Dimensionen. Mathematik. Grundkompetenzen. für die neue Reifeprüfung. Stand April 2012

Transkript

1 Dimensionen Mathematik GK Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Stand April

2 2. Auflage, 2012 Alle Drucke sind im Unterricht parallel verwendbar. Satz, Grafik: imprint, Zusmarshausen Gesamtherstellung: Verlag E. DORNER GmbH, Wien Unter Mitarbeit von OStR Mag. Gottfried Obereder zu Buch-Nr Bleier, Lindenberg, Lindner, Stepancik Dimensionen, Mathematik 6 Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung 2011 Verlag E. DORNER GmbH Ungargasse 35, 1030 Wien Tel.: , Fax: office@dorner-verlag.at ISBN

3 Inhaltsverzeichnis Buchkapitel Inhaltsbereiche Seite Potenzen und Potenzfunktionen Ungleichungen, Gleichungen und Gleichungssysteme Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung Exponentialfunktionen und die Euler sche Zahl e Logarithmen und logarithmische Funktionen Reelle Funktionen Analytische Geometrie des Raumes Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra Funktionale Abhängigkeiten Potenzfunktion mit f (x) = a x z + b (zp Z) oder mit f (x) = a x 1 } 2 + b Algebra und Geometrie (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme Wahrscheinlichkeit und Statistik Beschreibende Statistik Wahrscheinlichkeit und Statistik Wahrscheinlichkeit Funktionale Abhängigkeiten Exponentialfunktionen f (x) = a b x mit a, bp R + bzw. f (x) = a e λ x Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra Analysis Änderungsmaße Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Funktionale Abhängigkeiten Allgemeine Sinusfunktion f(x) = a sin(b x + c) Algebra und Geometrie Vektoren Lösungen der Zusatzaufgaben 23 Kontextkatalog 26 Die Formulierung der Grundkompetenzen (GK) bezieht sich auf den Stand von April

4 Potenzen und Potenzfunktionen Potenzen und Potenzfunktionen Checkliste Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsbereich Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra In den Abschnitten 1, 2 und 3 Potenzen mit Exponenten aus N, Z, Q erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen: Terme (Potenzen) Seite 9: Aufgabe Seite 10: Aufgabe Seite 12: Aufgabe Seite 13: Aufgabe 50 Seite 15: Aufgabe Seite 16: Aufgabe Seite 17: Aufgabe 72 Seite 18: Aufgabe Seite 20: Aufgabe Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten Potenzfunktion mit f (x) = a x z + b (zp Z) oder mit f (x) = a x 1 } 2 + b Im Abschnitt 5 Potenz- und Wurzelfunktionen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktion erkennen bzw. betrachten; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln Seite 25: Aufgabe Seite 26: Aufgabe 122 Seite 28: Aufgabe 125 Seite 29: Aufgabe Seite 30: Aufgabe Seite 33: Aufgabe 142 a) Seite 34: Aufgabe a) 149 a) 149 c) Seite 35: Aufgabe 151 4

5 Potenzen und Potenzfunktionen GK Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten Seite 31: Aufgabe 135 Seite 32: Aufgabe Seite 33: Aufgabe Seite 34: Aufgabe Seite 35: Aufgabe 151 Die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten Seite 29: Aufgabe 127 Zusatzaufgaben 1 Gegeben ist die Funktion (1) f (x) = a x 2 + b, (2) f (x) = a x 1 } 2 + b. Skizziere einige Graphen für verschiedene Werte von a und b, damit du folgende Fragen zum Graphen von f beantworten kannst. a) Was bewirkt der Parameter b, wenn du von f 0 (x) = x 2 ausgehst? b) Sei a > 0 und b konstant. Was bewirkt eine Vergrößerung von a? c) Was bewirkt ein Vorzeichenwechsel von a bezüglich der Monotonie von f? d) Kann man die Erkenntnisse von a) bis c) auch auf beliebige andere Potenzfunktionen anwenden? 2 Welche der folgenden Funktionsgleichungen gehört zum Graphen der Funktion f 1, f 2, f 3 bzw. f 4? (A) f (x) = x (B) f (x) = 1 } 2 x3 4 (C) f (x) = 2 x 2 (D) f (x) = x (E) f (x) = _ x (F) f (x) = x 2 5

