KOMPETENZHEFT INTEGRIEREN III

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1 KOMPETENZHEFT INTEGRIEREN III Inhaltsverzeichnis. Aufgabenstellungen. Rotationsvolumen 8 3. Bogenlänge 3 4. Linearer Mittelwert 7. Aufgabenstellungen Aufgabe.. Die Downloadgeschwindigkeit (in MBit/s) in Abhängigkeit von der Zeit (in s) kann im Zeitintervall [; 6] näherungsweise durch eine Funktion d L beschrieben werden. d L (t) dt im gegebenen Sachzusammenhang be- Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck 6 rechnet wird. 6 Aufgabe.. Ein Megafon ist ein trichterförmiges Gerät, das die Ausbreitung von Schall beeinflusst und die Verständlichkeit und Reichweite von Sprache verbessert. Die nebenstehende Abbildung stellt näherungsweise den inneren Querschnitt eines Megafons dar. Die Begrenzungslinie der Querschnittsfläche wird im relevanten Intervall durch die Funktion f beschrieben: f(x) = x Berechnen Sie das Innenvolumen des Megafons. Aufgabe.3. Der Venturi-Effekt besagt, dass sich die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids (Flüssigkeit oder Gas) in einem Rohr indirekt proportional zum Flächeninhalt des Querschnitts verhält, wenn die Durchflussmenge konstant bleibt. Die abgebildete Grafik zeigt den Längsschnitt einer rotationssymmetrischen Wasserdüse mit der Datum: 3. Juni 8.

2 Länge L. Bei einer speziellen Düse ist der Innenradius r am linken Rand der Düse 5 mm. Die Austrittsöffnung (rechts) hat einen Innenradius von r L =,5 mm. Die Länge der Düse L ist 5 mm. Die in der nachstehenden Grafik gekennzeichnete Begrenzungslinie lässt sich durch die Funktion f beschreiben: f(x) = a b x, mm x 5 mm. Berechnen Sie die Parameter a und b der Funktion f. Berechnen Sie das Innenvolumen der Wasserdüse. Aufgabe.4. Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht (künstliches Fieber). Die nebenstehende Grafik dokumentiert näherungsweise den Verlauf des künstlichen Fiebers bei einer solchen Behandlung. Die Funktion f beschreibt den Zusammenhang zwischen Zeit und Körpertemperatur: f(t) =,8 t 3 +,85 t +,6 t + 36,6 t... Zeit in Stunden (h) mit t 5 f(t)... Körpertemperatur zur Zeit t in C a) Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur 37 C beträgt. b) Dokumentieren Sie, wie die maximale Körpertemperatur im angegebenen Zeitintervall mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann. Begründen Sie, warum der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades höchstens Extrempunkte haben kann. c) Berechnen Sie den Zeitpunkt der maximalen Temperaturzunahme. d) Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur f im Intervall [; 5].

3 Aufgabe.5. Ein Schmuckstück kann als Rotationskörper beschrieben werden, der bei einer Rotation des Graphen der folgenden Funktion im Intervall [; 3] um die x-achse erzeugt wird: y = 4 e x x, y... Koordinaten in Zentimetern (cm) Damit das Schmuckstück an einer Kette befestigt werden kann, musste es durchbohrt werden. So entsteht ein zylindrisches Bohrloch mit einem Durchmesser d (siehe nebenstehende Abbildung). Stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens dieses Schmuckstücks auf. Berechnen Sie dieses Volumen. Aufgabe.6. Im Computerspiel Angry Birds muss man mithilfe einer Schleuder Schweine treffen. Als Wurfgeschoße stehen verschiedene Vögel zur Verfügung. Einige dieser Vögel haben besondere Funktionen, die durch einen Mausklick ausgelöst werden können. Koordinaten bzw. Abstände sind im Folgenden in Längeneinheiten (LE) angegeben. Die Flugparabel des Vogels Red bei einem Wurf kann durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden: f(x) =, x +,9 x + mit x x... horizontale Entfernung vom Abschusspunkt in Längeneinheiten (LE) f(x)... Flughöhe des Vogels über dem horizontalen Boden an der Stelle x in LE Red trifft kein Schwein und prallt auf den Boden auf. Berechnen Sie, in welcher horizontalen Entfernung vom Abschusspunkt der Vogel auf dem Boden aufprallt. Der Weg, den der Vogel vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden zurücklegt, entspricht der Länge der Kurve zwischen diesen Punkten. Berechnen Sie den vom Vogel zurückgelegten Weg vom Abschusspunkt bis zum Aufprall am Boden. 3

