Abschlussprûfung Berufskolleg. Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg. Stochastik. Jahrgänge 2002 bis Text Nr Stand 16.

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1 Abschlussprûfung Berufskolleg (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg Stochastik Jahrgänge 2002 bis 2015 Text Nr Stand 16. August 2015 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo für

2 74341 Berufskolleg: Stochastik 2 Vorwort Dieser Text gehört zu einer Sammlung von Aufgaben, die in Baden-Württemberg für die Abschlussprüfung des Berufkollegs gestellt worden sind. Sie umfasst die Jahre 2002 bis Diese Prüfung führt zur Fachhochschulreife. Die Formulierung der Aufgaben wurde teilweise etwas verändert. Die Lösungen stammen nur von mir. Folgende Texte gibt es bzw. sind in Planung Analysis 1 ganzrationale Funktionen In Planung Analysis 2 Exponentialfunktionen - In Planung (Dieser Text) Analysis 3 Trigonometrische Funktionen Vektorgeometrie In Planung Matrizenrechnung: wirtschaftliche Anwendungen Stochastik Wirtschaftsrechnen: Kosten- und Gewinnfunktionen Inhalt Jahrgang Aufgabe Lösung Demo für

3 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Ein Verlag untersucht vier verschiedene Buchtitel seines Sortiments auf fehlerhafte Seiten und hält das Ergebnis in einer Tabelle fest: Buchtitel A B C D Seiten insgesamt Seiten fehlerhaft Berechnen Sie für jeden Buchtitel die relative Häufigkeit dafür, dass eine zufällig aufgeschlagene Seite fehlerfrei ist. 6.2 Der Verlag behauptet, dass statistisch im Durchschnitt weniger als 1 von 50 Buchseiten fehlerhaft sei. Untersuchen Sie, ob diese Aussage zutrifft auf jeden einzelnen Buchtitel (2 VP) auf die vier Buchtitel insgesamt. (4 VP) 6.3 Bei einem Exemplar des Buchtitels C werden nacheinander zufällig drei verschiedene Seiten aufgeschlagen und auf Fehlerhaftigkeit untersucht. Erstellen Sie ein geeignetes Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: E 1 : E 2 : E 3 : Alle drei Seiten sind einwandfrei. Genau eine Seite enthält Fehler. Mindestens eine Seite enthält Fehler. E 4 : Höchstens eine Seite enthält Fehler. (11 VP) 6.4 Ein Buchhändler erhält eine Lieferung des Verlags über 10 Exemplare Titel A, 5 Exemplare Titel B, 15 Exemplare Titel C und 20 Exemplare Titel D. Er greift aus der Sendung willkürlich 1 Buch heraus und schlägt zufällig eine Seite auf. Erstellen Sie ein geeignetes Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: E 5 : Das herausgegriffene Buch hat den Titel A. E 6 : E 7 : Das gegriffene Buch hat den Titel A und die Seite ist fehlerhaft. Das gegriffene Buch hat über 200 Seiten und die Seite ist fehlerfrei. E 8 : Die aufgeschlagene Seite ist fehlerhaft. (13 VP) Demo für