6 Potenzen und Potenzfunktionen 3 Das Flüssigkeitsvolumen, das bei konstantem Druck pro Zeiteinheit durch eine Röhre mit dem Radius r fließt, ist proportional zur vierten Potenz des Radius r. a) Beschreibe diesen Sachverhalt mithilfe einer Formel. b) Gib die Funktionsgleichung an, die (1) dem Radius r das entsprechende Volumen V zuordnet, (2) dem Volumen V den entsprechenden Radius r zuordnet. c) Wie ändert sich das Volumen V, wenn sich der Röhrenradius r um 1 %, 10 %, 50 %, 80 % (1) verringert, (2) vergrößert? d) Um wie viel % kann der Radius verringert werden, damit 50 % des Volumens durch die Röhre fließt? e) Um wie viel % muss der Radius vergrößert werden, damit 100 % mehr Volumen durch die Röhre fließt? Indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f (x) = a } x (bzw. f (x) = a x 1 ) beschreiben Seite 30: Aufgabe 130 Zusatzaufgabe 4 Ein Autofahrer tankt immer um 30. Die getankte Benzinmenge hängt daher vom jeweiligen Literpreis des Treibstoffes ab. Gib einen Funktionsterm an, der jedem Literpreis p die Benzinmenge l (p) in Liter zuordnet. Zeichne den Graphen der Funktion in einem sinnvollen Bereich. 6

7 Ungleichungen, Gleichungen und Gleichungssysteme GK Ungleichungen, Gleichungen und Gleichungssysteme Checkliste Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsbereich Algebra und Geometrie (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme In den Abschnitten 1 Algebraisches Lösen linearer Ungleichungen, 2 Ungleichungsketten und 3 Ungleichungen mit Fallunterscheidungen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten Seite 48: Aufgabe Seite 49: Aufgabe Seite 50: Aufgabe Seite 51: Aufgabe 206 Seite 54: Aufgabe Seite 55: Aufgabe 217 Seite 57: Aufgabe Seite 58: Aufgabe Zusatzaufgabe 5 Was wird im Folgenden berechnet? Erläutere den Lösungsweg und stelle die Lösungsmenge grafisch dar. 3 } x 4 1; D = R \ { 2} x Fall: x > 2 2. Fall: x < 2 3 x 4 x x 4 x x 6 2 x 6 x 3 x 3 L 1 = ] 2; 3] L 2 = { } L = L 1 ø L 2 = L 1 7

8 Ungleichungen, Gleichungen und Gleichungssysteme 6 Ordne den einzelnen Bereichen die lineare Ungleichung zu, welche die Halbebene im Koordinatensystem richtig beschreibt. A B C D y > 1,5 x y > 2 } 3 x + 1 y < 2 x < 2 y 3 } 2 x + 1 y 3 } 2 x 7 Nach einer Filmvorführung werden bei einem Buffet Getränke und Kuchen angeboten, wobei ein Getränk 1,50 und ein Stück Kuchen 2,20 kostet. Um einen Gewinn zu erzielen, müssen die Einnahmen den Betrag von 120 übersteigen. Beschreibe diesen Sachverhalt mithilfe einer Ungleichung und gib drei mögliche Lösungspaare an. 8 Zwei Smartphone-Tarife werden verglichen: Tarif A Tarif B Monatliche Grundgebühr 10,90 29,90 Minuten in alle Netze Österreich 1000* 1500** SMS*** * Nach Verbrauch 0,09 /Minute ** Nach Verbrauch 0,42 /Minute *** Nach Verbrauch 0,39 /SMS Interpretiere in diesem Zusammenhang die beiden Ansätze und Ergebnisse der folgenden Rechnungen. 10,90 + 0,09 t < 29,90 10,9 + 0, ,09 t < 29,9 + 0,42 t t < 211,1 t > 78,8 8

9 Beschreibende Statistik GK Beschreibende Statistik Checkliste Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik Beschreibende Statistik Im Kapitel Beschreibende Statistik erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen (Stab-, Kreis-, Linien-, Streudiagramm, Prozentstreifen, Kastenschaubild) ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren Seite 112: Aufgabe Seite 113: Aufgabe 421 Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln Seite 114: Aufgabe Seite 115: Aufgabe Statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus; Quartile, Perzentile; Spannweite, Quartilabstand und empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext angemessen deuten; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln; wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels, des Median und der Quartilen angeben und nutzen, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen Seite 116: Aufgabe 428 Seite 118: Aufgabe Seite 119: Aufgabe Seite 121: Aufgabe

10 Beschreibende Statistik Zusatzaufgaben 9 Der Prozentsatz der im Staatsdienst beschäftigten Frauen beträgt rund 40 %. Die nebenstehende Grafik zeigt, wie viele davon in Führungspositionen arbeiten. a) Zwischen welchen Werten bewegt sich dieser Anteil? b) Bildet die Steilheit der Kurve von 2006 bis 2008 die Realität gut ab? Zeichne das Schaubild mit geänderten Einheiten der Achsen nochmals, sodass die Darstellung realistischer wirkt Frauen in Führungspositionen Prozent Gäste haben in einem Gasthaus das Tagesmenü gewählt. Das Kastenschaubild zeigt die Verteilung der Zusatzkosten in Euro. a) Was kannst du aus dem Bild ablesen? 2 2,5 3 3,5 4 b) Für wie viel Prozent der Gäste betragen die Zusatzkosten weniger als 4 Euro? 11 Ordne den dargestellten Boxplots jeweils die passende Tabelle zu A B C D Datenreihe Datenreihe Datenreihe Datenreihe Datenreihe Datenreihe

