Mathe-LMU.de. 50 Jahre Mathematische Logik am Institut - Seite 10 Künstliche neuronale Netze - Seite 22. Nr. 32 Januar 2016

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1 1 Nr. 32 Januar 2016 Mathe-LMU.de Carathéodory-Gesellschaft zur Förderung der Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der LMU München e.v. 50 Jahre Mathematische Logik am Institut - Seite 10 Künstliche neuronale Netze - Seite 22

2 2 In meinem nepalesischen Heimatdorf gibt es keinerlei Gesundheitsversorgung. Viele Leben könnten schon durch eine einfache Behandlung gerettet werden. Durch das Deutschlandstipendium kann ich jetzt an der LMU Medizin studieren und nach meinem Abschluss den Menschen vor Ort helfen.«sagar Dhital, Medizinstudent Zeit zum Denken schenken Deutschlandstipendium an der LMU München Unterstützen Sie jetzt auch besonders begabte und engagierte Studierende mit 150 Euro im Monat! Der Bund verdoppelt Ihre steuerlich absetzbare Spende, damit jungen Menschen während ihres Studiums mehr Zeit zum Denken bleibt. Ich möchte ein Stipendium stiften

3 Liebe Leserinnen und Leser, Liebes Vereinsmitglied, 3 haben Sie Weihnachtspost erhalten mit lieben, aber nur schwer zu entziffernden handschriftlichen Grüßen? Es ist bewundernswert, wie unser Gehirn damit zurechtkommt, und besonders erstaunlich, dass es mit großer Präzision gelingt, mit Maschinen derartige Fähigkeiten zu simulieren etwa für Lesegeräte oder Gesichtserkennung. In die dahinter stehende Mathematik führt uns Rami Daknama auf Seite 22 ein. Die nebenstehende Anzeige des Deutschlandstipendiums an der LMU wirbt um Unterstützung für ein Förderprogramm, dem gerade in der jetzigen Weltlage sicher die Aufgaben nicht ausgehen werden. Ausführlich informiert Sie auf Seite 8 ein Interview mit dem Vizepräsidenten Prof. Dr. Martin Wirsing über diese wertvolle Initiative. Herr Professor Wirsing ist übrigens einer der Hochschullehrer, die der Lehrstuhl für Mathematische Logik hervorgebracht hat. Es ist gerade 50 Jahre her, dass dieser neugeschaffene Lehrstuhl mit Kurt Schütte besetzt wurde. Prof. Wolfram Pohlers (Münster) und Prof. Stanley Wainer (Leeds) erinnern auf Seite 10 bis 13 an diese bedeutende Episode unseres Instituts, die wesentlich zu seiner Geltung beigetragen hat. Mit den besten Wünschen für 2016 Heiner Steinlein als wir am 8. Mai 2015, gemeinsam mit dem Bayerischen Finanzzentrum e.v., eine Veranstaltung Digitalisierung, Big Data, Adäquate mathematische Verfahren durchführten, betraten wir Neuland. Auch wenn wir davon ausgingen, dass es sich bei der Thematik nicht nur um einen vorübergehenden Hype handelt, war die zwischenzeitliche Entwicklung frappierend. Methodisch spricht man nun oft von Digitalen Techniken mit den Einzelaspekten: Cloud Big Data Mobil Social IOT (Internet Of Things). Hierbei überlappen sich mathematische Aspekte und Aspekte der Informatik. Markierungspunkte dieser Entwicklung finden sich vielfältig: Im politischen Bereich z.b. die Digitalisierungsoffensive der Bayerischen Staatsregierung. Im universitären Bereich erste Lehrstühle für Big Data und neue Masterstudiengänge Data Science, die noch in diesem Jahr starten. Die Deutsche Aktuarvereinigung wird dem Thema Big Data auf ihrer diesjährigen Mitgliederversammlung im April breiten Raum einräumen. Und IBM siedelt den globalen Sitz für die Bereiche Industrie 4.0 und Internet der Dinge (IOT) in München an. Die Carathéodory-Gesellschaft wird diese Entwicklungen weiterhin begleiten und versuchen, auch zukünftig frühzeitig neue Themen zu identifizieren. Ihr Manfred Feilmeier Impressum mathe-lmu.de Herausgeber Carathéodory-Gesellschaft zur Förderung der Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der LMU München e.v. Mathematisches Institut, Universität München, Theresienstr. 39, München fmwus@mathematik.uni-muenchen.de Bayerische Landesbank, BIC: BYLADEMMXXX IBAN: DE ViSdP Manfred Feilmeier Sendlinger Straße 21, München, manfred.feilmeier@ubefei.com Redaktion Katharina Belaga, Bernhard Emmer, Lisa Kraus, Daniel Rost, Heinrich Steinlein Auflage 5000 Layout Gerhard Koehler, München, kws@kws-koehler.de Druck WirmachenDruck.de Die Redaktion bedankt sich bei den Firmen, die mit ihren Anzeigen die Herausgabe dieser Zeitung ermöglichten. Wir bitten die Leser um freundliche Beachtung der Anzeigen.

4 4 Berichte aus dem Mathematischen Institut Einschreibung Nach dem kleinen Einbruch der Einschreibungszahlen im Vorjahr gegenüber den extrem hohen Anfängerzahlen in den Wintersemestern 2011/12 bis 2013/14 damals teilweise bedingt durch den doppelten Abiturjahrgang und das Auslaufen der Wehrpflicht gab es in diesem Semester wieder einen spürbaren Anstieg. Bemerkenswert ist zudem die deutliche Verschiebung zugunsten der Bachelor-Studiengänge, bei denen es inzwischen ein ausgewogenes Verhältnis von Bachelor Mathematik zu Bachelor Wirtschaftsmathematik gibt. Interessant ist auch der kontinuierliche Anstieg der Anfängerzahlen in den Masterstudiengängen. Rechnet man hier noch die Zahlen vom Sommersemester 2015 hinzu, so kommt man im Jahre 2015 auf 74 Anfänger für den Master Mathematik und 23 Anfänger beim Master Wirtschaftsmathematik. Personalien Herr Prof. Rupert Frank (Caltech) hat den Ruf auf die W3-Professur (Nachfolge Erdös) angenommen und wird die Stelle zum antreten. Rupert Frank kehrt damit an das Institut zurück, an dem er sein Diplomstudium absolviert hat. Herr Prof. Hans-Dieter Donder trat zum Ablauf des vergangenen Sommersemesters in den Ruhestand. Zwei Kollegen haben Rufe auf W3-Professuren angenommen und werden das Institut 900 Studienanfängerzahlen Mathematisches Institut Internationaler Masterstudiengang Mathematik als Unterrichtsfach Lehramt an Gymnasien Diplom Wirtschaftsmathematik Diplom Mathematik Master Wirtschaftsmathematik Master Mathematik Bachelor Wirtschaftsmathematik Bachelor Mathematik