4 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 An einem Lotteriestand werden Rubbelkarten angeboten. Von den 9 Feldern einer Karte tragen drei den Auszahlungsbetrag 1 und zwei den Auszahlungsbetrag 5. Die restlichen vier Felder sind Leerfelder. Die Lage der einzelnen Felder ist zufällig. Die Skizze zeigt ein mögliches Beispiel. Jedes Feld ist mit einer undurchsichtigen Deckschicht überzogen, die man mit einer Münze entfernen kann. Ein Spiel ist wie folgt definiert: Nach dem Kauf einer Rubbelkarte muss der Käufer genau zwei Felder aufrubbeln, d.h. die Deckschicht dieser beiden Felder entfernen, so dass der Inhalt dieser Felder sichtbar wird. 6.1 Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm für ein Spiel mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Beide Felder sind leer. B: Beide Felder zeigen einen Geldbetrag an. C: Höchstens ein Feld zeigt einen Geldbetrag an. D: Beide Felder zusammen zeigen einen Betrag von mindestens 6 an. (9 VP) 6.2 Eine Rubbelkarte kostet 3. Es werden Geldbeträge der aufgerubbelten Felder ausgezahlt. Für Leerfelder gibt es nichts. Erstellen Sie eine Tabelle für alle möglichen Auszahlungsbeträge. Welchen Gewinn kann der Betreiber im Durchschnitt bei 10 Spielen erwarten? Wie viele Rubbelkarten müssen täglich verkauft werden, damit der Betreiber in 7 Tagen mindestens 300 Euro Gewinn erzielt? 6.3 Mit welcher Wahrscheinlichkeit verbleibt dem Käufer in einem Spiel ein Gewinn? Ein Spieler kauft 60 Rubbelkarten; bei wie vielen Spielen kann er einen Gewinn erwarten? (8 VP) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Aufrubbeln von 3 Karten mindestens einmal ein Gewinn verbleibt? 6.4 Wie muss der Auszahlungsbetrag für jedes 5 - Feld abgeändert werden, so dass bei einem unveränderten Preis von 3 pro Rubbelkarte das Spiel fair wird? 6.5 Zusatzaufgabe zu 6.3 von mir: Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht er bei 60 Rubbelkarten 20-mal einen Gewinn? Schreibe die Berechnungsformel auf und bestimme das Ergebnis mit einem Rechner. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er bei 60 Klarten mindestens 5-mal? Wie viele Rubbelkarten muss er mindestens kaufen, damit er mit mehr als 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einmal einen Gewinn erzielt? (7 VP) Demo für

5 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Ein Computerhändler bezieht einen Speicherchip von vier verschiedenen Herstellern. Die Hersteller H 1, H 2 und H 3 liefern so genannte Noname-Ware, der Hersteller H 4 deutlich teurere Markenware. Bei allen Herstellern sind auch funktionsunfähige Chips dabei. Vor dem Verkauf werden alle Chips einzeln überprüft. Nur funktionstüchtige Chips werden verkauft, die anderen werden aussortiert. In der nachfolgenden Tabelle sind jeweils die Anzahl der eingekauften Chips, ihr Netto-Einkaufspreis und die vom Hersteller genannte statistische Ausschussquote angegeben: Hersteller H 1 H 2 H 3 H 4 Stückzahl Stückpreis in Ausschussquote in % In einem der 10 Pakete mit je 200 Chips vom Hersteller H 4 befinden sich fünf defekte Chips. Warum ist dies kein Widerspruch zur statistischen Ausschussquote? 6.2 Aus diesem Paket werden nacheinander zwei Chips zur Prüfung entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: E 1 : E 2 : E 3 : Beide Chips sind funktionstüchtig. Nur der erste entnommene Chip ist defekt. Genau ein Chip ist defekt. (2 VP) E 4 : Wenigstens ein Chip ist funktionstüchtig: (8 VP) 6.3 Da die eingekauften Noname-Chips der Hersteller H 1, H 2 und H 3 bezüglich Einkaufspreis und Ausfallquote fast identisch sind, werden sie im Lager nicht unterschieden und in einer gemeinsamen Kiste aufbewahrt. Aus dieser Kiste wird zufällig ein Chip zur Prüfung entnommen. Erstellen Sie ein geeignetes Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: E 5 : Der geprüfte Chip stammt vom Hersteller H 3. E 6 : Der Chip stammt aus der größten Lieferung und funktioniert. E 7 : Der Chip ist funktionstüchtig. (8 VP) 6.4 Ein Angestellter hat versehentlich 200 Marken-Chips in die Kiste mit den Noname-Chips gelegt. Geben Sie jeweils mit Begründung an, ob die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse E 5, E 6 und E 7 dadurch zu- oder abnimmt. 6.5 Wie viele funktionstüchtige Chips darf der Händler insgesamt aus der Lieferung der Noname- Chips erwarten? Zu welchem Nettopreis muss er einen Noname-Chip verkaufen, wenn er bezogen auf deren Einkaufskosten 40% Gewinn machen möchte? 6.6 Zusatzaufgabe zu 6.3 von mir: Ein Chip aus der Kiste ist defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er vom Hersteller H1? Demo für

