Flächenkartogramme LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

Transkript

1 Vorlesung Algorithmische Kartografie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg

2 Räumliche statistische Daten Wie visualisiert man Statistiken zu räumlichen Daten? Beispiel: Bevölkerung in den USA 2

3 Räumliche statistische Daten Wie visualisiert man Statistiken zu räumlichen Daten? Beispiel: Bevölkerung in den USA als Tabelle? 2

4 Räumliche statistische Daten Wie visualisiert man Statistiken zu räumlichen Daten? Beispiel: Bevölkerung in den USA als Tortendiagramm? als Tabelle? 2

5 Ra umliche statistische Daten Wie visualisiert man Statistiken zu ra umlichen Daten? Beispiel: Bevo lkerung in den USA als Balkendiagramm? als Tortendiagramm? als Tabelle? 2 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie Fla chenkartogramme

6 Ra umliche statistische Daten Wie visualisiert man Statistiken zu ra umlichen Daten? Beispiel: Bevo lkerung in den USA als Balkendiagramm? als Tabelle? 2 als Tortendiagramm? Problem: Standardmethoden zeigen keine ra umlichen Muster! Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie Fla chenkartogramme

7 Kartenbasierte statistische Visualisierung Choroplethenkarte: nutze Farbschema 3

8 Kartenbasierte statistische Visualisierung non-contiguous area cartogram: Fläche proportional zur Bevölkerung 3

9 Kartenbasierte statistische Visualisierung contiguous area cartogram: Di usionsprozess (Gastner, Newman 2004) 3

10 Kartenbasierte statistische Visualisierung Dorling cartograms: Kreisscheiben proportionaler Größe 3

11 Kartenbasierte statistische Visualisierung 3 rectangular cartograms: jede Region als Rechteck (Raisz 1934)

12 Def.: Ein Flächenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Flächeneinheit proportional zu einer externen Größe und nicht mehr zur tatsächlichen Fläche ist (z.b. Bevölkerungszahl). 4

13 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt 4 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie Fla chenkartogramme

14 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig 4 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie Fla chenkartogramme

15 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig 4 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie Fla chenkartogramme

16 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig 4 c New York Times Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie Fla chenkartogramme

17 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig 4 c New York Times Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie Fla chenkartogramme

18 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig 4 c New York Times Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie c Bettina Speckmann Fla chenkartogramme

19 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig 4 c New York Times Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie c Bettina Speckmann Fla chenkartogramme

20 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig 4 c New York Times Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie c Bettina Speckmann Fla chenkartogramme

21 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig c New York Times c Bettina Speckmann Welche Kriterien bestimmen die Qualita t eines Kartogramms? 4 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie Fla chenkartogramme

22 Fla chenkartogramme Def.: Ein Fla chenkartogramm (dt. Kartenanamorphote) ist eine Kartendarstellung, in der jede Fla cheneinheit proportional zu einer externen Gro ße und nicht mehr zur tatsa chlichen Fla che ist (z.b. Bevo lkerungszahl).! Form, Lage und Nachbarschaften der Regionen werden verzerrt c Benjamin Hennig c New York Times Qualita tskriterien: Wiedererkennbarkeit der Form Vergleichbarkeit Lage der Regionen 4 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie c Bettina Speckmann korrekte Adjazenzen kleiner Fla chenfehler geringe Komplexita t Ablesen der Fla che Fla chenkartogramme

23 Kartenprojektion durch Di usion [Gastner, Newman 04] Bevölkerungsdichte in Standardkarte sehr unterschiedlich ideales Kartogramm hat überall die gleiche Dichte modelliere Dichteausgleich als physikalischen Di usionsprozess! ergibt Transformation T : R 2! R 2 5

24 Kartenprojektion durch Di usion [Gastner, Newman 04] Bevölkerungsdichte in Standardkarte sehr unterschiedlich ideales Kartogramm hat überall die gleiche Dichte modelliere Dichteausgleich als physikalischen Di usionsprozess! ergibt Transformation T : R 2! R 2 5

25 Kartenprojektion durch Di usion [Gastner, Newman 04] Bevölkerungsdichte in Standardkarte sehr unterschiedlich ideales Kartogramm hat überall die gleiche Dichte modelliere Dichteausgleich als physikalischen Di usionsprozess! ergibt Transformation T : R 2! R 2 5