5 5 zum verlassen: Frau Prof. Hedwig Gasteiger geht an die Universität Osnabrück, Herr Prof. Oliver Goertsches an die Philipps- Universität Marburg. Veranstaltungen Am Ende der bayerischen Sommerferien fand am Mathematischen Institut wieder das beliebte Probestudium Mathematik statt, in dem interessierte Schülerinnen und Schüler typische Lehrveranstaltungen kennenlernen und sich über die Chancen und Möglichkeiten als Mathematiker/in informieren konnten. Unter der Leitung von Prof. Ufer wurde zum ersten Mal ein zweiwöchiges Programm vom bis angeboten. Damit haben die Teilnehmer/innen einen realistischen Einblick in das Hochschulstudium der Mathematik an der LMU München gewonnen. Gleich im Anschluss wurde ebenfalls unter der Leitung von Prof. Ufer der zweiwöchige Brückenkurs Mathematik für Studienanfänger/innen aus den Bachelor- und Lehramtsstudiengängen angeboten. Zur Vorbereitung auf das Studium der Mathematik konnten die Teilnehmer/innen hier schulische Mathematikinhalte auffrischen und gleichzeitig Techniken und Arbeitsweisen erlernen, die am Anfang des Studiums häufig Schwierigkeiten bereiten. Ebenfalls für Studienanfänger/innen hat die GAF (Gruppe Aktiver Fachschaftler) am 7. und 8. Oktober eine Orientierungsphase am Mathematischen Institut veranstaltet. Mit Informationen über den Uni-Alltag, die Stadt und die Fachschaft sowie ersten Kontakten zu den Kommilitonen sollte dabei ein reibungsloser Start in das Studium ermöglicht werden. Am Samstag, den 10. Oktober fand am Mathematischen Institut die diesjährige feierliche Verabschiedung der Absolventinnen und Absolventen der Diplom-, Bachelorund Masterstudiengänge statt. Die Veranstaltung begann mit Ansprachen der Direktorin Prof. Biagini, des Dekans Prof. Rosenschon und einer Absolventin. Anschließend folgte die Rede des Vorsitzenden der Carathéodory-Gesellschaft, Prof. Feilmeier, und die Verleihung des Carathéodory-Preises (s.u.). Schließlich wurden alle Absolventen/ innen persönlich geehrt und mit einem Geschenk verabschiedet. Für die musikalische Gestaltung der Feier sorgte diesmal ein Duo mit Saxophon und Gitarre. Zum Ausklang trafen sich alle Teilnehmer/innen bei einem Stehempfang. Auszeichnungen Im Rahmen der Absolventenfeier konnte zum zweiten Mal der Carathéodory-Preis für die besten Masterarbeiten und Promotionen verliehen werden. Herr Johannes Alt, Herr Anton Freund und Herr Fabian Gundlach waren in diesem Jahr die Preisträger für die besten Masterarbeiten. Herr Dr. Martin Gebert wurde für seine Dissertation zum Thema Spectral and Eigenfunction Correlations of Finite-Volume Schrödinger Operators ausgezeichnet. Leider konnten nur 20 der über 90 Absolventinnen und Absolventen an der Feier teilnehmen.

6 6 Zum Tode von Herrn Professor Peter Gänßler Nach kurzer, schwerer Krankheit verstarb am 17. Juni 2015 unser hochgeschätztes Institutsmitglied Professor Peter Gänßler. Unser Mitgefühl gilt seiner Frau Ingrid, mit der er über 50 Jahre verheiratet war. Professor Peter Gänßler wurde 1937 im schwäbischen Öhringen geboren. Nach seinem Abitur 1956 in Schwäbisch Hall studierte er Mathematik, Physik und Chemie an der Universität Heidelberg, mit einem Zwischenjahr an der LMU München. Nach der Diplom-Hauptprüfung in Mathematik 1962 wurde er wissenschaftlicher Assistent bei den Professoren Klaus Krickeberg und Gottfried Köthe. Diese waren auch die Referenten seiner im Jahr 1966 fertiggestellten Dissertation über straffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum der Schwartzschen Distributionen. Nach einem Wechsel an die Universität Köln zum Lehrstuhl von Professor Johann Pfanzagl habilitierte er 1971 mit einer Arbeit über Kompaktheitskriterien im Raum signierter Maße. Nach einer kurzen Zeit als Lehrstuhlvertreter an der Ruhr-Universität Bochum wurde er dort 1972 ordentlicher Professor für Mathematik, damals der jüngste Ordinarius vor Ort. Im Jahr 1978 wechselte er auf den Lehrstuhl für Mathematische Stochastik am Mathematischen Institut der LMU München, den er bis zu seiner Emeritierung im Jahr 2002 innehatte. Der Schwerpunkt seiner Arbeit im Institut lag bei der Mathematischen Statistik, der Wahrscheinlichkeits- und der Maßtheorie. Zudem kümmerte er sich intensiv um die Ausbildung von Naturwissenschaftlern und Diplomstatistikern in diesen Fächern. Seine Forschungsschwerpunkte lagen auf dem Gebiet der Empirischen Prozesse und der Nichtparametrischen Statistik. Mit seinen Beiträgen zur Theorie mengen- und funktionenindizierter Empirischer Prozesse und zur Theorie der Partialsummenprozesse in allgemeinen Stichprobenräumen, speziell unter dem Aspekt der von ihm propagierten Random Measure Processes, stand er über Jahrzehnte mit an der Spitze der internationalen Forschung. Weiter sind in diesem Zusammenhang auch die Vapnik-Chervonenkis- Theorie sowie die Cluster- und Bootstrapverfahren zu nennen. Professor Gänßler war international hoch angesehen und in engem Kontakt mit den führenden Stochastikern seiner Zeit. Dies belegen auch seine zahlreichen Auslandsaufenthalte, u.a. in Berkeley, Kopenhagen, Patras, Princeton und Seattle. Als besondere Auszeichnung wurde er 1977 Elected member of the International Statistical Institute sowie 1984 Fellow of the Institute of Mathematical Statistics. Unter seinen Veröffentlichungen übte der 1977 mit Winfried Stute verfasste Springer- Hochschultext Wahrscheinlichkeitstheorie einen großen Einfluss aus. Bei seinen Studenten wurde dieses Standardwerk oft liebevoll das Telephonbuch genannt, nicht nur wegen des charakteristisch Springer-gelben Covers, sondern auch wegen seiner umfassenden und präzisen Darstellung. Mathematische Nachlässigkeiten, wie etwa man sieht