6 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Für ein Schulfest plant eine Klasse folgendes Gewinnspiel: Es werden zwei gleiche Glücksräder verwendet, die gemäß der Abbildung in vier gleich große Sektoren mit den Ziffern 0, 1, 0, 5 eingeteilt sind. Jedes Feld kann nach der Betätigung der Räder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit angezeigt werden. Für ein Spiel wird jede der beiden Scheiben einmal gedreht. Die Höhe des Gewinnes hängt von den beiden angezeigten Ziffern ab. Einsatz und Gewinnchancen zeigt folgendes Plakat an: Ein Spiel kostet 1. Gewinnchancen: Beide Ziffern gleich: 2 Ungleiche Ziffern und Ziffernsumme mindestens 5: 0,40 Andere Ziffernpaare: Verloren 6.1 Erstellen Sie für ein Spiel ein geeignetes Baumdiagramm und geben Sie für jedes mögliche Ziffernpaar die zugehörige Wahrscheinlichkeit an. 6.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Die Ziffernsumme ist 10. B: Die Ziffernsumme beträgt mindestens 5. C: Das Ziffernpaar ist nicht 55. D: Mindestens ein Glücksrad zeigt die Ziffer 0 an. 6.3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Verlauf von drei Spielen genau zweimal gleiche Ziffern erscheinen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Verlauf von drei Spielen höchstens einmal gleiche Ziffern erscheinen? 6.4 Geben Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit an, mit der einem Spieler 2 bzw. 0,40 bzw. 0 ausbezahlt werden. 6.5 Berechnen Sie den erwarteten Auszahlungsbetrag für 10 Spiele. Wie viel Gewinn bleibt dabei der Klasse? Ermitteln Sie, wie hoch der Auszahlungsbetrag bei gleichen Ziffern höchstens sein darf, damit die Klasse langfristig keinen Verlust erwarten muss (7 VP) (4 VP) (3 VP) (4 VP) Demo für

7 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Eine Schulklasse hat für ein Gewinnspiel zwei Würfel gebastelt, einen roten und einen blauen, die sich nur in den Farben unterscheiden. Die beiden Würfel sind gemäß der Abbildung mit den Ziffern 1, 2 und 3 beschriftet. Für ein Spiel werden beide Würfel gleichzeitig geworfen. Aus den beiden Augenzahlen wird eine zweistellige Zahl gebildet. Die Augenzahl des roten Würfels ergibt die Zehnerziffer. Die Augenzahl des blauen Würfels ergibt die Einerziffer. 6.1 Erstellen Sie für ein Spiel ein geeignetes Baumdiagramm und geben Sie für jedes mögliche Ergebnis die zugehörige Wahrscheinlichkeit an. 6.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Die Zahl ist kleiner als Zwanzig. B: Die Zahl ist gerade. C: Die Zahl ist ungerade. D: Die Quersumme der Zahl ist mindestens 4. (4 VP) Am Schulfest möchte die Klasse ihr Gewinnspiel Elf gewinnt zu den folgenden Bedingungen anbieten: Der Einsatz je Spiel beträgt 1. Hauptpreis: 5 für das Ergebnis Elf Trostpreis: 1 für das Ergebnis Dreiunddreißig oder Zweiundzwanzig Verloren: 0 für alle andere Ergebnisse. 6.3 Geben Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit an, mit der einem Spieler 5, 1 bzw. 0 ausbezahlt werden. 6.4 Mit welchem Gewinn kann die Klasse bei 500 Spielen rechnen? (4 VP) Wie müsste der Auszahlungsbetrag für das Ergebnis Elf abgeändert werden, damit das Spiel fair wird? 6.5 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei fünf Spielen in Serie genau zweimal das Ergebnis Elf zu erreichen? (7 VP) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei fünf Spielen in Serie mehr als einmal das Ergebnis Elf zu erreichen? (8 VP) Demo für

