Die Berechnung der Jupitermasse anhand der Umlaufbahnen seiner Monde

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1 Kantonsschule Ausserschwyz Maturaarbeit Oktober 2015 Die Berechnung der Jupitermasse anhand der Umlaufbahnen seiner Monde Autor, Klasse: Simon Knecht, M4a Adresse: Glarnerstrasse 45, 8805 Richterswil Betreuende Lehrperson: Markus Hägi

2 Inhaltsverzeichnis 1. ABSTRACT VORWORT IDEENFINDUNG & MOTIVATION UNTERSTÜTZUNG EINLEITUNG HISTORISCHES TELESKOPE & MONTIERUNGEN DER REFRAKTOR DER REFLEKTOR DER CASSEGRAIN- REFLEKTOR DIE AZIMUTALE MONTIERUNG DIE PARALLAKTISCHE MONTIERUNG MATERIALIEN UND METHODEN AUSRÜSTUNG & BEOBACHTUNGSORT FOTOGRAFIEREN JUPITERMASSE FORMEL HERLEITUNG UMLAUFZEIT LICHTLAUFZEIT SIDERISCHE PERIODE GROSSE HALBACHSE RESULTATE IO UMLAUFZEIT Lichtlaufzeit Siderische Periode GROSSE HALBACHSE Berechnungsvariante Berechnungsvariante EUROPA UMLAUFZEIT Lichtlaufzeit Siderische Periode

3 GROSSE HALBACHSE Berechnungsvariante Berechnungsvariante GANYMED GROSSE HALBACHSE Berechnungsvariante Berechnungsvariante UMLAUFZEIT KALLISTO GROSSE HALBACHSE Berechnungsvariante Berechnungsvariante UMLAUFZEIT GRAPH JUPITERMASSE DISKUSSION VERGLEICH MIT DER FACHLITERATUR FAZIT QUELLENVERZEICHNIS LITERATURVERZEICHNIS ABBILDUNGSVERZEICHNIS EIGENSTÄNDIGKEITSERKLÄRUNG ANHANG

4 1. Abstract Jupiter. Ein Planet der sicher jedermann kennt. Doch wie steht es um seine vier galileischen Monde? Wussten Sie, dass es möglich ist anhand der Umlaufbahnen der Monde, die Masse von Jupiter zu bestimmen? Nein? Es geht noch weiter! Ich berechnete die Umlaufbahnen der Monde mit einem einfachen Teleskop. Anhand der Werte ermittelte ich die Jupitermasse. Klar, man kennt die Masse von Jupiter bereits. Jedoch geht es in dieser Arbeit um den Weg. Viereinhalb Monate lang dokumentierte ich mit meinem Teleskop die Stellungen der vier Monde. Dabei wurden bei den Berechnungen verschiedene Faktoren einbezogen. Mit den Fotos wurde ausserdem ein Graph erstellt, in dem die Umlaufbahnen der vier Monde mit deren Sinuskurven klar ersichtlich gemacht wurden. 2. Vorwort 2.1. Ideenfindung & Motivation Auf meinem Weg zum Finden des Themas habe ich viele Überlegungen gemacht. Was entspricht meinem Interesse? Was ist machbar? Was könnte dabei rauskommen? Im Roten Faden zeichnete ich Schemen, welche mich meinem Thema immer näher gebracht haben. Auch haben mir die Gespräche mit Herrn Hägi geholfen, welche mir mögliche Arbeiten zeigten. Ich war mir bereits sicher, dass ich eine Arbeit im Bereich der Astronomie machen will, da ich mich sehr dafür interessiere und selbst ein Teleskop der Newton- Bauart besitze. Schlussendlich habe ich mich für die Massenberechnung von Jupiter entschieden, da es ein Thema ist, dass viel Stoff hergibt. Es ist eine Arbeit, bei der ich das tun kann, was ich schon früher auch öfters getan habe: Mit meinem Teleskop den Nachthimmel beobachten. Von Jupiter wusste ich, dass er im Winter 2014/2015 sichtbar ist und somit auch sehr gute Bedingungen gegeben sind, wenn das Wetter dann auch mitspielt. Weiter war mir bekannt, dass Jupiter sehr viele Monde besitzt und dass die vier galileischen Monde mit einem einfachen Teleskop bereits sichtbar sind. Ausserdem las ich schon früher, dass man mit der Umlaufzeit und der grossen Halbachse eines umlaufenden Objekts die Masse des zentralen Gestirns berechnen kann. Ich wusste nun also, dass ich mit meinem Teleskop die Masse von Jupiter bestimmen will. Klar, die Masse von Jupiter findet man überall. Jedoch ist die Frage wie? Ich musste einen Weg finden, um mit meinem Teleskop die Umlaufzeit und die grosse Halbachse zu bestimmen. Dies war eine grosse Herausforderung und ich nahm sie deshalb an. 4

5 2.2 Unterstützung An dieser Stelle möchte ich mich bei meinem Vater, der mir seine Kamera immer wenn möglich zur Verfügung gestellt hat, und meiner Mutter danken. Sie haben mich immer unterstützt und vieles möglich gemacht. Auch möchte ich mich bei meiner Betreuungsperson Herrn Markus Hägi bedanken. Allen anderen, die mich auf irgendeine Weise unterstützt haben, möchte ich mich auch herzlich bedanken. 3. Einleitung 3.1. Historisches soll Galileo Galilei sein eigenes Teleskop aufgestellt haben und dabei vier kleine Punkte um Jupiter beobachtet haben. Er bemerkte, dass diese Punkte Monde waren und Jupiter umkreisten. Auch Simon Marius soll fast gleichzeitig die Monde erstmals betrachtet haben. Dass die Monde Jupiter umkreisen, war eine neuartige Entdeckung. Denn zu seiner Zeit glaubte man noch, die Erde sei das Zentrum des Universums und alles drehe sich um sie herum. Die Entdeckung von Galileo bzw. Marius zeigte jedoch anderes: Es gibt mehr als nur ein Bewegungszentrum im Universum habe Galileo sehr genaue Berechnungen zu den Umlaufzeiten der Monde veröffentlicht, welche den heutigen Werten sehr nahe kommen Teleskope & Montierungen 3 Teleskope gibt es in Form verschiedener Bauarten. Alle besitzen eine gewisse Brennweite und Öffnung. Die Öffnung ist der Durchmesser der Linse (beim Refraktor) oder des Hauptspiegels (beim Reflektor). Je grösser die Öffnung ist, desto mehr Licht kann das Teleskop in einer bestimmten Zeit einfangen. Die Brennweite ist der Abstand zwischen der Linse (beim Refraktor) oder dem Hauptspiegel (beim Reflektor) und dem Brennpunkt. Je grösser die Brennweite bei gleicher Öffnung ist, desto höhere Vergrösserungen sind möglich. Teleskope werden von einer Montierung getragen um die Beobachtung zu erleichtern. Dabei gibt es verschiedene Arten: Die azimutale Montierung, die parallaktische Montierung, die Äquatorialplatte und die Hexapod- Montierung. 1 Christian Pinter, S. 2, - den- Spuren- von- Galileo- Galilei.html, (Zugriff ) 2 Prof. Ottavio Besomi/Dr. Rudolf Mumenthaler, (Zugriff ) 3 Verschiedene Autoren, (Zugriff ) 5

