6.T³ - Regionaltagung an der Universität Mainz

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1 6.T³ - Regionaltagung an der Universität Mainz Samstag, 14. März 00 WorkshopII. Kegelschnitte sind Kegel-Schnitte! Plädoyer für die Renaissance eines interessanten Themas Ein Workshop mit CAS (Derive) und DGS (DynaGeo) Dr. Hubert Weller hubert.weller@math.uni-giessen.de 1

2 Mehr als Jahrtausende haben sich Mathematiker mit Kegelschnitten befasst. Leider führen sie heutzutage in den Lehrplänen für die Sekundarstufe II ein Schattendasein. Aber es gibt heute gute Gründe für eine stärkere Berücksichtigung in der Schulgeometrie. Hierzu gehören zum Beispiel Anwendungsbezug, Problemhaftigkeit, Methodenvielfalt oder Beziehungsreichtum. Der Beziehungsreichtum erschließt sich Schülerinnen und Schülern insbesondere auch durch die Verfügbarkeit der neuen Werkzeuge (DGS und CAS). Im Workshop wird ein möglicher Weg im Unterricht vorgestellt. Inhalte: 1. Kegelschnitte sind Kegel-Schnitte (Dandelinsche Kugeln und charakteristische Eigenschaften). Kegelschnitte als Ortslinien (vom Papierfalten zur Konstruktion mit DGS) 3. Kegelschnitte in unserer Umwelt 4. Umformen und Durchhalten (Herleitung der Gleichungen) 5. Quadratische Gleichungen in und y und zugehörige Kegelschnitte 6. Tangente, Polare, Hauptachsen 1 KEGELSCHNITTE SIND KEGEL-SCHNITTE Wenn ein (Doppel-)Kegel eine Ebene trifft, dann können ganz unterschiedliche Schnittkurven entstehen. Überlege in jedem der angegebenen Fälle, wie die Ebene den Kegel treffen muss, damit die entsprechende Schnittkurve entsteht: ein Kreis zwei Geraden eine Gerade ein Punkt eine Ellipse eine Hyperbel eine Parabel Interessant sind Ellipse, Parabel und Hyperbel, die wir nun näher studieren wollen. Sie haben ganz einfache geometrische Eigenschaften, die es uns erlauben, solche Kurven im -dimensionalen Raum zu erzeugen und zu beschreiben. Zur Vorbereitung machen wir uns mit einer einfachen Eigenschaft von Tangenten an einen Kreis bzw. an eine Kugel vertraut: T1 0 t1 r P Von einem Punkt P aus werden die beiden Tangenten an den Kreis konstruiert. d M t r Begründe, dass die Abstände PT1 und PT gleich groß sind. 0 T

3 Von einem Punkt P aus werden Tangenten an eine Kugel konstruiert. Begründe, dass die roten Strecken gleich lang sein müssen. Ergebnis: Von einem Punkt des Raums aus sind alle Tangenten an eine Kugel gleich lang! Mit diesen Kenntnissen hat der franz.-belg. Mathematiker G.P. Dandelin ( ) eine Methode zur Begründung von wesentlichen Eigenschaften von Ellipse, Parabel und Hyperbel erfunden. Er benutzt die so genannten Dandelinschen Kugeln. (Beim Schnitt einer Ebene mit einem Kegel werden Kugeln so in den Kegel einbeschrieben, dass sie die Ebene und den Kegel gerade berühren.) Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, 3

4 Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, Die Gärtnerkonstruktion einer Ellipse: 4