8 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Bei einem Brettspiel soll durch Würfeln entschieden werden, um wie viel Felder eine Spielfigur vorwärts oder rückwärts gezogen wird. Die Spielfigur bewegt sich dabei auf einem Kreis, der einmal umrundet werden muss. In einer Spielrunde sollen einmal zwei Würfel gleichzeitig geworfen werden. Jeder Würfel hat eine rote, zwei gelbe und drei blaue Seiten. 6.1 Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm für eine Spielrunde mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse an. 6.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Kein Würfel zeigt rot. B: Mindestens ein Würfel zeigt rot. C: Genau ein Würfel zeigt rot. D: Beide Würfel zeigen die gleiche Farbe. Den Farben entsprechend sollen die Spielfiguren Bewegungen ausführen: Zeigen beide Würfel rot, so zieht die Spielfigur drei Felder zurück. Zeigen beide Würfel die gleiche Farbe, außer rot, so rückt die Figur drei Felder vor. Zeigt nur ein Würfel rot, muss die Figur auf dem Feld stehen bleiben. Bei sonstigen verschiedenfarbigen Würfen zieht die Spielfigur ein Feld vor. 6.3 Ist es gewährleistet, dass die Spielfiguren auf lange Sicht wenigstens ein Feld pro Spielrunde zurücklegen? 6.4 Besteht die Möglichkeit, dass eine Spielfigur in fünf Spielrunden 15 Felder zurücklegen kann? Wenn ja, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit hierfür? 6.5 Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss die Spielfigur genau zweimal rückwärtsgehen, wenn drei Spielrunden gespielt werden? Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss die Spielfigur genau zweimal rückwärtsgehen, wenn vier Spielrunden gespielt werden? (9 VP) (3 VP) Demo für

9 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Ein Glücksrad hat gleich große Sektoren: vier rote, drei gelbe und einen blauen. Beim Stillstand des Glücksrades zeigt ein Pfeil auf genau einen Sektor. Ein Spiel besteht darin, das Glücksrad zweimal zu drehen. 6.1 Zeichnen Sie für ein Spiel ein geeignetes Baumdiagramm und berechnen sie zu jedem Spielausgang die zugehörige Wahrscheinlichkeit. 6.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Es wird zweimal die gleiche Farbe angezeigt. B: Es treten verschiedene Farben auf. C: Es tritt blau und rot auf. D: Es wird höchstens einmal blau angezeigt. Formulieren Sie das Gegenereignis zu D. 6.3 Ein Glücksspielbetreiber bietet für obiges Spiel folgendes an: Zeigt der Pfeil zweimal auf den blauen Sektor, erhält der Spieler 5. Zeigt der Pfeil zweimal auf den gelben Sektor, erhält der Spieler 2. Zeigt der Pfeil zuerst auf den gelben und dann auf den blauen Sektor, erhält der Spieler 1. In allen anderen Fällen erhält der Spieler nichts ausbezahlt. Mit welchem Auszahlungsbetrag kann ein Spieler im Durchschnitt bei 200 Spielen rechnen? Welchen Einsatz muss der Glücksspielbetreiber pro Spiel mindestens verlangen, damit das Spiel für ihn günstig ist? Welchen Einsatz muss der Glücksspielbetreiber pro Spiel mindestens verlangen, damit er bei (8 VP) 30 Spielen durchschnittlich einen Gewinn von 5 erwarten kann? (11 VP) 6.4 Bei einem neuen Spiel wird das Glücksrad fünfmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass fünfmal rot erscheint. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zweimal gelb erscheint. (5 VP) Demo für

10 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Ein Handyhersteller will ein neues Modell auf den Markt bringen. Das neue Handy besteht aus 3 voneinander unabhängigen Bauteilen: der Mechanik, der Elektronik und dem Akku. Das Handy funktioniert fehlerfrei, wenn alle 3 Bauteile in Ordnung sind. In einer zweijährigen Probephase wurde ermittelt, dass bei 5% der eingebauten mechanischen Bauteile, bei 0,5% der elektronischen Bauteile und bei 1% der Akkus ein Defekt auftritt. Es wird davon ausgegangen, dass jedes Bauteil innerhalb von zwei Jahren nur einmal defekt sein kann. 6.1 Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. 6.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse innerhalb von zwei Jahren: A: Alle drei Bauteile (Mechanik, Elektronik und Akku) des Handys haben einen Defekt. B: Sowohl die Elektronik als auch der Akku des Handys funktionieren nicht. C: Nur beim Akku des Handys tritt ein Fehler auf. D: Das Handy funktioniert fehlerfrei. E: Das Handy ist defekt. F: Die Elektronik des Handys funktioniert nicht. (12 VP) 6.3 Der Handyhersteller plant für die ersten zwei Jahre einen kostenlosen Reparaturservice anzubieten. Die Reparaturkosten für die Mechanik betragen 19, die Reparatur der Elektronik kostet 34 und der Austausch des Akkus kostet 25. Mit welchen Reparaturkosten ist durchschnittlich zu rechnen, wenn 450 der neuen Handys verkauft wurden? 6.4 Der Mobilfunkhersteller plant die Qualität seiner Handys zu verbessern. Es sollen 98% aller Handys in den 2 Jahren einwandfrei funktionieren. Begründen Sie rechnerisch, dass durch alleinige Verbesserung der Akkus die gewünschte Qualität nicht erreicht werden kann. (7 VP) (5 VP) Demo für

