2 Spiele. 2.1 Spiele und Strategien

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1 2 Spiele 2.1 Spiele und Strategien Wir betrachten bestimmte Formen von Zwei-Personen Null-Summenspielen mit perfekter Information, bei denen jede Partie von einem der beiden Spieler gewonnen wird. Die Spiele werden von zwei Spielern, Spieler 0 und Spieler 1 genannt, auf gerichteten Graphen gespielt. Dabei ist die Knotenmenge des Graphen in Positionen, an denen Spieler 0, und solchen, an denen Spieler 1 ziehen darf unterteilt. Das Spiel beginnt in einem vorher festgelegten Startknoten. In jedem Zug wählt der Spieler, in dessen Knotenmenge der aktuelle Knoten liegt, einen Nachfolger des Knotens aus, an dem das Spiel fortgesetzt wird. Auf diese Weise wird ein endlicher oder unendlicher Pfad durch den Graphen erzeugt. Wer eine solche Partie gewinnt, wird anhand einer Gewinnbedingung entschieden. Formal sind die hier skizzierten Spiele wie folgt definiert. 2.1 Definition. (i) Eine Arena ist ein Tripel A := (V, V 0, E), so dass (V, E) ein gerichteter Graph und V 0 V eine Menge von Knoten ist. Die Elemente von V sind die möglichen Spielpositionen, die von V 0 die Positionen für Spieler 0. (ii) Ein Spiel G := (V, V 0, E, v 0, Ω) besteht aus einer Arena A := (V, V 0, E), einer Anfangsposition v 0 V und einer Gewinnbedingung Ω V ω. Bemerkung: In der Literatur findet man verschiedene Namen für die beiden Spieler 0 und 1, z. B. Adam und Eva oder auch Falsifizierer und Verifizierer. 2.2 Notation. Manchmal lassen wir den Startknoten eines Spiels weg und schreiben einfach (V, V 0, E, Ω). 15

2 16 2 Spiele Wir schreiben V 1 für die Menge V \V 0, an denen Spieler 1 ziehen kann. Ist A := (V, V 0, E) eine Arena, so schreiben wir G := (A, v 0, Ω) für das Spiel (V, V 0, E, v 0, Ω). Spieler werden wir oft mit ρ {0, 1} bezeichnen. Mit ρ = 1 σ bezeichnen wir dann den Gegenspieler. 2.3 Beispiel. (a) Gegeben sei folgendes Spiel G := (V, V 0, E, v 0, Ω), wobei V := {a, b, c}, V 0 := {b}, v 0 := b und Ω = {v 0 v 1... : es gibt unendlich viele i Æmit v i = a und unendlich viele i mit v i = c }. Die Kantenrelation ist gemäß folgendem Graph gegeben. a b c Wir werden im folgenden immer Spiele als gerichtete Graphen darstellen, wobei Kästen den Knoten für Spieler 1 und Kreise den Knoten für Spieler 0 entsprechen. Den Anfangsknoten werden wir manchmal doppelt umrahmen, meistens aber weglassen. (b) Als zweites Beispiel soll das Spiel G dienen, bestimmt durch folgenden Graph. a b c d e f Die Gewinnbedingung ist Ω := {v 1 v 2 : es gibt unendlich viele i mit v i = a}. Vorlesung Logik, Spiele und Automaten WS 2010/2011 HU Berlin

3 2.1 Spiele und Strategien Definition (Partien). Sei A := (V, V 0, E) eine Arena. (i) Eine Partie auf A ist ein Pfad im Digraph (V, E). P(A) := {v V V ω : v ist eine Partie auf A} bezeichnet die Menge aller Partien auf A und P(A, v 0 ) := {v P(A) : v ist eine Partie, die in v 0 beginnt } bezeichnet die Menge aller Partien mit Anfangsknoten v 0. (ii) Sei G := (A, v 0, Ω) ein Spiel. Spieler 0 gewinnt eine Partie v P(A, v 0 ) im Spiel G, falls v := v 1...v n endlich ist und v n V 1 v := v 0 v 1 v 2... unendlich ist und v Ω. Ansonsten gewinnt Spieler 1. (= V \V 0 ) oder (iii) Eine Partie v is maximal, wenn sie kein echtes Anfangstück einer anderen Partie ist, wenn also entweder v V ω unendlich ist oder v = v 1...v n endlich mit N(v n ) =. Intuitiv sind nicht maximale Partien solche, in den einer der Spielr vorzeitigt aufgibt. Die vorherige Definition beschreibt, welcher der beiden Spieler eine bestimmte Partie gewinnt. Meistens interessiert man sich jedoch weniger für eine einzelne Partie, sondern möchte wissen, ob einer der beiden Spieler eine Strategie hat, alle Partien zu gewinnen, egal was der Gegenspieler macht. Die dazu nötigen Begriffe liefert die nächste Definition. 2.5 Definition (Strategien und Gewinnstrategien). Sei G := (V, V 0, E, v 0, Ω) ein Spiel. (i) Eine Strategie für Spieler ρ {0, 1} ist eine partielle Abbildung f : V V, so dass für alle Wege v := v 0...v n im Definitionsbereich von f gilt: v n V ρ und f(v) N(v n ).

