T³ - Auffrischungsworkshop an der Universität Mainz

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1 T³ - Auffrischungsworkshop an der Universität Mainz Samstag, 19. September 2009 Analytische Geometrie Ein Workshop mit CAS (Derive) Dr. Hubert Weller hubert.weller@math.uni-giessen.de

2 Punkte, Vektoren, Spalten und Zeilen Problemstellung: Die Punkte A = (2 3 0), B = (6 7 2), D = (4-1 4) und E = (-2 5 4) bilden die Ecke eines Würfels im Raum. Zeichne die Punkte und die Strecken AB, AD, AE im räumlichen Koordinatensystem. Rekonstruiere aus diesen Angaben den Würfel, d.h. bestimme die Koordinaten der anderen Eckpunkte Punkte und Vektoren werden hier grundsätzlich als Spalten definiert. Dies entspricht der in den meisten Schulbüchern verwendeten Notation. Bei der grafischen Darstellung mit Derive ist es allerdings notwendig, die Objekte in Zeilenschreibweise zu transformieren. Vor dem Zeichnen müssen die Objekte transponiert werden. Dies ist noch nicht sehr anschaulich, deshalb verbinden wir die Punkte. Strecken und Streckenzüge werden gezeichnet, indem die Punkte in der gewünschten Reihenfolge aneinandergehängt und dann transponiert werden:

3 uuur Den Punkt C erhält man, indem man das Verschiebungsprogramm AD = D A an den Punkt B anhängt. Wir zeichnen C und den Streckenzug ABCDA: Farben von Punkten einstellen: Rechter Mausklick auf den Punkt und Bearbeiten wählen. Punktgröße einstellen Graphen-Farbe Schema Benutzerdefiniert wählen und Farbe einstellen (Alle Punkte werden ab jetzt so gezeichnet, evtl. müssen schon gezeichnete Punkte noch einmal gezeichnet werden.) Farbe von Linien einstellen: Dazu muss die Linie markiert werden: mit der rechten Maustaste in die Grafik klicken und Vorigen auswählen. (Die Linie ist dann nicht mehr sichtbar) In der oberen Symbolleiste Bearbeiten Graph auswählen. Man muss nun beachten, dass die Linien Gitterlinien sind, d.h. bei der Graphen-Farbe muss die Farbe der Gitterlinien geändert werden (Schema: Benutzerdefiniert ) Zum Schluss wieder mit der linken Maustaste in die Grafik klicken. Färben von Flächen: uuur Die Vektoren AD uuur und BC werden gleichzeitig gezeichnet, dabei müssen die Vektoren in die gleiche Richtung zeigen. (Reihenfolge beachten) Um die Farbe einer Fläche zu ändern (das gilt dann auch für Ebenen), wird die Fläche mit der linken Maustaste markiert und dann über Bearbeiten Graph Graphen-Farbe Schema Benutzerdefiniert die gewünschte Farbe gewählt.

4 Geraden im Raum #1: CaseMode Sensitive #2: InputMode Word Geraden im Raum Durch zwei Punkte im Raum geht genau eine Gerade 1-2 #3: A 2, B #4: [A`, B`] Die Gleichung der Geraden in Parameterform (Ortsvektor plus Vielfaches des Richtungsvektors) Als Ortsvektor nehmen wir einen der beiden Punkte (z.b. A) und als Richtungsvektor nehmen wir den Vektor uuur AB (Differenz "Spitze minus Anfang") -3 #5: B - A = 1-2 #6: g1(t1) A + t1 (B - A) 1-3 #7: g1(t1) 2 + t #8: g1(t1)` Oder wir benutzen gleich Ortsvektor und einen Richtungsvektor 2 #9: C -1 4 #10: C` -1 #11: g2(t2) C + t #12: g2(t2)` Warum handelt es sich bei diesen Geraden um "windschiefe" Geraden? Erkläre den Begriff windschief.