7 Neu am Institut Prof. Nikita Semenov 7 leicht, dass oder under some regularity conditions one can show that waren ihm stets zuwider. Schade ist nur, dass es nicht mehr zu einer neuen Druckauflage im LaTeX- Layout gekommen ist Ein besonderes Anliegen war ihm auch die Förderung des wissenschaftlichen Nachwuchses, für den er sich entschieden und mit ganzer Kraft einsetzte. Viele seiner Schüler haben an Universitäten oder in der Wirtschaft Karriere gemacht, er selbst blieb darüber stets bescheiden, die Sache, die Mathematik, das saubere, gewissenhafte Arbeiten, das Bohren dicker Bretter, wie er es nannte, stand bei ihm immer im Mittelpunkt. Seit seiner Emeritierung 2002 hatte er mehr Zeit für seine Hobbys, Opernbesuche, Spaziergänge am Starnberger See, am Meer und in den Bergen, zusammen mit seiner Frau. Zu seinen Leidenschaften zählte insbesondere auch die Malerei, für die er ein ganz außergewöhnliches Talent besaß. Er blieb aber auch dem Mathematischen Institut verbunden und schaute nahezu wöchentlich dort vorbei. Er ließ es sich auch nicht nehmen, im Dekanat immer einen Blick in die zur Einsicht ausliegenden Dissertationen zu werfen. Bis zuletzt war er als Mitglied in Ausschüssen tätig und nahm an der Entwicklung des Instituts regen Anteil. Mit seinem Tode verlieren seine Schüler eine Vaterfigur, die sie geformt hat, nicht nur in mathematischer Hinsicht, und der sie sehr viel zu verdanken haben. Das Mathematische Institut der LMU, die deutsche und die internationale Stochastik verlieren eine bedeutende und prägende Persönlichkeit. Wir blicken dankbar zurück auf die Zeit, die wir mit Professor Gänßler verbringen durften, und werden ihn sehr vermissen. Franz Merkl, Helmut Pruscha, Daniel Rost Seit September 2015 ist Nikita Semenov Professor für Mathematik am Lehrstuhl für Algebraische Geometrie der LMU. Ab 1997 studierte er Mathematik an der staatlichen Universität St. Petersburg. Nach dem Diplom mit Auszeichnung nahm er ein Promotionsstudium an der Universität Bielefeld auf, wechselte aber nach einiger Zeit an die Universität München, wo er bei Fabien Morel 2007 seine Dissertation mit summa cum laude abschloss. Nach der Promotion war er als wissenschaftlicher Mitarbeiter im Rahmen eines DFG-Projektes am Mathematischen Institut der LMU tätig wurde er auf eine Juniorprofessur an der Johannes Gutenberg-Universität Mainz berufen. Zwischen 2007 und 2015 wurde er zu mehreren Forschungsaufenthalten eingeladen, darunter an das Fields Institut für Mathematik in Toronto. Von 2010 bis 2015 war er Projektleiter im Rahmen eines Sonderforschungsbereichs Bonn- Essen-Mainz. Im März 2014 war er Gastprofessor an der Universität Paris 13. In seiner Forschung beschäftigt sich Nikita Semenov mit algebraischen Gruppen, homogenen Räumen und deren Chow-Motiven. Interessanterweise gibt es dabei Zusammenhänge mit der Darstellungstheorie der Hecke-Algebren einem klassischen Gebiet der Zahlentheorie. Bereits in seiner Dissertation entwickelte er eine systematische Theorie der Motive der homogenen Varietäten. Später gelang ihm die Konstruktion einer neuen kohomologischen Invariante für Gruppen vom Typ E8 und in diesem Zusammenhang die Lösung eines offenen Problems von Jean-Pierre Serre.

8 8 Das Deutschlandstipendium an der LMU: Interview mit Vizepräsident Prof. Dr. Martin Wirsing Herr Professor Wirsing, Sie sind selber Mathematiker. Inwieweit profitieren Sie als Vizepräsident für den Bereich Studium an der LMU von der mathematischen Logik? Als Vizepräsident profitiere ich von der mathematischen Logik indirekt. Aber in meinem Fach der Programmierung und Softwaretechnik ist die mathematische Logik ein grundlegender Baustein: Programme und Softwaresysteme werden mit logischen Methoden formuliert und bewiesen. Auch gerade bei aktuellen Entwicklungen wie verteilten Echtzeitsystemen und Webinformationssystemen spielen spezielle Logiken wie etwa temporale Logik, stochastische Logik oder Beschreibungslogik eine große Rolle. Als Mitglied der ersten Stunde in der Carathéodory-Gesellschaft setzen Sie sich für die Förderung von Forschung und Ausbildung im Fach Mathematik ein. Was ist Ihnen dabei besonders wichtig? Mathematische Methoden bilden die Grundlage für viele Entwicklungen in der Informatik und allgemein in der Technik; trotzdem wird Mathematik in unserer Gesellschaft häufig nicht sehr geschätzt. Für uns ist es deshalb wichtig, unseren Studierenden eine gute Ausbildung in der Mathematik zu geben, die Forschung in der Mathematik voranzutreiben und ein besseres Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit zu schaffen. Dafür steht die Carathéodory-Gesellschaft, und das gefällt mir. Eine weitere Herzensangelegenheit ist Ihnen das Deutschlandstipendium an der LMU. Fördern Sie auch selbst Stipendiaten und was versprechen Sie sich davon? Selbstverständlich fördere ich auch persönlich Deutschlandstipendiaten aktuell zwei Frauen. Dadurch möchte ich den interessierten und motivierten Studentinnen zusätzliche Möglichkeiten für persönliche Erfahrungen und die wissenschaftliche Vertiefung für die Lösung unserer Zukunftsaufgaben ermöglichen. Außerdem kann ich so meiner Alma Mater etwas zurückgeben. Meiner Meinung nach hat keine andere Investition so positive Auswirkungen auf die Entwicklung unserer Gesellschaft. Wie funktioniert das Deutschlandstipendium genau? Die Deutschlandstipendien werden an der LMU immer zum Sommersemester vergeben. Sie sollen besonders begabte, engagierte oder sozial benachteiligte Studierende finanziell unterstützen und dadurch mehr Zeit zum Denken schenken. Förderer zahlen dabei nur 150 Euro pro Monat das Bundesministerium für Bildung und Forschung belohnt das Engagement der Bürger und verdoppelt die Spende auf monatlich 300 Euro. Wie viele Stipendien wurden an der LMU seit Bestehen des Stipendienprogramms vergeben? Während es 2011 lediglich zwölf Förderer waren, hat sich die Zahl mit 64 mittlerweile mehr als verfünffacht. Durch das gestiegene Engagement der Förderer konnten auch die vergebenen Stipendien erhöht werden. Im Vergleich zu 2011 hat sich die Zahl der Stipendiaten im Jahr 2014 mit 474 mehr als versechsfacht. Auf die Gesamtheit von Studierenden gerechnet, ist das aber nur ein Tropfen auf den heißen Stein. Es gibt noch viele weitere Studierende, die eine solche Förderung brauchen und auch verdienen würden. Deshalb werbe ich für weitere Förderer. Handelt es sich dabei nicht ausschließlich um Elitenförderung? Keineswegs! Bei der Vergabe zählen neben den Studienleistungen auch die Überwin-

9 9 dung besonderer Hürden im Lebenslauf. Dazu gehören Krankheiten, Behinderungen und die Betreuung pflegebedürftiger Angehöriger oder Kinder. Außerdem werden soziales und politisches Engagement beziehungsweise die Mitwirkung in Religionsgesellschaften oder Vereinen gewürdigt. Nicht zuletzt werden die Mitarbeit im familiären Betrieb, studienbegleitende Erwerbstätigkeiten oder die familiäre Herkunft wie Migrationshintergrund oder aus einem Nichtakademikerhaushalt berücksichtigt. Was sind die Vorteile für Förderer wie Firmen, Vereine, Stiftungen, Alumni oder Privatpersonen? Förderer können gezielt für ein Fach oder einen Studiengang spenden und natürlich die Anzahl und Dauer der Stipendien bestimmen. Durch die Förderung von Deutschlandstipendien zeigen sie Verantwortung, fördern die Stipendienkultur und unterstützen den Wissenschaftsstandort München. Die Spende kommt vollständig bei den Stipendiaten an und ist steuerlich absetzbar. Alle Stipendiengeber können außerdem eine beratende Funktion bei der Einzelauswahl ausüben und die Stipendiaten kennenlernen. Und inwiefern profitieren die Studierenden? Begabten Studienanfängern wird durch die finanzielle Unterstützung für die Dauer von mindestens einem Jahr eine verlässliche zusätzliche Finanzierungsquelle geboten, damit sie sich besser auf ihr Studium konzentrieren können übrigens unabhängig davon, ob sie bereits BAföG beziehen. Dadurch sollen auch ihre Leistungen in Schule, Hochschule oder Beruf honoriert werden. Die Förderungshöchstdauer richtet sich nach der Regelstudienzeit im jeweiligen Studiengang. Gibt es neben dem finanziellen Aspekt auch eine ideelle Förderung? Über die monatliche Förderung von 300 Euro hinaus bieten viele Stipendiengeber ein Zusatzprogramm für ihre Stipendiaten an. Das sind Unternehmensführungen, eigene Netzwerkangebote oder exklusive Veranstaltungen. Studierende sind nicht zur Teilnahme verpflichtet, obgleich diese für sie häufig einen Mehrwert haben beispielsweise durch das Knüpfen neuer Kontakte zu potenziellen Arbeitgebern. Zudem lädt die LMU alle Geförderten zur feierlichen Überreichung der Deutschlandstipendien ein. Wie wirkt sich diese neue Stipendienkultur auf die Gesellschaft aus? Die Studierenden geben die ihnen geschenkte Zeit auf vielfältige Weise zurück. So sind im Rahmen des Deutschlandstipendiums an der LMU beispielsweise Facebook-Gruppen, Stammtische, Vortragsreihen oder die LMUni- Abende entstanden, bei denen sozial benachteiligte Schüler von Studierenden einen Einblick in ihr Wunschfach erhalten. Andere Stipendiaten helfen bei der Integration von Flüchtlingen, organisieren die weltweit größten Stammzellenspendeaktionen an Hochschulen oder bilden in Entwicklungsländern Menschen mit Hilfe einer Ein-Dollar-Brille zu Optikern aus. Interview: David Lohmann

