Behandlung der Kegelschnitte im virtuellen Raum mit Cabri 3D

Transkript

1 Heinz Schumann mit Cabri 3D Zusammenfassung: In diesem Artikel wird eine Einführung in die Kegelschnitte dem dynamischen Raumgeometriesystem Cabri 3D gegeben, die traditionelle Inhalte auf neue Art und Weise behandelt und visualisiert. Im Zentrum steht die namensgebende Behandlung der Kegelschnitte mit einer Bweisführung nach Dandelin. Eine Betrachtung der Kegelschnitte als zentralprojektive Kreisbilder bzw. als Bilder bei axialer Projektivität schließt sich an. Die vorgestellte Einführung eignet sich für den Mathematikunterricht im Rahmen von mathematischen Schulcurricula der oberen Sekundarstufe. 1 Einleitung Die Geschichte der Integration der Kegelschnitte in den Mathematikunterricht ist eine sehr wechselhafte (vgl. u. a. Schupp 1988). Jetzt droht den Kegelschnitten eine weitere curricularen Vernachlässigung wegen des zu beobachteten mathematischen Substanzverlustes in den mathematischen Lehrplänen aufgrund anderer Schwerpunktsetzungen (e.g. mathematics literacy PISA). Obwohl der Unterrichtsgegenstand Kegelschnitte ein hervorragendes Beispiel für das Zusammenspiel von Geometrie und Algebra ist, für dessen Behandlung sich weitere Argumente in s Feld führen lassen: Anwendungsbezogenheit (Satellitenbahnen, Kugelstoß, Lithotriptor,...), innermathematische Relevanz, Problemhaftigkeit, Methodenvielfalt usw. Neue Medien, z. B. Dynamische Raumgeometriesysteme, eröffnen neue Methoden der Kegelschnitt-Behandlung, die auch im Rahmen des Schulcurriculum ihre Anwendung finden können. Während sich die fundierte didaktische Monographie über Kegelschnitte von Schupp (1988) sich noch ganz auf die Programmierung der grafischen Darstellung bezieht, werden bei Schumann (1991) erstmals die Behandlungsmöglichkeiten mit den Mitteln der Dynamischen Geometrie aufgezeigt. Allen bisherigen Beiträge zum Thema Kegelschnitte beschränken sich aber im wesentlichen auf die Behandlung der Kegelschnitte in der Ebene, was schon hinsichtlich der Namensgebung paradox ist. Diese Beschränkung dürfte vor allem an den Defiziten herkömmlicher Medien liegen, mit denen keine geignete Lernumgebung zur räumlichen Behandlung der Kegelschnitte gestaltet werden kann. Mit Cabri 3D (2004) steht erstmals ein schon sehr leistungsfähiges raumgeometrisches Dynamisches Geometriesystem zur Verfügung für diesen Zweck zur Verfügung. Im folgenden skizzieren wir eine adäquate Einführung in die räumlichen Kegelschnitte. 2 Einführung der Kegelschnitte im Raum Für eine dem Namen der Kegelschnitte adäquate dynamische Einführung als ebene Schnittfiguren eines (Doppel-)Kegels benötigen wir ein entsprechendes 3-dimensionales dynamisches Geometriesystem, das dem Nutzer eine gute Wahrnehmbarkeit bzw. Visualisierung räumlicher Objekte, die Konstruktion, die direkte Manipulation und Variation derselben bietet. Mit Cabri Géomètre 3D (Laborde, J. M.; Bainville, E., Cabri Géomètre 3D, Beta-Version 1.0, 2004) steht erstmals ein dreidimensionales dynamisches Geometriesystem zur Verfügung, das in der Version 1.0 bereits viele der Wünsche an ein Werkzeug erfüllt, mit dem man wie mit den zweidimensionale dynamischen Geometriesystemen im Raum dynamische Geometrie treiben kann.

2 76 Mit Cabri 3D können wir uns nun die ebenen Schnitte eines Kegels und die Begründung der phänotypischen Formen der Schnittkurven besser zugänglich machen als das mit traditionellen Medien im Unterricht möglich wäre. Die folgenden Abbildungen können nur sehr beschränkt die dynamischen Arbeitsmöglicheiten mit Cabri 3D und die dabei gemachten visuellen Wahrnehmungen und Erfahrungen wiedergeben. Wir konstruieren in Cabri 3D einen Kegel aus einem Kreis in einer Ebene und einem Punkt auf der Normalen zu dieser Ebene im Kreismittelpunkt (Abb. 1, Fächenmodell eines geraden Kreiskegels). Seine Form kann durch Verziehen des betreffenden Kreispunktes bzw. seiner Spitze variiert werden (Abb. 2, Ergebnis einer Formänderung). Den Kegel kann man von allen Seiten mittels des in Cabri 3D implementierten so genannten Virtual-Sphere-Device betrachten. Abb. 1 Abb. 2 Jetzt legen wir eine Ebene in den Kegel und lassen das Schnittkurve erzeugen, die in unserem Fall von Cabri 3D als Ellipse identifiziert wird (Abb. 3). Eine Formänderung des Kegels ändert nichts an diesem Ergebnis. Die Schnittkurve können wir auch von unten anschauen (Abb. 4). Wir drehen jetzt die Schnittszene so, dass die Ebene als Gerade zu sehen ist und erkennen, dass die Standebene mit der Schnittebene einen kleineren Winkel als mit dem Kegelmantel bildet (Abb. 5). Für einen Parabelschnitt konstruieren wir eine Ebene, die exakt parallel zu einer Mantellinie im Kegel liegt; die Abbildung 6 zeigt die Spurgerade dieser Ebene. Cabri 3D erkennt die mit dieser Ebene erzeugte Schnittkurve als Parabel (Abb. 7). Abb. 3 Abb. 4

