1 Vorschule MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE95 - MÄRZ/APRIL Aufgabe 95-11

Transkript

1 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE95 - MÄRZ/APRIL Vorschule Aufgabe Hier siehst Du einen Nähkasten unten und einen Werkzeugkasten oben. Male die Gegenstände, die in den Werkzeugtkasten gehören, farbig aus und wenn Du möchtest, die Gegenstände, die in den Nähkasten gehören, mit einer anderen Farbe. Aufgabe Pia und ihre Mutter arbeiten im Garten. Pias Mutter pflanzt 4 Himbeersträucher in eine Reihe am Zaun entlang. Zwischen die Himbeersträucher pflanzt Pias Mutter immer zwei Brombeersträucher. Pia pflanzt in jede Lücke zwischen zwei Sträuchern eine Rose. Wie viele Rosen pflanzt Pia?

2 2 Heike Winkelvoß, Aufgabe Wie viele Dreiecke kann man in dieser Figur finden? Aufgabe Leo Köhnlein, 8 Jahre, Klasse 2 Simon, Anna und Ben haben zusammen 30 Murmeln. Ben verliert 5 Murmeln, findet aber wieder 3. Anna bekommt 4 Murmeln geschenkt und verliert 1 Murmel wieder. Simon verliert 13 Murmeln. Wie viele Murmeln haben alle jetzt zusammen? Aufgabe In jeder Zeile steht genau ein Wort, ein Buchstabe oder eine Zahl, welche nicht dazu gehören. Finde heraus, was es ist und begründe deine Wahl. a) Kirsche, Pflaume, Pfirsich, Erdbeere, Nektarine, Mirabelle b) A, 9, C, X, P, M c) Springseil, Ball, Roller, Bausteine, Fahrrad d) Bürste, Seife, Zahnpasta, Teller, Waschlappen e) 24, 3, 7, 2, 5 f) ANNA, OTTO, KARL, HANNAH, ADA Erfinde 2 weitere solcher Rätsel, gib die Lösung an und begründe.

3 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE95 - MÄRZ/APRIL Aufgabe Hier siehst du 4 Bilder und ihre Spiegelbilder. Aber es haben sich Fehler eingeschlichen. Welche Spiegelbilder sind falsch? 2 Klassen 1 und 2 Aufgabe Riccardo Mann, 6 Jahre, Klasse 1: Wenn ein Junge in einer Minute 80 mal übers Seil springt, wieviel Mal springt er dann in 8 Minuten? Aufgabe Ein listiger Spion hat sich eine Geheimzahl zum Verschlüsseln ausgedacht. Damit niemand diese errät, rechnet er damit nacheinander: +5 : : 7 Als Ergebnis erhält er die Zahl 2. Welche Geheimzahl hat sich der Spion ausgedacht?

4 4 Heike Winkelvoß, Aufgabe Leo Köhnlein, 8 Jahre, Klasse 2 Male die jedes Kästchen in dieser Reihe aus Dabei gilt: 1. Die Zahl, die gleich weit von der grünen Zahl und der orangenen Zahl ist, ist lila. 2. grüne Zahl + rote Zahl = orange Zahl 3. orange Zahl rote Zahl gelbe Zahl gelbe Zahl = graue Zahl 4. Die Zahl, die rechts neben der roten Zahl steht, ist grün. 5. Die Hälfte der gelben Zahl ist die blaue Zahl. 6. grüne Zahl rote Zahl + lila Zahl + blaue Zahl = weiße Zahl 7. Die Zahl, die links neben der orangen Zahl steht, ist olivgrün gelbe Zahl = rosa Zahl 9. Die 7 ist rot. 10. rote Zahl - lila Zahl = gelbe Zahl Aufgabe Ein Junge ersetzte der Reihe nach jeden Buchstaben seines Vornamens durch die Nummer dieses Buchstaben im Alphabet. Er erhielt die Zahl Wie heißt der Junge? Aufgabe Schau genau: unter diesen Bruchstücken gibt es genau zwei, die zusammen eine vollständige Eierschale ergeben. Welche sind es?