26 Kartenprojektion durch Di usion [Gastner, Newman 04] Bevölkerungsdichte in Standardkarte sehr unterschiedlich ideales Kartogramm hat überall die gleiche Dichte modelliere Dichteausgleich als physikalischen Di usionsprozess! ergibt Transformation T : R 2! R 2 Di usionsgleichung ist partielle Di erentialgleichung Implementierung nutzt Fouriertransformation und numerische Lösungsverfahren asymptotisch konstante Dichte in ganzer Karte 5

27 Kartenprojektion durch Di usion [Gastner, Newman 04] Bevölkerungsdichte in Standardkarte sehr unterschiedlich ideales Kartogramm hat überall die gleiche Dichte modelliere Dichteausgleich als physikalischen Di usionsprozess! ergibt Transformation T : R 2! R 2 Di usionsgleichung ist partielle Di erentialgleichung Implementierung nutzt Fouriertransformation und numerische Lösungsverfahren asymptotisch konstante Dichte in ganzer Karte GDP cartogram c Newman 5

28 Gitterbasierte Di usionskartogramme [Hennig 11] Erweiterung durch fein aufgelöstes Gitter ( 365K Zellen) Datenwert für jede Gitterzelle ermöglicht detailliertere Kartogramme (Abbildung von Ballungsräumen etc) 6

29 Gitterbasierte Di usionskartogramme [Hennig 11] Erweiterung durch fein aufgelöstes Gitter ( 365K Zellen) Datenwert für jede Gitterzelle ermöglicht detailliertere Kartogramme (Abbildung von Ballungsräumen etc) Demo: ScapeToad 6

30 Zusammenfassung Di usionskartogramme Diskussion: Wiedererkennbarkeit der Form Vergleichbarkeit Lage der Regionen korrekte Adjazenzen kleiner Flächenfehler geringe Komplexität Ablesen der Fläche 7

31 Zusammenfassung Di usionskartogramme Diskussion: Wiedererkennbarkeit der Form Vergleichbarkeit Lage der Regionen korrekte Adjazenzen kleiner Flächenfehler geringe Komplexität Ablesen der Fläche 7

32 Kreiskartogramme [Dorling 95] einfache, abstrakte Form: jede Region als Kreisscheibe Fläche fest skaliert bzgl. gegebener Größe initiale Platzierung im Schwerpunkt der Region iteratives Verschieben zum Auflösen der Überlappungen 8

33 Kreiskartogramme [Dorling 95] einfache, abstrakte Form: jede Region als Kreisscheibe Fläche fest skaliert bzgl. gegebener Größe initiale Platzierung im Schwerpunkt der Region iteratives Verschieben zum Auflösen der Überlappungen kräftebasierter Algorithmus (ähnl. Spring-Embedder): while Kräfte >"do foreach disk D do foreach disk D 0 \ D 6= ; do Abstoßung von D 0 D 0 geographischer Nachbar foreach Nachbar D 0 von D mit Abstand > 0 do Anziehung zu D 0 D D 0 D 8

34 Kreiskartogramme [Dorling 95] einfache, abstrakte Form: jede Region als Kreisscheibe Fläche fest skaliert bzgl. gegebener Größe initiale Platzierung im Schwerpunkt der Region iteratives Verschieben zum Auflösen der Überlappungen kräftebasierter Algorithmus (ähnl. Spring-Embedder): while Kräfte >"do foreach disk D do foreach disk D 0 \ D 6= ; do Abstoßung von D 0 D 0 geographischer Nachbar foreach Nachbar D 0 von D mit Abstand > 0 do Anziehung zu D 0 D Demo! D 0 D 8

35 Verbesserung Kreiskartogramme [Inoue 11] weiteres Kriterium: minimiere Abweichung der relativen Lage benachbarter Regionen Formulierung als nicht-lineares Optimierungsproblem: geogr. Nachbarn min X (i,j)2e " 2 dij 1 (1 ) r i r j s.t. d ij r i r j q 8i 6= j d ij = (x i x j ) 2 (y i y j ) 2 ij (0) ij Eingabewinkel 2 # r j ij = arctan y j x j x i, 0 apple apple 1 Lösung mit Solver NUOPT y i r i ij d ij 9

36 Vergleich Dorling Inoue Inoue Dorling 10

37 Zusammenfassung Kreiskartogramme Diskussion: Wiedererkennbarkeit der Form Vergleichbarkeit Lage der Regionen korrekte Adjazenzen kleiner Flächenfehler geringe Komplexität Ablesen der Fläche 11