5 Schnittpunkte mit den Koordinateneben ("Durchstosspunkte") Wo trifft die Gerade g2 z.b. die x-z-ebene? Die x-z-ebene #29: y = t2 t2-1 #30: g2(t2) = t2 4-2 #31: g2(t2)` Für welches t2 wird die y-koordinate von g2 gleich 0? => t2=1 1 0 #32: g2(1) = 7 2 #33: g2(1)` Die Welt von einem Punkt aus betrachtet Im 2.Stock des Mathematikums gibt es das Exponat mit den Eisenbahnschienen. Dort sieht man auf einer Glasscheibe das Bild der Schienen so, wie man die Schienen sieht, wenn man durch das kleine Loch schaut. Das Bild der Schienen ist perspektivisch. Albrecht Dürers Technik zur Erzeugung von perpektivischen Bilder von Gegenständen ist auf einem Wandbild im Erdgeschoss des Mathematikums zu sehen.

6 Diese Technik wollen wir jetzt mit Derive nutzen, um ein perspektivisches Bild eines Hauses zu erzeugen. Wir stellen uns vor, dass das Haus hinter der Glasscheibe y-z-ebene steht. Der Betrachter schaut sich das Haus vom Punkt L aus an. Der Punkt A hat die Koordinaten A= (-2, 4, 0) Das Haus ist 8 m lang, 4 m breit, die senkrechte Wand ist 2 m hoch, der Dachfirst hat eine Höhe von 5 m. Der Punkt L hat die Koordinaten L= (4, 0, 10) Die Eckpunkte des Hauses #3: A 4, B 8, C 8, D #4: E 4, F 8, G 8, H #5: P 6, Q #6: Haus APPEND_COLUMNS(A, B, C, D, A, E, F, B, F, G, C, G, H, D, H, E, P, F, G, #7: Haus` Q, H, Q, P) Das Haus wird von einem Beobachtungspunkt aus gesehen. Der Betrachter steht im Punkt L=[4,0,10]

7 4 #8: L 0 10 #9: L` 4 4 #10: 0 0 ` 10 0 Wir stellen uns vor, dass die y-z-ebene eine Glaswand ist Auf dieser soll das Bild des Hauses gezeichnet werden so wie der Betrachter es sieht #11: `

8 Ebenen im Raum #1: CaseMode Sensitive #2: InputMode Word Durch 3 Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen), z.b. die Punkte A,B,C geht genau eine Ebene #3: A 2, B 3, C #4: [A`, B`, C`] Zunächst bestimmen wir die Ebenengleichung in Parameterform: Als Stützvektor nehmen wir zum Beispiel den Vektor A, als Richtungsvektoren die Vektoren AB und AC (Merkregel. "Spitze minus Anfang") #5: Ebene1(t, s) A + t (B - A) + s (C - A) #6: Ebene1(t, s) 2 + t 1 + s Das lässt sich so zeichnen (transponieren) #7: Ebene1(s, t)` Wir markieren und löschen die Ebene wieder und bestimmen zunächst die Gleichung der Ebene in Koordinatenform. Allgemeine Form der Ebenengleichung: #8: a x + b y + c z + d = 0 Durch Einsetzen der Koordinaten der drei Punkte erhalten wir drei Gleichungen mit den Variablen a,b,c,d #9: [a 1 + b 2 + c 3 + d = 0, a (-2) + b 3 + c 1 + d = 0, a 2 + b (-1) + c 4 + d = 0]

9 Dieses Gleichungssystem lösen wir nach a,b,c #10: SOLVE([a 1 + b 2 + c 3 + d = 0, a (-2) + b 3 + c 1 + d = 0, a 2 + b (-1) + c 4 + d = 0], [a, c, b], Real) 5 d 8 d d #11: a = c = - b = Für d können wir eine beliebige Zahl einsetzen, besonders einfach wird es für d=21 Und das ist eine Gleichung der Ebene: #12: 5 x - y - 8 z + 21 = 0 Das lässt sich so zeichnen. Schnittpunkte zwischen Gerade und Ebene Schnittpunkte zwischen Geraden und Ebenen werden so berechnet. Zunächst die Geradengleichung: 3 1 #13: ger(r) 4 + r r + 3 #14: ger(r) 2 r + 4 -r - 1 #15: ger(r)` Prinzipiell gibt es zwei Möglichkeiten, den Schnittpunkt zu berechnen. 1. Wir benutzen die Parameterform der Ebenengleichung und lösen die Gleichung Ebene1(t,s)=ger(r) (Auf verschiedene Parameter achten!) #16: Ebene1(t, s) = ger(r) s - 3 t + 1 r + 3 #17: - 3 s + t + 2 = 2 r + 4 s - 2 t + 3 -r - 1 Wir lösen nach r, s und t #18: SOLVE(Ebene1(t, s) = ger(r), [r, s, t], Real)