5 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE95 - MÄRZ/APRIL Aufgabe Julia hat für ihre Freunde ein Zahlenrätsel erfunden. In dem Wort OSTERN hat sie jeden Buchstaben durch eine Zahl ersetzt und dies aufgeschrieben: Löse Julias Zahlenrätsel. S + T + E = 16 T E = 18 E + R = 81 : 9 N = 4 E E = 8 : 4 O + S + T + E + R + N = 34 Aufgabe Setze die Zahlen 6, 12, 15 und 21 so in die Kästchen und Rechenzeichen + und in die Kreise ein, dass die Gleichung stimmt. = 0 Aufgabe Der Postbote muss 9 Briefe zustellen. Er will das tun, ohne einen Weg zweimal zu fahren. Wie muss er fahren?

6 6 Heike Winkelvoß, 3 Klassen 3 und 4 Aufgabe Maike Kadelka, 9 Jahre, Klasse 4: Ich habe 5 Würfel gebaut. 4 Würfel sind ganz fertig, das heißt mit allen Augen versehen. Bei einem Würfel fehlen noch 9 Augen. Beantworte folgende Fragen und begründe deine Antworten: a) Welche Augen könnten schon auf dem fünften Würfel stehen? b) Welche Augen könnten noch fehlen? c) Wie viele Würfelaugen sind insgesamt schon vergeben? Aufgabe Wer knackt den Code? In diesem Kryptogramm bedeutet jeder Buchstabe eine Ziffer. Gleiche Buchstaben bedeuten gleiche Ziffern, verschiedene Buchstaben verschiedene Ziffern. AB + C = AC + + D E = AC DB F = CE Aufgabe Lisa Schöttl, 8 Jahre, Klasse 3: Maria malt ein Bild an und benutzt dabei Wasserfarben. Das Bild ist 11 cm lang und 8 cm breit. Für jeden cm 2 braucht Maria 20 Tropfen Farbe. Wieviel Tropfen braucht sie für das ganze Bild? Aufgabe Es ist Nacht. Ein Junge, sein Vater, seine Mutter und seine Großmutter stehen am Ufer eines Flusses und wollen über eine unbeleuchtete Brücke ans andere Ufer gelangen. Sie haben nur eine Taschenlampe dabei. Über die Brücke können höchstens zwei Personen gehen und müssen dabei die Taschenlampe mit sich führen. Der Vater kann die Brücke in einer Minute überqueren, der Junge in 2 Minuten, die Mutter in 5 Minuten und die Großmutter in 10 Minuten. Welche Zeit brauchen sie mindestens, um den Fluss zu überqueren?

7 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE95 - MÄRZ/APRIL Aufgabe Aufgabe von Jonas Werth, 9 Jahre, Klasse 4: Gesucht sind 4 Zahlen, für die Folgendes gilt: (1) Alle Zahlen sind ungerade und liegen zwischen 30 und 90. (2) Ihre Summe ist gleich 248. (3) Alle Zahlen sind voneinander verschieden. (4) Alle Zehner sind voneinander verschieden. (5) Alle Einer sind voneinander verschieden. Aufgabe Gehe von irgendeinem Punkt aus so durch das Labyrinth, dass alle sieben Punkte berührt werden! Schwarze Linien darfst du dabei nicht kreuzen. Wie musst du starten, wo ist das Ziel? Aufgabe Ich denke mir eine Zahl. Wenn ich von der gedachten Zahl erst 7 subtrahiere und dann das Ergebnis mit 7 multipliziere oder von der gedachten Zahl erst 3 subtrahiere und dann das Ergebnis mit 3 multipliziere, erhalte ich jedes Mal das gleiche Resultat. Welche Zahl habe ich mir gedacht? Gibt es mehr als eine Zahl, die ich mir gedacht haben könnte? Wenn ja, gib eine weitere Zahl an, wenn nicht, begründe. Aufgabe Von 11 Kindern der Theater-AG sind genau 3 Kinder auch in der Mathe-AG. In der Sport-AG sind insgesamt 12 Kinder. In der Mathe-AG sind insgesamt 13 Kinder. Genau ein Kind aus der Sport-AG ist auch in der Theater-AG und genau ein anderes Kind aus der Sport-AG ist auch in der Mathe-AG. In allen 3 AGs zugleich ist kein Kind. a) Wie viele Kinder insgesamt sind in den 3 AGs? Theater b) Wie viele Kinder sind nur in einer AG? Tipp: vielleicht hilft dir eine Zeichnung weiter: Mathe Sport