6 Der Refraktor 4 Refraktoren bestehen grundsätzlich aus Linsen. Als Achromaten werden Refraktoren mit zwei Linsen bezeichnet. Sie besitzen einen gut sichtbaren Farbfehler, welcher durch nur zwei Linsen schlecht verhindert werden kann. Dann gibt es noch die Apochromaten. Sie besitzen drei oder mehr Linsen. Sie weisen einen geringeren Farbfehler als ein Achromat auf. Heute bestehen die Linsen oft aus ED- Glas (extra- low dispersion). Diese Sondergläser werden aus Calciumfluorit hergestellt und unterscheiden sich qualitativ stark von Abb. 1: Ein zweilinsiger Refraktor (Achromat) mit einem herkömmlichen Glassorten. Okularauszug und Fokussierer am Ende des Teleskops. Sie erzeugen eine geringere (Knecht Simon, ) Streuung des Lichts Der Reflektor 5 Der Reflektor, oder auch der nach seinem Erfinder benannte Newton, besteht aus einem parabolischem Hauptspiegel und einem Sekundärspiegel (Fangspiegel), welcher das Licht vom Hauptspiegel in den Okularauszug reflektiert. Der stärkste Bildfehler, den er besitzt ist der Komafehler. Je grösser die Öffnung des Teleskops ist, desto stärker ist der Abb. 2: Ein klassischer Newton mit Komafehler ausgeprägt. Für den Okularauszug auf der Seite. (Knecht Simon, Komafehler gibt es Korrektoren, welche ) vor den Okularauszug angeschraubt werden können. Sie werden meistens für fotografische Zwecke verwendet. Eine andere Variante, um dem Komafehler aus dem Weg zu gehen, ist der Schmidt- Newton. Er besitzt eine fest eingebaute asphärische Korrektionsplatte, welche zuvorderst am Teleskop befestigt ist. Dann gibt es noch den Maksutov- Newton. Er besitzt genau wie der Schmidt- Newton eine Korrektionsplatte. Jedoch handelt es sich beim Maksutov- Newton um eine Meniskuslinse. 4 Axel Martin/Bernd Koch, S , Axel Martin/Bernd Koch, S ,

7 Der Cassegrain- Reflektor 6 Bei einem Cassegrain- Reflektor liegt der Okularauszug hinter dem konkav- parabolischen Hauptspiegel. Das Licht wird hier von einem konvex- hyperbolischen Fangspiegel reflektiert. Durch diese Bauweise kann das Teleskop trotz kompakter Bauweise hohe Brennweiten haben. Wie auch beim normalen Newton gibt es beim Cassegrain Bauformen mit Korrektionsplatten. Somit gibt es den Schmidt- Cassegrain und den Maksutov- Cassegrain, welche beide zur Korrektur der Bildfehler dienen. Des Weiteren gibt es das Ritchey- Abb. 3: Ein klassisches Cassegrain- Teleskop mit Chrétien- Teleskop; eine weitere Okularauszug hinter dem Hauptspiegel. (Knecht Variante des Cassegrain- Teleskops. Es Simon, ) besitzt anstatt des parabolischen, einen hyperbolischen Hauptspiegel. Der Fangspiegel ist noch stärker hyperbolisch. Durch diese Bauweise kann der Komafehler, welcher beim klassischen Cassegrain besteht, fast vollständig beseitigt werden. 6 Axel Martin/Bernd Koch, S ,

8 Die azimutale Montierung 7 Die azimutale Montierung besteht aus zwei drehbaren Achsen, wie Sie in Abb. 4 sehen können: Die Azimutachse, welche senkrecht steht und die Höhenachse, welche waagrecht liegt. Dieses Prinzip ist am weitesten verbreitet in Form einer Gabelmontierung oder einer Dobson Abb. 4: Einfaches Schaubild Montierung. einer azimutalen Montierung. Montierungen dieses (Knecht Simon, ) Typs haben eine hohe Traglast. Jedoch müssen, anders als bei der parallaktischen Montierung, beide Achsen bewegt werden, um ein Gestirn am Himmel zu verfolgen. Ausserdem bleibt die Ausrichtung des Bildfeldes des Teleskops relativ zum Horizont immer Abb. 5: Eine gleich. Da sich die Sterne jedoch auf Kreisbögen über den Gabelmontierung von Meade Himmel bewegen, gibt es Kreisspuren, wenn man eine mit einem Schmidt- längere Zeit belichtet. Hier gibt es zwei Bautypen von Cassegrain Teleskop azimutalen Montierungen. Bei der Gabelmontierung liegt das Teleskop zwischen zwei Gabelarmen (Abb. 5). Die Dobson Montierung besteht aus einer Box, in welcher das Teleskop liegt. Durch den einfachen Bau ist dies eine sehr preiswerte Montierung. 7 Axel Martin, Bernd Koch, S ,

9 Die parallaktische Montierung 8 Bei der parallaktischen Montierung muss nur eine Achse gedreht werden, um einem Gestirn zu folgen. Diese Achse wird parallel zur Erdachse ausgerichtet. Sie wird auch Rektaszensionsachse genannt, wie sie in Abb. 6 sehen können. Die Deklinationsachse wird nur gedreht um das Objekt anzuzielen. Die Höhenachse und Azimutachse werden verwendet, um die Rektaszensionsachse parallel zur Erdachse auszurichten. Auch hier gibt es zwei verschiedene Bautypen: Zum einen die Gabelmontierung und zum anderen die deutsche Montierung. Die Abb. 6: D=Deklinationsachse, Gabelmontierung hat den selben Aufbau wie die R=Rektaszensionsachse, azimutale Montierung. Mit dem Unterschied, dass sie auf H=Höhenachse, eine so genannte Polhöhenwiege gesetzt ist. Die A=Azimutachse Polhöhenwiege übernimmt die Aufgabe der Höhenachse und der Azimutachse. Bei der deutschen Montierung wird das Teleskop auf das Ende der Deklinationsachse befestigt. Am anderen Ende der Deklinationsachse ist eine Stange mit verschiebbaren Gegengewichten vorhanden. Diese sorgen dafür, dass die Drehung der Rektaszensionsachse einfacher und gleichmässiger verläuft. 4. Materialien und Methoden 4.1. Ausrüstung & Beobachtungsort Ich verwendete für die Feldarbeit einen einfachen Newton, welchen ich vor etwa 2 Jahren auf Ricardo gekauft hatte. Er hat eine Brennweite von 1400 mm und eine Öffnung (Durchmesser des Hauptspiegels) von 150 mm. Dies ergibt ein Öffnungsverhältnis von 1:9,3. Bei meinem Teleskop wurde Abb. 7: Der Newton mit der Eq 3 auf dem Balkon die Brennweite künstlich mit einer (Knecht Simon, ) eingebauten Linse im Okularauszug vergrössert. Dadurch ist die Qualität des Bildes 8 Axel Martin, Bernd Koch, S ,