10 10 50 Jahre Logik am Mathematischen Institut der LMU München Die Geschichte der Logik an der LMU beginnt im Jahre 1966 mit der Berufung Kurt Schüttes auf den neu errichteten Lehrstuhl für Mathematische Logik. Schütte wurde am 18. Oktober 1909 in Salzwedel, Altmark geboren. Er studierte Mathematik in Berlin und Göttingen und promovierte als letzter Doktorand Hilberts 1933 mit einer Arbeit Zum Entscheidungsproblem der mathematischen Logik. Nach Tätigkeiten als Meteorologe im Reichswetterdienst ging er nach Beendigung des Krieges zunächst in den Schuldienst, legte das Assessorexamen ab und wurde nach Hilfskrafttätigkeiten an der Universität Göttingen Assistent von Arnold Schmidt in Marburg. Dort habilitierte er sich im Jahre 1952 und nahm nach Gastprofessuren in Princeton, an der ETH Zürich und an der Pennsylvania State University 1963 den Ruf auf eine Professur an der Universität Kiel an, die er bis zu seiner Berufung nach München innehatte. Nachdem sich Schütte bis zur Mitte der Fünfzigerjahre neben der Logik auch noch mit den Grundlagen der Geometrie und Lagerungsproblemen beschäftigt hatte so gelang ihm gemeinsam mit B.L. van der Waerden die Lösung des Kusszahlenproblems in drei Dimensionen, konzentrierte er sich zum Ende der Fünfzigerjahre im Wesentlichen auf Beweistheorie erschien in den Grundlehren der Mathematik seine Monographie Beweistheorie, in der er unter anderem den von Gerhard Gentzen vorgezeichneten Weg der beweistheoretischen Analyse von Axiomensystemen mit Hilfe der Cantorschen Ordinalzahlen fortführte und perfektionierte. Schüttes herausragender Beitrag zur Weiterentwicklung des Gentzenschen Programms der ordinalzahlorientierten Beweistheorie ist die systematische Anwendung halbformaler Systeme, d.h. von Kalkülen, die sich zwar an den Gentzenschen Schlussweisenkalkülen orientieren, jedoch Schlussregeln mit unendlich vielen Prämissen zulassen. Beweise in halbformalen Systemen werden durch unendliche fundierte Bäume repräsentiert, deren Tiefe sich in kanonischer Weise durch Cantorsche Ordinalzahlen messen lässt. Auf diese Weise erfuhren die kryptischen Ordinalzahlzuordnungen im originalen Gentzenschen Widerspruchsfreiheitsbeweise für die reine Zahlentheorie eine natürliche Deutung. Eine wesentliche Anwendung erfuhren halbformale Systeme im Beweis der Takeutischen Fundamentalvermutung durch William Tait, Mot-o Takahasi und Dag Prawitz, die sich alle auf ein semantisches Äquivalent zur Fundamentalvermutung gründen, das Schütte mit Hilfe eines halbformalen Systems entwickeln konnte. Ein Höhepunkt Schüttes Schaffens war die exakte Bestimmung der Grenze für die prädikativ zu rechtfertigenden Ordinalzahlen, ein Ergebnis, das unabhängig von ihm auch von Solomon Feferman in Stanford erzielt wurde und über das Schütte in einem einstündigen Hauptvortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1966 in Moskau berichtete wurde er Mitglied der Bayerischen Akademie der Wissenschaften und 1984 korrespondierendes Mitglied der Österreichischen Akademie der Wissenschaften. Er war einer der Begründer des Archivs für mathe-

11 11 matische Logik und Grundlagenforschung und gehörte zu den Gründungsmitgliedern der Deutschen Vereinigung für Mathematische Logik und Grundlagen der Exakten Wissenschaften. Von 1969 bis 1975 war er Mitorganisator der damals jährlich stattfindenden Logik-Tagungen in Oberwolfach. Er wurde im Jahr 1977 emeritiert und verstarb am 18. August 1998 in München. Prägend für die Entwicklung der Logik in München waren Schüttes konzise und glasklare Vorlesungen. Er war ein Meister ausgefeilter mathematischer Technik. Von ihm vorgeführte Beweise waren in der Regel optimal und technisch kaum zu verbessern. Seine Vorlesungen zu verfolgen war der reine Genuss. Sie konnten den Hörern eine Ahnung der Befriedigung vermitteln, die man nach einem ästhetisch gelungenen Beweis empfindet. Alle seine Habilitanden und viele seiner Doktoranden wurden erfolgreiche Hochschullehrer. So ist es nicht verwunderlich, dass Kurt Schütte als Begründer einer Schule gilt, die heute als Münchener Schule der Beweistheorie bezeichnet wird, die sich neben der in Stanford entstandenen kalifornischen und der auf Takeuti zurückgehenden japanischen Schule durchaus behaupten kann. Auf der internationalen Tagung zum hundertsten Geburtstag von Gerhard Gentzen 2009 in Leeds fiel mir auf, dass der Großteil der Vortragenden Doktor- Söhne, Doktor-Enkel oder gar Doktor- Urenkel von Kurt Schütte waren. Von den 22 Autoren des eben erschienenen Tagungsbandes Gentzen's Centenary: The quest for consistency gehören allein 10 zu dieser Kategorie. Auch einer der derzeitigen Vizepräsidenten der LMU, Prof. Martin Wirsing, ist ein Schütte-Schüler. Verstärkt wurde die Logik in München zunächst von Privatdozenten, die sich an Schüttes Lehrstuhl habilitierten: Justus Diller im Jahre 1969, der mit Schütte von Kiel nach München gekommen war. Bis zu seiner Wegberufung nach Münster im Jahre 1973 deckte er die Bereiche Intuitionistische Logik und Funktionalinterpretationen ab. Horst Osswald im Jahre 1973, der von Hannover nach München gekommen war, kümmerte sich bis zu seiner Pensionierung 2006 um die Bereiche Modelltheorie und insbesondere Nonstandard Analysis und deren Anwendungen habilitierten sich gleich drei von Schüttes Assistenten: Wolfgang Maass, der allerdings nie in München lehrte, sondern zunächst ein Heisenberg Stipendium vorwiegend am MIT wahrnahm, dann Associate und später Full Professor an der University of Chicago wurde und schließlich 1991 einen Ruf auf eine Professur für Theoretische Informatik an der Universität Graz annahm, Wolfram Pohlers, der 1985 einen Ruf auf einen Lehrstuhl für Mathematische Logik an der WWU Münster annahm und Kurt Schütte 1996 mit Tochter Sigrid Dreyer