4 18 2 Spiele Im folgenden sei f eine Strategie für Spieler ρ {0, 1}. (ii) Eine unendliche Partie v = v 0 v 1 v 2... V ω ist f-konform, wenn für alle i 0 gilt: Ist v i V ρ, so ist v i+1 = f(v 0...v i ). Eine endliche Partie v = v 1...v n V ist f-konform, wenn für 1 i n gilt: Ist v i V ρ, so ist v i+1 = f(v 0...v i ). (iii) Ein Partie v is maximal f-konform, wenn sie f-konform ist und kein echtes Anfangsstück einer anderen f-konformen Partie. (iv) Eine Strategie f für Spieler ρ heißt Gewinnstrategie, falls Spieler ρ jede maximal f-konforme Partie gewinnt. (v) Ein Spieler gewinnt ein Spiel, wenn er eine Gewinnstrategie hat. 2.6 Beispiel (Fortsetzung von Beispiel 2.3). (a) Wir betrachten noch einmal das Spiel G := (V, V 0, E, v 0, Ω) aus Beispiel 2.3 (a). Offenbar hat Spieler 0 eine Gewinnstrategie, indem er immer abwechselnd von Knoten b nach a und beim nächsten Mal nach c zieht. Auf diese Weise muss entweder Spieler 1 immer zwischen a und c pendeln oder aber es wird unendlich oft b durchlaufen und, gemäß der Strategie von Spieler 0, auch unendlich oft a und c. (b) Auch im Spiel G hat Spieler 0 eine Gewinnstrategie von allen Knoten aus, die durch die fett markierten Pfeile angedeutet wird. a b c d e f Man beachte den Unterschied zwischen den beiden Gewinnbedingungen von Spieler 0. Im Fall (a) muss sich Spieler 0 jeweils merken, ob er beim letzten Mal nach a oder nach c gegangen ist. Er braucht also Speicher. Im Fall (b) hingegen hängt die Entscheidung für einen Nachfolgeknoten nur vom aktuellen Knoten Vorlesung Logik, Spiele und Automaten WS 2010/2011 HU Berlin

5 2.1 Spiele und Strategien 19 ab, nicht aber von der Historie des Spiels. Solche Gewinnstrategien werden speicherfrei oder positional genannt und sind von besonderer Bedeutung. Wie man leicht sieht, hat Spieler 0 in G keine positionale Gewinnstrategie. 2.7 Definition. Eine (Gewinn-) Strategie für Spieler ρ in einem Spiel G := (V, V 0, E, v 0, Ω) heisst positional oder speicherfrei, falls für alle Pfade v := v 0...v n und w := w 0...w m mit v n = w m V ρ gilt f(v) = f(w). Bemerkung: Speicherfreie Strategien für Spieler ρ können wir als Abbildungen f : V ρ V ansehen, da es auf den Verlauf der Partie nicht ankommt. Ist V endlich, so ist die Größe von f, d.h. die Größe des Graphs von f, polynomial in V. 2.8 Definition. Ein Spiel G heißt (positional) determiniert, falls einer der Spieler eine (positionale) Gewinnstrategie hat. In einem determinierten Spiel gibt es also immer einen Spieler, der eine Strategie hat um alle Partien zu gewinnen. Determiniertheit ist eine für sehr viele Anwendungen solcher Spiele essentielle Eigenschaft, zum Beispiel im Bereich der Controller-Synthese oder des Model-Checkings. Leider kann dies im allgemeinen nicht vorausgesetzt werden, wie folgendes Theorem zeigt. 2.9 Theorem (Gale, Stewart). Es gibt nicht-determinierte Spiele. Glücklicherweise sind aber alle für uns relevanten Klassen von Spielen determiniert. Insbesondere sind alle endlichen Spiele, also solche, deren Partien sämtlich endlich sind, determiniert. Unter diese Klasse fallen auch die meisten Gesellschaftsspiele, wie z.b. Schach. Im Schachspiel hat also einer der beiden Spieler eine Gewinnstrategie (oder aber beide eine Strategie, um ein Unentschieden zu erzwingen). Wir wissen nur nicht, welcher der beiden. alle Borel-Spiele determiniert. Borel-Spiele sind eine Klasse von Spielen, bei denen die Gewinnbedingung Ω eine sogenannte Borel-Menge ist. Borel-Mengen sind Mengen einer transfiniten Hierarchie von Mengen, die