4 Aufgabe.7. durch die Funktion T beschrieben wird: In der unten stehenden Grafik ist ein Erwärmungsvorgang dargestellt, der T (t) = a ( e t 8 ) + mit t t... Zeit nach Beginn des Vorgangs in min T (t)... Temperatur zur Zeit t in C a... Konstante Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Konstante a. Interpretieren Sie die nachstehende Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang. Aufgabe.8. b b T (t) dt = 6 C Das 6 cm hohe Modell einer künstlerischen Interpretation eines Nadelbaums sieht folgendermaßen aus. Die Form des Modells kann durch Rotation der Graphen der Funktionen f, g und h um die x-achse beschrieben werden: A = (4, 4,53) B = (9,,46) x... horizontale Koordinate in Zentimetern (cm) f(x), g(x), h(x)... vertikale Koordinate an der Stelle x in Zentimetern (cm) Stellen Sie unter Verwendung der Funktionen f, g und h eine Formel für das Volumen des Nadelbaummodells auf. Die Funktion g ist eine Polynomfunktion. Grades, deren Graph durch die Punkte A und B verläuft. Die Steigung der Tangente an den Graphen von g im Punkt A beträgt,. Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem man die Koeffizienten der Polynomfunktion g berechnen kann. 4

5 Aufgabe.9. Ein Händler verkauft Figuren, die auf einem Sockel aus Holz stehen. Dieser hat die Form eines Kegelstumpfes. Der dargestellte Kegelstumpf entsteht durch Rotation des Funktionsgraphen von f im Intervall [; h] um die horizontale Achse: Tragen Sie die fehlenden Beschriftungen h, r und R in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Es gilt: h =,5 cm, r =, cm und R = 3, cm. Stellen Sie mithilfe dieser Angaben die Gleichung der Funktion f auf. Berechnen Sie das Rotationsvolumen des Kegelstumpfes mithilfe der Integralrechnung. Aufgabe.. Die Form eines Wassergefäßes kann durch Rotation des Graphen der Funktion mit folgender Gleichung um die y-achse beschrieben werden: y =, 4 x 4 mit x x, y... Längen in cm Der obere Rand des Gefäßes hat einen Radius von 3 cm. Das Gefäß wird bis zum oberen Rand gefüllt. Berechnen Sie das Volumen in Litern. 5

6 Aufgabe.. Pac-Man ist ein Videospiel, das 98 veröffentlicht wurde. Die Spielfigur Pac-Man muss Punkte in einem Labyrinth fressen, während sie von Gespenstern verfolgt wird. a) In Abbildung ist Pac-Man dargestellt. Der Kreisabschnitt in der oberen Hälfte des Koordinatensystems kann mit dem Funktionsgraphen der Funktion f mit f(x) = x im Intervall x x P dargestellt werden. Veranschaulichen Sie in der Abbildung den Wert cos(α). Kennzeichnen Sie in der Abbildung diejenige Fläche, die mit dem nachstehenden bestimmten Integral berechnet wird. F = xp ( x y ) P x dx x P Berechnen Sie den Flächeninhalt von Pac-Man mit Radius cm und α = π 5 rad. b) In Abbildung wird ein Gespenst durch 4 Funktionen im Intervall [; 6π] dargestellt. Der Punkt A hat die Koordinaten (,5 6). Der Kopf wird durch einen Halbkreis dargestellt. Die Seitenlinien entsprechen Geraden. Stellen Sie eine mögliche Winkelfunktion f für die dargestellte Wellenlinie auf. Berechnen Sie die Länge der äußeren Umrisslinie der dargestellten Figur. Verwenden Sie zur Berechnung der Länge der Wellenlinie die nachstehende Formel für die Bogenlänge. x b f = + f (x) dx x 6