5 KEGELSCHNITTE ALS ORTSLINIEN Im weiteren Unterrichtsverlauf werden zunächst Falt-Eperimente durchgeführt. Auf einem Blatt werden ein Kreis und ein Punkt innerhalb (nicht der Mittelpunkt) markiert. Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, den Kreis so zu falten, dass der umgeklappte Kreisbogen auf dem markierten Punkt zu liegen kommt. Dies wird etwa 0-mal wiederholt. Auf einem Blatt werden ein Kreis und ein Punkt außerhalb markiert. Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, den Kreis so zu falten, dass der umgeklappte Kreisbogen auf dem markierten Punkt zu liegen kommt. Dies wird etwa 0-mal wiederholt. Auf einem Blatt wird eine Gerade gezeichnet und ein Punkt markiert. Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, das Blatt so zu falten, dass die umgeklappte Gerade auf dem markierten Punkt zu liegen kommt. Dies wird etwa 0-mal wiederholt. Wir sehen anschließend eine Hüllkurve der Faltgeraden. Ob es sich dabei um eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel handelt, können wir entscheiden und begründen, wenn wir die Falteperimente mit einer Dynamischen Geometrie-Software konstruiert haben. Die Leitkreismethode Z Z P F F1 F F1 Zeichne einen Kreis, verberge den zum Konstruieren benutzten Punkt und nenne den Mittelpunkt F1 F1 Zeichne eine Punkt im Innern des Kreises, nenne ihn F und einen Punkt auf dem Kreis, nenne ihn Z Z P F F1 Zeichne die Gerade durch F1 und Z und die Mittelsenkrechte der Strecke ZF, nenne den Schnittpunkt P Z F P F1 Z F P F1 Begründe, dass die Summe Zeichne die Ortskurve von P Die Mittelsenkrechte der der Abstände von P zu F1 auf, wenn Z auf dem Kreis Strecke ZF ist die und F konstant ist, wenn Z läuft. Tangente im Punkt P auf dem Kreis bewegt wird Eperimentiere mit der Konstruktion, indem du Z bewegst. Beobachte die Veränderung, wenn du F bewegst. Was passiert, wenn du F aus dem Kreis heraus bewegst? Erkläre in diesem Fall, warum die Differenz der Abstände von P zu F1 und F konstant ist. 5

6 Konstruktion einer Parabel mit der Leitlinie F P F Leitlinie Leitlinie Zeichne eine Gerade, verberge die zum Konstruieren benutzten Punkte und nenne sie Leitlinie A Zeichne einen Punkt neben der Leitlinie, nenne ihn F und wähle einen Punkt auf der Geraden, nenne ihn A Leitlinie A Zeichne die Mittelsenkrechte der Strecke FA und die Orthogonale zur Leitlinie in A und nenne den Schnittpunkt P P F F F Leitlinie A Leitlinie Leitlinie P P A A Begründe, dass der Abstand Zeichne die Ortskurve von P Die Mittelsenkrechte der von P zu F und P zu A auf, wenn A auf der Leitlinie Strecke AF ist die gleich ist, wenn A auf der läuft. Tangente im Punkt P Linie bewegt wird Eperimentiere mit der Konstruktion, indem du A bewegst. Beobachte die Veränderung, wenn du F bewegst. 6

7 3 KEGELSCHNITTE IN UNSERER UMWELT Aufgabe 4: Der Parabolspiegel (Konstruktion mit DynaGeo) Konstruiere mit Leitgerade und Brennpunkt F eine Parabel. Der Punkt A soll auf der Leitgeraden verschoben werden können. Die zur Konstruktion benutzte Mittelsenkrechte ist die Tangente im Punkt P. Wähle einen beliebigen Punkt Q und konstruieren den Strahl PQ (Halbgerade). Dies ist der einfallende Lichtstrahl, der im Punkt P am Spiegel reflektiert wird. Spiegele den Strahl PQ an der im Punkt P zur Tangente senkrechten Geraden. Dies ist der reflektierte Lichtstrahl. Ziehe am Punkt Q und untersuche, wann der reflektierte Strahl durch F geht. Q F P A Aufgabe 5: Der Ellipsenspiegel Konstruiere mit Leitkreis und den Brennpunkten F1, F eine Ellipse. Der Punkt Z kann auf dem Leitkreis verschoben werden. Die zur Konstruktion benutzte Mittelsenkrechte ist die Tangente im Punkt P. Wähle einen beliebigen Punkt Q und konstruieren den Strahl PQ (Halbgerade). Dies ist der einfallende Lichtstrahl, der im Punkt P am Spiegel reflektiert wird. Spiegele den Strahl PQ an der im Punkt P zur Tangente senkrechten Geraden. Dies ist der reflektierte Lichtstrahl. Ziehe am Punkt Q und untersuche, was mit dem reflektierten Strahl passiert, wenn der einfallende Strahl durch F1 oder F geht. Q F1 F P Z 7

8 Anwendungen der Kegelschnitte Im Mathematikum findet man dieses Eperiment. Der Reflektor sieht so ähnlich aus wie eine Satellitenschüssel für den Fernsehempfang. Die nebenstehende Abbildung zeigt eine solche Anordnung. Ein Solarkocher Nierensteinzertrümmerer (Lithotripter) Das Übertragungsmedium ist hier Wasser. Der Körper hat unmittelbaren Kontakt mit einem Wasserkissen, so dass die Schockwelle vom Wasser fast unmittelbar auf das Körpergewebe übertragen werden kann Hyperbel-Navigation (Loran-C) 8