10 #19: r = - s = t = Damit können wir den Schnittpunkt Q berechnen, indem wir die Parameter in die Ebenengleichung oder die Geradengleichung einsetzen: #20: Q Ebene1, #21: Q #22: ger - = #23: Q` 2. Wir benutzen die Koordinatenform der Ebenengleichung: #24: 5 x - y - 8 z + 21 = 0 In diese setzen wir x,y und z aus der Geradengleichung ein: 3 1 #25: ger(r) 4 + r r + 3 #26: ger(r) 2 r + 4 -r - 1 #27: 5 (r + 3) - (2 r + 4) - 8 (-r - 1) + 21 = 0 Diese Gleichung wird nach r gelöst, fertig! #28: SOLVE(5 (r + 3) - (2 r + 4) - 8 (-r - 1) + 21 = 0, r, Real) 40 #29: r = - 11

11 #30: ger - = Schnitt von zwei Ebenen Die Gleichung einer zweiten Ebene: #31: - 2 x + y - 3 z + 4 = 0 Aufgabe: Zeige dass die in #32 gegebene Gleichung eine Punkt-Richtungsform dieser Ebene ist #32: Ebene2(t2, s2) 1 + t2-5 + s Durch welche Gleichung wird die Menge der gemeinsamen Punkte der beiden Ebenen beschrieben? Prinzipiell gibt es verschiedene Möglichkeiten, den Schnitt zu berechnen. 1. Wir benutzen die Punkt-Richtungsformen der Ebenengleichungen #33: Ebene1(t, s) = Ebene2(t2, s2) s - 3 t + 1 s2 - t2 + 1 #34: - 3 s + t + 2 = -s2-5 t2 + 1 s - 2 t + 3 -s2 - t2 + 1 Dies lösen wir z.b. nach s,s2 und t2 #35: SOLVE(Ebene1(t, s) = Ebene2(t2, s2), [s, s2, t2], Real) 13 t - 5 t t - 3 #36: s = s2 = - t2 = t 8 13 t (1 - t) #37: Ebene1 t, = t 8 (Rechte Seite markieren und mit "Vereinfachen" "Multiplizieren" ausmultiplizieren.)

12 3 11 t t t #38: Ebene1 t, = t t t - 3 t t #39: Ebene2, - = t Das ist die Gleichung einer Geraden #40: + t Wir benutzen eine Punkt-Richtungs-Form und eine Koordinatenform #41: - 2 x + y - 3 z + 4 = #42: Ebene1(t, s) 2 + t 1 + s s - 3 t + 1 #43: Ebene1(t, s) = - 3 s + t + 2 s - 2 t + 3 #44: - 2 (s - 3 t + 1) + (- 3 s + t + 2) - 3 (s - 2 t + 3) + 4 = 0 Die Gleichung wird nach s gelöst: #45: SOLVE(- 2 (s - 3 t + 1) + (- 3 s + t + 2) - 3 (s - 2 t + 3) + 4 = 0, s, Real) 13 t - 5 #46: s = t t t #47: Ebene1 t, = t - 8 8