10 verschlechtert. Allgemein ist mein Teleskop von eher niedriger Qualität geprägt. Es war teilweise eine Herausforderung das Bild richtig scharfzustellen, da der Fokussierer aus Plastik die Kamera nur mit Mühe trägt. Getragen wird mein Teleskop von einer einfachen Eq3 Montierung. Es ist eine parallaktische Montierung ohne Nachführung. Deshalb konnte ich bei den Fotos nicht allzu lange Belichtungszeiten nehmen, da es sonst Strichspuren gegeben hätte. Beobachtet wurde vom Balkon unserer Wohnung aus. Der Balkon liegt auf der südlichen Seite. Somit konnte, von dieser Lage aus, Jupiter gut beobachtet werden. Ausser im Juni, da er in dieser Zeit immer früher hinter dem Horizont verschwand Fotografieren Um mit einem Teleskop zu fotografieren, gibt es mehrere Möglichkeiten. Man kann eine DSLR Kamera ohne Objektiv, eine Webcam oder eine CCD Kamera (speziell gebräuchlich für Astrofotografie, mit hochempfindlichen Sensor) direkt über einen Adapter an den Okularauszug befestigen. Es ist auch möglich mit einer speziell angefertigten Klemme eine Digitalkamera zu befestigen. Die dritte Möglichkeit ist, das Bild auf ein Papier zu projizieren und abzufotografieren. Diese Art wird vor allem bei der Sonnenbeobachtung genutzt. Die vierte Möglichkeit ist, die Kamera auf ein Stativ zu setzten und auf die gleiche Weise vor dem Okular zu positionieren, wie man bei der visuellen Beobachtung mit dem Auge reinschaut. So zu fotografieren ist jedoch sehr umständlich, da sich der Okularauszug verschiebt, wenn man längere Zeit ein Objekt verfolgt, da man das Teleskop der Himmelbewegung passend auf das Gestirn Zielen muss, um es noch im Teleskop zu sehen. Deshalb habe ich mich entschieden eine Kamera direkt über einen Adapter an den Okularauszug zu befestigen, weil es für mich die beste und einfachste Möglichkeit war, Jupiter durch ein Teleskop zu fotografieren. Bei der Kamera habe ich eine CCD von Beginn an ausgeschlossen, da ich keine besitze und diese zu kostspielig wäre. Ich habe mich für die Spiegelreflexkamera meines Vaters entschieden. Sie hat ein gutes Menu mit vielen Einstellungen. Daraufhin habe ich einen Adapter, der von der Nikon auf den Okularauszug passt, bestellt. Gleich in der nächsten klaren Nacht habe ich die ersten Fotos damit geschossen. Die Justierung des Teleskops (Kollimation/Einstellung der Spiegel) habe ich schon vorher gemacht und konnte deshalb nach einer halben Stunde Auskühlzeit (Zeit, welche ein Teleskop/Spiegel braucht um an die Umgebungstemperatur angepasst zu sein) mit dem Fotografieren beginnen. Ich habe in der ersten Nacht noch im 1- Minuten- Takt fotografiert. Ich bemerkte jedoch schnell, dass das nicht nötig war und habe begonnen im 5- Minuten- Takt Fotos zu schiessen. Jedoch hat sich später bei genauer Analyse der Bilder herausgestellt, dass auch dies nicht nötig ist, da die Bewegung der Monde in solch kurzer Zeit nicht sichtbar ist. Also habe ich im 10- Minuten- Takt fortgesetzt. Nach längerer Zeit 10

11 habe ich bemerkt, dass auch 10 Minuten nicht nötig sind und fortan im 20- Minuten- Takt fotografiert. Vor Durchgangsanfängen etc. habe ich in kürzeren Takten fotografiert, um den genaueren Zeitpunkt zu dokumentieren. Teilweise mussten Bilder noch bearbeitet werden, was die Helligkeit und den Kontrast anbelangt, da es vor allem bei leicht bewölktem Himmel schwer war die Monde deutlich sichtbar zu fotografieren. Es mussten auch Fotos bearbeitet werden, welche sehr früh gemacht wurden, als die Atmosphäre noch nicht vollkommen dunkel war Jupitermasse Formel Herleitung Ist die siderische Umlaufzeit (auf die siderische Umlaufzeit wird später im Abschnitt Siderische Periode weiter eingegangen) und die grosse Halbachse eines Mondes bekannt, kann daraus die Zentralmasse berechnet werden. Denn das 3. Keplersche Gesetz lautet nach Weigert & Co. 9 U! =!!!!!!!!!!!. Wobei U der Umlaufzeit in Sekunden, a der grossen Halbachse in Metern, G der Gravitationskonstante, m 1 der Zentralmasse und m 2 der Masse des Mondes in Kilogramm entspricht. Die Gravitationskonstante hat nach Weigert & Co. 10 einen Wert von * N m 2 kg - 2. Da wir annehmen können, dass die Masse des Mondes im Vergleich zur Masse von Jupiter schwindend klein ist, können wir m 2 vernachlässigen. Damit wir diese Formel verwenden können, müssen wir beim Mond ausserdem von einer Kreisbahn und nicht einer Ellipse ausgehen. Nach m 1 oder auch M aufgelöst und mit der eingesetzten Gravitationskonstante lautet die Formel nun M =!!!!!!.!"#$%!"!!!!!. Um also die Masse von Jupiter zu bestimmen, müssen zuerst die Werte für die grosse Halbachse und die Umlaufzeit einer seiner Monde festgelegt werden Umlaufzeit Mein Plan war, die Uhrzeit von zwei Durchgangsanfängen, Durchgangsenden, Bedeckungsanfängen oder Bedeckungsenden festzulegen. Denn wenn man die Zeit zweier Durchgangsanfänge etc. bestimmt hat, kann man den Zeitabstand zwischen den beiden Durchgangsanfängen etc. durch die Anzahl Umrundungen, die der Mond in der Zeit geschafft hat, teilen und erhält dann die Umlaufzeit. Jedoch konnte ich bei der Dokumentation der ersten beiden Durchgangsanfänge etc. gar nicht wissen, wieviele Umläufe der Mond in dieser Zeit gemacht hat. Deshalb erstellte ich einen Graphen mit den zwei Durchgangsanfängen etc. und setzte weitere Stellungen der Monde in den Graphen ein. Danach erstellte ich Sinuskurven und zog sie über die beiden Durchgangsanfänge etc. Ich verwendete mehrere Sinuskurven mit verschiedenen Anzahlen an Umrundungen 9 Alfred Weigert, Heinrich J. Wendker und Lutz Wisotzki, S.4, Alfred Weigert, Heinrich J. Wendker und Lutz Wisotzki, S.513,

