André Hoffmann Wiederholung Mathematik Klasse

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1 André Hoffmann Wiederholung Mathematik Klasse Kongruenz: 1. Satz: Stimmen zwei Dreiecke ΔABC und ΔA B C in bestimmten Kombinationen einzelner Winkel und Längen überein, dann sind die Dreiecke kongruent (deckungsgleich) zueinander. Diese Kombinationen sind: SSS, SWS, SSW, WSW. (Beachte, dass bei SSW der Winkel gegeben sein muss, welcher der längeren der beiden gegebenen Seiten gegenüber liegen muss!) Stimmen die Dreiecke in einer dieser Kombinationen überein, dann stimmen sie in allen Maßen und Längen überein! Dadurch gilt auch: 2. Satz: Sind von einem Dreieck ΔABC nicht alle Größen, aber bestimmten Kombinationen seiner Winkel und Längen bekannt, so ist das Dreieck eindeutig konstruierbar. Diese Kombinationen sind genau die der Kongruenzsätze: SSS, SWS, SSW, WSW. Beispiel: Ein Dreieck mit den Angaben α = 80, β = 40 und γ = 60 ist nicht eindeutig konstruierbar, wie die beiden aus diesen Angaben konstruierten Dreiecke zeigen (es gibt eben keinen Kongruenzsatz WWW): 2. Geometrische Beweise: Mathematische Aussagen werden oft in Sätzen formuliert, die sogenannte WENN-DANN-Aussagen darstellen. Beispiel: Wenn in einem Viereck bereits zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander und gleich lang sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm. Den WENN-Teil des Satzes nennt man Voraussetzung Den DANN-Teil des Satzes nennt man Behauptung In der Voraussetzungen werden immer alle Informationen zusammengefasst, die man schon weiß, aber nichts von dem, was noch zu zeigen ist.

2 Im Beispiel enthält die Voraussetzung bereits folgende Informationen: Wir haben es mit einem Viereck zu tun Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang In der Behauptung steckt nun diejenige Aussage, die zu zeigen ist: So ein Viereck muss schon ein Parallelogramm sein. Oft werden auch die Kehrsätze von mathematischen Aussagen betrachtet dazu vertausche man schlicht Voraussetzung und Behauptung. Im Beispiel: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Um nun das Beispiel zu beweisen, zeichnet man typischerweise eine Planfigur und schreibt die Voraussetzungen und die Behauptung explizit hin: Voraussetzungen: a c a=c Zu zeigen: b d b = d Nun muss man tricksen (und das haben wir im Unterricht öfters geübt!), indem man die Diagonale einzeichnet, um über Dreiecke auf die Kongruenzsätze zugreifen zu können:

3 Nun gilt nämlich für die beiden Dreiecke ABD und BCD: a = c BD ist in beiden Dreiecken β = δ, weil Wechselwinkel! Damit folgt nach Kongruenzsatz SWS, dass beide Dreiecke kongruent sind und damit auch b = d gilt und sogar b d, weil die entsprechenden Winkel dann auch übereinstimmen. Somit ist das Viereck insgesamt ein Parallelogramm. 3. Flächen und Körper: Zunächst haben wir uns mit einigen besonderen Linien und Punkten des Dreiecks beschäftigt: 1. Die Mittelsenkrechte zur Strecke AB ist diejenige Gerade, die orthogonal auf AB steht und durch ihren Mittelpunkt geht. Bewiesen haben wir: Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten von AB liegt, dann hat er den gleichen Abstand zu den Punkten A und B (sowie den Kehrsatz hiervon). 2. Die Winkelhalbierende zum Winkel α im Scheitel S ist eine Halbgerade mit dem Anfangspunkt S, die α in zwei gleich große Teilwinkel zerlegt. Bewiesen haben wir: Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden von α liegt, so hat er von beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand (sowie den Kehrsatz hiervon). 3. Eine Höhe im Dreieck ist eine Strecke von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite, und zwar so, dass sie orthogonal auf dieser Seite steht. 4. Eine Seitenhalbierende im Dreieck ist die Verbindungsstrecke eines Eckpunktes mit der gegenüberliegenden Seitenmitte. Jede Sorte besonderer Linien im Dreieck hat die Eigenschaft, dass sich alle drei Linien immer in einem gemeinsamen Punkt schneiden, insbesondere: In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Seiten in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises. In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises (den Radius des Inkreises muss man dabei als Abstand des Mittelpunktes auf eine beliebige Seite mit dem Zirkel konstruieren!).