6 20 2 Spiele von dem Mathematiker Borel eingeführt wurden. Die meisten in der Informatik betrachteten Gewinnbedingungen fallen unter diese Klasse von Spielen, sind also determiniert. Der Nachweis der Determiniertheit von Borel-Spielen, von Martin in den siebziger Jahren geführt, ist eine der wichtigen Resultate in der deskriptiven Mengenlehre. Zum Abschluß dieses Abschnitts führen wir noch zwei sehr nützliche Definitionen ein Definition. Sei G := (V, V 0, E, v 0, Ω) ein Spiel. (i) Der Spielbaum des Spiels G ist die Baumabwicklung von (V, E) bzgl. v 0. (ii) Sei f : V V { } eine Strategie für Spieler i {0, 1}. Der Strategiebaum von f ist der Teilbaum des Spielbaums, dessen Knoten alle f-konformen Wege sind. Man beachte, dass in dem Strategiebaum für eine Strategie von Spieler i jeder Knoten aus V i höchstens einen Nachfolger hat. Hingegen haben die Koten aus V 1 i dieselben Nachfolger wie im Spielbaum. 2.2 Das Bisimulationsspiel Seien S, T σ-transitionssysteme und s 0 V S sowie t 0 V T mit β(s 0 ) = β(t 0 ). Das Bisimulationsspiel auf (S, s 0 ), (T, t 0 ) ist folgendes Spiel (A, v 0, Ω): V = V A := {(A, s, t) : s V S, t V T, β(s) = β(t)} {(S, s, t), (T, s, t) : s V S, t V T }. Hierbei sind A,S,T beliebige Symbole deren Rolle später noch klar werden wird. V 0 := {(S, s, t), (T, s, t) : s V S, t V T } E A := { ( (A, s, t), (S, s, t) ) : s N(s)} { ( (A, s, t), (T, s, t ) ) : t N(t)} { ( (S, s, t), (A, s, t ) ) : t N(t), β(t ) = β(s )} { ( (T, s, t ), (A, s, t ) ) : s N(s), β(s ) = β(t )} Vorlesung Logik, Spiele und Automaten WS 2010/2011 HU Berlin

