it r Z und s s Z>0 und ggt(r, s =. Nach Serie Aufgabe 7 gilt dann Z[α] = Z[ ]. Wir üssen also zeigen, dass ord s p( ( α 0 ist für jede Prizahl p s. Betrachte irgendeine ganze Zahl N 0. Dann ist ggt(s, p N = und nach de Chinesischen Restsatz existieren ganze Zahlen t, u it ts + up N =. Daraus folgt α = r ur = tr + s s pn, also α tr od p N Z[ ]. Dies s ipliziert ( ( α α (α (α + tr (tr (tr + tr = =!! odulo pn! Z[ s ]. Dabei ist jedenfalls ( tr Z. Haben wir N ordp (! gewählt, so gilt auch ord p ( pn! 0. Als Sue zweier rationaler Zahlen it ord p(... 0 gilt daher auch ord p ( ( α 0, wie gewünscht. 5

6 (b For any coplex nubers α and z with z < we have ( + z α := exp(α log( + z! = ( α z by the binoial theore. Thus for any further coplex nuber β we have ( ( ( ( + z α ( + z β α n z n ( β k z k ( ( α β n( z n n 0 k 0 n=0 ( + z α+β ( α+β z The desired equation thus follows fro the identity theore for convergent power series. (c By (a we have ( α Z[α] Z[ ] for all 0. In particular we have s ord p ( ( α 0. By assuption we also have ordp (a. Thus ord p ( ( α a, and so the series converges in Z p. (d For any two α, β Q Z p we have A(a, α + β ( α+β a ( (b ( α β n( a n n=0 A(a, α A(a, β ( n 0 ( α ( n a n ( β k a k k 0 in Z p because convergent sus in Z p can be rearranged arbitrarily. (e By induction (d iplies that A(a, α l = A(a, lα for all l Z. In particular we have A(a, α s = A(a, sα = A(a, r. If r 0, we have ( r = 0 for all > r and hence A(a, r = ( + a r by the binoial theore. If r < 0, fro (c and the preceding case we deduce that A(a, r A(a, r = A(a, 0 = and hence A(a, r = A(a, r =! ( ( + a r = ( + a r. In both cases we conclude that A(a, α s = ( + a r, as desired. Beerkung: (b haben wir bewiesen ittels Analysis über R oder C, und das Resultat haben wir in (d eingesetzt in eine Forel über Q p. Ein faszinierendes Wechselspiel zwischen klassischer und p-adischer Analysis. **4. Für welche Prizahlen p besitzt die Gleichung x 2 = 205 eine Lösung in Q p? (Hinweis: Googeln Sie quadratisches Reziprozitätsgesetz. 6