11 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Ein Fußballverein bietet den Besuchern beim Sommerfest zur Unterhaltung Spiele an. Die E-Jugend hat sich dieses Spiel ausgedacht: Die Jugendlichen legen für jeden der Besucher, der mitspielen will drei weiße und sieben rote Fußbälle in eine Kiste. Die Fußbälle haben alle die gleiche äußere Form. Jeder Besucher darf blind nacheinander drei Bälle ohne Zurücklegen aus der Kiste mit den zehn Bällen ziehen. 6.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse mit Hilfe eines geeigneten Baumdiagramms: A: Der zweite Fußball ist weiß. B: Mindestens ein Fußball ist weiß. C: Genau zwei Fußbälle haben die gleiche Farbe Beschreiben Sie in Worten das Ereignis D zu der folgenden Wahrscheinlichkeit in eigenen Worten: PD (12 VP) 6.2 Die Jugendlichen möchten mit dem oben beschriebenen Spiel Geld einnehmen. Sie vereinbaren, dass jeder Besucher für einen weißen Fußball 2 erhält und für einen roten Fußball 1 bezahlt. Berechnen Sie den Gewinn pro Spiel, den die Jugendlichen erwarten dürfen. Die Jugendlichen wollen von dem Gewinn einen neuen Fußball kaufen, der 34,80 kostet. Wie oft müsste das Spiel gespielt werden, damit die Jugendlichen diesen Betrag als Gewinn erwarten dürfen? Die D-Jugend bietet ein Torwandschießen an. Ein Spiel besteht aus 5 Schüssen. Die Jugendlichen notieren die Anzahl der Tore pro Spiel: Anzahl der Tore pro Spiel Anzahl der Spiele (10 VP) 6.3 Wie viel Prozent der Schüsse gingen nicht ins Tor? (5 VP) 6.4 Berechnen Sie den Mittelwert der Anzahl der Tore pro Spiel. (3 VP) Demo für

12 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Eine Klasse eines Berufskollegs möchte ihre Klassenkasse für die Abschlussfahrt aufbessern und hat dafür ein Glücksspiel entwickelt. Dafür werden ein gelber und ein blauer Spielwürfel verwendet, die sich nur in der Farbe unterscheiden. Die Oberfläche jedes Würfels besteht aus 12 gleichseitigen Fünfecken. Die beiden Würfel sind gemäß der Abbildung mit den Zahl 2,3,4 beschriftet. Würfel Abwicklung (Netz) Bei dem Spiel Die verflixte Sechs werden beide Würfel gleichzeitig geworfen. Die Augenzahl des gelben Würfels wird mit sich selbst multipliziert und das Ergebnis zur Augenzahl des blauen Würfels dazugezählt. Diese Zahl ist das Ergebnis eines Spiels. 6.1 Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm für ein Spiel und geben Sie für jedes mögliche Ergebnis die zugehörige Wahrscheinlichkeit an. 6.2 Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich für folgende Ereignisse? A: Das Ergebnis eines Spiels ist größer als dreizehn. B: Das Ergebnis eines Spiels ist eine Zahl, die ohne Rest durch drei teilbar ist. C: Das Ergebnis eines Spiels ist kleiner als zwanzig. 6.3 Zeigen Sie, dass es bei diesem Glücksspiel wahrscheinlicher ist, bei zwei aufeinander folgenden Spielen genau einmal das Ergebnis Sechs zu erreichen, als bei vier aufeinander folgenden Spielen genau zweimal das Ergebnis Sechs zu erreichen. 6.4 Das Spiel Die verflixte Sechs soll an einem Tag der offenen Tür der Schule angeboten werden und der Spielerlös der Klassenkasse zugutekommen. Für dieses Spiel gelten folgende Bedingungen: Der Einsatz je Spiel beträgt 0,50. Ein Spieler erhält 2 für das Ergebnis Zwanzig und 1 für das Ergebnis Achtzehn oder Neunzehn. Ein Spieler muss für das Ergebnis Sechs nochmals 0,50 bezahlen. In allen anderen Fällen gibt es weder Auszahlung noch Zuzahlung. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Auszahlungsbeträge an. 6.5 Die Klasse kalkuliert mit 200 Spielen. Mit welchem Gewinn kann sie rechnen? Wie müsste der Auszahlungsbetrag für das Ergebnis Zwanzig abgeändert werden, damit das Spiel fair wäre? Demo für

