Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 7-9. Was ist Wahrscheinlichkeit

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Dirk Jaeger
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1 ARBEITSBLATT 7-9 Was ist Wahrscheinlichkeit "Ein guter Mathematiker kann berechnen, welche Zahl beim Roulette als nächstes kommt", ist eine Aussage, die einfach falsch ist. Zwar befassen sich Mathematiker bereits seit dem 7. Jahrhundert damit, ein gewisses Geschehen abzuschätzen, ob ein gewisses Ereignis eintritt oder nicht, lässt sich jedoch nicht vorhersagen. Man kann lediglich beurteilen, ob es vielleicht eintritt. Mit diesem "vielleicht" beschäftigt sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Um dies durch eine Zahl greifbar zu machen, benötigen wir zunächst einige Definitionen: Beispiel(): Als Beispiel einer Modellbildung verwenden wir den Münzenwurf mit unterscheidbaren aber gleichwertigen Münzen. Den Fall, dass eine Münze beim Wurf auf ihrem Rand stehen bleibt, schließen wir aus. Mögliche Ergebnisse: ω { Kopf, Kopf } ω { Kopf, Adler} ω { Adler, Kopf } ω { Adler, Adler} Ergebnismenge: Ω { ω, ω, ω ω }, Die Gesamtheit aller möglichen Ergebnisse eines Experimentes bildet die Ergebnismenge Ω dieses Experimentes. Jede Teilmenge der Ergebnismenge nennt man Ereignis E. E : Eswird min dermünzengeworfen :Ω Mögliche Ereignisse: :{ ω, ω } destenseinmalkopf geworfen :{ ω, ω, ω} :{ ω, ω} Adlergeworfen :{ ω } nochadlergeworfen :{ } E : BeideMünzenzeigengleicheSeiten E : Eswird genaueinmal Adlergeworfen E : Eswird genauzweimal E : Eswird wederkopf 5 E : EswerdenentwedergleicheoderungleicheSeiten 6 Um die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der einzelnen Ereignisse zu berechnen, müssen wir zunächst gewisse Grundannahmen treffen. Ω besteht aus vier Elementen, wobei jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich eintreten kann. Also ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ergebnisses immer /. Man schreibt: ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) Daraus folgt:

Man kann lediglich beurteilen, ob es vielleicht eintritt. Mit diesem "vielleicht" beschäftigt sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

2 ( E ) ( ω ) + ( ω ) ( E ) ( ω ) + ( ω ) + ( ω ) ( E ) ( ω ) + ( ω ) ( E ) ( ω ) ( E5 ) 0 ( E ) 6 Wahrscheinlichkeiten sind stets Zahlenwerte zwischen 0 und. Ist für ein Ereignis gleich, so spricht man von einem sicheren Ereignis, ist gleich 0 von einem unmöglichen Ereignis. Übung: Übungsblatt 7-9; Aufgaben Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleich wahrscheinlich, dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit (A) eines Ereignisses A wie folgt berechnen: ( A) Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Was bedeutet es aber nun, dass die Wahrscheinlichkeit einen er zu würfeln /6 beträgt? Bei einer großen Anzahl von Versuchen stabilisiert sich die relative Häufigkeit des Ereignisses um einen festen Wert. Dieser Wert lautet /6. Gesetz der großen Zahlen: Je größer die Anzahl von Versuchen ist, desto deutlicher stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses um einen festen Wert - seine Wahrscheinlichkeit. Beispiel(): In einer Urne befinden sich Zetteln, die von 0 bis 99 beschriftet sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich keinen Zettel ziehe, bei dem beide Ziffern gleich sind? E... Es wird kein Zettel gezogen, bei dem beide Zettel gleich sind E... Ein Zettel mit zwei gleichen Ziffern wird gezogen (E) - ( E) (E)-9/90-/09/0 Für die Gegenwahrscheinlichkeit zum Ereignis E gilt: ( E) ( E) (Somit gilt auch: (E) ( E)