9 4 HERLEITUNG DER GLEICHUNGEN (UMFORMEN UND DURCHHALTEN) Gruppe 1: Die Gleichung der Ellipse Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Abstandssumme zu zwei festen Punkten F1 und F konstant ist. Wir legen das Koordinatensystem so, dass die Gleichung einfach wird. [0,b] [0,b] [0,b] P=[,y] P=[,y] P=[,y] F e e F [a,0] F1 e e F1 [a,0] e F e [a,0] F1 y + =1 a b Zeige, dass für eine Ellipse diese Gleichung gilt: Dazu benötigen wir nur den Satz des Pythagoras. Begründe zunächst, dass die Abstandsumme gleich a ist. Schreibe eine Formel für die Summe der Abstände auf und sorge dafür, dass die Gleichung keine Wurzeln mehr enthält. PF1 = ( e) + y PF = ( + e) + PF1 + PF = a y Nutze die Beziehung zwischen a, b, e im rechten Bild: a = e + b Gruppe : Die Gleichung der Parabel Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem festen Punkten F und einer festen Leitgeraden gleich ist. P=[,y] Leite eine Gleichung für die Parabel her. Das Koordinatensystem legen wir in den Scheitelpunkt der Parabel. Beachte, dass die Länge der Strecke PF gleich der Länge der Strecke PA (=y+a) ist. (Pythagoras lässt grüssen!!) y F a A Gruppe 3: Die Gleichung der Hyperbel Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Abstandsdifferenz zu zwei festen Punkten F1 und F konstant ist. Wir legen das Koordinatensystem so, dass die Gleichung einfach wird. P=[,y] Zeige, dass für eine Hyperbel diese Gleichung gilt: e e F a F1 Begründe zunächst, dass die Abstanddifferenz gleich a ist. Schreibe eine Formel für die Differenz der Abstände auf und sorge dafür, dass die Gleichung keine Wurzeln mehr enthält. PF1 = b y =1 a b a ( e) + y PF = ( + e) + y PF PF1 = a Nutze die Beziehung zwischen a, b, e

10 Die Herleitung der Ellipsengleichung #1: #: CaseMode Sensitive InputMode Word #3: (( - e) + y ) + (( + e) + y ) = a Ausmultiplizieren unter den Wurzeln: #4: ( - e + y + e ) + ( + e + y + e ) = a Die zweite Wurzel wird auf die rechte Seite gebracht: #5: ( - e + y + e ) = a - ( + e + y + e ) Jetzt wird links und rechts quadriert... #6: ( ( - e + y + e ) = a - ( + e + y + e )) #7: - e + y + e = ( ( + e + y + e ) - a)...und ausmultipliziert: #8: - e + y + e = - 4 a ( + e + y + e ) + + e + y + 4 a +e Auf der rechten Seite bleibt nur noch die Wurzel stehen: #: - 4 e - 4 a = - 4 a ( + e + y + e ) Alles wird durch -4 geteilt.. #10: e + a = a ( + e + y + e )...und dann quadriert: #11: (e + a = a ( + e + y + e )) #1: (e + a ) = a ( + e + y + e ) 4 #: e + a = a + a y + a e Alles mit oder y nach rechts, alles ohne nach links: 4 #14: a - a e = (a - e ) + a y Alles durch a^*(a^-e^) teilen 4 a - a e = (a - e ) + a y #15: a (a - e ) #16: (a - e ) + a y 1 = a (a - e ) #17: y 1 = + a a - e Ersetze a^-e^ durch b^ #18: y 1 = + a b 10

11 5 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN KEGELSCHNITTE IN X UND Y UND ZUGEHÖRIGE Ellipsen und Hyperbeln werden mit Derive dargestellt. Hinweis: Wir arbeiten momentan nur im D-Grafikfenster. Dabei sollten diese Einstellungen beachtet werden: 1. Im Algebra-Fenster über "Fenster" "Anpassen" die Symbolleiste zur Formatierung in dem entsprechenden Kontrollkästchen aktivieren.. In beiden Grafikfenstern wird über Etras die Option "Vereinfachen vor dem Zeichnen" aktiviert 3. Im D-Grafik-Fenster lässt sich über "Einstellen" "Zeichenbereich" der Bildausschnitt festlegen. Über "Einstellungen" "Verzerrungsverhältnis" "Rücksetzen" werden gleiche Maßstäbe auf beiden Achsen erzeugt. a) Zeichne die zu den folgenden Gleichungen gehörenden Ellipsen: b) Bestimme die zu den folgenden Ellipsen gehörigen Gleichungen und überprüfe das Ergebnis mit Derive: 11