7 2.2 Das Bisimulationsspiel 21 v 0 := (A, s 0, t 0 ) Ω := V ω 2.11 Theorem. Seien S, T σ-transitionssysteme und s 0 V S, t 0 V T, so dass β(s 0 ) = β(t 0 ). Dann gilt (S, s 0 ) (T, t 0 ) genau dann, wenn Spieler 0 das Bisimulationsspiel auf (S, s 0 ), (T, t 0 ) gewinnt. Beweis: Zum Beweis der Hinrichtung sei R : (S, s 0 ) (T, t 0 ) eine Bisimulation. Wir definieren eine Strategie f für Spieler 0 wie folgt: Für Partien π := (A, s 0, t 0 ),...,(A, s, t), (S, s, t) mit (s, t) R definieren wir f(π) := (A, s, t ) für ein t mit (s, t ) R. Ein solches t existiert, da R eine Bisimulation ist. Ist (s, t) R, so ist f(π) undefiniert. Für Partien π := (A, s 0, t 0 ),...,(A, s, t), (T, s, t ) mit (s, t) R definieren wir f(π) := (A, s, t ) für ein s mit (s, t ) R. Ein solches s existiert, da R eine Bisimulation ist. Ist (s, t) R, so lassen wir f(π) undefiniert. Da (s 0, t 0 ) R ist jede f-konforme Partie unendlich und wird somit von Spieler 0 gewonnen. Zum Nachweis der Rückrichtung sei f : V V { } eine Gewinnstrategie für Spieler 0. Sei R definiert als R := {(s, t) : es existiert ein f-konformer Weg von (A, s 0, t 0 ) nach (A, s, t) in A}. Behauptung: R ist eine Bisimulation. Beweis: Sei (s, t) R. Dann existiert ein f-konformer Weg v von (A, s 0, t 0 ) nach (A, s, t). Also ist für alle s N(s) der Weg v (S, s, t) f-konform und f(v (S, s, t)) ist definiert. Analog ist für alle t N(t) der Weg v (T, s, t ) f-konform und f(v (T, s, t )) definiert. Offensichtlich ist β(s) = β(t), d.h. (B1) erfüllt. Dies folgt sofort aus der Definition von V. Zum Nachweis von (B2) sei s N(v) und (A, s, t ) = f(v (S, s, t)). Dann ist (s, t ) R nach Definition. Analog für (B3). Also ist R eine Bisimulation, wie gefordert.

8 22 2 Spiele 2.3 Einfache Spiele 2.12 Definition. Ein Spiel (A, v 0, Ω) ist einfach, wenn A endlich ist und Ω = (V A ) ω oder Ω =. Ein Beispiel für ein einfaches Spiel ist das Bisimulationsspiel. Für den Rest dieses Abschnitts sei A := (V, V 0, E) eine endliche Arena. Weiterhin vereinbaren wir folgende Notation. Für ρ {0, 1} sei W ρ := {v V : Spieler ρ hat Gewinnstrategie im Spiel (A, v, V ω )}. Für ein n 0 heißt eine Strategie f : V V eine n-zug Gewinnstrategie für ρ im Spiel (A, v, V ω ), falls f eine Gewinnstrategie für ρ ist und v n+1 für alle f-konformen Wege v gilt. Wir definieren Wρ n := {v V : ρ hat n-zug Gewinnstrategie im Spiel (A, v, V ω )}. Offensichtlich gilt W 0 ρ W 1 ρ W 2 ρ W ρ. (2.1) 2.13 Lemma. Sei ρ {0, 1}. Dann gilt: (1) W 0 ρ = {v V 1 ρ : N(v) = }. (2) Für alle n 0 gilt: W n+1 ρ = {v V : v V ρ und N(v) W n ρ oder v V 1 ρ und N(v) W n ρ }. Beweis: Teil (1) ist klar. Wir beiweisen de beiden Richtungen in Teil (2) getrennt. Zum Beweis der Hinrichtung sei v Wρ n+1. Sei f eine (n + 1)-Zug- Gewinnstrategie für ρ in (A, v, V ω ). Falls v V ρ, dann ist w := f(v) definiert und f ist eine n-zug-gewinnstrategie für ρ in (A, w, V ω ). Also w N(v) W n 1. Andernfalls ist v V 1 ρ. Sei w N(v). Wiederum ist f eine n-zug-- Gewinnstrategie für ρ in (A, w, V ω ) und somit w W n 1. Daraus folgt N(v) W n 1. Vorlesung Logik, Spiele und Automaten WS 2010/2011 HU Berlin