11 Beschreibende Statistik GK 12 In einem Betrieb sind 21 Männer und 7 Frauen beschäftigt. Das durchschnittliche Monatsgehalt (arithmetische Mittel) aller Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter dieses Betriebes beträgt 2150 Euro. Das durchschnittliche Monatsgehalt (arithmetische Mittel) der Männer beträgt 2250 Euro. a) Berechne das durchschnittliche Monatsgehalt (arithmetische Mittel) der Frauen. b) Um wie viel Prozent verdienen in diesem Betrieb Frauen durchschnittlich weniger als Männer? c) Um wie viel Prozent liegt das durchschnittliche Monatsgehalt der Frauen unter dem durchschnittlichen Monatsgehalt aller Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter dieses Betriebes? 11

12 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Checkliste Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik Wahrscheinlichkeit Im Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal bzw. formal angeben; relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden Seite 124: Aufgabe 450 Seite 125: Aufgabe 451 Seite 126: Aufgabe Seite 127: Aufgabe Seite 128: Aufgabe Seite 129: Aufgabe 464 Seite 131: Aufgabe Seite 132: Aufgabe 474 Seite 133: Aufgabe Seite 134: Aufgabe Seite 135: Aufgabe Seite 136: Aufgabe Seite 137: Aufgabe Wahrscheinlichkit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren; Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren Seite 140: Aufgabe Seite 141: Aufgabe Seite 142: Aufgabe Seite 143: Aufgabe Seite 144: Aufgabe Seite 145: Aufgabe Seite 147: Aufgabe 520 Seite 148: Aufgabe Seite 149: Aufgabe Seite 150: Aufgabe Seite 151: Aufgabe Seite 154: Aufgabe Seite 155: Aufgabe

13 Exponentialfunktionen und die Euler sche Zahl e GK Exponentialfunktionen und die Euler sche Zahl e Checkliste Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten Exponentialfunktionen f (x) = a b x mit a, bp R + bzw. f (x) = a e λ x Den überwiegenden Anteil der Aufgaben zur Grundkompetenz Exponentialfunktionen findest du im Kapitel Exponentialfunktionen und die Euler sche Zahl e. In den Kapiteln Logarithmen und logarithmische Funktionen sowie Wachstumsprozesse findest du auch Aufgaben zu dieser Grundkompetenz. In den Kapiteln Exponentialfunktionen und die Euler sche Zahl e, Logarithmen und logarithmische Funktionen sowie Wachstumsprozesse erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten; zwischen den Darstellungsformen wechseln Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten Seite 158: Aufgabe 548 (Exponentialfunktionen) Seite 159: Aufgabe 549 Seite 161: Aufgabe Seite 163: Aufgabe 567 Seite 165: Aufgabe Die Wirkung der Parameter a und b (bzw. e λ ) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten Seite 158: Aufgabe 547 (Exponentialfunktionen) Seite 161: Aufgabe 558 Seite 166: Aufgabe Seite 167: Aufgabe 581 Zusatzaufgabe 13 Gegeben ist die Funktion f (x) = a b x, a 0 und b > 0. Skizziere einige Graphen für verschiedene Werte von a und b, damit du die folgenden Fragen zum Graphen von f beantworten kannst. a) Welchen Einfluss hat b auf die Monotonie von f, wenn a > 0 gilt? b) Was bewirkt für b > 1 eine Erhöhung von b? c) Was bewirkt ein Vorzeichenwechsel von a? Charakteristische Eigenschaften f (x + 1) = b f (x) kennen und im Kontext deuten Seite 160: Aufgabe 550 (Exponentialfunktionen) Seite 161: Aufgabe