3 77 Abb. 5 Abb. 6 Abb. 7 Abb. 8 Abb. 9

4 78 Variiert man die Lage der Schnittebene so, dass deren Winkel mit der Standebene größer ist als der Winkel des Kegelmantels, so erhält man eine Hyperbel. Der zweite Ast der Hyperbel befindet sich auf dem Kegel, den man durch Spiegelung an der Spitze des ursprünglichen Kegels erzeugt (Abb. 8 Spurgerade der Schnittebene im Doppelkegel; Abb. 9 Hyperbel als Schnittkurve im Doppelkegel). Die Schnittszene können wir uns von allen Seiten betrachten (Abb. 10, z. B. von unten). Geht die Schnittebene durch die Kegelspitze(n), so bekommt man eine Doppelgerade (Abb. 11) usw. Abb. 10 Abb. 11 Wir wollen nun begründen, warum beispielsweise die Schnittkurve in Abbildung 12 die Ortslinieneigenschaft einer Ellipse erfüllt, d. h., dass ihre Punkte von zwei festen Punkten konstante Entfernungssumme besitzen. Dafür wählen wir die elegante Methode von Dandelin ( ) aus (vgl. u. a. Handbuch der Schulmathematik, Band 4, S. 116/117). Zuerst konstruieren wir die so genannten Dandelinschen Kugeln, d. h. die Kugeln, die dem Kegel einbeschrieben sind und die die Schnittebene berühren. Für eine übersichtliche Konstruktion wählen wir für den Kegel die Umrissdarstellung (Abb. 13, Konstruktionsergebnis mit den Kugeln, den Berührpunkten, mit Spuren der Schnittebene und der Berührkreise; die Konstruktionslinien sind wegen der besseren Anschauung ausgeblendet; Abb. 14 Ergebnis in anderer Lage; Abb. 15 Dandelin- Kugeln von unten). Die beiden Kugelmittelpunkte werden in einer Ebene konstruiert, die die Kegelachse enthält, indem man analog zur Konstruktion eines Kreismittelpunkts aus zwei sich schneidenden Tangenten und einer Durchmessergeraden vorgeht. Die Kugelradien erhalten wir über Lote von den Kugelmittelpunkten auf Matellinien. Die Durchstoßpunkte der Lote von den Kugelmittelpunkten auf die Schnittebene sind die Berührpunkte (die späteren Brennpunkte der Ellipse). Auf die Schnittkurve legen wir einen beweglichen Punkt P. Zum Zwecke der Beweisführung nehmen wir nun weitere Objektbezeichnungen vor und stellen die Kugeln wegen der besseren Anschauung im Umriss dar (Abb. 16, Ausschnittsvergrößerung in Abb. 17): F 1,F 2 bezeichnen die Berührpunkte; k 1,k 2 die Berührkreise; B 1,B 2 die Schnittpunkte der Mantellinie durch P mit den Berührkreisen k 1,k 2 ; A 1,A 2 sind die Endpunkte einer Mantellinie des Kegelstumpfs, den k 1,k 2 bilden.