13 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Ein Fußballverein veranstaltet bei seinem Vereinsfest ein Torwandschießen. Ein Spiel besteht dabei darin, dass ein Schütze erst drei Schüsse auf das untere Loch, dann drei Schüsse auf das obere Loch der Torwand abgibt. Ein Treffer wird notiert, wenn der Ball durch das angepeilte Loch hindurch geht. Das Ziel eines Spieles ist, möglichst viele Treffer zu erzielen. 6.1 Der Verein verfügt über Aufzeichnungen früherer Jahre über die Häufigkeit der bei den Spielen insgesamt erzielten Treffer. Jahr Anzahl der Spiele insgesamt Anzahl der Treffer insgesamt Berechnen Sie aus der Gesamtheit dieser Daten die relative Häufigkeit, mit einem Schuss einen Treffer zu erzielen. 6.2 Es wird eine statistische Trefferwahrscheinlichkeit von 0,15 pro Schuss angenommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: A: Kein Treffer in einem Spiel B: Mit den ersten vier Schüssen genau drei Treffer C: Mindestens ein Treffer im oberen Loch Formulieren Sie das Gegenereignis von A in Worten. 6.3 Um kürzere und damit mehr Spiele anzubieten, überlegt sich die Jugendabteilung ein Torwandschießen mit nur zwei Schüssen: erst ein Schuss auf das untere Loch, dann ein (4 VP) (8 VP) Schuss auf das obere. Dabei nimmt sie für dieses neue Spiel eine Trefferwahrscheinlichkeit von 0,18 für das untere Loch und 0,12 für das obere Loch an. Zeichnen Sie für das neue Spiel ein geeignetes Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Spielausgänge. 6.4 Der Einsatz für das neue Spiel soll 1 betragen. Für einen Treffer erhält ein Spieler 2, für zwei Treffer 10, ohne Treffer ist der Einsatz verloren. Wie viele Spiele müssen gespielt werden, damit der Fußballverein einen Gewinn von 200 erwarten kann? Berechnen Sie, auf welchen Betrag die Jugendmannschaft die Auszahlung für zwei Treffer festsetzen müsste, damit sie statistisch gesehen mit 500 Spielen den angestrebten Gewinn von 200 erzielt. 6.5 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler in drei Spielen insgesamt genau 1 verliert? (4 VP) (9 VP) (5 VP) Demo für