14 Exponentialfunktionen und die Euler sche Zahl e Die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten Seite 166: Aufgabe (Exponentialfunktionen) Seite 180: Aufgabe (Logarithmen und logarithmische Funktionen) Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten Seite 162: Aufgabe 563 (Exponentialfunktionen) Seite 185: Aufgabe 659 (Wachstumsprozesse) Seite 186: Aufgabe Seite 187: Aufgabe 665 Seite 190: Aufgabe 672 Seite 191: Aufgabe Zusatzaufgabe 14 Im Jahr 2000 ging man von einer Weltbevölkerung von 6 Mrd. aus. Bei linearer Weiterentwicklung wurden für das Jahr ,6 Mrd. prognostiziert, beim Modell Konstante prozentuelle Zunahme erwartete man 12,8 Mrd. a) Gib die Funktionsgleichungen an, die diesen beiden Modellen zugrunde liegen. Lege dabei den Ursprung in das Jahr b) Welches der beiden Modelle ist das natürliche, das ohne Einflussnahme, wie Geburtenregelung, zu erwarten wäre? 15 Von einem Medikament mit einer Halbwertszeit von 16 Stunden müssen 100 mg in Tablettenform eingenommen werden. Jemand trägt gerade einen Wirkstoffspiegel von 70 mg in seinem Körper. a) Vor wie vielen Stunden wurde das Medikament eingenommen? b) Wie lange dauert es, bis sich nur mehr 40 mg des Medikaments im Körper befinden? c) Die nächste Wirkstoffzufuhr soll nach 24 Stunden erfolgen. Wie viel mg des Wirkstoffs befinden sich dann noch im Körper? 14

15 Logarithmen und logarithmische Funktionen GK Logarithmen und logarithmische Funktionen Checkliste Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsbereich Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra In den Abschnitten 1 Der Logarithmus und 3 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Begriff des Logarithmus kennen und seine Bedeutung angemessen einsetzen Seite 169: Aufgabe 584 Seite 170: Aufgabe Seite 171: Aufgabe 595 Seite 175: Aufgabe 612 Seite 176: Aufgabe 613 Seite 178: Aufgabe Seite 180: Aufgabe Zusatzaufgabe 16 Gib den Definitionsbereich an und löse die Gleichungen bzw. Ungleichungen nach x. Gib jeweils an, ob eine besondere Regel beim Umformen beachtet werden muss. Wenn ja, welche? (1) 3x + 2 = 8 (2) x 2 16 = 0 (3) x = 0 (4) x = 8x (5) x (x 3) = 0 (6) 3 2 x = 48 (7) 5 3 x > 4 (8) x < 4 (9) x 7 = 5 10 (10) } 1 x = 2 (11) _ x 6 = 2 6 (12) } x 2 3 (13) 2 x 5 = 64 (14) x n = b (15) a x = b (16) ln e 4 = x 17 Kreuze die richtige Aussage an. Aussage a log b = c b c = a a log b = c b a = c a log b = c c b = a a log b = c c a = b a log b = c a c = b a log b = c a b = c j j j j j j 15

16 Reelle Funktionen Reelle Funktionen Checkliste Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsbereich Analysis Änderungsmaße Im Kapitel Reelle Funktionen, Abschnitt 2 Änderungsmaße erwirbst du jene Grundkompetenzen, die unten aufgelis tet sind. Entsprechende Aufgaben findest du auch im Kapitel Potenzen und Potenzfunktionen, Abschnitt 5.2 Änderungsmaße von Potenzfunktionen, im Kapitel Exponentialfunktionen und die Euler sche Zahl e, Abschnitt 1 Exponentialfunktionen sowie im Kapitel Wachstumsprozesse. Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können Seite 30: Aufgabe 134 (Potenzen und Potenzfunktionen) Seite 31: Aufgabe 135 Seite 32: Aufgabe Seite 33: Aufgabe Seite 156: Aufgabe (Exponentialfunktionen) Seite 160: Aufgabe 550 Seite 161: Aufgabe Seite 186: Aufgabe (Wachstumsprozesse) Seite 191: Aufgabe 673 Seite 202: Aufgabe 700 Seite 208: Aufgabe (Reelle Funktionen) Seite 209: Aufgabe Zusatzaufgaben 18 Die Bewegung eines Körpers wird durch die Geschwindigkeitsfunktion v (t) = t (10 t) beschrieben. a) Stelle v (t) in [0; 10] grafisch dar und beschreibe für dieses Zeitintervall die Bewegung. b) Wie groß ist die absolute Änderung der Geschwindigkeit im Intervall I = [1; 4]? c) Wie groß ist die mittlere Änderungsrate der Geschwindigkeit im Intervall I? d) Wie groß ist die relative Änderung im Intervall I? e) Gib eine Formel an, die beschreibt, um wie viel Prozent die Geschwindigkeit von t 1 auf t 2 zunimmt. 16