12 zwischen den beiden Durchgangsanfängen etc. Dann konnte ich erkennen, welche Sinuskurven auch über die anderen dokumentierten Stellungen von Jupiter passten. Es gab jeweils nur eine Kurve, welche über alle Stellungen passte. In diesem Graphen wurde bei den Sinuskurven keine Rücksicht auf die grosse Halbachse (Abstand Jupiter- Io) genommen. Das bedeuted, dass die Sinuskurve auch breiter oder weniger breit sein könnte. Das spielt jedoch keine Rolle. Denn egal wie beliebig die Breite der blauen, gelben und grünen Sinuskurve auch verändert wurde, die Kurven passten nie über alle Positionen des jeweiligen Mondes. Von der Kurve konnte ich abzählen, wieviele Umrundungen sie zwischen den beiden Durchgangsanfängen absolvierte. Dann konnte ich den Zeitabstand der beiden Durchgangsanfänge durch die Anzahl Umrundungen teilen. Mit diesem Resultat konnte ich dann bei Durchgangsanfängen etc. mit grösserem Zeitabstand die Anzahl Umrundungen, welche in der Zeit gemacht wurden, berechnen und mit dieser Anzahl eine noch genauere Umlaufzeit bestimmen. Die Berechnung mit den beiden Durchgangsanfänge etc. mit dem grössten Zeitabstand verwendete ich als endgültiges Resultat. Dies aus einem Grund: Je grösser der Zeitabstand, desto grösser ist die Anzahl Umrundungen, welche der Mond in der Zeit absolviert hat. Und somit werden auch die Ungenauigkeiten des Zeitabstandes durch die grosse Anzahl Umrundungen geteilt und verkleinert. Bei den Monden Ganymed und Kallisto konnte ich keine Daten von Durchgangsanfängen etc. sammeln, da sie eine sehr lange Umlaufzeit haben. Dadurch fanden nur wenige Durchgangsanfänge etc. in meiner Beobachtungszeit statt. Von den wenigen Durchgangsanfängen etc. konnte ich keinen Dokumentieren, da oft das Wetter nicht mitspielte und ich die Kamera nicht immer zur Verfügung hatte. Dank dem 3. Keplerschen Gesetz konnte ich jedoch mit der Umlaufzeit und der grossen Halbachse von Io die Umlaufzeit von Ganymed und Kallisto trotzdem berechnen. Es wurden Io s Bahndaten für die Berechnung verwendet, da vor allem die Umlaufzeit von Io genau berechnet wurde. Nach Wikipedia 11 lautet das 3. Keplersche Gesetz Die Quadrate der Umlaufzeiten stehen im gleichen Verhältnis wie die Kuben der großen Halbachsen. Als Formel würde das Gesetz so aussehen:!!!!!! =!!!! Formt man diese nach der gesuchten Umlaufzeit T1 um, lautet die Formel: T1 =!!!!! T2! 11Verschiedene Autoren, (Zugriff ) 12

13 Lichtlaufzeit Nach Astronomia.de 12 schwankt die Lichtlaufzeit von Jupiter zur Erde zwischen 53,7 und 32,7 Minuten. Dies kann bei der Bestimmung der Zeitpunkte der beiden Durchgangsanfänge einen bis zu 21 Minuten zu grossen oder zu kleinen Zeitabstand zwischen zwei Durchgangsanfängen etc. geben. Der Abstand zwischen der Erde und Jupiter zum Zeitpunkt der Bestimmung der Durchgangsanfängen etc. wurde von CalSky 13 gegeben. Anhand der Lichtgeschwindigkeit, welche nach Wischnewski '792'458 m/s beträgt, konnte die Lichtlaufzeit zu den gegebenen Zeitpunkten bestimmt werden. Waren die Lichtlaufzeiten der beiden Zeitpunkte bestimmt, wurden sie voneinander subtrahiert und dann, falls die erste Lichtlaufzeit länger war, zum Zeitabstand zwischen dem ersten und dem zweiten Zeitpunkt addiert, und falls kürzer, vom Zeitabstand subtrahiert. Der zweite Faktor, welchen man berücksichtigen soll, ist die Verfälschung des Resultats durch die Änderung der Perspektive, beziehungsweise der Ansicht auf Jupiter und seine Monde Siderische Periode Das Resultat, welches man erhalten würde, wenn man die Änderung der Perpektive nicht einbezieht, wäre die synodische Periode (von der Erde aus betrachtet). Die synodische Periode oder synodische Umlaufzeit eines Himmelskörpers ist die Zeit, die er zum Wiedererreichen gleicher Elongation (Winkel Sonne- Erde- Himmelskörper) benötigt. 15 In der Abb. 8 sehen Sie einen Mond beim Durchgangsende zu zwei verschiedenen Zeitpunkten. Wie Sie sehen können, gibt es noch eine zweite Veränderung bezüglich der Perspektive. Der Mond ist bei Zeitpunkt 2 etwas mehr links und somit Beta kleiner als Alpha. Der Beobachtende empfindet jedoch die 1. Position Zeitpunkt 2 Zeitpunkt 1 Abb. 8: Zwei Situationen beim Durchgangsende (Knecht Simon, ) 12 Ben Schwarz, (Zugriff ) 13 Arnold Barmettler, (Zugriff ) 14 Erik Wischnewski, S.200, Verschiedene Autoren, (Zugriff ) 13

14 vom Mond als identisch mit der 2. Position. Diese Täuschung entsteht dadurch, dass sich die Position der Erde im Vergleich zu Jupiter weiter nach Links verschoben hat. Denn die Erde bewegt sich schneller um die Sonne als Jupiter. Da der Mond zum Zeitpunkt der Bestimmung der beiden Durchgangsenden zwischen der Erde und Jupiter liegt, hat er sich auch leicht nach links verschoben. Wenn wir nun das zweite Durchgangsende x Umrundungen nach dem ersten Durchgangsende zum Zeitpunkt 1 festlegen, sehen wir nicht, dass der Mond etwas weniger als eine Umrundung gemacht hat. Also erhalten wir in diesem Falle eine zu kurze Umlaufzeit für den Mond. In diesem Schaubild habe ich die Situation nach der Opposition (Zeitpunkt, in dem die Erde genau zwischen Jupiter und der Sonne liegt) von Jupiter dargelegt. Würde man die beiden Durchgangsenden vor der Opposition von Jupiter festlegen, dann erhälte man eine zu lange Umlaufzeit vom Mond. Bringt man also die Korrekturen ein, erhält man die siderische Umlaufzeit. Dies ist die Umlaufzeit, welche man erhalten würde, wenn man Jupiter von oben aus einem ruhenden Standpunkt aus beobachten würde. Um die Siderische Umlaufzeit zu berechnen, muss man eine Umrundung des Mondes abziehen, die er in einem Jupiterjahr, von der Erde aus betrachtet, macht. Wenn man das Ganze von oben betrachtet, wird einem klar, dass dieser zusätzliche Umlauf des Mondes aus der Perspektive der Erde nur entsteht, weil Jupiter in diesem Jupiterjahr sich einmal um die Sonne bewegt. In der Abb. 9, welche ich erstellt habe, kann man die Situation bzw. Situationen gut betrachten. Die rot gefärbten Elemente gehören zur ersten Situation (Situation 1), also dem ersten Durchgangsanfang des Mondes. Die orange farbenen Elemente (Situation 1 ) sind genau wie die 1. Situation, nur dass sie um den Winkel gedreht sind, welchen Jupiter innerhalb der Zeitdauer vom ersten bis Abb. 9: Schaubild zum Verständnis der Überlegung (Knecht zum letzten Simon, ) dokumentierten Durchgangsanfang zurückgelegt hat. Jupiter 1 ist also an der Stelle des 14