14 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Die Rabbit AG stellt Schokoladeneier mit Füllung her. Aufgrund eines Fehlers in der Produktion haben 10% der hergestellten Eier keine Füllung. 6.1 Der laufenden Produktion werden drei Eier entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A: alle drei Eier eine Füllung haben, B: höchstens ein Ei keine Füllung enthält, C: mindestens ein Ei eine Füllung enthält. Geben Sie ein Ereignis D an, dessen Wahrscheinlichkeit sich folgendermaßen berechnen lässt: P(D) 0,9 3 0,1 3. Da der Fehler viel zu spät bemerkt wird, ist die Produktion zunächst weitergelaufen. Die Eier wurden in den Farben Gold, Silber, Rot und Blau im Verhältnis 1:2:3:3 verpackt. 6.2 Zeichnen Sie ein Baumdiagramm, das alle Füllung-Farbe-Kombinationen und deren Wahrscheinlichkeiten für ein produziertes Ei angibt. Welche Füllung Farbe-Kombination kommt häufiger vor: - goldenes Ei mit Füllung oder - rotes Ei ohne Füllung? Welche Füllung-Farbe-Kombinationen kommen am häufigsten vor? 6.3 Für eine Werbeaktion werden die verpackten Eier in ein undurchsichtiges Gefäß gegeben. Die Kunden dürfen für einen Betrag von 10 Cent blind ein Ei herausholen. Ist das Ei ein goldenes ohne Füllung, bekommt der Kunde 50 Cent, ist das Ei ein silbernes ohne Füllung, bekommt er 20 Cent, und ist das Ei ein anderes ohne Füllung, bekommt er 15 Cent zurück. Ist das Ei mit Füllung, verfällt der Einsatz. Prüfen Sie, ob das Unternehmen dabei auf lange Sicht Verlust macht. (10 VP) Wie hoch dürfte der Auszahlungsbetrag für ein goldenes Ei ohne Füllung maximal sein, wenn sich das Unternehmen bei 250 Ziehungen mit einem Gewinn von 10 Euro zufrieden geben würde? Durch eine Neujustierung der Produktionsanlage kann der Anteil der Eier ohne Füllung deutlich gesenkt werden. Je drei Eier werden in ein Nest gelegt. Die Abteilung für Qualitätssicherung schreibt vor, dass es bei höchstens 5% aller Nester zu einer Reklamation wegen fehlender Füllung kommen darf. (8 VP) (8 VP) 6.4 Bestimmen Sie den maximal zulässigen Anteil der Eier ohne Füllung, die die Produktionsanlage herstellen darf, um die Vorgabe einzuhalten. (4 VP) Demo für

15 74341 Berufskolleg: Stochastik Aufgabe 6 Ein Glücksrad besteht aus zehn gleich großen Sektoren. Ein Sektor ist rot, zwei sind grün und die restlichen Sektoren sind weiß. Ein fester Pfeil zeigt das Ergebnis nach einer Drehung des Glücksrades an. Das Glücksrad wird für ein Spiel zwei Mal gedreht. Nachdem das Glücksrad das erste Mal gedreht wurde, gilt folgende Ersetzungsregel: Zeigt es rot, wird ein weißer Sektor durch einen roten ersetzt, zeigt es grün, wird ein weißer Sektor durch einen grünen ersetzt. Dann wird das Glücksrad das zweite Mal gedreht. Nach jedem Spiel wird das Glücksrad in dem ursprünglichen Zustand zurückgesetzt. 6.1 Zeichnen Sie ein geeignetes Baumdiagramm, das die Wahrscheinlichkeiten für alle Spielausgänge beschreibt. 6.2 Begründen Sie: Ist es wahrscheinlicher, dass das Glücksrad während eines beliebigen Spieles verändert wird oder dass es während eines Spieles gleich bleibt? 6.3 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: A: Das Glücksrad zeigt mindestens einmal weiß. B: Es wird zwei Mal die gleiche Farbe gezeigt. C: Es wird rot oder grün gezeigt. (2 VP) D: Die beiden gezeigten Farben unterscheiden sich. (8 VP) Das Glücksrad samt oben stehenden Regeln wird nun für ein Gewinnspiel genutzt: Der Einsatz pro Spiel beträgt 2 Euro. Zeigt das Glücksrad (rot, rot) erhält der Spieler 30 Euro, bei (rot, grün) oder (grün, rot) erhält er 12,50 Euro, bei (grün, grün) erhält er 5 Euro. In allen anderen Fällen erhält der Spieler nichts. 6.4 Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt ein Spieler einen Gewinn? (3 VP) 6.5 Wie hoch ist auf lange Sicht der Gewinn bzw. Verlust des Veranstalters pro Spiel? (4 VP) 6.6 Um wie viel Euro müsste man den Auszahlungsbetrag für (grün, grün) ändern, damit das Spiel fair wird? 6.7 Schlagen Sie eine Veränderung der oben beschriebenen Ersetzungsregel der Sektoren vor, die für den Spieler vorteilhaft wäre, und begründen Sie Ihren Vorschlag. Wäre es für den Veranstalter günstiger, wenn er auf die Ersetzungen der Sektoren, wie sie oben beschrieben ist, verzichten würde? (4 VP) (3 VP) Demo für