12 12 Wilfried Buchholz, der als der wohl profilierteste Schüler Schüttes dessen Erbe im Bereich der Ordinalzahlanalysen an der LMU fortführte. Nachfolger von Kurt Schütte wurde 1978 Helmut Schwichtenberg, der bis zu seiner Emeritierung im Jahr 2010 die in der Überleitungsphase 1980 auf vier Professoren angewachsene Logikgruppe in München leitete und auch heute noch aktiv weiter wirkt. Die Born 1942 in Sagan (Niederschlesien), Helmut Schwichtenberg studied at the Free University Berlin, completed his doctorate on subrecursive hierarchies at Münster under Prof. Dieter Rödding, and habilitated in During that period he visited Stanford for a year and was strongly influenced by Georg Kreisel, Solomon Feferman and specifically the work of Bill Tait on infinitary typed lambda-terms. He was then for four years at Heidelberg, before receiving the call to succeed Kurt Schütte in the Lehrstuhl für Mathematische Logik at LMU. Since his appointment in 1978, Prof. Schwichtenberg, together with three other internationally-known colleagues: Professors Wilfried Buchholz, Hans- Dieter Donder and Horst Osswald (all four now retired), continued to develop, and enhance, the world-wide research reputation of the LMU Mathematical Logic Group. The proof theoretic tradition of Schütte was strongly maintained (note, for example, three major books published: Buchholz, Feferman, Pohlers and Sieg, "Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis", Lect. Notes in Math 897, Springer 1981; Buchholz and Schütte, "Proof Theory of Impreebenfalls überaus erfolgreiche Ära Schwichtenberg wird in dem folgenden Beitrag gewürdigt. Insgesamt hat die Mathematische Logik an der LMU München in ihrem 50-jährigen Bestehen die weltweite Entwicklung der Mathematischen Logik wesentlich beeinflusst und kann so auf eine stolze Geschichte zurückblicken. Wolfram Pohlers dicative Subsystems of Analysis", Bibliopolis 1988; and Troelstra and Schwichtenberg, "Basic Proof Theory", Cambridge Tracts 1996). However, modern developments in Logic led to a broader vision of its possible range of application. This was reflected in the consequent interest shown by many excellent students who chose Logic. Taught courses showed a distinctive profile, balancing both "pure" and "applied" aspects, e.g. classical proof theory and ordinal analysis (Buchholz), set theory and infinitary combinatorics (Donder), non-standard analysis and its applications in probability, stochastics etc. (Osswald), and constructive mathematics and the use of the MINLOG proofassistant (Schwichtenberg). The list of successful doctorates and habilitations in Logic is impressive (Schwichtenberg alone supervised 27 doctoral students). The graduates of LMU Logic, and the many researchers from elsewhere who have been welcomed as visiting fellows within the Group, form a distinguished list, many of whom now hold senior academic positions in European universities. For example, among LMU doctorates and habilitations were: Ulf Schmerl (Prof.,

13 13 Univ. der Bundeswehr München, now retired), Ulrich Berger (Reader, Swansea Univ.), Monika Seisenberger (Senior Lecturer, Swansea Univ.), Anton Setzer (Reader, Swansea Univ.), Ralph Matthes (CNRS Institute for Computer Science, Toulouse), Martin Ruckert (Prof., Hochschule für angewandte Wissenschaften München). Of particular note is Prof. Gerhard Jäger (Bern), another world-leading proof theorist, whose doctorate and habilitation under Schütte and Pohlers overlapped both the Schütte and Schwichtenberg eras. His Group and the LMU Logic Group have for many years held regular joint meetings (the ABM workshops). Schwichtenberg's deep interest in "Proofs and Computations" (the title of his monograph with Stan Wainer (Leeds), published by CUP, 2012) was captured by Kreisel's "unwinding programme": from a constructive proof of a program-specification, one may use normalization or cut-elimination methods (in which Schwichtenberg is a leading world expert) to read off a necessarily correct program. On sabbatical at Carnegie-Mellon University in the late 1980's, he began to design a practical machine-implementation of Kreisel's programme. This is MINLOG, a system for interactive proof-development and program extraction which Schwichtenberg, with his students, developed over the past quarter century. It, and associated research in constructive mathematics, attracted much international interest and large amounts of grant-income to the LMU Math Institute, especially via the Graduiertenkolleg "Logik in der Informatik" ( ) which he led, and which brought in over 2 million euro. Many other collaborative projects with Groups in Europe, Japan and New Zealand, won external funding, and some are still active. Prof. Schwichtenberg was an influential figure in the LMU Math Institute, and twice Dean of the Faculty. He was elected to the Bavarian Academy of Sciences in 1986, and was a member of the Scientific Advisory Board of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach between 2001 and He and his colleagues served on editorial boards of the main logic journals and various book-series, and on many international programme committees for conferences and summer-schools. Widely recognised by the world's mathematical logic community, LMU's Lehrstuhl für Math Logik, first under Kurt Schütte and then Helmut Schwichtenberg, maintained for fifty years an immensely proud record. Stanley Wainer Das Schwarz-Weiß-Bild ABAdW, Personalakt Kurt Schütte wurde uns dankenswerterweise vom Archiv der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zur Verfügung gestellt. Die halbjährlichen Treffen der Arbeitsgemeinschaft Bern-München haben jahrzehntelange Tradition. Hier die Teilnehmer des Workshops vor wenigen Wochen.