8 8 Heike Winkelvoß, 4 Klassen 5 und 6 Aufgabe Eine Mutter hat drei Kinder. Die jüngste Tochter ist (in ganzen Jahren) so alt, wie die erste Stelle des Alters der Mutter (in ganzen Jahren), die ältere Tochter so alt wie die zweite Stelle des Alters der Mutter. Das Alter des Sohnes ist gleich der Quersumme des Alters der Mutter. Zusammen sind alle vier 33 Jahre alt. Wie alt ist die Mutter? Aufgabe Jonas ergänzt einen Summanden einer Summe von zwei natürlichen Zahlen um eine zusätzliche Null am Ende und erhält statt 2807 die Summe Wie lauten die beiden Summanden? Aufgabe An einem kreisrunden Tisch sitzen 15 Kinder. Rechts von jedem Mädchen sitzt ein Junge. Die Hälfte der Jungen hat als rechten Nachbarn ebenfalls einen Jungen, die andere Hälfte hat ein Mädchen als rechte Nachbarin. Wie viele Jungen und wie viele Mädchen sitzen am Tisch? Aufgabe In einer Kiste liegen grüne, gelbe und rote Äpfel in 3 Sorten. Ist es möglich, dass es mehr grüne Äpfel sind, als Äpfel der ersten Sorte, mehr Äpfel der ersten Sorte als gelbe Äpfel, mehr gelbe Äpfel als Äpfel der zweiten Sorte, mehr Äpfel der zweiten Sorte als rote Äpfel und mehr rote Äpfel als Äpfel der dritten Sorte? Aufgabe Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 3 cm und 4 cm. Teile dieses Rechteck durch zwei gerade Schnitte in drei flächengleiche Stücke. Du darfst nur Zirkel und Lineal zur Konstruktion der Schnittlinien verwenden. Gib mindestens zwei verschiedene Lösungen an. Hinweis: flächengleich heißt nicht notwendig kongruent.

9 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE95 - MÄRZ/APRIL Aufgabe U. Warnecke, Münster: Es ist z. B.: = 2 2; = 3 3; ( 1) + 1 = ( 1) So gibt es zu jeder Zahl a bis auf eine Ausnahme eine Zahl b, so dass gilt a + b = a b. Welche Zahl bildet hier die Ausnahme und warum? Beweise auch, dass es nur diese eine Ausnahme gibt. 2. Aufgabe U. Warnecke, Münster: Zwei Züge mit den Geschwindigkeiten v 1 = 45km/h und v 2 = 36 km/h begegnen einander. Ein Fahrgast stellt fest: die Begegnung hat 6 Sekunden gedauert. Wie lang ist der Zug, in dem sich der Fahrgast befindet? Aufgabe Im Dreieck ABC seien M der Mittelpunkt der Seite AB und P ein beliebiger innerer Punkt der Strecke CM. Beweise, dass die beiden grau markierten Dreiecke, AP C und BP C, dann den gleichen Flächeninhalt haben. P C A M B 5 Klassen 7 und 8 Aufgabe Aus 27 Einheitswürfeln sei ein Würfel zusammengesetzt. Über diesen großen Würfel soll eine Ameise von kleinem Würfel zu kleinem Würfel wandern. Dabei darf sie sich von jedem kleinen Würfel auf einen benachbarten bewegen (einen, der mit diesem eine gemeinsame Seite besitzt), aber es ist ihr nicht erlaubt, zweimal hintereinander in die gleiche Richtung zu laufen. Kann die Ameise auf diese Weise jeden der 26 äußeren kleinen Würfel genau einmal besuchen?