38 Zusammenfassung Kreiskartogramme Diskussion: Wiedererkennbarkeit der Form Vergleichbarkeit Lage der Regionen korrekte Adjazenzen kleiner Flächenfehler geringe Komplexität Ablesen der Fläche 11

39 Rechteckskartogramme jede Region als Rechteck repräsentiert gegebene Zielflächen trade-o korrekte Flächen/korrekte Adjazenzen 12

40 Problemstellung Geg: politische Karte M (Rechtecksunterteilung), positives Gewicht w i für jede Region R i

41 Problemstellung Geg: bzw: politische Karte M (Rechtecksunterteilung), positives Gewicht w i für jede Region R i knotengewichteter intern triangulierter planar eingeb. Graph G dual zu M, Knoten v i entspricht Region R i, Kanten zw. adjazenten Regionen, Knotengewichte w i bzw

42 Problemstellung Geg: bzw: Ges: politische Karte M (Rechtecksunterteilung), positives Gewicht w i für jede Region R i knotengewichteter intern triangulierter planar eingeb. Graph G dual zu M, Knoten v i entspricht Region R i, Kanten zw. adjazenten Regionen, Knotengewichte w i verzerrte Karte M 0 äquivalent zu M mit R i = w i bzw

43 Problemstellung Geg: bzw: Ges: bzw: politische Karte M (Rechtecksunterteilung), positives Gewicht w i für jede Region R i knotengewichteter intern triangulierter planar eingeb. Graph G dual zu M, Knoten v i entspricht Region R i, Kanten zw. adjazenten Regionen, Knotengewichte w i verzerrte Karte M 0 äquivalent zu M mit R i = w i flächenproportionale Kontaktrepräsentation von G, jeder Knoten v i als geometrisches Objekt s i mit Fläche w i,so dass s i und s j sich berühren gdw. v i v j 2 E bzw

44 Qualitätskriterien gute Lösung falsche relative Lage falsche Adjazenzen schlechte aspect ratio kleiner Fehler korrekte Adjazenzen gute aspect ratio korrekte relative Positionen

45 Qualitätskriterien gute Lösung Adjazenzen vs. Flächenfehler falsche relative Lage falsche Adjazenzen schlechte aspect ratio kleiner Fehler korrekte Adjazenzen gute aspect ratio korrekte relative Positionen

46 Überblick des Verfahrens [van Kreveld, Speckmann 07] NW SH HH HB NI MV BE BB ST Eingabekarte NW HB NI SH HH ST MV BB BE SL RP HE BW TH BY SN Dualgraph SL RP HE BW TH BY SN N N Wa SH MV Rechtecksdual Wa SH MV BB W NW RP NI HE BW BB ST SN TH BY O Kartogramm W NW RP NI HE BW ST TH BY SN O S S 15

47 Rechtecksdual Graph heißt intern trianguliert, wenn jede(innere)facette ein Dreieck ist ein Kreis C in G heißt separierend, wenn sowohl innerhalb als auch außerhalb von C weitere Knoten liegen 16

48 Rechtecksdual Graph heißt intern trianguliert, wenn jede(innere)facette ein Dreieck ist ein Kreis C in G heißt separierend, wenn sowohl innerhalb als auch außerhalb von C weitere Knoten liegen Satz 1: Ein planar eingeb. Graph G hat ein Rechtecksdual R mit vier äußeren Rechtecken gdw. G intern trianguliert, äußere Facette ein Viereck, G enthält keine separierenden Dreiecke. 16

49 Rechtecksdual Graph heißt intern trianguliert, wenn jede(innere)facette ein Dreieck ist ein Kreis C in G heißt separierend, wenn sowohl innerhalb als auch außerhalb von C weitere Knoten liegen Satz 1: Ein planar eingeb. Graph G hat ein Rechtecksdual R mit vier äußeren Rechtecken gdw. G intern trianguliert, äußere Facette ein Viereck, G enthält keine separierenden Dreiecke. Graph-Modifikationen: 16

50 Beispiel Deutschland HB SH HH MV SL NW RP NI HE BW TH BY ST BE BB SN 17

51 Beispiel Deutschland NW HB NI HE SH HH TH ST MV BE BB SN NW NI HE SH TH ST MV BB SN entferne Grad-1 und -2 Knoten RP RP SL BW BY BW BY 17