14 14 Vom Studium ohne NC zu Problemen, die mit Mathematik nicht lösbar sind Nie enden wollender Ruhm und ein Idol sein für junge, aufstrebende Mathematiker das wurde als Köder verwendet, um etwas über mein geheimstes Geheimnis zu erfahren. Nämlich über eine Karriere, bei der im Normalfall Wie kommst du denn auf den Bereich?!? als Antwort kommt, wenn ich preisgebe, was ich beruflich mache. Aber eins nach dem anderen. Um einzuordnen, wie alles begann, fange ich kurz vor dem Studium an. Welches Fach sollte ich wählen? Irgendetwas, das ich gut kann, am besten ohne NC (sonst darf ich womöglich nicht), die Berufsaussichten später sollten mal toll sein, und wenn es nicht klappt, dann sollte die Zeit nicht vergebens gewesen sein. Einige von euch haben vielleicht ähnliche Überlegungen angestellt und sind schließlich auch beim Mathe-Studium gelandet. Um es kurz zu machen, mir ging es wie den meisten: Die ersten Wochen haben mich desillusioniert. Mathe muss nicht unbedingt etwas mit Zahlen zu tun haben, und aus Vorlesungen kommt man nicht zwangsläufig klüger, als man hineingeht. Für ein 3-Aufgaben- Übungsblatt kann man durchaus 10 Stunden brauchen, nur um anschließend zu erfahren, dass der Versuch zwar nicht schlecht war, aber leider nichts richtig ist. Aber, wie einer meiner ersten Professoren gesagt hat, es ist nicht nur Talent 90 % sind Fleiß, und rückblickend kann ich dem auch nicht widersprechen. Und mit besagtem Fleiß, vielen netten Kommilitonen und unzähligen Soli und Sauspielen (ja, auch Zeit zum Schafkopfen ist geblieben) habe ich dennoch durchgehalten. Bis die ersten Kommilitonen ins Berufsleben oder die Dissertation einstiegen. Und ich? Wenige Praktika, ein wenig Nachhilfe, ein paar Tutorien gehalten und viele verschiedene Vorlesungen gehört (Topologie bis Logik, Kryptographie bis Finanzmathematik), damit ich vielleicht durch sie eine Erleuchtung bekäme, in welche Richtung ich mich beruflich orientieren könnte. VWL als Nebenfach war gut fürs Gewissen ( Das hilft mir sicher später mal bei der Jobsuche. ), und so konzentrierte ich mich zunächst auf die Diplomprüfungen. Und in der Tat: Ende Mai 2013 hatte ich die Prüfungen ganz ordentlich bestanden. In der wohlverdienten Erholungsphase drängte im Hinterkopf die Frage: Was nun?. An dieser Stelle kam mir dann bereits mein Studium zugute. Was hatte ich gelernt, außer dass 1+1 = 2 nur manchmal gilt? Strukturiert zu analysieren. Was will ich machen? Irgendwas mit Menschen Nachhilfe und Tutorien geben hatte mir Spaß gemacht. Professioneller Nachhilfelehrer? Doch Lehrer als Quereinsteiger? Eine berufliche Perspektive, die auch in 10 Jahren noch fachliche und finanzielle Entwicklungsmöglichkeiten bietet? Klassisch irgendetwas mit Versicherungen? Aktuar? Vielleicht auch was nur

15 15 mit Geld? Banker? Oder doch etwas weiter weg? Unternehmensberater? Hätte ich doch nur ein oder zwei Praktika mehr gemacht, dann wüsste ich mit den vielfältigen Möglichkeiten ein wenig besser umzugehen. Aber es half ja nichts: Erst den Lebenslauf schreiben, auf der IKOM ein paar Tipps holen und dann einfach Bewerbungen schreiben. Anschreiben verfassen, nur kein Standardanschreiben, immer mit persönlicher Note. Dazu die üblichen Anmeldungen in den Onlinebewerbungsportalen und stundenlanges Beantworten von Fragebögen. Zunächst bewarb ich mich breit gefächert in alle Branchen. Tja, was soll ich sagen, die Rückmeldungen ließen nicht lang auf sich warten. Meist per Mail: Vielen Dank für Ihr Interesse, blablabla, aber kein Bedarf. Wir wünschen Ihnen noch Viel Glück. Na vielen Dank, ich setze mich stundenlang an ein vernünftiges Anschreiben und zurück kommt eine automatische Mail mit Standardtext! Bin ich vielleicht doch nicht so toll, dass mich jeder braucht? Oder sind es die falschen Stellen? Und was will überhaupt das Finanzamt von mir? In meinen Briefkasten war eine Aufforderung zur Abgabe einer Steuererklärung geflattert. Aber ich hatte doch gar nichts verdient? Wieso sollte ich jetzt Steuern zahlen oder gar eine Steuererklärung abgeben? Ich hielt es bis dahin ganz wie Albert Einstein: Um eine Steuererklärung abzugeben, muss man Philosoph sein; es ist zu schwierig für einen Mathematiker. Andererseits, hatte sich Albert Einstein etwa an einer Steuererklärung versucht und war gescheitert? Mein Ehrgeiz war geweckt. Mal nüchtern betrachtet, könnte das etwas für mich sein? Steuerkanzleien haben nicht den Ruf, besonders spannend zu sein. Was bietet in meiner Vorstellung so eine Kanzlei: Mandanten betreuen (also Kontakt zu Menschen) und bei Problemen, die scheinbar nicht mit Mathematik lösbar sind, zu helfen. Ein wenig mit Zahlen hantieren, wenn auch ganz banal mit + und %. Nachfrage sollte auch gegeben sein welche Firma hat keine Probleme mit Steuern oder sucht Steuersparmodelle? Ein zusätzliches Berufsexamen (Steuerberater, Wirtschaftsprüfer) ist in dem Bereich auch denkbar, Entwicklungsmöglichkeit wäre also gegeben. Wieso nicht? Automatische Absagen kannte ich schon, auf eine mehr oder weniger käme es jetzt auch nicht mehr an. Und in der Tat gab s positive Rückmeldungen und ein paar Vorstellungsgespräche. Am Ende des Tages habe ich mich, nach einem zweiwöchigen Probearbeiten, für die VEDA GmbH eine mittelständisch geprägte Steuerkanzlei in München entschieden. Mittlerweile bin ich seit knapp zwei Jahren dort und kann zumindest ein wenig aus dem Nähkästchen plaudern, was zu tun ist. und vor allem, ob das Mathematikstudium vielleicht doch nützlich war. Zweifellos ist es etwas ungewöhnlich, wenn man einen als anspruchsvoll geltenden Abschluss erlangt hat und dennoch keine Ahnung von Soll, Haben, Kreditoren, Debitoren, einer Umsatzsteuerkonsolidierung oder der Abgabenordnung hat. Aber mit etwas Unterstützung der Kollegen (wie damals von den Kommilitonen in der Uni), viel Zeit (wie in der Uni bei den Übungsblättern) und einer hohen Frustrationsgrenze (die ist im Studium einfach erforderlich) bin ich mit den Grundbegriffen relativ zügig vertraut geworden. Und überraschenderweise half die

16 16 analytische Denkweise sehr im Umgang mit den Steuergesetzen ein Punkt, der im Studium untergegangen ist. Außerdem lernte ich schnell, dass in einer kleinen Kanzlei jeder alles macht. Das ist manchmal schlecht, wenn es um das Versenden langweiliger Briefe oder der Ablage von verschiedenen Unterlagen geht. Manchmal ist es aber auch interessant, wenn man einen Vorgang (z.b. die Abgabe einer Einkommenssteuererklärung oder Selbstanzeige) vom ersten Schritt (Mandantenanfrage, Lieferung der ersten Unterlagen) bis zum letzten Schritt (korrekte Würdigung durch das Finanzamt) begleiten darf. Und nachdem die ersten einfacheren Aufgaben wohl ganz ordentlich erledigt waren, sind auch komplexere Anfragen und Themen zu meinem Schreibtisch gelangt. Spätestens an diesem Punkt stellte sich heraus, dass Steuerberatung und auch Wirtschaftsprüfung/- beratung nicht nur ganz banal + und % als Rechenoperationen hat. So lagen plötzlich finanzmathematische Gutachten zur Bewertung von Altersvorsorgeansprüchen bei den Unterlagen, für Unternehmensbewertungen mussten Renten berechnet werden und schließlich wurden in Betriebsprüfungen verschiedene Chi-Quadrat-Tests oder auch Analysen auf Grundlage des Benfordschen Gesetzes durchgeführt. Zugegeben, an dieser Stelle hatte Einstein nicht ganz recht, dies ist wohl nicht zu kompliziert für einen Mathematiker, der zumindest Grundkenntnisse in Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie besitzt. Andererseits ist es manchmal schon erstaunlich, welch ausgefeilte und verschachtelte Vorschriften die Gesetzgeber als Vereinfachungen verabschieden und damit selbst erfahrene Steuerberater vor das ein oder andere Rätsel stellen. Und noch etwas ist eine enorme Umstellung: Im Studium hantiert man gerne mit Variablen, und es ist doch etwas anderes, wenn man plötzlich vor einer Steuererklärung oder einer Immobilienbewertung sitzt und Beträge in der Größenordnung von 10 7 EUR vorkommen, die sich als Wert für eine tatsächlich existierende Immobilie oder ein real zu versteuerndes Einkommen ergeben. Alles in allem kann ich sagen, dass ich die Entscheidung, in den Bereich Steuerberatung zu gehen, bisher selten bereut habe. Klar, als Mathematiker ist man in dem Bereich als Einsteiger fachfremd und muss zu Beginn sehr viel aufholen. Das schlägt sich natürlich auch finanziell nieder, wenn man es mit für Mathematiker typischeren Branchen vergleicht. Ist diese Eingewöhnungsphase aber geschafft und der Wunsch nach Verantwortung oder eventuell der Selbständigkeit noch da, hat man in dieser Sparte sehr viele Möglichkeiten. Und wenn sich nach dieser Eingewöhnungsphase herausstellt, dass einem der Job doch zu langweilig ist oder es einfach nicht das Richtige ist, kann man zumindest seine Steuererklärung in Grundzügen selbst machen! In diesem Sinne wünsche ich allen die richtige Entscheidung. Zum Abschluss noch zwei kleine Tipps: 1) Es schadet nicht, sich bereits während des Studiums das ein oder andere Unternehmen von innen anzusehen, und wenn es nur zwei oder vier Wochen in den Semesterferien sind. 2) Es soll Steuerberater geben, die als einziges Studium ein abgeschlossenes Mathematikstudium vorweisen können. Wolfgang Zehentner