Übung: Übungsblatt 7-9; Aufgaben 76 77 + Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleich wahrscheinlich, dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit (A) eines Ereignisses A wie folgt berechnen: ( A)

3 Übung: Übungsblatt 7-9; Aufgaben Lösen einfacher Wahrscheinlichkeitsbeispiele mithilfe eines Baumdiagramms Beispiel(): Im Zuge einer Werbeaktion wird in einem Kaufhaus folgendes Gewinnspiel angeboten; In einer Urne sind Kugeln, die sich nur in der Beschriftung unterscheiden: O und M. Man zieht eine Kugel, notiert den gezogenen Buchstaben und legt die Kugel wieder in die Urne zurück. Dies wiederholt man dreimal. Entsteht dabei das Wort "OMO", so erhält man eine ackung des Waschmittels gratis. Wie groß ist die Gewinnchance für den Kunden? Wir zeichnen uns zu diesem roblem ein sogenanntes Baumdiagramm. Ganz oben zeichnen wir uns die Ausgangssituation (Ein O und ein M befinden sich in der Urne). Von dieser Ausgangssituation zeichnen wir alle möglichen Wege ein, die sich bei der Ziehung der ersten Kugel ergeben können. Von dort ausgehend zeichnen wir abhängig von der. Ziehung alle möglichen Wege ein, die sich bei der. Ziehung ergeben können, usw... Ziehung. Ziehung. Ziehung Es gibt also 8 verschiedene, gleichberechtigte Spielverläufe, wobei jedoch nur einer günstig ist. E... Das Wort OMO entsteht. Es folgt: (OMO)/8. Genauso hätten wir aber die Wahrscheinlichkeit zu diesem Ereignis ermitteln können, indem wir uns zunächst den günstigen Fall einzeichnen und die Wahrscheinlichkeiten für jede einzelne Ziehung dieses Weges eintragen.

Dies wiederholt man dreimal. Entsteht dabei das Wort "OMO", so erhält man eine ackung des Waschmittels gratis. Wie groß ist die Gewinnchance für den Kunden?

4 Überlegen Sie dazu: Die Wahrscheinlichkeit, dass ich bei der. Ziehung ein O ziehe beträgt ½, da ja Kugel günstig ist (Mit O beschriftet) und Kugeln möglich sind. Da wir nach der ersten Ziehung die Kugel wieder in die Urne zurücklegen, sind die Wahrscheinlichkeiten auch bei der. Ziehung ident. Nun brauchen wir also die Wahrscheinlichkeit, dass wir OMO ziehen. Die Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Astes des Baumdiagramms werden stets multipliziert. ( OMO) 8 Genauso hätten wir aber sagen können, die Wahrscheinlichkeit, dass ich OMO ziehe, besteht aus der Wahrscheinlichkeit, dass ich O ziehe und dann M ziehe und dann O ziehe. Das logische Wort UND bedeutet mathematisch eine Multiplikation. Unser Ansatz lautet also nun: ( OMO) ( O) ( M ) ( O) Da die Wahrscheinlichkeit ein O oder ein M zu ziehen stets ½ ist, erhalten wir: ( OMO) 8 Beispiel(): In einer Urne befinden sich drei Kugeln: "U","D" und "O". Man zieht der Reihe nach je eine Kugel, ohne die gezogene Kugel zurückzulegen. Wer das Wort "UDO" zieht, gewinnt einen reis. Wie groß ist die Gewinnchance?

Die Wahrscheinlichkeiten eines einzelnen Astes des Baumdiagramms werden stets multipliziert.