17 Reelle Funktionen GK 19 Es sei p: t p (t) die Funktion, die jedem Zeitpunkt t den zugehörigen Pegelstand eines Flusses während eines Unwetters zuordnet. a) Interpretiere die Terme im Kontext. (1) p (t 2 ) p (t 1 ) (3) p (t 2) p (t 1 ) } p (t 1 ) (2) p (t 2) p (t 1 ) p (t } t 2 t (4) 2 ) p (t 1 ) } p (t 1 ) b) Zeichne in der Grafik Δt und Δp im Intervall [t 1 ; t 2 ] ein. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Im Kapitel Folgen und Grenzprozesse (in den Abschnitten 3, 4, 5 und 6), in den Abschnitten Exponentialfunktionen, Logarithmische Funktionen, im Kapitel Wachstumsprozesse und im Kapitel Reelle Funktionen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktion betrachten kann; aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten Seite 75: Aufgabe 281 (Folgen und Grenzprozesse) Seite 76: Aufgabe Seite 77: Aufgabe (Folgen und Grenzprozesse) Seite 79: Aufgabe Seite 81: Aufgabe 302 Seite 82: Aufgabe Seite 83: Aufgabe 312 Seite 85: Aufgabe Seite 86: Aufgabe Seite 185: Aufgabe 659 (Wachstumsprozesse) Seite 203: Aufgabe (Reelle Funktionen) Zusatzaufgabe 20 In der Grafik ist der Zusammenhang zwischen der Walk-/ Laufgeschwindigkeit in km/h und dem Kalorienverbrauch pro Stunde in kcal 1 für Frauen dargestellt. a) Ab welcher Geschwindigkeit verbrauchen Frauen mehr als 500 kcal pro Stunde? b) Wie groß ist der Kalorienverbrauch bei 10 km/h? c) Um wie viel % steigt der Kalorienverbrauch, wenn das kcal/h km/h Tempo von 6 km/h auf 8 km/h bzw. von 10 km/h auf 12 km/h erhöht wird? d) Männer verbrauchen rund 25 % mehr Kalorien. Skizziere die zugehörige Kurve. 1 Kilokalorie ist eine noch gebräuchliche, aber in der Physik nicht mehr zulässige Einheit; 1 kcal 4,2 kj. 17

18 Reelle Funktionen Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln Seite 83: Aufgabe (Folgen und Grenzprozesse) Seite 86: Aufgabe Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Periodizität, Achsensymmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen Seite 26: Aufgabe 122 (Potenzen und Potenzfunktionen) Seite 205: Aufgabe (Reelle Funktionen) Seite 206: Aufgabe Seite 207: Aufgabe Seite 219: Aufgabe Seite 220: Aufgabe Zusatzaufgabe 21 Kreuze in der Tabelle die zutreffenden Eigenschaften der gegebenen Funktionen an. f (x) = x 3 x 2 x 1 x 0 x 1 x 2 x 3 e x sin x tan x monoton steigend in R + monoton fallend in R alle Funktionswerte 0 symmetrisch zur y-achse symmetrisch zum Ursprung periodisch Einen Überblick über die wichtigsten Typen mathematischer Funktionen geben und ihre Eigenschaften vergleichen Seite 26: Aufgabe 122 (Potenzen und Potenzfunktionen) Seite 28: Aufgabe Seite 29: Aufgabe Seite 30: Aufgabe Seite 34: Aufgabe Seite 158: Aufgabe (Exponentialfunktionen) Seite 159: Aufgabe 549 Seite 160: Aufgabe Seite 182: Aufgabe (Logarithmische Funktionen) Seite 183: Aufgabe Seite 215: Aufgabe (Reelle Funktionen) Seite 217: Aufgabe Seite 218: Aufgabe Seite 224: Aufgabe Durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten, Funktionswerte ermitteln Seite 231: Aufgabe (Reelle Funktionen) 18

19 Reelle Funktionen GK Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten Seite 87: Aufgabe (Folgen und Grenzprozesse) Seite 88: Aufgabe Seite 186: Aufgabe (Wachstumsprozesse) Seite 190: Aufgabe 672 Seite 191: Aufgabe Seite 202: Aufgabe Seite 206: Aufgabe 713 (Reelle Funktionen) Seite 207: Aufgabe 720 Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten Allgemeine Sinusfunktion f(x) = a sin(b x + c) In den Abschnitten 4 Winkelfunktionen und goniometrische Gleichungen, 5 Periodizität von Winkelfunktionen und 6 Schwingungen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f (x) = a sin (b x) als allgemeine Sinusfunktion erkennen und betrachten; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln; aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten Seite 215: Aufgabe (ohne Tangensfunktion) Die Wirkung der Parameter a, b und c kennen und im Kontext deuten Seite 217: Aufgabe Seite 218: Aufgabe (ohne Tangensfunktion) Seite 219: Aufgabe Seite 220: Aufgabe (ohne Tangensfunktion) Seite 222: Aufgabe Seite 224: Aufgabe Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten Seite 219: Aufgabe Seite 220: Aufgabe 760 a) b) a) c) d) 764 a) b) d) e) 765 a) b) 19