15 ersten Durchgangsanfangs und Jupiter zwei ist an der Stelle zum Zeitpunkt des letzten dokumentierten Durchgangsanfangs. Die grünen Elemente entsprechen der zweiten Situation (Situation 2), also den tatsächlichen Stellungen beim letzten dokumentierten Durchgangsanfang. Die blauen Elemente (Situation 1P) sind die Kopie der ersten Situation. Sie sind parallel von Jupiter 1 auf Jupiter 2 verschoben worden. Die Situation 1 zeigt, wie es aussehen würde, wenn die Erde genau so viel Zeit für einen Umlauf um die Sonne bräuchte, wie Jupiter. Dann wäre nach genau einem Umlauf von der ersten Situation aus später die Erde und Jupiter wieder an derselben Stelle. Ein Beobachter auf der Erde hätte dann wegen diesem Umlauf einen Umlauf vom Mond zu viel gezählt. Der grüne Mond zeigt die Situation, wie wir ihn tatsächlich gesehen haben. Der blaue Mond zeigt die Situation, wo er sein sollte nach einer angenommenen geraden Anzahl an siderischen Umläufen. Deshalb wird der Winkel ε J- E gesucht, um den Bruchteil des Umlaufs zu der angenommenen Anzahl an Umläufen hinzuzufügen. Die Winkel β S- E, β S- J und β J- E sind identisch. Sie sind 360 mal die mittlere Zeitdauer (T), geteilt durch das Jupiterjahr, welches nach Wischnewski Erdjahre dauert. Die Winkel α 1 und α 1 sind auch identisch. γs - E und β S- E ergeben zusammen 360 mal die mittlere Zeitdauer (T), geteilt durch ein Erdjahr. Die beiden Teildreiecke Jupiter 2 - Erde 2 - Erde 1 und Erde 2 - Erde 1 - Sonne müssen zusammen 360 ergeben. Subtrahiert man also von 360 γ S- E, α 1 und α 2 bekommt man den Winkel von δ J- E. Um den gesuchten Winkel ε J- E zu berechnen, muss man δ J- E von β J- E subtrahieren. Nun hat man den gesuchten Winkel. Diesen teilt man durch 360 und man erhält den Bruchteil eines Umlaufs (U ), welcher er von der Situation 1p bis zur Situation 2 noch zurückgelegt hat. Als Formel geschrieben lautet diese: U =!"#!!"#!!!"#!!!.!"#!!!!!"#!!!.!"#!!!"#!!!!!!!"# Die Anzahl an siderischen Umläufen ist dann die zuvor angenommene Anzahl an Umläufen, addiert mit U. Wären die beiden Durchgangsanfänge, Durchgangsende, Bedeckungsanfänge oder Bedeckungsende vor der Opposition von Jupiter dokumentiert worden, müsste man U von der zuvor angenommenen Anzahl an Umläufen subtrahieren. Nach Ford 17 war Jupiter jedoch am 06. Februar in der Opposition. Das bedeutet, dass U zur zuvor angenommenen Anzahl an Umrundungen hinzugefügt werden muss, da ich erst am 08. Februar angefangen hatte meine ersten Fotos zu schiessen. Somit fanden alle dokumentierten Durchgangsanfänge etc. nach der Opposition statt. Die siderische Periode ist der maximale und minimale Zeitabstand geteilt durch die neu berechnete Anzahl an siderischen Umläufen. 16 Erik Wischnewski, S.278, Dominic Ford, the- sky.org/news.php?id= _13_100, (Zugriff ) 15

16 4.5. Grosse Halbachse Der nächste Schritt war die Berechnung der grossen Halbachse der Monde. Mit der Elongation der Monde ist es möglich, die grossen Halbachsen zu berechnen. An welchen Tagen und Uhrzeiten diese Elongationen stattfanden, musste ich auf CalSky 18 auf einem Graphen ablesen, da vor allem die Einschätzung der Uhrzeit der Elongation sehr ungenau ist. Für die Berechnung verwendete ich zwei Möglichkeiten. Ich nahm den Jupiteräquatordurchmesser von 142'984 km nach Wischnewski 19 als gegeben und konnte dann Jupiters Durchmesser in ein Verhältnis mit der Massstabslänge seines Durchmessers (J ) bringen und dann die Massstabslänge zwischen dem Mond und Jupiters Mittelpunkt (a ) bestimmen und mit dem Massstabslänge- Meter Verhältnis von Jupiter in Meter umrechnen. Um die Massstabslänge zu bestimmen, verwendete ich das Linealwerkzeug in Photoshop. Ich stellte zunächst die Helligkeit sehr tief, damit die Überbelichtung von Jupiter verschwand. Dann konnte ich einen Hilfskreis über den minimalen Jupiterdurchmesser ziehen. Danach legte ich den Hilfskreis an den Rand von Jupiter auf der Seite des jeweiligen Mondes und mass mit dem Linealwerkzeug den minimalen Abstand von der Mitte des Hilfskreises zum jeweiligen Mond. Für den maximalen Abstand legte ich den Hilfskreis an den Rand von Jupiter, der am weitesten vom jeweiligen Mond entfernt ist und mass wieder die Länge vom Mittelpunkt des Hilfskreises bis zum jeweiligen Mond. Dann wurde der minimale Durchmesser von Jupiter mit dem Hilfskreis gesucht und abgemessen. Für den maximalen Durchmesser zog ich den Hilfskreis so über Jupiter, dass sein Rand nicht mehr sichtbar war. Waren alle Werte gesammelt, setzte ich sie in die folgende Formel ein: a = km!! Die zweite Art für die Berechnung, war den Durchmesser des Mondes der Erde mit 3 476km nach Wischnewski 20 und den Abstand (m) zum Tag des Dokumentierens als gegeben zu nehmen und am besten ein Foto bei Vollmond zu schiessen. Ein zweites Foto vom Mond in der Elongation musste ich mit den gleichen Einstellungen und der gleichen Optik schiessen. Der Abstand von Jupiter zur Erde (j) wurde zum Zeitpunkt fotografierens von CalSky 21 als gegeben genommen. Ich bestimmte zuerst den Erdmonddurchmesser in Massstabslängen (d). Daraus wurde ein Verhältnis von Winkel und Massstabslängen!! 18 Arnold Barmettler, (letzter Zugriff ) 19 Erik Wischnewski, S.278, Erik Wischnewski, S278, Arnold Barmettler, (Zugriff ) 16

17 errechnet. Dann bestimmte ich den Abstand vom Jupitermond zu Jupiter in Massstabslängen (a ) und konnte dann mit dem Winkel/Massstabslängen- Verhältnis den Abstand in Winkel umrechnen. Danach konnte ich mit dem Abstand des Mondes der Erde und dem Abstand von Jupiter ein Verhältnis berechnen, welches ich mit dem Winkel von Jupiter und Io multiplizierte. Mit dem Winkel vom Mond der Erde und seinem Durchmesser erstellte ich ein weiteres Verhältnis, mit welchem ich den Winkel von Jupiter- Io in Meter umrechnete. Die Messungen der Abstände in Massstabslängen machte ich wieder mit Photoshop. Beim Mond erstellte ich auch einen Hilfskreis. Da ich den Mond nur knapp nicht ganz auf die Kamera bekam, machte ich ein Foto im Quer- und eins im Hochformat. Mit diesen beiden Bildern mass ich mit dem Linealwerkzeug den maximalen und minimalen Durchmesser des Mondes. Dieser beträgt bis Massstabslängen. Die Fotos des Mondes schoss ich am 28. August um etwa 22:30. In dieser Nacht war Vollmond. Sein Abstand zur Erde (m) betrug in dieser Nacht 361'234 Kilometer nach CalSky 22. Nach dem Sammeln der jeweiligen Werte, musste ich sie nur noch in die von mir erstellte Formel einsetzen: a =!"#$%!"!!!!!"#$%!&!" Abb. 10: Der maximale Durchmesser in Massstabslängen wurde mit einem Hilfskreis ermittelt. (Knecht Simon, ) 22 Arnold Barmettler, ( , 22:35:00), (Zugriff ) 17