13 3. Wir benutzen die Koordinatenformen der Ebenengleichungen #48: 5 x - y - 8 z + 21 = 0 #49: - 2 x + y - 3 z + 4 = 0 Die beiden Gleichungen werden zusammengefasst und nach x und y gelöst #50: [5 x - y - 8 z + 21 = 0, - 2 x + y - 3 z + 4 = 0] #51: SOLVE([5 x - y - 8 z + 21 = 0, - 2 x + y - 3 z + 4 = 0], [x, y], Real) 11 z (z - 2) #52: x = y = 3 3 Damit ergibt sich als Gleichung für die gemeinsamen Punkte: 11 z #53: 31 (z - 2) 3 z 11 z #54: 31 z z #55: 62 + z Das ist eine Gleichung derselben Geraden wie vorher. Warum?? Aufgabe Tetraeder: Die Punkte S=(1, -1, 1), P1=(3, 5, 1), P2=(5, -5, 5) und P3=(3, 3, -1) bilden ein Tetraeder. a) Stelle den Körper in der 3D-Grafik dar. b) Die Ebene mit der Gleichung 8x + y z - 11 = 0 schneidet das Tetraeder in einem Dreieck. Berechne die Eckpunkte und stelle das Dreieck grafisch dar. 2 1 c) Eine Gerade g hat die Gleichung 1 + t Welche Strecke der Geraden liegt im Inneren des Tetraeders? Aufgabe Restkörper: Der im Bild dargestellte Quader (6 mal 5 mal 8) wird durch zwei ebene Schnitte zerlegt. a) Der erste Schnitt wird durch die Ebene durch die Punkte ABC bestimmt. Bestimme die Gleichung dieser Ebene. b) Die zweite Schnittebene geht durch den Punkt D und hat die Gleichung x +6y+3z-27=0 Stelle den Restkörper dar, der die Ecke O enthält?

14 Aufgabe Pyramiden: In der Nähe von Kairo steht die Cheops- neben der Chephrenpyramide. Die eine wirft einen Schatten auf die andere. Wir nehmen einmal an, dass die erste Pyramide die folgenden Eckpunkte hat: A = [ ] B = [ ] C = [ ] D [ ] und E = [ ] Die Richtung der Sonnenstrahlen ist v = [ ] a) Stelle diese Pyramide (und ihren Schatten) im 3D-Grafikfenster dar. b) Die zweite Pyramide hat die folgenden Eckpunkte: P = [ ] Q = [ ] R =[ ] S = [ ] und T = [ ] Stelle auch diese Pyramide im selben 3D-Grafikfenster dar. c) Berechne und zeichne den Schatten, den die erste auf der zweiten erzeugt. Implizite und Parameterplots Wir haben gelernt, wie man Ebenen im Raum in unterschiedlicher Darstellung mit Derive zeichnen kann. Da haben wir einmal die Gleichung in Parameterdarstellung (Punkt- Richtungsform). Wir können eine Ebene aber auch durch eine Gleichung in Koordinatenform darstellen. In der 2D-Grafik lassen sich nicht nur Geraden, sondern auch andere Kurven, die durch eine Gleichung (implizit definiert) beschrieben sind, darstellen.

15 Ein wichtiges Beispiel ist der Kreis: Es wäre schön, wenn wir auch in der 3D-Grafik implizit definierte Flächen so einfach darstellen könnten. Zum Beispiel ergibt sich für die Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt [2,4,1] und Radius 3 die Gleichung Dies können wir leider in der 3D-Graphik so nicht mehr zeichnen! Wir müssen hier bei allen Flächen auf Parameterdarstellungen zurückgreifen. Alles dreht sich! Erzeugung von Rotationsflächen im Raum Ziel: Hier wirst du lernen, wie man drehsymmetrische Flächen im Raum durch Rotation einer Kurve um die z-achse erzeugen kann. Zunächst stellen wir uns ein Kurvenstück im 2D- Grafikfenster dar: (Dabei bezeichnen wir den Parameter zur Erzeugung der 2D-Kurve grundsätzlich mit s) Beim Zeichnen von Zeile #3 geht ein Fenster auf, bei dem man aufgefordert wird, die Grenzen für den Parameter anzugeben. Wir wählen Min 0 und Max 4 Über Einstellen Verzerrungsverhältnis Rücksetzen werden gleiche Maßstäbe auf beiden Achsen erzeugt.