10 10 Heike Winkelvoß, Aufgabe Das arithmetische Mittel zweier reeller Zahlen x, y ist definiert als das harmonische Mittel als x + y x + 1 y An einer Tafel im Mathekabinett stehen die beiden Zahlen 1 und 2. Jeden Tag wischt der Mathelehrer die beiden Zahlen ab und ersetzt die erste durch deren aritmetisches Mittel, die zweite durch ihr harmonisches Mittel. Wie lautet das Produkt der beiden Zahlen, die er nach 2006 Tagen an die Tafel schreiben wird? Zusatzaufgabe: Kann er es schaffen, am Tag die beiden neuen Zahlen aufzuschreiben? Aufgabe In einer Schule gibt es 1000 Schülerspinde mit den Nummern 1, 2,..., Jeder Spind ist nachts immer zugeschlossen. In der Schule leben außerdem 1000 Gespenster. Genau um Mitternacht schließt das erste Gespenst alle Spinde auf. Anschließend schließt das zweite Gespenst alle Spinde mit geraden Nummern wieder zu. Dann vertauscht das dritte Gespenst den Zustand der Spinde, deren Nummern durch 3 teilbar sind: ist der Spind geöffnet, schließt er ihn ab, ist er verschlossen, öffnet er ihn. Das vierte Gespenst verstauscht den Zustand aller Spinde mit durch 4 teilbaren Nummern usw. Am Ende vertauscht das Gespenst den Zustand des Spinds Nummer Dann verschwinden die Gespenster wieder. Wie viele Spinde sind am nächsten Morgen geöffnet? Aufgabe Yak lebt auf einem fremden Planeten und lernt gerade, wie man die zwei Einheiten Kulo und Pfend für die Masse ineinander umrechnet: Um eine Masse von Pfend in Kulo umzurechnen, muss Yak die Maßzahl durch 2 teilen und das Ergebnis um 20 % verringern (zufällig funktionieren die Rechenoperationen und die Prozentrechnung auf diesem Planeten genauso wie bei uns). Aha!, denkt sich Yak. Wenn ich von Kulo in Pfend zurückrechnen will, muss ich nur die Maßzahl verdoppeln und anschließend das Ergebnis um 20 % erhöhen. Du hast natürlich gleich gemerkt, dass das nicht stimmen kann. Um wieviel Prozent wird sich Yak auf diese Weise verrechnen?

11 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE95 - MÄRZ/APRIL Aufgabe Finde eine natürliche Zahl a für die von folgenden Aussagen zwei wahr sind und eine falsch ist 1. a + 51 ist eine Quadratzahl. 2. a endet auf a 38 ist eine Quadratzahl. Aufgabe Es seien ABCD ein Quadrat und E der Mittelpunkt der Seite DA. Ferner sei M der Mittelpung der Strecke EC (vgl. das D C Bild). Man entscheide, ob der Flächeninhalt des in der Abbildung M weiß gefärbten Vierecks ABME größer, kleiner oder E gleich dem Flächeninhalt des in der Abbildung grau gefärbten Fünfecks EMBCD ist. Erst schätzen, dann die Flächeninhalte berechnen. A B Aufgabe Es seien a und c mit a < c zwei positive reelle Zahlen. Man gebe alle positiven reellen Zahlen x an, für die die Gleichung gilt. a + x 1 + ax c 2 = c Aufgabe U. Warnecke, Münster: Für eine natürliche Zahl n bezeichnet n! (sprich: n Fakultät) das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n, also z. B. 5! = (Für n = 1 ist 1! = 1.) Bestimme alle natürlichen Zahlen, für die die Summe 1!+2!+3!+...+n! eine Quadratzahl wird.