4 Später haben wir uns mit Flächen von ebenen Figuren beschäftigt, wobei wir die Fläche A als Maß definiert haben, wie viele Einheitsquadrate in der Figur enthalten sind und dabei mit unseren Einheitsquadraten immer kleiner (und damit feiner) geworden sind. 1. Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b: A = a b 2. Flächeninhalt A eines Dreiecks, wobei wir uns eine der drei Seiten a, b, c als Grundseite g denken: A = g h g 2 3. Flächeninhalt eines Parallelogramms, wobei wir uns eine der vier Seiten als Grundseite g denken und den Abstand zur gegenüberliegenden Seite als Höhe bezeichnen: A = g h 4. Flächeninhalt eines Trapezes, wobei wir als Höhe den Abstand der beiden zueinander parallelen Grundseiten a und c bezeichnen: A = (a+c) h 2 5. Flächeninhalt eines beliebigen Vielecks: Man zerlegt das Vieleck in Dreiecke (geht immer!) oder andere berechenbare Figuren, berechnet jeweils den Flächeninhalt von jeder Teilfigur und addiert dieses Flächeninhalte. So erhält man schließlich den Flächeninhalt des gesamten Vielecks. Ein Prisma ist ein Körper, der von zwei zueinander parallelen und deckungsgleichen Vielecken, sowie von Rechtecken begrenzt wird. Für die Oberfläche O eines Prismas mit der Grundfläche G, der Mantelfläche M (die Summe der rechteckigen Seitenflächen), der Höhe (Abstand der beiden parallelen und deckungsgleichen Vielecke, die die Grundflächen Boden und Deckel darstellen) und dem Umfang u der Grundfläche gilt: O = 2G + M = 2G + u h h G G M 4. Mehrstufiger Zufallsversuch: Zunächst haben wir uns wiederholend mit Zufallsexperimenten beschäftigt, die genau einmal durchgeführt werden, z.b. dem Würfelwurf. Man spricht von einem Laplace-Experiment, wenn jeder Ausfall des Zufallsgerätes (z.b. Würfel) mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. Demgegenüber ist der Wurf eines handelsüblichen Kronkorkens sicherlich kein Laplace- Experiment, weil er durch seine Form nicht ausgeglichen auf seine jeweiligen Seiten fällt. Wahrscheinlichkeit ist hier ein Maß für das Auftreten eines bestimmten, gewünschten Ausfalls. Für ein Laplace-Experiment wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (z.b. Beim Würfeln fällt eine Zahl größer als 3 ) definiert als: P E = Anzahl der für das Ereignis günstigen Ausfälle Anzahl aller Ausfälle Das Wahrscheinlichkeitsmaß ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1 und kann entweder als Bruch, als Dezimalzahl oder als Prozentzahl angegeben werden. Im Beispiel: P Beim Würfeln fällt eine Zahl größer als 3 = 3 6 = 1 = 0, 5 = 2 E enthält die Ausfälle: 4,5,6

5 Wird ein solches Zufallsexperiment mehrmals nacheinander durchgeführt, spricht man von einem mehrstufigen Zufallsversuch. Beispiele sind das mehrmalige Drehen eines Glücksrads oder auch das nacheinander Ziehen von 6 aus 49 Kugeln beim Lotto. Wichtig: Die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ausfälle können sich auf späterer Stufe gegenüber einer vorherigen Stufe verändern. Z.B. beim Lotto: zu Beginn hat man eine Wahrscheinlichkeit von 1 die erste Kugel zu treffen. 49 Diese gezogene Kugel wird dann aber aus der Menge der möglichen Ausfälle bei einem erneuten Drehen entfernt, so dass man daraufhin eine Wahrscheinlichkeit von 1 hat, die nächste Kugel zu 48 treffen etc. Mehrstufige Zufallsexperimente kann man gut mit Bäumen veranschaulichen, als Beispiel der dreifache Münzwurf: Jede Spalte von untereinander stehenden Ausfällen W und Z stellt eine erneute Wiederholung des Zufallsversuchs dar. Hier wurde die Münze dreimal geworfen. Der Baum stellt dabei alle möglichen Ergebnisfolgen dar bespielsweise könnte beim ersten Wurf Wappen, beim zweiten Wurf Zahl und beim dritten Wurf wieder Wappen gefallen sein, dies wird genau durch den rot markierten Ast von links nach rechts dargestellt. Pfadregel: Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit genau einem Ergebnis (entlang eines Astes) zu berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Astes multiplizieren. 3 = 1 Hier hat das Ereignis E = (W Z W) die Wahrscheinlichkeit W E = 0,5 0,5 0,5 = 1 = ,5%, was ja auch mit der Beobachtung übereinstimmt, dass dies einer der acht gleichwahrscheinlichen Fälle ist. Wichtig: Ereignisse beschreiben oft Sachverhalte, in denen nicht nur ein Ergebnis enthalten ist, sondern Mehrere. Ein solches Ereignis ist z.b.: E = "Es fällt mindestens zweimal Wappen". In diesem Ereignis sind folgende Ergebnisse enthalten: { W W W, W, W, Z, W, Z, W, Z, W, W }. Summenregel: Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit mehreren Ergebnissen und damit Pfaden im Baumdiagramm zu bestimmen, muss man die Pfadwahrscheinlichkeiten der einzelnen zu dem Ereignis gehörenden Ergebnisse addieren. Hier hat das Ereignis E die Wahrscheinlichkeit W E = = 4 = 1 =