16 Jetzt kommt die entscheidende Idee: Wir setzen diese Kurve im 3D-Fenster "auf die erste Achse" Zeile #4 wird im 3D-Fenster gezeichnet Rechte Maustaste: Mit "Vorigen auswählen" "Bearbeiten" "Graph" stellen wir den Graphenparameter s ein (von 0 bis 4) Nun drehen wir das Kurvenstück um den Winkel von t=30 Dabei müssen die x- und die y-koordinate verändert werden, die z-koordinate bleibt gleich: Der Blick von oben : s SIN(t) Drehe auch um 45, 90, 120, Drehung um einen beliebigen Winkel, (den grundsätzlich mit t bezeichnen) wir Zeile #6 wird im 3D-Grafikfenster gezeichnet Die Fläche markieren und mit "Bearbeiten" "Graph" wird der Graphenparameter t von 0 bis 360 eingestellt. Die Anzahl der Felder kann jeweils auf 40 erhöht werden. Zeile #6 enthält zwei Parameter s und t. Damit wird eine Fläche im Raum beschrieben. Wir könnten auch andere Parameter benutzen, allerdings steht im Fenster zum Einstellen der Parameter grundsätzlich s und t, weshalb wir in unseren Definitionen der Flächen s und t verwenden.

17 Jetzt wollen wir eine Kugel vom Radius 5 zeichnen. Dazu erzeugen wir uns zunächst im 2D-Fenster einen Halbkreis s ist hier ein Winkel, der von -90 bis 90 läuft. Dieser wird im 3D-Fenster auf die erste Achse gesetzt: Rechte Maustaste "Vorigen auswählen" "Bearbeiten Graph" und die Werte für s einstellen (-90 bis 90 ) Und schließlich um die z-achse gedreht: Aufgabe Kugel: Zeichne eine Kugel mit dem gleichen Radius, aber mit einem anderen Mittelpunkt, z.b. [8,2,3]: Aufgabe 3Kugeln: Zeichne drei Kugeln mit Durchmesser 8, die auf der x-y-ebene liegen und sich gegenseitig berühren.

18 Zur Erinnerung: Kugeln können durch eine implizite Gleichung oder durch eine Parametergleichung definiert werden. Zum Zeichnen in der 3D-Grafik benötigen wir die Parametergleichung. Zum Rechnen (Schnitte mit Geraden oder Ebenen) ist die implizit definierte Gleichung einfacher. Kreis um den Punkt [0,0,0] mit Radius 1 Implizite Gleichung: Parametergleichung Kreis um den Punkt [2,4,3] mit Radius 3 Implizite Gleichung: Parametergleichung: Ebene trifft Kugel Gleichung der Ebene: Der Normalenvektor der Ebene wird aus der Ebenengleichung entnommen: Problem: Wie lassen sich die Gleichungen der Tangentialebenen bestimmen, die parallel zur Ebene E sind?

19 Wir zeichnen die Gerade durch den Kugelmittelpunkt, die orthogonal zur Ebene ist, und berechnen die Schnittpunkte T1, T2 mit der Kugel. Die Ebene durch T1 hat den gleichen Normalenvektor wie E, d.h. die Gleichung muss so aussehen: K wird durch Einsetzen der Koordinaten von T1 ermittelt: Aufgabe 26: Eine Kugel mit Mittelpunkt [-2, -2, 1] hat den Radius 4, die zweite Kugel hat den Mittelpunkt [-1, 3, 3] und den Radius 3. a) Stelle beide Kugeln in der 3D-Grafik dar. b) Bestimme die Gleichung der Ebene, in der die gemeinsamen Punkte der beiden Kugeln liegen. Hinweis: Da die gemeinsamen Punkte beide Kugelgleichungen erfüllen, genügen sie auch jeder Kombination der Gleichungen. Multipliziere die Gleichungen aus, durch Subtraktion ( linke Seite minus linke Seite gleich rechte Seite minus rechte Seite ) werden die quadratischen Terme eliminiert. Der Rest ist die Gleichung einer Ebene. c) Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Schnittkreises. Die erste Kugel -2 #3: M1-2 1 #4: 4 [COS(s) COS(t), COS(s) SIN(t), SIN(s)] + [-2, -2, 1] #5: (x + 2) + (y + 2) + (z - 1) = 4