5 79 Abb. 12 Abb. 13 Abb. 14 Abb. 15 Abb. 16 Abb. 17

6 80 Abb. 18 Durch Verziehen von P beschreibt B 1 B 2 den Mantel dieses Kegelstumpfs; B 1 B 2 kann so mit A 1 A 2 zur Deckung gebracht werden. B 1,F 1 bzw. B 2,F 2 sind nach Konstruktion Berührpunkte an die 1. bzw. 2. Dandelin- Kugel, sie bilden mit P Tangentenabschnitte, die auf dem jeweiligen Berührkegel mit P als Spitze liegen (Abb. 18, beispielsweise für die 1. Kugel; Konstruktion dieses Kegels mit dem Dreipunktekreis durch B 1,F 1 und F 1 ; F 1 erhält man mittels Spiegelung von F 1 an der Ebene durch P und die Kegelachse). PB 1 und PF 1 sind also gleichlang und ebenso PB 2 und PF 2. Somit ist PF 1 + PF 2 = PB 1 + PB 2 = A 1 A 2 = konst. und die Schnittkurve ist eine Ellipse. Die Mantellinien des aus den Berührkreisen k 1,k 2 gebildeten Kegelstumpfs sind als so lang wie die noch einzuzeichnende Ellipsenhauptachse. Auf ähnliche Weise kann der Nachweis für den Parabel- und den Hyperbelschnitt geführt werden. 3 Ausblick: Zentralprojektive Kreisbilder Cabri 3D ist natürlich auch geeignet für die räumliche Konstruktion und Visualisierung von Kegelschnitten als zentralprojektive Kreisbilder in der üblichen zentralprojektiven Abbildungsvorrichtung mit dem Zentralpunkt Z (auch Augpunkt genannt), der Objektebene, der Bildebene (die die Objektebene in der Achse a schneidet) und der Verschwindungsebene (mit der Verschwindungsgeraden v). Die Abbildung 19 zeigt, wie der Kegel, gebildet aus einem einem Kreis in der Objektebene mit Z als Spitze die Bildebene in einer Ellipse schneidet; für einen, die Verschwindungsgerade berührenden Kreis erhält man als Schnittkurve eine Parabel. Das kann von allen Seiten betrachtet werden (Abb. 20, von unten mit transparenter Objektebene). Der Fall des Hyperbelschnitts ist in Abbildung 21 und 22 zu sehen. In der Abbildung 23 ist die Konfiguration für die punktweise zentralprojektive Konstruktion eines Kreisbildes am Beispiel der Ellipse dargestellt (k: Original, k : Bild; dabei ist der Lotfußpunkt des Lotes von Z auf die Bildebene der Hauptpunkt H und die Parallelebene zur Objektebene durch Z schneidet die Bildebene im Horizont h). Um das Bild k des Kreises k zu konstruieren, fällen wir vom Kreispunkt P das Lot auf die Achse a, Lotfußpunkt: A,... ; ZHAV ist ein Rechteck nach Konstruktion. Der Schnittpunkt des Projektionsstrahls ZP mit der Geraden AH ist der Bildpunkt P, der

7 81 das Kreisbild erzeugt, wenn P auf dem Kreis umläuft. Der Projektionsstrahl ZP beschreibt dabei als Kegelmantellinie den aus Z und k gebildeten schiefen Kegel. Nach Ausblendung der Bildebene und des Kegels bietet sich uns eine Szene wie in Abbildung 24. Abb. 19 Abb. 20

8 82 Abb. 21 Abb. 22

9 83 Abb. 23 Abb. 24

10 84 Abb. 25 Abb. 26 Klappt bzw. dreht man nun Bild- und Verschwindungsebene in die Objektebene (Abb. 25), so gewinnt man eine verebnete Konstruktion zentralprojektiver Kreisbilder als Sonderfall der Abbildung bei axialer Projektivität (Abb. 26). Jetzt wechseln wir wieder zu Cabri II Plus über, um diese verebnete Abbildung mit entsprechenden Fallunterscheidungen auf Kreise zur Erzeugung von Kegelschnitten anzuwenden:

11 85 Kreis meidet Verschwindungsgerade (Ellipse: Abbildung 27), berührt sie (Parabel: Abbildung 28) und schneidet sie (Hyperbel: Abbildung 29). Abb. 27 Abb. 28

12 86 Abb. 29 Kegelschnitte kann man sich auch als Schnitte eines Lichtkegels mit einer Ebene vorstellen. Die Kurven, die der Lichtkegel von einer punktförmigen Lichtquelle Z aus mit Ebenen bildet (Abb. 30), sind auch als zentralprojektive Bilder eines Kreises k interpretierbar; die Kreisebene steht dabei senkrecht zur Kegelachse, auf der auch der Kreismittelpunkt liegt. Mit Cabri 3D lässt sich mittels einer drehenden Ebene die Veränderung der Kurvenform von der Ellipse bis zur Hyperbel gut beobachten. Abb. 30

13 4 Literatur 87 Laborde, J. M. (2004): 20 Years of Cabri! Perspective of Geometry Based Computing Means of Tomorrow. (Vortrag), Third Cabri Geometry International Conference, Rome 9 th -12 th September 2004, Universitá La Sapienza Laborde, J. M.; Bellemain, F. ( ): Cabri Géomètre II Plus. Grenoble: Cabrilog (Deutsche Anpassung als Cabri-Geometrie II Plus von H. Schumann. Bezug u. a. bei Laborde, J. M.; Bainville, E. (2004) : Cabri Géomètre 3D (Version 1.0). Grenoble: Cabrilog Schumann, H. (1991): Schulgeometrisches Konstruieren mit dem Computer. Stuttgart: Metzler und Teubner (auch im Archiv von Schupp, H. (1988): Kegelschnitte. Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag Wolff. G. (Hrsg.) (1966 ): Handbuch der Schulmathematik, Band 4, Geometrie der Oberstufe, 2. Auflage. Hannover: Schroedel

14 88