12 c) Zeichne die zu den Gleichungen rechts gehörenden Kegelschnitte, bestimme jeweils die Werte a und b, berechne die Koordinaten der Brennpunkte F1 und F und zeichne diese in entsprechende Grafik ein. die Die von uns hergeleiteten Gleichungen für die Kegelschnitte sind Mittelpunktsgleichungen: wir haben das Koordinatensystem geschickt gewählt (eine Achse durch die Brennpunkte, die zweite senkrecht dazu). Kreis: y + =1 r r Ellipse: y + =1 a b Hyperbel: y =1 a b Parabel: 4 a y = 0 oder 4 a + y = 0 Berechnung der Brennpunkte: Hier wird die Beziehung a = b + e (Ellipse) bzw. a + b = e (Hyperbel) genutzt. Brennpunkt bei der Parabel ist ( 0 a ) oder ( a 0) 6 TANGENTEN, POLARE, HAUPTACHSEN Tangente und Polare beim Kreis Aufgabe: Zeige, dass für die Tangente an einen Kreis im Punkt (1, y1) diese Gleichung gilt: 1 + y y1 = r Hinweis: Mit y y1 1 erhält man die Steigung der Tangente 1

13 Vom Punkt P aus werden die Tangenten an den Kreis gezeichnet, die Berührpunkte sind (1, y1) und (, y). P liegt auf beiden Tangenten, also gilt: P 1 + y P y1 = r und P + y P y = r Die Gerade durch (1, y1) und (, y) nennt man die Polare, und sie wird durch diese Gleichung beschrieben: P + y P y = r Tangente und Polare bei Ellipse und Hyperbel Die Ellipse entsteht aus dem Kreis (Radius a) durch Stauchung der y-werte mit dem Faktor b/ a. (Aus 1 und y1 erhält man die Kreispunkte durch Streckung mit Faktor a/b) Damit erhält man diese Gleichungen für a) Die Tangente im Punkt (1, y1) 1 y y1 + =1 a Punkt b (P, yp) b) Die Polare für den P y y P + =1 a b (Für die Hyperbel muss das + durch ersetzt werden)

14 Die Tangenten an einen Kreis von einem Punkt ausserhalb #1: #: #3: #4: CaseMode Sensitive InputMode Word + y = 5 P [7, 4] Zunächst zeichnen wir die Polare #5: y = 5 Die Schnittpunkte der Polaren mit dem Kreis werden berechnet #8: #6: + y = 5, y = 5 #7: SOLVE( + y = 5, y = 5, [, y], Real) = + y = -, = - y = + #: #10: y1 - #11: #1: y + #: [1, y1] #14: [, y] 14

15 Die Gleichungen der Tangenten #15: 1 + y1 y = 5 #16: + y y = 5 Aufgabe: Zeichne den durch die Gleichung gegebenen Kegelschnitt und bestimme die Tangenten an den Kegelschnitt von dem Punkt aus: Gleichung, Mittelpunktsform, Ursprungslage,... #1: CaseMode Sensitive #: InputMode Word Gegeben ist diese Gleichung #3: y y = -1 Durch quadratische Ergänzung erzeugen wir die Mittelpunktsform der Gleichung: ( - 4) (y - ) #4: + = 1 5 Damit lesen wir ab: Der Mittelpunkt ist der Punkt [4,] #5: [4, ] Wenn wir nun -4 durch und y- durch y ersetzen erhalten wir die Gleichung der Ursprungslage (der Mittelpunkt des Kegelschnitts liegt im Koordinatenursprung. #6: y + = 1 5 #7: [0, 0] 15

16 Aufgabe An die in #3 gegebene Ellipse sollen vom Punkt P=[-4,4] die Tangenten gezeichnet werden. Entwickle eine Strategie, bei der mit der Transformation in die Ursprungslage dies geleistet werden kann. #8: P [-4, 4] Lösungsweg: 1. Mittelpunktsform durch quadratische Ergänzung erzeugen ( - 4) (y - ) #: + = 1 5. Ellipse in Mittelpunktslage darstellen (um 4 nach links und nach unten verschieben): y #10: + = Den Punkt P entsprechend verschieben: #11: [-8, ] 4. Die Gleichung der Polaren: #1: 8 y - + =