20 Die zweite Kugel -1 #6: M2 3 3 #7: 3 [COS(s) COS(t), COS(s) SIN(t), SIN(s)] + [-1, 3, 3] #8: (x + 1) + (y - 3) + (z - 3) = 3 Zur Berechnung der Schnittebene werden die beiden Gleichungen ausmultipliziert (Vereinfachen, Multiplizieren, alle Variablen markieren) #9: (x + 2) + (y + 2) + (z - 1) = #10: x + 4 x + y + 4 y + z - 2 z = #11: (x + 1) + (y - 3) + (z - 3) = #12: x + 2 x + y - 6 y + z - 6 z = -10 Die beiden Gleichungen aus #10 und #12 werden subtrahiert ("links minus links gleich rechts minus rechts") #13: (x + 4 x + y + 4 y + z - 2 z) - (x + 2 x + y - 6 y + z - 6 z) = und vereinfacht: #14: 2 x + 10 y + 4 z = 17 Das ist die Gleichung der Ebene, in der die gemeinsamen Punkte der beiden Kugeln enthalten sind

21 Ein Normalenvektor der Ebene (aus der Ebenengleichung): 2 #15: n 10 4 Die Gerade durch die beiden Mittelpunkte ist orthogonal zur Ebene: 1 #16: M2 - M1 = 5 2 t - 2 #17: M1 + t (M2 - M1) = 5 t t + 1 #18: (M1 + t (M2 - M1))` Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene liefert den Mittelpunkt des Schnittkreises #19: 2 x + 10 y + 4 z = 17 #20: 2 (t - 2) + 10 (5 t - 2) + 4 (2 t + 1) = 17 #21: SOLVE(2 (t - 2) + 10 (5 t - 2) + 4 (2 t + 1) = 17, t, Real) 37 #22: t = 60

22 #23: M1 + (M2 - M1) = #24: MK Den Radius des Schnittkreises berechnen wir aus dem Abstand von M1 und MK und dem Radius der ersten Kugel mit Pythagoras #25: MK - M1 + r = #26: SOLVE( MK - M1 + r = 4, r, Real) #27: r = - r = Hier kommt der positive Wert in Frage: #28: r = 60 Zur Kontrolle: Mit M2 und dem Radius des zweiten Kreises müsste auch dieses Ergebnis liefern: #29: MK - M2 + r = #30: SOLVE( MK - M2 + r = 3, r, Real) #31: r = - r = Die drei Mittelpunkte werden (ohne die Kugeln) eingezeichnet. #32: M1` #33: M2` #34: MK`

23 Aufgabe 27: Zeige, dass die Ebene mit der Gleichung -2x+2y-z=26 eine Tangentialebene an die Kugel mit Radius 9 und Mittelpunkt [2, 2, 1] ist. Bestimme den Berührpunkt von Kugel und Ebene. Aufgabe 28: a) Zeichne in der 3D-Grafik die Ebene mit der Gleichung 6x + 2y - 3z = 37 und die x-y-ebene (z=0). b) Im Punkt [10, 10, 0] liegt eine Kugel vom Radius 2. Sie wird geradlinig in Richtung des Koordinatenursprungs gerollt bis sie die Ebene berührt. Berechne die Koordinaten des Punktes, auf dem die Kugel dann liegt, und berechne die Koordinaten des Punktes, in dem die Kugel die Ebene berührt. Aufgabe 29: a) Stelle eine quadratische Pyramide (Grundkante 40, Höhe 60) im Koordinatensystem so dar, dass die Spitze der Pyramide auf der z-achse und die Grundfläche in der x-y-ebene liegen. b) Berechne den Radius der größten Kugel, die gerade in die Pyramide hinein passt. c) Zeichne diese Kugel in der Pyramide.