18 5. Resultate 5.1. Io Umlaufzeit Als erster Zeitpunkt konnte die Fotoserie vom 10. Februar verwendet werden. Ich begann erst 2 Tage zuvor Jupiter zu fotografieren und konnte noch nicht einschätzen, wann ein Durchgangsanfang etc. sein könnte. Ich hatte also Glück, dass ich den Durchgangsanfang fotografierte. Für den zweiten Zeitpunkt verwendete ich ein möglichst spätes Datum, den 28. Juni. Bei beiden Zeitpunkten handelt es sich um einen Durchgangsanfang von Io. Bei der Fotoserie vom 10. Februar konnte der Durchgangsanfang auf zwischen 21:50:19 und 22:00:21 festgelegt werden. Ich habe im 10- Minuten- Takt Fotos geschossen, da mir gar nicht bewusst war, dass ein Durchgangsanfang von Io stattfindet. Hier sehen Sie Ausschnitte aus der Fotoserie vom 10. Februar kurz vor und nach Durchgangsanfang. Er konnte auf den Zeitraum zwischen 21:50:19 und 22:00:21 Uhr festgelegt werden. Abb. 11: Um 21:20:19 Uhr war Io noch gut sichtbar. (Knecht Simon, ) Abb. 12: Um 21:50:19 Uhr war Io schon fast verschwunden. (Knecht Simon, ) Am 11. Februar konnte ein Bedeckungsende von Io festgehalten werden. Es wurde auf zwischen 21:50:20 und 22:00:20 Uhr festgesetzt. Abb. 13: Um 22:00:21 Uhr war Io nicht mehr sichtbar. (Knecht Simon, ) Abb. 14: Io war um 21:50:20 Uhr noch nicht sichtbar. (Knecht Simon, ) Abb. 15: Io war um 22:00:20 Uhr knapp sichtbar. (Knecht Simon, ) 18

19 Mit dem Durchgangsanfang vom 10. Februar und dem Bedeckungsende vom 11. Februar wurde ein Graph (Abb. 16) erstellt für die grobe Bestimmung der Umlaufzeit. Wie schon im Abschnitt 4.4. Umlaufzeit erklärt, wurden Sinuskurven über den Durchgangsanfang und das Bedeckungsende gezogen. Weitere Positionen von Io wurden verwendet, um die korrekte Sinuskurve zu finden und die Anzahl Umrundungen zwischen dem Durchgangsanfang und Bedeckungsende festzulegen. Wie man gut erkennen kann, passt nur die rote und orange Kurve über alle Positionen von Io. Es fand also etwas mehr als ein halber Umlauf zwischen dem Durchgangsanfang und Bedeckungsende statt. Da hier nicht genau eine halbe Umrundung dazwischen liegt, musste der Durchgangsanfang und der Schnittpunkt am linken Rand verwendet werden. Die maximale Zeitdauer lag also zwischen 21:50 und 18: 40 Uhr, die minimale Zeitdauer zwischen 22:00 und 18:20 Uhr. Also eine Zeitdauer von bis Minuten. Diese geteilt durch eine halbe Umrundung ergibt eine Umlaufzeit von bis Minuten, umgerechnet bis Tage. Abb. 16: Der Graph für die grobe Berechnung der Umlaufzeit von Io. (Knecht Simon ) 19

20 Am 19. Februar wurde ein Durchgangsende von Io nur knapp verpasst. Es muss kurz vor 21:35:45 stattgefunden haben, wie Sie in den folgenden Abbildungen sehen können. Jedoch genügt diese Uhrzeit als Angabe. Denn sie konnte verwendet werden, um die Umlaufzeit von Io genauer zu bestimmen. Abb. 17: Io war um 21:35:45 Uhr bereits rechts von Jupiter sichtbar. (Knecht Simon, ) Abb. 18: Io war um 21:45:46 Uhr besser sichtbar. (Knecht Simon, ) Mit dem Bedeckungsende am 11. Februar um 21:50:20 bis 22:00:20 Uhr und dem Durchgangsende am 19. Februar um ca. 21:35:45 Uhr bekommt man eine maximale Zeitdauer von Sekunden und eine minimale Zeitdauer von Sekunden. Die maximale Zeitdauer geteilt durch die bisher bestimmte minimale Umlaufzeit von Tage ergibt eine maximale Anzahl von Umläufe. Mit der minimalen Zeitdauer geteilt durch die maximale Umlaufzeit von Tage erhält man eine minimale Anzahl von Umläufe. Zwischen dem Bedeckungsende und Durchgangsende müssen also genau 4.5 Umrundungen liegen, da von einem Bedeckungsende zu einem Durchgangsende genau eine halbe Umrundung zurückgelegt wird. Die maximale und minimale Zeitdauer geteilt durch die 4.5 Umrundungen ergeben eine Umlaufzeit von bis Tage. Bei der letzten Fotoserie am 28. Juni konnte ein Durchgangsanfang auf zwischen 22:36:33 und 22:37:22 festgelegt werden. Es folgen Fotos von vor und nach dem Durchgangsanfang am 28. Juni. Abb. 19: Io war noch knapp sichtbar um 22:36:33 Uhr (Knecht Simon, ) Abb. 20: Io ist endgültig verschwunden um 22:37:22 Uhr (Knecht Simon, ) Zwischen dem Durchgangsanfang am 10. Februar um 21:50:19 bis 22:00:21 Uhr und dem Durchgangsanfang am 28. Juni um 22:36:33 bis 22:37:22 Uhr liegen bis Sekunden. Die maximale Zeitdauer geteilt durch die minimale Umlaufzeit von Tagen ergibt eine maximale Anzahl von Umrundungen. Die minimale 20