52 Beispiel Deutschland NW HB NI HE SH HH TH ST MV BE BB SN NW NI HE SH TH ST MV BB SN entferne Grad-1 und -2 Knoten RP RP SL BW BY BW BY Wa SH MV füge flexiblen Meeresknoten als Pu er hinzu RP NW NI HE TH ST BB SN BY BW 17

53 Beispiel Deutschland NW HB NI HE SH HH TH ST MV BE BB SN NW NI HE SH TH ST MV BB SN entferne Grad-1 und -2 Knoten RP RP SL BW BY BW BY N Wa SH MV Wa SH MV füge flexiblen Meeresknoten als Pu er hinzu RP NW NI HE BW TH BY ST BB SN W RP NW NI HE BW TH BY ST BB SN O erstelle äußeres Viereck ) Satz 1 gilt S 17

54 Reguläre Kantenbeschriftung Die Nachbarn jedes inneren Rechtecks lassen sich in vier nichtleere Gruppen einteilen (N,S,W,O) und bilden in der zyklischen Ordnung vier Blöcke. N N N W O S S 18

55 Reguläre Kantenbeschriftung Die Nachbarn jedes inneren Rechtecks lassen sich in vier nichtleere Gruppen einteilen (N,S,W,O) und bilden in der zyklischen Ordnung vier Blöcke. N N N W O S S Eine Beschriftung der Kanten eines Graphen G mit {N,S,W,O} heißt reguläre Kantenbeschriftung, falls obige Bedingung an jedem inneren Knoten erfüllt ist. 18

56 Reguläre Kantenbeschriftung Die Nachbarn jedes inneren Rechtecks lassen sich in vier nichtleere Gruppen einteilen (N,S,W,O) und bilden in der zyklischen Ordnung vier Blöcke. N N N W O S S Eine Beschriftung der Kanten eines Graphen G mit {N,S,W,O} heißt reguläre Kantenbeschriftung, falls obige Bedingung an jedem inneren Knoten erfüllt ist. ist nicht eindeutig! 18

57 Reguläre Kantenbeschriftung Die Nachbarn jedes inneren Rechtecks lassen sich in vier nichtleere Gruppen einteilen (N,S,W,O) und bilden in der zyklischen Ordnung vier Blöcke. N N N W O S S Eine Beschriftung der Kanten eines Graphen G mit {N,S,W,O} heißt reguläre Kantenbeschriftung, falls obige Bedingung an jedem inneren Knoten erfüllt ist. richte Kanten von W nach O und von S nach N färbe W O Kanten rot und S N Kanten grün 18

58 Konstruktion Rechtecksdual [He, Kant 97] N Wa SH MV NI BB W NW ST O HE TH SN RP BW BY S 19

59 Konstruktion Rechtecksdual [He, Kant 97] N Wa SH MV NI BB N W NW ST O Wa SH MV HE TH SN RP W NW NI ST BB O BW S BY TH SN RP HE Wa N SH MV BW BY NI BB W NW ST O S TH SN HE RP BY BW S 19

60 Konstruktion Rechtecksdual [He, Kant 97] N SH Wa NI MV W* O* BB N W NW ST O Wa SH MV HE TH SN RP W NW NI ST BB O BW S BY TH SN RP HE Wa N SH MV N* BW BY NI BB W NW ST O S TH SN HE RP BY S* BW S 19

61 Konstruktion Rechtecksdual [He, Kant 97] N Wa N SH MV SH Wa 2 MV W* 5 O* NI 8 0 BB 1 ST 7 O 6 TH SN 2 4 W NW HE RP W NW NI ST BB O BW S 3 BY TH SN RP HE BW BY Wa NI 7 N SH 8 6 MV 9 BB N* S W NW 3 4 ST TH 5 SN O RP HE BW 2 1 BY 0 S* S 19

62 Konstruktion Rechtecksdual [He, Kant 97] N W RP NW Wa NI HE BW S N SH TH BY ST MV BB SN O W SH Wa 2 MV W* 5 O* NI 8 0 BB 1 ST 7 O 6 SN 2 4 W NW RP Wa NI NW 3 HE RP BW 7 HE BW S N SH ST TH BY TH BY 9 8 N* 6 MV BB 5 SN S* 0 O W N Wa SH MV NI BB O ST NW SN HE TH RP BW BY S S 19