17 17 Unser Leistungsspektrum umfasst: Anzeigen - Steuerberatung (national sowie international) - Unternehmensbewertung - Wirtschaftsprüfung (HGB, IAS/IFRS) - Prospektberatung, Prospektbetreuung - Beratung in allen betriebswirtschaftlichen Angelegenheiten (Finanzierung, Investition) - Unternehmenstransaktion und Börsengänge (Due Diligence, Kapitalmarktthemen) info@veda-kanzlei.de Fachbuchhandlung + Medienservice Sortiment Architektur Bauliteratur BWL Chemie Datenverarbeitung Elektrotechnik Geowissenschaften Informatik Management Maschinenbau Mathematik Physik Sprachen VWL KARL RAU Service Unabhängige, qualifizierte Beratung Beschaffung von Medien aller Art: - Bücher, Zeitschriften, Loseblattwerke, CD-ROM, Online-Datenbanken etc. - Neue und antiquarische Titel aus dem Inland und Ausland Speziell für Organisationen: Unser Service Alles aus einer Hand KARL RAU e.k. Theresienstraße 100, München Tel info@karl-rau.de Fax Heute vor 18:00 bestellen, morgen ab 8:00 abholen! * * Gilt in der Regel für Bücher, die Sie von Montag bis Freitag vor 18:00 Uhr bestellen. Am Samstag bestellen Sie bitte vor 12:00 Uhr. Dann können Sie die Bücher in der Regel schon am Montag ab 8:00 Uhr abholen :-)

18 18 Rätselecke Malteserkreuz Schneide das Kreuz in 5 Teile, so dass aus diesen Teilen ein Quadrat zusammengelegt werden kann. Tanne Schneide die Tanne in 4 Teile, so dass aus diesen Teilen ein Quadrat zusammengelegt werden kann. Recycling Europäische Umweltschützer wollen die Altbestände an jugoslawischen Flaggen in französische Flaggen umschneidern lassen. Wie lässt es sich am besten machen? Jugoslawien Frankreich Hotel In einem vollbelegten Hotel mit 18 Stockwerken (und gleicher Anzahl von Gästen auf den Stockwerken 1 bis 17) kann heute Abend wegen Renovierung nur ein Stockwerk mit dem Aufzug angefahren werden. Die von einer Rundreise zurückgekehrten Gäste sind genauso unzufrieden, wenn sie ein Stockwerk rauf gehen müssen, wie wenn sie zwei Stockwerke zu Fuß runter gehen müssen. Welches Stockwerk soll angefahren werden, damit die summierte Unzufriedenheit aller Gäste minimiert wird?

19 19 Lösungen zu den Rätseln von Ausgabe 31 Oliven Gabi, Paula und Katrin haben zusammen 37 Oliven gegessen. Dabei hat Katrin genau sovielmal mehr Oliven als Paula gegessen, als Paula im Verhältnis zu Gabi. Wie viele Oliven hat jede von den Mädchen gegessen? Das Baby isst noch keine Oliven. Angenommen Gabi hat G Oliven gegessen, dann hat Paula P=m G und Katrin K=m P=m 2 G Oliven gegessen, insgesamt also G+P+K=G+m G+m 2 G=G (1+m+m 2 )=37. Da sowohl G wie auch P=m G und K=m 2 G ganze Zahlen sind, muss m eine rationale Zahl sein und lässt sich als m=p/q mit GGT(p,q)=1 sowie q 2 Teiler von G darstellen. Es gilt damit (G/q 2 )(p 2 +pq+q 2 )=37. Da 37 eine Primzahl ist und p 2 +pq+q 2 >1, gilt G=q 2 ; aus p>q folgt 3q 2 <37 und damit q<4. Für q=1,2 hat die Gleichung p 2 +pq+q 2 =37 keine ganzzahlige Lösung. Für q=3 ist die positive Lösung gleich 4. Damit ist m=4/3, G=9, P=12 und K=16. Wunderliche Zahl Aus 10 unterschiedlichen Ziffern setze eine zehnstellige Zahl zusammen, so dass die Zahl aus ihren 2 ersten Ziffern durch 2 teilbar ist, die Zahl aus ihren 3 ersten Ziffern durch 3 teilbar ist, usw. Die zehnstellige Zahl ist durch 10 teilbar. Stellen wir die gesuchte Zahl in der Form a 1 a 2 a 9 a 10 dar, so ist nach unserer Vorschrift klar, dass a 5 =5 und a 10 =0 sein müssen. a 1 a 2 a 9 ist automatisch durch 9 teilbar, da die Quersumme gleich =45 ist. Weiter gilt: a) a 2, a 4, a 6,a 8 müssen natürlich gerade Zahlen sein, d.h. für a 1, a 3, a 7, a 9 bleiben nur ungerade Zahlen übrig. b) Da die davor liegenden Ziffern ungerade sind, gilt a 4, a 8 {2, 6}, also a 2, a 6 {4, 8}. Zudem sind für (a 7, a 8 ) nur die Kombinationen (1, 6), (3, 2), (7, 2) und (9, 6) möglich. c) a 1 +a 2 +a 3 sowie a 4 +a 5 +a 6 müssen jeweils durch 3 teilbar sein. Damit sind für (a 2, a 4, a 6 ) nur die Kombinationen (4, 2, 8) und (8, 6, 4) möglich. Im ersten Fall erzwingt c) (a 1, a 3 ) = (1, 7) oder (a 1, a 3 ) = (7, 1), im zweiten Fall haben wir eine viel größere Auswahl: (a 1, a 3 ) {(1, 3), (3, 1), (1, 9), (9, 1), (3, 7), (7, 3), (7, 9), (9, 7)}. Testet man alle diese Alternativen darauf, dass a 1 a 2 a 7 durch 7 teilbar ist, so erhält man als einzige Lösung a 1 a 2 a 9 a 10 = Quadrat Ein Quadrat wird in mehrere Rechtecke so zerschnitten, dass kein Punkt des Quadrats eine Ecke von vier Rechtecken darstellt. Zeige, dass die Summe der Ecken der Rechtecke eine gerade Zahl ist. n Rechtecke haben 4n Ecken. Sei m die Anzahl der Punkte des Quadrats, die eine Ecke eines Rechtecks darstellen. Dann gibt es 4+2(m-4)=4n Ecken, d.h. m=2(n+1) ist gerade. Schachturnier Nach der ersten Schachturnierrunde (jeder Spieler hat mit jedem anderen Spieler gespielt) hat sich herausgestellt, dass jeder Schachspieler genauso oft gewonnen hat, wie alle von ihm besiegten Schachspieler zusammen. Wie viele Schachspieler könnten an dem Schachturnier teilgenommen haben? Im Falle, dass Partien auch mit einem Remis geendet haben können, ist eine Aussage über die Zahl der Teilnehmer i.allg. nicht möglich, denn unabhängig von der Zahl der Teilnehmer wäre die Bedingung beispielsweise erfüllt, wenn alle Partien mit einem Remis geendet hätten. Wir betrachten deshalb im Folgenden nur den Fall, dass es zu keinem Remis kam.