9 2.3 Einfache Spiele 23 Zum Nachweis der Rückrichtung sei v {v V : v V ρ und N(v) W n ρ oder v V 1 ρ und N(v) W n ρ }. Angenommen, v V ρ. Sei w N(v) Wρ n, und sei f eine n-zug-gewinnstrategie für ρ in (A, w, V ω ). Wir definieren g : V V durch g(v) :=w g(v w) :=f( w) für w V +. Dann ist g (n + 1)-Zug-Gewinnstrategie für ρ in (A, v, V ω ). Andernfalls, sei v V 1 ρ. Für w N(v) sei f w eine n-zug-gewinnstrategie für ρ in (A, w, V ω ). Definiere g : V V durch g(v w) := f w0 ( w) für w = w 0...w n 1 V +. Dann ist g eine (n + 1)-Zug-Gewinnstrategie für ρ in (A, v, V ω ). Als Korollar erhält man eine polynomielle Schranke für die Anzahl echter Inklusionen in der Folge (W n ρ ) n Korollar. n 1 W n 1 = W V 1. Beweis: Da V endlich ist, folgt aus Gleichung (2.1) die Existenz eines n V mit W1 n = W 1 n+1. Aus Lemma 2.13 folgt ferner, dass wenn W1 n = W 1 n+1 dann W1 n = W1 m für alle m n. Beides zusammen impliziert n 1 W 1 n = W V 1. Die folgenden zwei Lemmata zeigen, dass die oben definierte Menge n 0 W ρ n den Gewinnmengen des Spielers ρ entsprechen und überdies, dass es ausreicht, sich auf positionale Gewinnstrategien zu beschränken Lemma. Es gilt W 1 = n 0 W n 1 und für alle v W 1 hat Spieler 1 eine positionale Gewinnstrategie im Spiel (A, v, V ω ). Beweis: Sei v W 1 und f eine Gewinnstrategie für Spieler 1 im Spiel (A, v, V ω ). Sei ferner B = (W, F, v) der Baum, der der Strategie f gemäß

10 24 2 Spiele Definition 2.10 entspricht. Nach Definition gewinnt Spieler 0 alle unendlichen Partien in (A, v, V ω ). Daraus folgt, dass B hat keine unendlichen Pfade enthält. Da außerdem A endlich ist, ist N(w) endlich für alle w W. Nach Königs Lemma (A.2) folgt daraus, dass W endlich ist. Sei n := max{ v : v W }. Also ist f eine n-zug-strategie und somit v W n 1. Wir definieren nun eine Funktion f : V V so, dass für alle n 0 und v V 1 W n+1 1 gilt f(v) N(v) W n 1. Ein solches f existiert nach Lemma Offensichtlich ist f eine positionale Gewinnstrategie für 1 im Spiel (A, v, V ω ) für alle v W 1 = n 0 W n 1. Das nächste Lemma zeigt die entsprechende Aussage für Spieler Lemma. Es gilt W 0 = V \ W 1 und für alle v W 0 hat Spieler 0 eine positionale Gewinnstrategie im Spiel (A, v, V ω ). Beweis: Aus Lemma 2.13 und 2.15 folgt: Wenn N(v) W 1 für v V 1, dann v W 1. Wenn N(v) W 1 für v V 0, dann v W 1. Daraus folgt N(v) V \ W 1 für alle v V 1 \ W 1 und N(v) (V \ W 1 ) für alle v V 0 \ W 1. Wir definieren nun eine Funktion f : V \ W 1 V \ W 1, so dass f(v) N(v) (V \ W 1 ) für v V 0. Für alle v V \ W 1 ist f eine positionale Gewinnstrategie für Spieler 0 im Spiel (A, v, V ω ). Beide Lemmata zusammen ergeben folgendes Theorem Theorem. Einfache Spiele sind determiniert und erlauben positionale Gewinnstrategien. Beweis: Für Spiele (A, v 0, V ω ) folgt das aus Lemma 2.15 und Für Spiele (A, v 0, ) folgt es aus Symmetriegründen (vertausche Rollen von 1 und 0) Notation. (1) Die Ordnung eines Digraphen G ist G := V G. (2) Die Größe eines Digraphen G ist G := V + E. Vorlesung Logik, Spiele und Automaten WS 2010/2011 HU Berlin