63 Problem: Flächenzuweisung abstraktes Rechtecksdual benötigt noch korrekte Flächen betrachte hierarchische Rechteckszerlegung: Wa SH MV NI ST BB NW HE TH SN RP BW BY gruppiere Rechtecke, die zusammen größere Rechtecke bilden 20

64 Problem: Flächenzuweisung abstraktes Rechtecksdual benötigt noch korrekte Flächen betrachte hierarchische Rechteckszerlegung: Wa SH MV NI ST BB NW HE TH SN RP BW BY 20 gruppiere Rechtecke, die zusammen größere Rechtecke bilden zerschneidbare Rechtecke, die in zwei Teile zerfallen! leichter Fall (s. Übung) komplexere Rechtecke! Algorithmus für L-zerlegbare Layouts

65 L-zerlegbare Layouts Ein irreduzibles Rechteckslayout R heißt L-zerlegbar, falls es eine Folge (R 1,R 2,...,R n ) der Rechtecke von R gibt, so dass R 1 und R n in gegenüberliegenden Ecken von R liegen und jedes Polygon [ n j=i R j L-förmig ist L-Zerlegungssequenz 21

66 L-zerlegbare Layouts Ein irreduzibles Rechteckslayout R heißt L-zerlegbar, falls es eine Folge (R 1,R 2,...,R n ) der Rechtecke von R gibt, so dass R 1 und R n in gegenüberliegenden Ecken von R liegen und jedes Polygon [ n j=i R j L-förmig ist L-Zerlegungssequenz 5 nicht L-förmig zerlegbar 21

67 Existenz einer Lösung Satz 2: Ein L-zerlegbares Layout hat entweder genau eine oder keine Lösung als Kartogramm ohne Flächenfehler und mit korrekten Adjazenzen. 22

68 Existenz einer Lösung Satz 2: Ein L-zerlegbares Layout hat entweder genau eine oder keine Lösung als Kartogramm ohne Flächenfehler und mit korrekten Adjazenzen. Beweisskizze: y 1 R 1 L 1 () ( ) 22

69 22 Existenz einer Lösung Satz 2: Ein L-zerlegbares Layout hat entweder genau eine oder keine Lösung als Kartogramm ohne Flächenfehler und mit korrekten Adjazenzen. Beweisskizze: y 1 ( ) () Fallunterscheidung R 1 L 1

70 Heuristik für Rechteckskartogramme Nicht jedes Rechtecksdual ist L-zerlegbar, nicht jede Flächenzuweisung für L-zerlegbare Layouts hat eine Lösung. Wa NW RP SH NI HE BW MV BB ST SN TH BY SegmentMoving while lokale Verbesserung möglich do s bel. maximales Segment bewege s in bessere Richtung ggf. berücksichtige Adjazenzen ggf. berücksichtige aspect ratio liefert immer ein Layout findet lokale Optima Wasser benötigt keine Zielfläche keinerlei Garantie oder Konvergenz bewiesen 23

71 Heuristik für Rechteckskartogramme Nicht jedes Rechtecksdual ist L-zerlegbar, nicht jede Flächenzuweisung für L-zerlegbare Layouts hat eine Lösung. Wa NW RP SH MV NI BB ST SN HE TH BW BY Demo! SegmentMoving while lokale Verbesserung möglich do s bel. maximales Segment bewege s in bessere Richtung ggf. berücksichtige Adjazenzen ggf. berücksichtige aspect ratio liefert immer ein Layout findet lokale Optima Wasser benötigt keine Zielfläche keinerlei Garantie oder Konvergenz bewiesen 23

72 Flächenuniverselle Layouts Einseitige Rechteckslayouts sind flächenuniversell, d.h.sie lassen sich für jede beliebige Flächenzuweisung realisieren. [Eppstein et al. 12] Ein Layout heißt einseitig, falls jedes maximale Segment auf einer Seite nur an ein einziges Rechteck angrenzt nicht einseitig einseitig 24

73 Zusammenfassung Rechteckskartogramme Diskussion: Wiedererkennbarkeit der Form Vergleichbarkeit Lage der Regionen korrekte Adjazenzen kleiner Flächenfehler geringe Komplexität Ablesen der Fläche NW RP NI HE SH BW MV BB ST SN TH BY NI NW RP SH HE BW MV BB ST TH SN BY MV SH NI BB ST SN NW HE TH RP BW BY Bevölkerung Studierende pro Einwohner Arbeitslosenquote 25