17 5. Die Schnittpunkte berechnen: #: 8 y y - + = 1, + = #14: 8 y y SOLVE - + = 1, + = 1, [, y], Real 5 5 #15: = - y = +, = - - y = #16: , y1 +, - -, y #17: [1, y1] #18: [, y] 6. Die Gleichung der Tangenten: #1: 1 y y1 + = 1 5 #0: y y + =

18 7. Die Berührpunkte an der ursprünglichen Ellipse: #1: #: [1, y1] + [4, ] [, y] + [4, ] 8. Rücktransformation der Gleichungen ( wird durch -4 und y durch y- ersetzt: Die Gleichung der Polaren: 8 ( - 4) (y - ) #3: - + = 1 5 Die Gleichungen der Tangenten: #4: ( - 4) 1 (y - ) y1 + = 1 5 #5: ( - 4) (y - ) y + =

19 Tangente und Polare bei der Parabel #1: CaseMode Sensitive #: InputMode Word Eine Parabel mit dieser Gleichung #3: - 4 a y = 0 Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt (1,y1) Die Steigung lässt sich auf Grund der Leitlinienkonstruktion so bestimmen y1 #4: 1 Andererseits lässt sich für einen beliebigen Punkt (,y) auf der Tangente die Steigung mit dem Differenzenquotienten berechnen y - y1 #5: - 1 Damit ergibt sich y - y1 y1 #6: = Mit etwas "Termkosmetik"... #7: (y - y1) 1 = y1 ( - 1) #8: 1 y - 1 y1 = y1-1 y1 #: 1 y + 1 y1 - y1 = 0 #10: 1 (y + y1) - y1 = 0 y1 #11: (y + y1) - = #1: 4 a (y + y1) - = #: (y + y1) - = 0 a #14: 1 - a (y + y1) = 0...erhält man die Gleichung der Tangente y + y1 #15: 1-4 a = 0 Merkregel: "Ersetze in der Parabelgleichung ein durch 1 und das y durch (y+y1)/" Aufgabe: Bestimme die Gleichungen von Polare und Tangenten vom Punkt P=[,3] aus an die Parabel mit der Gleichung ^-8y=0. Lösung: #16: - 8 y = 0 #17: [, -3] 1

20 #18: 8 (y - 3) - = 0 #1: 8 (y - 3) - = 0, - 8 y = 0 #0: 8 (y - 3) SOLVE - = 0, - 8 y = 0, [, y], Real #1: #: [ = 7 + y = 7 + 4, = - 7 y = 4-7] [1 7 +, y , - 7, y 4-7] Die Berührpunkte: #3: [1, y1] #4: [, y] Die Gleichungen der Tangenten: y + y1 #5: 1-8 = 0 y + y #6: - 8 = 0 Asymptoten bei der Hyperbel #1: #: #3: CaseMode Sensitive InputMode Word y - = 1 16 Welche Ursprungsgeraden schneiden die Hyperbel? D.h. für welche Steigungen m gibt es Schnittpunkte mit der Hyperbel? #4: y = m Wir berechnen die Schnittpunkte der Hyperbel mit einer beliebigen Ursprungsgeraden: y #5: - = 1 16 #6: y = m Ersetze y in #5 durch m* (m ) #7: - =

21 (m ) #8: SOLVE - = 1,, Real 16 1 SIGN( m - 16) 1 SIGN( m - 16) #: = - = (16 - m ) (16 - m ) Erkenntnis: Eine Lösung gibt es nur, wenn der Ausdruck unter der Wurzel im Nenner grösser als 0 ist: #10: 16 - m > 0 #11: SOLVE(16 - m > 0, m, Real) 4 4 #1: - < m < 3 3 Wenn der Ausdruck gleich 0 ist, erhalten wir die Grenzlage: #: 16 - m = 0 #14: SOLVE(16 - m = 0, m, Real) 4 4 #15: m = - m = #16: y = 3 4 #17: y = - 3 Diese Geraden sind die Asymptoten 1

22 Aufgabe: Bestimme die Gleichungen der Asymptoten für eine Hyperbel mit dieser Gleichung: y #18: - = 1 a b Lösung: #1: y = m (m ) #0: - = 1 a b (m ) #1: SOLVE - = 1,, Real a b a b SIGN(a m - b ) a b SIGN(a m - b ) #: = - = (b - a m ) (b - a m ) Die Asymptoten erhält man, wenn der Ausdruck unter der Wurzel im Nenner gleich 0 ist: #3: b - a m = 0 #4: SOLVE(b - a m = 0, m, Real) b b #5: m = - m = a a Die Gleichungen der Asymptoten: #6: b b y = - y = a a