6 5. Terme und Gleichungen: Mathematische Ausdrücke, in denen Zahlen, Operatoren, Klammern und Variablen auf gültige Art und Weise verknüpft sind, nennen wir Terme, z.b. (4x+1- x 2 ) k. (Gültig bedeutet für uns, dass wir intuitiv Terme bilden dürfen, aber aus Erfahrung bestimmte Regeln nicht verletzen, z.b. dürfen zwei Operatoren niemals aufeinander folgen ":(-4)" statt ": 4") Wertgleichheit zweier Terme: Zwei Terme heißen wertgleich, wenn sie für jede beliebige Einsetzung der Variablen mit Zahlen immer den gleichen Wert des Terms annehmen. Dies zeigt man nicht, indem man möglichst viele Werte in beide Terme einsetzt, sondern sie durch Bruchrechnung, durch Benutzung von Potenzen und dem Assoziativ, Kommutativ- und Distributivgesetzen korrekt umformt, bis der eine Term zum Anderen wird, was ihre Gleichheit beweist. Beispiel: [( 1 4 a)2 : 3] b und a 2 b 48 sind wertgleich, denn man formt um [(1 4 a)2 : 3] b = 1 4 a 2 : 3 1 b = 1 4 a b = 1 16 a2 1 3 b = a2 b = a2 b 1 48 = a 2 b 48. Ausgehend von Termen sind wir dann über das Waagemodell zu den Gleichungen gekommen. Abgrenzung zu Termen: Bei Termen haben wir den Wert eines Terms ausgerechnet, indem wir für die Variable(n) je einen festen Wert eingesetzt haben und den Term damit letztlich als Rechenausdruck auffassen konnten. Am Ende erhielten wir eine rationale Zahl als Wert des Terms. Beispiel: 3 4 x x ergibt für x = 1 2 den Wert des Terms 3 4 (1 2 ) = = = = 3 16 Im Gegensatz dazu geht es bei Gleichungen um die interessantere Fragestellung, nämlich welche Zahl man für x in Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens einsetzen müsste, um jeweils den gleichen Wert des Terms zu erhalten (was dann auch dem Gleichgewichtszustand auf einer Waage entspricht). Dies notiert man dann als sogenannte Gleichung, Beispiel: 3x 1 = 1 2x und das Herausfinden dieser Einsetzung(en) für die Variable bezeichnet man als Lösen der Gleichung. Dafür haben wir eine Strategie formuliert: 1. Zusammenfassen gleichartiger Glieder auf beiden Seiten der Gleichung (durch Anwenden von Termumformungen) 2. Sortieren der Summanden: mit Variable auf eine Seite, ohne Variable auf die andere Seite der Gleichung (durch Addition/Subtraktion von entsprechenden Termsummanden) 3. Isolieren der Variablen durch Division durch deren Vorfaktor Im Beispiel löst man die Gleichung wie folgt: 3x 1 = 1 2x + 2x 3x + 2x 1 = x + 2x = x = 2 x = 2 wobei die Zahl -2 genau diejenige Einsetzung für die Variable x ist, für die die Gleichung des Beispiels erfüllt ist.

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