5 Es gibt 6 verschiedene Spielverläufe, nur einer ist günstig. E... Das Wort UDO wird gezogen. Es folgt: (UDO)/6. Denken Sie sich auch die anderen Lösungswege durch!! Beispiel(5): aul Faul hat sich wieder einmal nicht für die Mathematikwiederholung vorbereitet. Er weiß, dass der Lehrer dafür jede Stunde Schüler zufällig auswählt. Wie groß ist für ihn die Chance, zur Wiederholung dranzukommen, wenn noch andere Schüler anwesend sind? Wir Schreiben "N" für nicht drankommen, "J" für drankommen. Vorsicht: Es fällt auf, dass nun die einzelnen Spielverläufe nicht mehr gleichwahrscheinlich sind. Erfolgreich sind allerdings nur die beiden Wege, in denen ein "J" vorkommt. Nun haben wir also zwei Wege, die günstig sind. Hier gilt nun: Die Wahrscheinlichkeiten eines Astes werden multipliziert. Die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Äste werden addiert. 5

Wie groß ist für ihn die Chance, zur Wiederholung dranzukommen, wenn noch andere Schüler anwesend sind? Wir Schreiben "N" für nicht drankommen, "J" für drankommen.

6 Wir rechnen uns also jeweils die Wahrscheinlichkeiten für jeden Ast aus (Stehen unter der Zeichnung) und addieren dann diese Wahrscheinlichkeiten. 0,07 + 0,07 0, Ein anderer Weg, die beiden Äste zu verbinden, wäre von der Aussagenlogik: Die Wahrscheinlichkeit, einmal J bei zwei Ziehungen zu haben, ist entweder ich ziehe J und dann N, oder ich ziehe N und dann J. Hier gilt: Wahrscheinlichkeiten, die mit ODER verbunden sind, werden addiert. Es folgt daraus: ( JN) + ( NJ ) Die Einzelwahrscheinlichkeiten haben wir bereits berechnet: ( JN) + ( NJ ) 0,07 Wir setzen ein und erhalten: 0,07 + 0,07 0, Beispiel(6): In einer Urne befinden sich 5 Kugeln. Kugeln sind rot, weiß. Dreimal wird je eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und wieder in die Urne zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau rote Kugeln zu ziehen? Es gibt also drei günstige Wege, wobei wir die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg bereits ausgerechnet haben. E... genau rote Kugeln ziehen (E) *0,050,06 Beachte: Hier hätte man auch so vorgehen können. Die Wahrscheinlichkeit ROT zu ziehen ist immer /5. Die Wahrscheinlichkeit WEISZ zu ziehen ist immer /5. Bei maliger Ziehung gibt es drei Möglichkeiten mal rot und mal weiß zu ziehen 5 5 0,06 (Möglichkeiten)*((rot) Hochzahl: mal)*((weiß) Hochzahl: mal) 6

ziehe N und dann J. Hier gilt: Wahrscheinlichkeiten, die mit ODER verbunden sind, werden addiert.

7 Wichtige Regeln: MULTILIKATIONSSATZ: Sind die Ereignisse E und E voneinander unabhängig, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass E und E eintritt: Wahrscheinlichkeit von E mal Wahrscheinlichkeit von E (Ein Ereignis E bezeichnet man als unabhängig von einem Ereignis E, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von E unabhängig davon ist, ob das Ereignis E eingetroffen ist oder nicht. Multiplikationssatz gilt auch für mehrere voneinander unabhängige Ereignisse) Das bedeutet für das Baumdiagramm: Entlang eines Astes werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. SUMMENSATZ: Sind die Ereignisse E und E zwei einander ausschließende Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass E oder E eintritt: Wahrscheinlichkeit von E plus Wahrscheinlichkeit von E (Gilt auch für mehrere unvereinbare Ereignisse) Das bedeutet für das Baumdiagramm Wahrscheinlichkeiten mehrerer Äste werden addiert. Übung: Übungsblatt 7-9; Aufgaben 8-9 7

Multiplikationssatz gilt auch für mehrere voneinander unabhängige Ereignisse) Das bedeutet für das Baumdiagramm: Entlang eines Astes werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

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