7 . Mit dem Ausdruck wird die mittlere Downloadgeschwindigkeit (in MBit/s) im Zeitintervall [; 6] berechnet.. V x = 44,36... cm 3.3 a = 5, b =,99 V x = 99,56... mm 3.4 a) t =,49... h b) Dazu muss das Maximum der Funktion f ermittelt werden: Man berechnet die Nullstellen der. Ableitung f. Dann berechnet man die Funktionswerte an diesen Stellen und den Randstellen. Die größte dieser Zahlen ist der maximale Funktionswert. Die. Ableitung einer Polynomfunktion 3. Grades ist eine quadratische Funktion. Eine quadratische Funktion hat höchstens Nullstellen. Daher kann der Graph der Polynomfunktion 3. Grades nur höchstens Extrempunkte haben. c) t =, h d) t = 39,55... C 3 (.5 V = π 4 e x ) dx V = 4, cm 3 ( d ) π 3 mit d = 4 e 3.6 Aufprall bei x = LE Zurückgelegter Weg:,5... LE.7 a = 7 Im Intervall [; b] beträgt die mittlere Temperatur 6 C..8 V = π 4 f(x) dx + π 9 4 g(x) dx + π 6 h(x) dx 9 g(x) = a x + b x + c I : g(4) = 4,53 II : g(9) =,46 III : g (4) =,.9 f(x) =,5 x + V = π,5 f(x) dx = 9, cm 3. V = 6,96... l. a) A = 4 π 5 =,53... b) f(x) = cos(x + π) + oder f(x) = sin ( x π ) + U = 8,

8 . Rotationsvolumen Arbeitsblatt Rotationsvolumen Auf dem Arbeitsblatt Rotationsvolumen behandeln wir die folgenden Fragen: Welche Möglichkeiten haben wir, um das Volumen der dargestellten Vase zu bestimmen? Wie können wir das Volumen annähern, wenn wir die Gleichung der Funktion f kennen? Wie können wir die Annäherung verbessern? Wie können wir mit Hilfe der Integralrechnung das exakte Volumen berechnen? 8

9 Der Graph einer stetigen Funktion y = f(x) rotiert im Intervall [a; b] um die x-achse. Das Volumen V x des dabei entstandenen Rotationskörpers ist V x = π Volumen von Rotationskörpern b a f(x) dx. Quadriere die Funktionsgleichung (f(x) =...) und integriere nach x. Die Integrationsgrenzen a und b lies auf der x-achse ab. Der Graph einer stetigen Funktion x = g(y) rotiert im Intervall [c; d] um die y-achse. Das Volumen V y des dabei entstandenen Rotationskörpers ist V y = π d c g(y) dy. Forme die Gleichung y = f(x) auf x um und integriere die andere Seite nach y. Die Grenzen c und d lies auf der y-achse ab. Beispiel.. Leite mit Hilfe der Integralrechnung eine Formel für das Volumen eines Drehkegels mit Radius r und Höhe h her. Lösung. Wir können den Drehkegel als Rotationskörper beschreiben, indem wir den Graphen einer linearen Funktion um die x-achse rotieren lassen. Drehkegel als Rotationskörper Beschrifte die Skizze, und erkläre weshalb gilt. f(x) = r h x Das Volumen des Drehkegels beträgt daher V = π h f(x) dx = π h r h x dx = π r h x3 3 h = π r h h3 3 = r π h. 3 9