20 Reelle Funktionen Wissen, dass cos (x) = sin _ x + π } 2 +. Zusatzaufgabe 22 Gegeben sind die Funktionsgraphen A, B und C. Kreuze an, auf welchen Funktionsgraphen die angegebenen Funktionsgleichungen bzw. Aussagen zutreffen. Es sind auch Mehrfachnennungen möglich. A B C (1) f (x) = sin (x) j A j B j C j keiner der drei Graphen (2) f (x) = cos (x) j A j B j C j keiner der drei Graphen (3) f (x) = sin x j A j B j C j keiner der drei Graphen (4) f (x) = sin (2 x) j A j B j C j keiner der drei Graphen (5) f (x) = sin (x + 0,5 π) j A j B j C j keiner der drei Graphen (6) Kann durch einen Funktionsterm der Form f (x) = sin (x + c) mit cp R dargestellt werden. j A j B j C j keiner der drei Graphen 20

21 Analytische Geometrie des Raumes GK Analytische Geometrie des Raumes Checkliste Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Inhaltsbereich Algebra und Geometrie Vektoren Im Kapitel Analytische Geometrie des Raumes erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext interpretieren Seite 233: Aufgabe Zusatzaufgaben 23 In einem Geschäft werden 10 Waren für den Ausverkauf ausgewählt. Daher werden die zugehörigen Preise im Vektor P (p 1, p 2,, p 10 ) und die vorhandenen Mengen in M (m 1, m 2,, m 10 ) zusammengefasst. a) Was bedeutet das skalare Produkt P M? b) Beim Ausverkauf wird der Preis aller 10 Waren um 20 % reduziert. Gib den neuen Preisvektor an und stelle nun den Gesamtwert dieser 10 Waren mittels P und M dar. 24 In einer Werkstatt werden 15 verschiedene Artikel produziert. Die bestellte Anzahl jedes Artikels ist im Vektor B (b 1, b 2,, b 15 ) zusammengefasst. Die jeweils zur Produktion notwendige Zeit in Stunden bezeichnet der Vektor Z (z 1, z 2,, z 15 ). a) Drücke das Gesamtstundenausmaß zur Produktion der bestellten Artikel mittels B und Z aus. b) Für die Endkontrolle und Verpackung der Artikel ist ein weiterer Zeitaufwand zu berücksichtigen. Dieser ist ebenfalls in Stunden pro Artikel im Vektor V (v 1, v 2,, v 15 ) erfasst. Gib nun den Zeitaufwand aller Bestellungen mit den gegebenen Vektoren an. c) Eine Arbeitsstunde verursacht durchschnittlich h Kosten. Die übrigen Kosten (Material, Energie ) für jeden Artikel sind im Vektor K (k 1, k 2,, k 15 ) gegeben. Berechne die gesamten Kosten für alle bestellten Artikel. Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) interpretieren und verständig einsetzen Seite 232: Aufgabe 795 Seite 234: Aufgabe Seite 235: Aufgabe 802 Seite 237: Aufgabe Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten Seite 232: Aufgabe 796 Seite 235: Aufgabe

22 Analytische Geometrie des Raumes Seite 236: Aufgabe Seite 237: Aufgabe Seite 238: Aufgabe Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben Seite 251: Aufgabe Seite 252: Aufgabe Seite 253: Aufgabe Seite 254: Aufgabe Geradengleichungen interpretieren; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln Seite 255: Aufgabe Seite 258: Aufgabe 891 Seite 260: Aufgabe Seite 261: Aufgabe

23 Lösungen der Zusatzaufgaben GK Lösungen der Zusatzaufgaben 1 (1) a) Eine Verschiebung des Graphen entlang der y-achse um b b) Einen steileren Verlauf der Kurve c) Eine Umkehrung des Monotonieverhaltens d) Ja (2) a) Eine Verschiebung des Graphen entlang der y-achse um b b) Einen steileren Verlauf der Kurve c) Eine Umkehrung des Monotonieverhaltens d) Ja 2 f 1 A; f 2 C; f 3 B; f 4 E 3 a) V = r 4 c, c ist konstant. b) (1) V (r) = r 4 c (2) r (V) = 4 V } c c) (1) Das Volumen wird um 4 %, 34,39 %, 93,75 % bzw. 99,8 % verringert. (2) Das Volumen wird um 4,1 %, 46,41 %, 506,25 % bzw. 1049,76 % vergrößert. (3) 15,9 % (4) 18,9 % 4 l (p) = 30 } p ; Grafik siehe rechts. 5 Es wird eine Bruchungleichung über R gelöst. Da der Nenner für x = 2 null wird, muss 2 aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Die Ungleichung wird mit (x + 2) multipliziert. Es ist dabei zu unterscheiden, ob dieser Faktor positiv oder negativ ist, weil bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden muss. Dann wird für beide Fälle das x ausgerechnet und die Vereinigungsmenge der beiden erhaltenen Lösungsmengen gebildet. 6 D y > 1,5 x A y > 2 } 3 x + 1 y < 2 B x < 2 C y 3 } 2 x + 1 y 3 } 2 x 7 1,5 G + 2,2 K > 120 Lösungspaare (G K), z. B. (30 40), (40 30), (0 60) 8 Der Tarif B ist nur dann billiger, wenn man zwischen 1212 und 1578 Minuten telefoniert. 23