21 Zeitdauer geteilt durch die maximale Umlaufzeit von Tagen ergibt eine minimale Anzahl von Umrundungen. Da von einem Durchgangsanfang zu einem nächsten Durchgangsanfang genau eine ganze Umrundung gemacht werden muss, müssen es genau 78 Umrundungen zwischen den beiden Durchgangsanfängen sein. Die minimale und die maximale Zeitdauer geteilt durch die 78 Umrundungen ergeben eine synodische Umlaufzeit von bis Sekunden. Umgerechnet sind das bis Tage pro Umlauf Lichtlaufzeit Am 10. Februar war nach CalSky 23 Jupiter astronomische Einheiten entfernt. Am 28. Juni waren es astronomische Einheiten. Eine astronomische Einheit entspricht nach Wikipedia 24 dem durchschnittlichen Sonne- Erde- Abstand von Metern. Mit der von Wikipedia 25 angegebenen Lichtgeschwindigkeit von 299'792'458 Metern pro Sekunde wurden die beiden Lichtlaufzeiten auf 36 Minuten und 10 Sekunden am 10. Februar und 50 Minuten und 20 Sekunden am 28. Juni berechnet. Der Durchgangsanfang wurde am 10. Februar, also Minuten später notiert, als er eigentlich stattfand. Am 28. waren es Minuten später. Somit ist die Zeitdauer zwischen den beiden Durchgangsanfängen Minuten zu lange. Das heisst, man subtrahiert die Minuten von der maximalen und minimalen Zeitdauer. Die neuen Zeitabstände lauten nun bis Sekunden. Die neue, mit der Lichtlaufzeit korrigierte, synodische Umlaufzeit ist nun auf bis Tage berechnet Siderische Periode Setzt man α 1 und α 2, welche nach CalSky und betragen und die mit der Lichtlaufzeit korrigierte, mittlere Zeitdauer von Erdjahren in die im Abschnitt Siderische Periode erstellte Formel ein, erhält man U =!"#!.!"#$%!!.!"#!!"#!.!"#$%!!"#!!!"#!.!"#$%!!!!.!"#!!"#!!"#!!"#.!"!!!.!" 23 Arnold Barmettler, (Eingaben: , 22:00:00, , 22:30:00), (Zugriff ) 24 Verschiedene Autoren, (Zugriff ) 25 Verschiedene Autoren, (Zugriff ) 26 Arnold Barmettler, (Eingaben: , 22:00:00, , 22:30:00), (Zugriff ) 21

22 Dieses U muss nun zur angenommenen Anzahl an Umrundungen hinzugefügt werden. Somit sind es siderische Umläufe. Das endgültige Resultat erhält man durch das Teilen der mit der Lichtlaufzeit korrigierten, maximalen und minimalen Zeitdauer, geteilt durch die Anzahl an siderischen Umläufe. Somit beträgt die siderische Umlaufzeit von Io bis Tage. Das sind ± Tage Grosse Halbachse Berechnungsvariante Am 16. März konnte eine Elongation von Io festgehalten werden. Die Elongation fand am 17. März um ca. 00:00 statt. Ich verwendete das Foto um 23:52, da es scharf ist und Jupiter ziemlich rund abgebildet ist. Ausserdem machen 8 Minuten keinen bemerkbaren Unterschied, da sich der Mond Abb. 21: Der minimale Jupiterdurchmesser in seiner Elongation von uns aus gesehen wird mit einem Hilfskreis ermittelt. sehr langsam bewegt. Nach der Analyse des (Knecht Simon, ) Bildes erhielt ich folgende Werte in Massstabslängen: maximaler Jupiter- Io- Abstand: 1.62, minimaler Jupiter- Io- Abstand: 1.46, maximaler Jupiterdurchmesser: 0.57, minimaler Jupiterdurchmesser: 0.52 Für die maximale grosse Halbachse setzte ich den maximalen Abstand von Io zu Jupiter in Massstabslängen und den minimalen Jupiterdurchmesser in Massstabslängen in die bereits erstellte Formel ein: km = km!.!"!.!" Für die minimale grosse Halbachse setzte ich den minimalen Abstand von Io zu Jupiter in Massstabslängen und den maximalen Jupiterdurchmesser in Massstabslängen in dieselbe Formel ein: km = km!.!"!.!" Ich erhielt also einen Wert für die grosse Halbachse von 366' bis 445' Kilometer. Das sind ± Kilometer. 22

23 Berechnungsvariante Die beiden Jupiter- Io- Abstände wurden bereits bei der Berechnung mit der ersten Variante gemessen. Also wurden sie aus einem Foto vom 16. März um 23:52 ermittelt, als Io in der Elongation war. Der Jupiter- Erde- Abstand am 16. März betrug nach CalSky Kilometer. Für den minimalen Jupiter- Io- Abstand setzte ich den Jupiter- Erde- Abstand, den maximalen Monddurchmesser von Massstabslängen und den minimalen Jupiter- Io- Abstand von 1.46 Massstabslängen in die im Abschnitt 4.5. Grosse Halbachse bereits erstellte Formel ein: km =!"#$%!"!"#$%&!$'(&!"!.!"!".!"!"#$%!&!" Für den maximalen Jupiter- Io- Abstand setzte ich den Jupiter- Erde- Abstand, den minimalen Monddurchmesser von Massstabslängen und den maximalen Jupiter- Io- Abstand von 1.62 Massstabslängen ein: km =!"#$%!"!"#$%&!$'(&!"!.!"!".!"!"#$%!&!" Ich erhielt also einen Wert der grossen Halbachse von bis Kilometern. Anders geschrieben sind das ± Kilometer. 27 Arnold Barmettler, (Eingabe: , 00:00:00), (Zugriff ) 23

24 5.2. Europa Umlaufzeit Am 14. März konnte erstmals ein Durchgangsanfang von Europa festgehalten werden. Wie Sie auf den folgenden Abbildungen sehen könnnen, muss er zwischen 23:20:31 und 23:40:31 Uhr stattgefunden haben. Abb. 22: Um 23:00:32 Uhr war Europa links von Jupiter noch gut sichtbar. (Knecht Simon, ) Abb. 23: Um 23:20:31 Uhr war Europa noch knapp sichtbar. (Knecht Simon, ) Abb. 24: Um 23:40:31 Uhr war Europa nicht mehr sichtbar. (Knecht Simon, ) Am 16. März konnte ein Bedeckungsende zwischen 22:34:06 und 22:53:35 Uhr dokumentiert werden. Es folgen Bilder vom 16. März, vor und nach dem Bedeckungsende. Abb. 25: Europa war um 22:34:06 Uhr noch nicht sichtbar. (Knecht Simon, ) Abb. 26: Um 22:53:35 Uhr war Europa links von Jupiter sichtbar. (Knecht Simon, ) Abb. 27: Europa war um 23:12:27 Uhr noch besser sichtbar. (Knecht Simon, ) 24

25 Mit dem Graphen (Abb. 28), konnte die Umlaufzeit grob berechnet werden. Zwischen dem Durchgangsanfang und dem Bedeckungsende muss ein wenig mehr als eine halbe Umrundung stattgefunden haben. Denn nur dieser Graph überschneidet auch alle anderen Stellungen von Europa. Da wir nicht wissen, wieviel mehr als eine halbe Umrundung zurückgelegt wurde zwischen dem Durchgangsanfang und dem Bedeckungsende, wurden zwei Schnittpunkte des orangen und roten Graphen mit dem linken Rand von Jupiter verwendet. Diese beiden Schnittpunkte liegen genau eine Umrundung von Europa unter dem Durchgangsanfang. Die beiden Schnittpunkte liegen auf der Zeitachse am 18. März zwischen 12:20 und 12:40 Uhr. Mit dem Durchgangsanfang gibt das eine Zeitdifferenz von bis Sekunden. Das ist eine Umlaufzeit von bis Tage. Am 24. März konnte ein weiteres Bedeckungsende festgehalten werden. Wie die folgenden Abb. 29: Um 01:00:31 Uhr war Europa noch Abbildungen zeigen, nicht sichtbar. (Knecht Simon, ) fand es zwischen 01:00:31 und 01:30:31 statt. Die minimale und maximale Zeitdifferenz Abb. 30: Um 01:30:31 Uhr war Europa links zwischen dem ersten knapp sichtbar. (Knecht Simon, ) und zweiten Bedeckungsende sind bis Sekunden. In Tagen sind das bis Tage. Teilt man die minimale Zeitdauer durch die bereits berechnete maximale Umlaufzeit und die maximale Zeitdauer durch die minimale Umlaufzeit, erhält man eine Anzahl von bis Umläufe. Gerundet sind das genau zwei Umläufe. Teilt man nun die minimale und die maximale Zeitdauer durch die zwei Umläufe, erhält man eine genauere Umlaufzeit für Europa von bis Tage. Abb. 28: Europas Graph(Knecht Simon, ) 25