10 Beispiel.. Leite mit Hilfe der Integralrechnung eine Formel für das Volumen einer Kugel mit Radius r her. Lösung. Kugel als Rotationskörper Beschrifte die Skizze und erkläre, warum das Kugelvolumen r ( V = π r x ) dx beträgt. r Die Funktion f ist symmetrisch zur vertikalen Achse ( gerade Funktion ), also ist ( ) r ( ( ) V = π r x ) dx = π r x x3 r = π r 3 r3 = 4 r3 π Beispiel.3. Eine Avocado und ihr Kern können näherungsweise als Rotationskörper beschrieben werden: Die Schale wird durch eine Funktion s mit s(x) = A x 4 + B x 3 + C x + D x + E, cm x cm beschrieben. Die Funktion s hat Nullstellen bei x = und x =. Im Punkt (4 3) hat die Funktion ein lokales Maximum. Der Funktionsgraph von s verläuft durch den Punkt (8,).

11 Der Kern wird durch eine Funktion k mit k(x) = a x 4 + b x 3 + c x + d x + e, cm x 6 cm beschrieben. Die Funktion k hat Nullstellen bei x = und x = 6. Im Punkt (3,5) hat die Funktion ein lokales Maximum. Der Funktionsgraph von s verläuft durch den Punkt (5,). Das grüne Fruchtfleisch der Avocado hat eine Dichte von ρ =,9 g/cm 3. Berechne, wie viel Gramm Fruchtfleisch die Avocado hat. Lösung. Mit Technologieeinsatz berechnen wir die Gleichungen der beiden Funktionen: I : s() = II : s() = III : s (4) = IV : s(4) = 3 V : s(8) =, = A = 64, B = 89 3, C = 45 4, D = 4, E = I : k() = II : k(6) = III : k (3) = IV : k(3) =,5 V : k(5) =, = a =, b = 373, c = 797, d = 8979, e = Das Volumen der Avocado mit Kern beträgt ( ) V A = π s(x) dx = π A B C D = 9,9... cm 3. Das Volumen des Kerns beträgt V K = π 6 k(x) dx = π Das Fruchtfleisch der Avocado hat also das Volumen ( ) a x5 5 + b x4 4 + c x3 3 + d x + e x V = V A V K = 66,5... cm 3. 6 = 3,78... cm 3. Mit der Dichte ρ = m V können wir daraus die Masse berechnen: m = V ρ = 66,5... cm 3,9 g/cm 3 = 49,85... g. Das Fruchtfleisch der Avocado hat also eine Masse von rund 5 Gramm.

12 Beispiel.4. Die Innenwand eines Trinkglases entsteht durch Rotation einer Funktion f(x) = x + c um die x-achse: Wir sollen ein spezielles Trinkglas mit den folgenden Eigenschaften entwerfen: Der untere Durchmesser der Innenwand soll 6 cm betragen. Als Boden wird ein 8 mm hoher Drehzylinder verwendet. Die,5 l - Markierung soll sich cm unterhalb des Glasrandes befinden. Berechne, welche Gesamthöhe das Trinkglas haben muss. Lösung. f() = 3 cm = c = 3 = c = 9 Wenn das Trinkglas bis zur Höhe b angefüllt wird, beträgt das Volumen b ( ) V (b) = π (x + 9) dx = π b ( ) x + 9 x = π b + 9 b cm 3 Um die Höhe der Markierung für,5 l = 5 ml = 5 cm 3 zu bestimmen, lösen wir die folgende Gleichung: ( ) V (b) = 5 = π b + 9 b Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichungen sind Die Gesamthöhe des Trinkglases beträgt also = 5 = b + 9 b 5 π = (b = 8,98... cm) und b =,98... cm. h =, ,8 + =,78... cm.