24 Lösungen der Zusatzaufgaben 9 a) Von 10,6 % bis 18,6 % b) Nein, zu steil Frauen in Führungspositionen Prozent a) Die höheren zehn Werte liegen näher beisammen als die niedrigeren Werte. Minimum = 2; Maximum = 4,5; Spannweite = 2,5; q 1 = 2,75; med = 3,5; q 3 = 4 b) 75% 11 Datenreihe 1: A; Datenreihe 2: D; Datenreihe 4: B; Datenreihe 6: C 12 a) 1850 Euro b) rund 17,8 % c) rund 14 % 13 a) Für b > 1 ist f streng monoton steigend, für b < 1 streng monoton fallend in R. b) Der Graph steigt rascher, er ist steiler. c) Eine Umkehrung des Monotonieverhaltens 14 a) f (x) = 0,092 x + 6 und g (x) = 6 1,01527 x b) Modell Konstante prozentuelle Zunahme (exponentielles Wachstum) 15 a) Vor 8,23 Stunden b) Es dauert 21,15 Stunden. c) Nach 24 Stunden befinden sich noch 35,36 mg des Wirkstoffs im Körper. 16 (1) D = R, L = {2} (2) D = R, L = { 4; 4}; Wurzelziehen ist keine Äquivalenzumformung. (3) D = R, L = { }; die Wurzel aus einer negativen Zahl existiert in R nicht. (4) D = R, L = {1; 7} (5) D = R, L = {0; 3}; ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. (6) D = R, L = {4} (7) D = R, L = ] ; 3[; beim Multiplizieren und Dividieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. (8) D = R, L = ] 4; 4[; Fallunterscheidung für a > 0 bzw. a < 0; der Betrag von a < 0 ist a, dann g) beachten (9) D = R, L = {2; 12}; 2 Fälle unterscheiden, siehe h) (10) D = R \ {1}, L = { 4} (11) D = {xp R x 6}, L = {10}; Probe machen, weil das Quadrieren keine Äquivalenz umformung ist. (12) D = R \ {2}, L = ]2; 4]; Fallunterscheidung für (x 2) > 0 bzw. (x 2) < 0, g) beachten (13) D = R, L = {2} 1 } n (14) D = R + 0, L = h b j ; b 0; n = 1, 2, 3 (15) D = R, x = a log b (16) D = R, L = {4} 24

25 Lösungen der Zusatzaufgaben GK 17 Aussage a log b = c a c = b jx 18 a) Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Körper in Ruhe und beschleunigt bis zum Geschwindigkeitsmaximum von 25 in t = 5. Von da an wird die Geschwindigkeit wieder verringert, bis der Körper an t = 10 wieder zum Stillstand kommt. b) 15 c) 5 d) 5 } 3 e) v (t 2) v (t 1 ) } 100 v (t 1 ) 19 a) (1) Die absolute Änderung des Pegelstands in [t 1 ; t 2 ] b) (2) Die mittlere Änderung des Pegelstands in [t 1 ; t 2 ] (3) Die relative Änderung des Pegelstands in [t 1 ; t 2 ] (4) Die prozentuelle Änderung des Pegelstands in [t 1 ; t 2 ] 20 a) 7,6 km/h d) b) 650 kcal/h c) } % bzw. } 100 = 10 % kcal/h Männer Frauen km/h 21 f (x) = x 3 x 2 x 1 x 0 x 1 x 2 x 3 e x sin x tan x monoton steigend in R + x x x x x monoton fallend in R x x x x alle Funktionswerte 0 x x x x symmetrisch zur y-achse x x x symmetrisch zum Ursprung x x x x x x periodisch x x 22 (1) A, (2) B, (3) C, (4) keiner der drei Graphen, (5) B, (6) A, B, C 23 a) Gesamtwert aller zehn Waren vor dem Ausverkauf b) P neu = 0,8 P, Gesamtwert neu = 0,8 P M 24 a) B Z b) B (Z + V) c) h B (Z + V) + K B = [h (Z + V) + K] B 25