12 12 Heike Winkelvoß, 6 Klassen 9 bis 13 Aufgabe Es seien a 1, a 2, a 3,... a 2007 beliebige ganze Zahlen, b 1, b 2, b 3,... b 2007 eine Permutation (Vertauschung) dieser Zahlen. Beweise, dass das Produkt (a 1 b 1 )(a 2 b 2 ) (a 2007 b 2007 ) gerade ist. Aufgabe Beweise, dass der Nachfolger des Produkts von 4 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen stets eine Quadratzahl ist. Aufgabe Man beweise, dass es keine rationalen Zahlen x, y gibt für die x 2 + y 2 = 7 gilt. Aufgabe U. Warnecke, Münster: Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen (einschließlich 0) folgende Ungleichung gilt: (n 1) 2 (n 2 1) n 1 < n 2n. Aufgabe Einem Halbkreis mit dem Durchmesser AB seien zwei Halbkreise einbeschrieben, deren Durchmesser AC und BC auf AB liegen und einander im Punkt C berühren. Die Senkrechte zu AB durch C schneide den Halbkreis über AB im Punkt D. Ist der Flächeninhalt des Kreises mit Durchmesser CD (grau gezeichnet) kleiner, gleich oder größer dem Flächeninhalt der Fläche, die durch die 3 Halbkreisbögen über AB, AC und BC begrenzt wird (grün gezeichnet)?

13 MATHE FÜR JUNG UND ALT - SERIE95 - MÄRZ/APRIL Aufgabe Zwei kongruente Rechtecke liegen so, dass ihre Ränder einander in 8 Punkten schneiden. Man beweise, dass der Flächeninhalt der von beiden Rechtecken gleichzeitig überdeckten Fläche (also der Durchschnitt der Rechtecke als Puntmengen) größer als die Hälfte des Flächeninhalts jedes der beiden Rechtecke ist. Quellennachweis: Aufgabe 95-11: Leipziger Volkszeitung(1)1983 Aufgabe 95-15: Leo Köhnlein, 8 Jahre, Klasse 2 Aufgabe 95-21: Riccardo Mann, 6 Jahre, Klasse 1 Aufgabe 95-23: Leo Köhnlein, 8 Jahre, Klasse 2 Aufgabe 95-25: alpha(2)1984 Aufgabe 95-28: alpha(1)1980 Aufgabe 95-31: Maike Kadelka, 9 Jahre, Klasse 4 Aufgabe 95-32: Lu.a.Ma. (Mathewettbewerb des Leibniz-Gymnasiums Wiesbaden)(11)2005 Aufgabe 95-33: Lisa Schoettl, 8 Jahre, Klasse 3 Aufgabe 95-34: M.A.Jewdokimow: Von Aufgabe zu Aufgabe, S.7 Aufgabe 95-35: Jonas Werth, 9 Jahre, Klasse 4 Aufgabe 95-36: Leipziger Volkszeitung(1)1983 Aufgabe 95-43: Moskauer Mathematikolympiade(2055)2001 Aufgabe 95-44: kvant(4)2000 Aufgabe 95-46: Ulrich Warnecke, Münster Aufgabe 95-47: Ulrich Warnecke, Münster Aufgabe 95-53: M.A.Jewdokimow: Von Aufgabe zu Aufgabe, S.9 Aufgabe 95-55: I.L.Babinskaja: Aufgaben mathematischer Olympiaden, S.93 Aufgabe 95-56: alpha(5)1975 Aufgabe 95-57: alpha(5)1975 Aufgabe 95-58: Ulrich Warnecke, Münster Aufgabe 95-63: alpha(5)1975 Aufgabe 95-64: Ulrich Warnecke, Münster Aufgabe 95-65: kvant(5)1971 Aufgabe 95-66: kvant(11)1970 Rest: Heike Winkelvoß