13 3. Bogenlänge Kreisumfang Wir wollen den Umfang eines Kreises mit Radius r näherungsweise bestimmen. Dazu schreiben wir ihm regelmäßige Vielecke ein. Regelm. Vieleck Seitenlänge Umfang 3-Eck,73... r 5,96... r 6-Eck r 6 r -Eck,57... r 6,... r 4-Eck,6... r 6,65... r 48-Eck,3... r 6,78... r 96-Eck,65... r 6,8... r Eine Formel für den Umfang des regelmäßigen n-ecks ist ( ) π u = n sin r. n Kannst du sie erklären? Mit jeder Verdopplung der Seitenanzahl wird der Umfang des Vielecks größer. Der Umfang bleibt jedoch stets kleiner als der Kreisumfang u = r π = 6,83... r. Der Grenzwert ( lim n sin π n n) r = r π ist der Kreisumfang. Auf dem Arbeitsblatt Mittelwertsatz der Differentialrechnung behandeln wir die folgenden Fragen: Arbeitsblatt Mittelwertsatz der Differentialrechnung Was garantiert uns der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Wie können wir die Bogenlänge l des Graphen einer Funktion f im Intervall [a; b] durch Streckenzüge annähern? Wie können wir mit Hilfe der Integralrechnung die exakte Bogenlänge berechnen? 3

14 Bogenlänge Die Bogenlänge l des Graphen einer differenzierbaren Funktion f im Intervall [a; b] ist l = b a + f (x) dx. Beispiel 3.. Berechne die Bogenlänge des Graphen von f(x) = x im Intervall [; 5]. Lösung. l = 5 + f (x) dx = 5 5 dx = x = 5 = 7,7... Kannst du diese Bogenlänge auch ohne Integralrechnung bestimmen? Beispiel 3.. Berechne die Bogenlänge des Graphen von f(x) = x x im Intervall [; 3]. Lösung. Die Ableitung von f(x) = x x berechnen wir mit der Produktregel: f (x) = x + x x = x + x 3 = x = Die Bogenlänge beträgt also 3 ( x ) dx = ( x ) }{{} Kettenregel / Lineare Substitution Wir kontrollieren das Ergebnis mit Technologieeinsatz: + f (x) = x 3 = 49,9...,9... = 49. 4

15 Beispiel 3.3. Der Verlauf einer Skisprungschanze kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades beschrieben werden: Die Startposition befindet sich auf der Höhe 45 m. Bei der Startposition hat die Schanze einen Neigungswinkel von 35. Der Schanzentisch befindet sich in 3 m Höhe und m horizontaler Entfernung von der Startposition. Beim Schanzentisch ist die Sprungschanze weder steigend noch fallend. a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, aus dem die Koeffizienten der Polynomfunktion h berechnet werden können. Löse das lineare Gleichungssystem (mit Technologieeinsatz). b) Stelle eine Formel auf, mit der die Länge der Sprungschanze berechnet werden kann. Berechne die Länge der Sprungsschanze (mit Technologieeinsatz). c) Begründe mithilfe der Differenzialrechnung, warum der Neigungswinkel der Schanze an der Startposition maximal ist. Lösung. a) h(x) = a x 3 + b x + c x + d I : h() = 45 II : h () = tan( 35 ) III : h() = 3 IV : h () = Lösung mit Technologieeinsatz: a =, b =, c =,7... d = 45 b) h (x) = 3 a x + b x + c l = + h (x) dx =,3... m c) Die Funktion h hat im Intervall [; ] keinen Wendepunkt, da alle Lösungen von h (x) = außerhalb liegen. Der maximale Neigungswinkel muss daher am Rand (x = oder x = ) angenommen werden. Der Neigungswinkel der Schanze ist also an der Startposition maximal. 5