11 2.3 Einfache Spiele 25 (3) Die Größe eines Transitionssystems S ist S := S + E. (4) Die Größe einer Arena A ist A := V + E. Wir zeigen als nächstes, dass die Gewinnmengen der Spieler in einfachen Spielen in Linearzeit ausgerechnet werden können Lemma. Es gibt einen Algorithmus, der W 1 in Zeit O( A ) berechnet. Beweis: Der Algorithmus ist in Abbildung 2.1 angegeben. Als Datenstrukturen verwenden wir mit Positionen v V indizierte Arrays vor, wa, ze, so dass für alle v V : vor[v] ist Liste aller w V mit (w, v) E. true wenn wir bereits wissen, dass v W 1, wa[v] = false sonst. ze[v] ist die Anzahl der w N(v) mit wa[w] = false. Wir weisen als erstes die Korrektheit des Algorithmus nach. Nach den Zeilen 1-7 sind die Arrays korrekt initialisiert. Behauptung 1: Für alle v W 1 wird Propagate(v) ausgeführt. Der Beweis folgt per Induktion über n := min{i : v W1 i }. Für n = 0 sei v W1 0. Dann ist v V 0 mit N(v) = und Propagate(v) wird in Zeile 10 aufgerufen. Für Schritt von n auf n + 1 sei v W n+1 1. Wir unterscheiden zwei Fälle. Falls v V 1, dann existiert ein w N(v) W n 1 und es gilt v vor[w]. Nach Induktionsvoraussetzung wird Propagate(w) ausgeführt. In Zeile 18 wird dann Propagate(v) aufgerufen Falls v V 0, so gilt N(v) W1 n. Nach Induktionsvoraussetzung wird Propagate(w) für alle w N(v) ausgeführt. Bei jeder Ausführung wird in Zeile 15 ze[v] um 1 verringert. Bei der letzten Ausführung wird ze[v] = 0 und daher Propagate(v) aufgerufen.

12 26 2 Spiele Behauptung 2: Für kein v W 0 wird Propagate(v) ausgeführt. Angenommen, die Behauptung sei falsch. Sei v W 0 der erste Knoten, für den Propagate(v) ausgeführt wird. Falls v V 1, so wird Propagate(v) in Zeile 18 bei Ausführung von Propagate(u) für ein u mit v N(u) aufgerufen. Wegen der Minimalität von v ist u W 1, also auch v W 1. Widerspruch. Also gilt v V 0. Wenn Propagate(v) aufgerufen wird, so ist bereits wa[w] = true für alle w N(v). Also N(v) W 1 und damit v W 1. Widerspruch. Die Behauptungen (1) und (2) zusammen zeigen die Korrektheit des Game Algorithmus. Schließlich analysieren wir noch die Laufzeit des Algorithmus. Die Schleifen in den Zeilen 1-4 und 8-10: O( V ). Die Schleife in Zeile 5-7: O( E ). Für jede Posisiton v V wird Propagate(v) höchstens einmal in Zeile 10 aufgerufen. Für jede Kante (u, v) V wird Propagate(v) höchstens einmal in Zeile 18 aufgerufen. Also wird Propagate höchstens ( V + E ) mal aufgerufen. Das erfordert Zeit O( V + E ). Insgesamt ergibt sich als Laufzeit O( V + E ). Wir definieren als nächstes das sogenannte einfache Spielproblem: ES Eingabe: Einfaches Spiel S := (A, v 0, V ω ) oder S := (A, v 0, ). Problem: Entscheide, welcher Spieler das Spiel S gewinnt und berechne positionale Gewinnstrategie für diesen Spieler Theorem. ES ist in Linearzeit (d.h., Zeit O( A )) lösbar. Vorlesung Logik, Spiele und Automaten WS 2010/2011 HU Berlin

13 2.3 Einfache Spiele 27 Beweis: Die in Lemma (2.15) und Lemma (2.16) beschriebenen Strategien lassen sich leicht aus W 1 berechnen. Als Anwendung des Theorems erhalten wir einen Linearzeitalgorithmus für das Bisimulationsproblem. BIS Eingabe: Transitionssysteme S, T der selben Signatur, s 0 V S, t 0 V T. Problem: Entscheide, ob (S, s 0 ) (T, t 0 ) Korollar. BIS ist lösbar in Zeit O( S T ). Ohne Beweis geben wir noch folgende stärkere Aussage an Theorem. BIS ist lösbar in Zeit O(( S + T ) log( S + T )).

14 Game(A) // Initialisierung 1. forall v V do 2. vor[v] 3. wa[v] false 4. ze[v] 0 // Berechnung von vor und ze 5. forall (v, w) E do 6. vor[w] vor[w] {v} 7. ze[v] ze[v] + 1 // Berechnung von wa 8. forall v V 0 do 9. if ze[v] = 0 then 10. Propagate(v) 11. return wa Propagate(v) // 1 gewinnt in v 12. if wa[v] = false then 13. wa[v] = true // Die Vorgänger von v müssen auch betrachtet werden 14. for u vor[v] do 15. ze[u] ze[u] if u V 1 or ze[u] = 0 then 17. // 1 gewinnt in u 18. Propagate(u) Abbildung 2.1: Algorithmus zum Lösen einfacher Spiele