26 Am 15. April konnte ein Durchgangsanfang, welcher zwischen 23:09:36 und 23:19:35 stattfand, dokumentiert werden. Die folgenden Abbildungen sind vom 15. April, vor und nach Durchgangsanfang. Abb. 31: Um 22:19:35 Uhr war Europa links Abb. 32: Um 23:09:36 Uhr war Europa von Jupiter noch gut sichtbar. (Knecht schon fast verschwunden. (Knecht Simon, Simon, ) ) Die minimale und maximale Zeitdauer zwischen dem ersten Durchgangsanfang am 14. März und dem zweiten Durchgangsanfang am 15. April sind bis 2' Sekunden. Umgerechnet sind das bis Abb. 33: Um 23:19:35 Uhr war Europa nicht Tage. Teilt man die minimale mehr sichtbar. (Knecht Simon, ) Zeitdauer durch die maximale Umlaufzeit und die maximale Zeitdauer durch die minimale Umlaufzeit, erhält man eine Anzahl von bis Umläufe. Gerundet sind das genau 9 Umläufe. Teilt man nun die mimimale und maximale Zeitdauer durch die 9 Umläufe, erhält man eine Umlaufzeit von bis Tagen. Nun musste diese Umlaufzeit noch mit der Lichtlaufzeit korrigiert werden Lichtlaufzeit Am 14. März betrug der Abstand von der Erde zu Jupiter Kilometer. Geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit von 299'792'458 Metern pro Sekunde, erhält man eine Lichtlaufzeit von Sekunden. Am 15. April betrug der Abstand von der Erde zu Jupiter nach CalSky Kilometer. Teilt man diesen Abstand durch die Lichtgeschwindigkeit, erhält man eine Lichtlaufzeit von Sekunden. Die beiden Durchgangsanfänge wurden also je um und Sekunden zu spät notiert. Insgesammt war dann der Zeitabstand um die Differenz der beiden Lichtlaufzeiten zu lange berechnet minus Sekunden ergeben eine Differenz von 212 Sekunden. Man muss nun von der berechneten minimalen und maximalen Zeitdauer zwischen den beiden Durchgangsanfänge die 212 Sekunden abziehen. Man erhält nun eine Zeitdauer 28 Arnold Barmettler, (Eingaben: , 23:30:00, , 23:10:00), (Zugriff ) 26

27 von bis 2' Sekunden. Umgerechnet sind das bis Tage. Geteilt durch die 9 Umläufe, erhält man eine Umlaufzeit von bis Tage Siderische Periode Setzt man α 1 und α 2, welche nach CalSky und betragen und die mit der Lichtlaufzeit korrigierte, mittlere Zeitdauer von Erdjahren in die im Anschnitt Siderische Periode erstellte Formel ein, erhält man U =!"#!.!"#$%&!!!"#!!!.!"#!!"#!.!"#$%&!!!"#!.!"#$%&!!!"#!!"#.!"!!"#.!"!!!!.!"#! Dieses U muss zur zuvor angenommenen Anzahl an Umläufen hinzugefügt werden: 9 + ( ) = Teilt man nun die minimale und maximale Zeitdauer durch die Anzahl an Umläufen, erhält man eine siderische Periode von bis Tagen. Zusammengefasst ist das eine Umlaufzeit von ± Tagen Grosse Halbachse!"# Berechnungsvariante Am 7. April konnte ich eine Elongation von Europa festhalten. Die Elongation fand um ca. 22:00 statt. Ich verwendete das Foto von 22:05:45. Dieses liess sich am besten verwenden für die Analyse. Nach der Analyse des Bildes erhielt ich folgende Werte in Massstabslängen: maximaler Jupiter- Europa- Abstand: 2.39, minimaler Jupiter- Europa- Abstand: 2.27, maximaler Jupiterdurchmesser: 0.51, minimaler Jupiterdurchmesser: 0.48 Für die minimale grosse Halbachse setzte ich den minimalen Abstand von Europa zu Jupiter in Massstabslängen und den maximalen Jupiterdurchmesser in Massstabslängen in dieselbe Formel ein: km = km!.!"!.!" Für die maximale grosse Halbachse setzte ich den maximalen Abstand von Europa zu Jupiter in Massstabslängen und den minimalen Jupiterdurchmesser in Massstabslängen in die bereits erstellte Formel ein: km = km!.!"!.!" Ich erhielt also einen Wert für die grosse Halbachse von bis Kilometer. Das sind ± Kilometer. 29 Arnold Barmettler, (Eingaben: , 23:30:00, , 23:10:00), (Zugriff ) 27

28 Berechnungsvariante Für diese Variante verwendete ich wieder die Elongation vom 7. April. Somit konnten die Massstabslängen des Jupiter- Europa- Abstands, welche bereits in der 1. Variante analysiert wurden, verwendet werden. Der Erde- Jupiter- Abstand am 7. April betrug nach CalSky Kilometer. Der minimale und maximale Monddurchmesser wurde auch schon analysiert. Er beträgt bis Massstabslängen. Setzt man die Werte in die bereits erstellte Formel ein, erhält man die minimale und maximale grosse Halbachse: km =!"#$%!"!"#$!"%!"#$!"!.!"!".!"!"#$%!&!" km =!"#$%!"!"#$!"%$&'#!"!.!"!".!"!"#$%!&!" Das sind ± Kilometer Ganymed Grosse Halbachse Berechnungsvariante Am 1. März konnte um 01:19:11 eine Elongation von Ganymed festgehalten werden. Nach der Analyse des Bildes erhielt ich folgende Werte in Massstabslängen: maximaler Jupiter- Ganymed- Abstand: 4.10, minimaler Jupiter- Ganymed- Abstand: 3.95, maximaler Jupiterdurchmesser: 0.56, minimaler Jupiterdurchmesser: 0.50 In die erstellte Formel eingesetzt, erhält man die minimale und maximale grosse Halbachse: km = km!.!"!.!" km = km!.!"!.!" Zusammengefasst in einen Wert sind das ± Kilometer Berechnungsvariante Mit den bereits vom 1. März erfassten Massstabslängen von der grossen Halbachse, dem Erde- Jupiter- Abstand von Kilometer am 1. März nach CalSky 31, in die bereits erstellte Formel eingesetzt, erhalten wir die minimale und maximale grosse Halbachse von Ganymed km =!"#$%!"!!"#$!$#%!&!"!.!"!".!"!"#$%!&!" 30 Arnold Barmettler, (Einabe: , 22:00:00), (Zugriff ) 31 Arnold Barmettler, (Eingabe: , 01:00:00), (Zugriff ) 28