20 20 a) Angenommen, ein Spieler habe k Spieler besiegt. Letztere haben k(k-1)/2 Partien untereinander ausgetragen, hatten also mindestens so viele Siege. Also gilt k k(k-1)/2, d.h. k 3. b) Gibt es einen Spieler A, der genau eine Partie gewonnen hat, so hat auch der Verlierer B dieser Partie genau einmal gewonnen gegen einen Spieler C A, der wiederum genau einmal gewonnen hat, und zwar gegen A, denn A hat ja nur gegen B C gewonnen. Diese Konstellation aus 3 Spielern mit je einem Sieg genügt der Bedingung der Aufgabe: Lösung (1,1,1). c) Es gebe einen Spieler mit 3 Siegen. Nach der Bedingung und b) hat jeder der von ihm besiegten Spieler je eine Partie gewonnen. Weitere Spieler hätten gegen diese 4 Spieler ihre Partien gewonnen im Widerspruch zu a). Es gibt also nur die Lösung (3,1,1,1) mit 4 Spielern. d) Jeder Spieler habe höchstens 2 Siege. Da es bei n Spielern n(n-1)/2 Partien gab, hätte bei mehr als 5 Spielern mindestens einer mehr als 2 Siege. Bei 5 Spielern hätte jeder genau 2 Siege, die jeweiligen 2 Verlierer also zusammen 4 Siege. Widerspruch! Es bleibt nur eine Lösung (2,2,2,0) mit 4 Spielern, von denen einer alle Partien verloren hat und die anderen je zweimal gesiegt haben. (1,1,1) (3,1,1,1) (2,2,2,0) Offenkundig sind dies alle Lösungen. Wir haben sie als gerichtete Graphen veranschaulicht: Die Pfeile zeigen jeweils vom Sieger zum Verlierer. Unser heutiger Standard ist einer Vielzahl gelehrter Theologen zu verdanken. Anzeige Foto NASA_PD-US_AS HELMUT HIRTZ Die Wiege des Abendlands Mythos und Wahrheit im Fall Galilei Finsteres Mittelalter oder Wiege unserer Kultur? EINE AUSWAHL: GERBERT VON AURILLAC, NICOLÉ ORESME, NIKOLAUS VON KUES, LUCA PACIOLI, MICHAEL STIFEL, MARIN MERSENNE, BONAVENTURA CAVALIERI, JUAN CARAMUEL VON LOBKOWITZ, ISAAC BARROW, BERNARD BOLZANO, GEORGES LEMAÎTRE. Erhältlich im Buchhandel oder beim Verlagsauslieferer: Tel.: +49 (0) / info@vb-sabat.de BIBLIOGRAFISCHE ANGABEN: 3., überarbeitete Auflage 2016 Hardcover mit Fadenheftung, 128 Seiten Mit zahlr. farbigen Abbildungen & Personenverzeichnis Format: 14,8 x 21 cm ISBN Preis 14,95 Anzeige_Hirtz.indd :53:37

21 Rückblick: Probestudium und Brückenkurs Mathematik 21 Geeignete Studierende anzusprechen ist für ein Mathematisches Institut von besonderer Bedeutung. Das Mathematische Institut hat im vergangenen Jahr mit gleich zwei großen Veranstaltungen zur Verknüpfung von Schule und Universität beigetragen und damit versucht, Schülerinnen und Schülern frühzeitig ein realistisches Bild der Mathematik an der Universität zu vermitteln. Während das Probestudium darauf ausgerichtet ist, Studierenden bei der Studiengangswahl Orientierung zu bieten, soll der Brückenkurs Mathematik vor allem den Übergang von der Schule in das Mathematikstudium erleichtern. Von beiden Angeboten profitieren nicht nur die Teilnehmenden, sondern auch das Mathematische Institut, wenn sich vermehrt geeignete Jugendliche für ein Mathematikstudium an der LMU begeistern. Das Probestudium Mathematik richtet sich an Schülerinnen und Schüler ab der 9. Klasse. Es stand dieses Jahr unter dem Motto Folgen und Reihen in die Unendlichkeit und wieder zurück. Über 80 Teilnehmerinnen und Teilnehmer freuten sich über eine Einführung in grundlegende Themen der Analysis sowie Einblicke in fortgeschrittene Inhalte wie den Riemannschen Umordnungssatz oder Cantors Kontinuumshypothese. Zum ersten Mal überhaupt fand das Probestudium zwei Wochen statt. Die Teilnehmerinnen und Teilnehmer nahmen dies sehr positiv auf, da mehr Zeit für die Vertiefung sowie die Anwendung der Inhalte blieb. Andererseits war die lange Dauer (immerhin ein Drittel der Sommerferien) für weniger mathematikbegeisterte Schülerinnen und Schüler vermutlich doch etwas abschreckend, sodass die Teilnehmerzahl im Vergleich zu den Vorjahren gesunken ist. Insgesamt wurde der Kurs positiv bewertet, und es wurde vielfach der Wunsch nach mehr Angeboten zur Förderung von begabten Schülerinnen und Schülern geäußert. Der Brückenkurs Mathematik wendet sich an Studierende der Mathematik direkt vor Beginn des ersten Semesters und soll den Einstieg in das universitäre Mathematikstudium erleichtern. In diesem Jahr nahmen über 290 Abiturientinnen und Abiturienten teil, die zum Wintersemester 2015/2016 ein Mathematikstudium (Bachelor, Lehramt Gymnasium) an der LMU begonnen haben. Die Zahl der Anmeldungen überstieg unsere Erwartungen damit bei Weitem. Im zweiwöchigen Kurs erhielten die Teilnehmer anhand erster Einblicke in einzelne Inhalte (z.b. Aussagenlogik, komplexe Zahlen, Induktion und Rekursion) insbesondere eine Einführung in typische mathematische Arbeitsweisen (z.b. Beweistechniken). Neben der fachlichen Vorbereitung bot das zusätzliche Rahmenprogramm gute Möglichkeiten, Universität, Stadt und zukünftige Mitstudierende kennenzulernen. Die Evaluationen der letzten Jahre haben gezeigt, dass die Brückenkurse für einen erfolgreichen Studienbeginn als sehr hilfreich empfunden und gut angenommen werden. Daniel Sommerhoff, Sarah Ottinger, Stefan Ufer