26 Kontextkatalog Kontextkatalog Stand April 2012 Dieser zentral vorgegebene Kontextkatalog wird in den kommenden Jahren weiter ausgebaut. Einheiten und Größen Bei der Anwendung von Mathematik in alltäglichen Situationen kommt man nicht umhin, sich auch mit Größenverhältnissen, (physikalischen) Größen im Allgemeinen und Einheiten im Speziellen auseinanderzusetzen. Der korrekte Umgang mit Größen(-verhältnissen) und Einheiten ist jedenfalls in Kommunikationssituationen unumgänglich und zeugt von einem tiefergehenden Verständnis für Zusammenhänge. 1 Prozent = 10 2 = ppm = Teile pro Hundert = 1 % 1 Promille = 10 3 = ppm = Teile pro Tausend = 0,1 % = 1 1 ppm (parts per million)= 10 6 = Teile pro Million = 0,0001 % (Physikalische) Größen und ihre Einheiten treten in praktisch allen technisch-naturwissenschaftlichen Kontexten auf. Die grundlegende Kenntnis der Größen, Einheiten und Symbole des SI-Einheitensystems bzw. im SI-System zulässiger Einheiten ist daher unumgänglich. Vorsilbe Bedeutung Abkürzung Tera Billion T = Giga Milliarde G 10 9 = Mega Million M 10 6 = Kilo Tausend k 10 3 = Hekto Hundert h 10 2 = 100 Deka Zehn da 10 1 = 10 Dezi Zehntel d 10 1 = 0,1 Zenti Hundertstel c 10 2 = 0,01 Milli Tausendstel m 10 3 = 0,001 Mikro Millionstel μ 10 6 = 0, Nano Milliardstel n 10 9 = 0, Pico Billionstel p = 0, Die entsprechenden (physikalischen) Größen und ihre Einheiten werden in der Aufgabenstellung angeführt, deren korrekte weitere Verwendung obliegt jedoch den Schülerinnen und Schülern. Größe Einheit Symbol Beziehung Temperatur Grad Celsius bzw. Kelvin C, K Δ t = Δ T Frequenz Hertz Hz 1 Hz = 1 s 1 Energie, Arbeit, Wärmemenge Joule J 1 J = 1 kg m 2 s 2 Kraft Newton N 1 N = 1 kg m s 2 Drehmoment Newtonmeter N m 1 N m = 1 kg m 2 s 2 elektrischer Widerstand Ohm Ω 1 Ω = 1 V A 1 = 1 kg m 2 A 2 s 3 Druck Pascal Pa 1 Pa = 1 N m 2 = 1 kg m 1 s 2 elektrische Stromstärke Ampere A 1 A = 1 C s 1 elektrische Spannung Volt V 1 V = 1 J C 1 = 1 kg m 2 A 1 s 3 Leistung Watt W 1 W = 1 J s 1 = 1 kg m 2 s 3 26

27 Kontextkatalog GK Zusammenstellung physikalischer Größen und Definitionen Dichte ρ = m } V Leistung Kraft Arbeit P = Δ } E Δ t F = m a W = F s W = F (s) ds kinetische Energie E kin = 1 } 2 m v2 potentielle Energie E pot = m g h gleichförmige geradlinige Bewegung v = s } t gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung v = a t P = Δ W } Δ t F = dw } ds v = } ds dt a = dv } dt W (t) P = } d dt v (t) = s (t) = } ds dt a (t) = v (t) = dv } dt = s (t) = d2 s } dt 2 Finanzmathematische Grundlagen Der Lehrplan in Mathematik nimmt nicht nur Bezug auf naturwissenschaftlich-technische Aspekte, sondern thematisiert auch wirtschaftliche Belange. Daher sind grundlegende Begriffe in diesem Bereich ebenfalls notwendig. Zinseszinsrechnung Anfangskapital K 0 Endkapital K n K n = K 0 (1 + i ) n mit i = p } 100 Kosten-Preis-Theorie Erlös(-funktion)/Ertrag(sfunktion) in der Form einer linearen Darstellung Kosten(-funktion) in der Form einer proportionalen, degressiven, progressiven, regressiven und fixen Darstellung Gewinn(-funktion) als Erlös Kosten Nachfragepreis(-funktion) lineare Funktion und (alle) damit in Verbindung stehenden Begrifflichkeiten: Grenzkosten, Grenzerlös, Grenzgewinn und Break-even-Point 27

28 zu Buch-Nr Bleier, Lindenberg, Lindner, Stepancik Dimensionen, Mathematik 6 Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Verlag E. DORNER GmbH, Wien ISBN