16 Beispiel 3.4. Die Funktion f mit f(x) = ex + e x heißt auch Cosinus hyperbolicus und wird mit cosh abgekürzt. Die Funktion g mit g(x) = ex e x heißt auch Sinus hyperbolicus und wird mit sinh abgekürzt. a) Rechne nach, dass f (x) = g(x) und g (x) = f(x) gilt. b) Rechne nach, dass f(x) g(x) = gilt. c) Berechne die Bogenlänge von f im Intervall [; 4]. Lösung. a) f (x) = ex + e x ( ) = g(x) g (x) = ex e x ( ) = f(x) ( e x ) ( ) e x b) f(x) g(x) = (f(x) + g(x)) (f(x) g(x)) = = e x x = e = c) Die Bogenlänge von f in [; 4] beträgt l = 4 = g(x) Beispiel f (x) dx a) = 4 = e4 e 4 4 e e + g(x) dx b) = 4 f(x) dx a) = f(x) > = = 6,... Die Astroide ( Sternkurve ) wird implizit durch die Gleichung f(x) = f(x) x 3 + y 3 = x 3 = 3 x ist für alle Zahlen x R definiert. beschrieben. Ein Punkt P = (x P y P ) liegt genau dann auf der Kurve, wenn x 3 P + y 3 P = gilt. Zum Beispiel: ( ) oder ( ). Wir berechnen den Umfang u der Astroide. y 3 = x 3 = y = ± ( ) x 3 3 Der obere Rand der Astroide ist also der Funktionsgraph von f(x) = ( ) x 3 3. = f (x) = 3 ( ( ) ) x ( 3 ) x 3 3 x 3 = = + f (x) = + x 3 = u = x 3 = x 3 x 3 + x 3 x 3 + f (x) dx = = x 3 x 3 = x 3 x 3 dx = x 3 3 = 3 ( 3) = 6. 6

17 4. Linearer Mittelwert Arbeitsblatt Mittelwertsatz der Integralrechnung Auf dem Arbeitsblatt Mittelwertsatz der Integralrechnung behandeln wir die folgenden Fragen: Wie können wir den durchschnittlichen Funktionswert annähern, den eine Funktion f im Intervall [a; b] annimmt? Wie können wir den durchschnittlichen Funktionswert mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen? Was garantiert uns der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Der lineare Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b] ist m = b a b a f(x) dx. Linearer Mittelwert einer Funktion m ist der durchschnittliche Funktionswert von f in [a; b]. Beispiel 4.. Wir berechnen den linearen Mittelwert von f(x) = sin(x) in [; π]. m = π π sin(x) dx = π ( cos(x)) π = π ( ( )) = π =,

18 Linearer Mittelwert einer linearen Funktionen f ist eine lineare Funktion in [a; b]. An welcher Stelle s nimmt die Funktion den durchschnittlichen Funktionswert an? Wir rechnen nach, dass der lineare Mittelwert von f in [a; b] tatsächlich f ( ) a+b ist. f(x) = k x + d. = b b a f(x) dx = ( ) k a b a b x + d x = a = ( k b a b + d b k ) a d a = ( ) k b a (b a ) + d (b a) ( ) ( ) a + b a + b = k + d = f = = b a = (b a) (b + a) f ist eine stetige Funktion in [a; b]. Wir erklären, warum es sicher eine Stelle s in [a; b] gibt, an der der Funktionswert genau der lineare Mittelwert von f in [a; b] ist: ) Die Funktion F mit Kompetenzheft Integrieren II F (x) = x a f(t) dt ist eine Stammfunktion von f. Es gilt also F (x) = f(x). ) Erkläre, warum F (b) F (a) = b b a b a f(t) dt. a 3) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung garantiert uns eine Stelle s in [a; b] mit F (s) = F (b) F (a) b a Das ist genau der Mittelwertsatz der Integralrechnung. MWS Differentialrechnung = MWS Integralrechnung = f(s) = b b a f(t) dt a 8

19 Integration Beschreibe in eigenen Worten, wie wir mit Hilfe der Integralrechnung Streckenzüge zur Annäherung von Bogenlängen verwenden können.... Rechtecke zur Annäherung von Flächeninhalten verwenden können.... Drehzylinder zur Annäherung des Volumens von Rotationskörpern verwenden können. Dieses Werk von unterliegt einer CC BY-NC-ND 4. Lizenz.