Dimensionen. Mathematik. Grundkompetenzen. für die neue Reifeprüfung. Stand April 2012

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1 Dimensionen Mathematik 5 GK Grundkompetenzen für die neue Reifeprüfung Stand April 2012

2 Inhaltsverzeichnis Buchkapitel Inhaltsbereiche Seite Zahlen und Rechengesetze Funktionen Gleichungen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Trigonometrie Vektorrechnung und analytische Geometrie Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Lineare Funktion f (x) = k x + d Algebra und Geometrie Gleichungen Algebra und Geometrie Gleichungssysteme Algebra und Geometrie Trigonometrie Algebra und Geometrie Vektoren Lösungen der Zusatzaufgaben Die Formulierung der Grundkompetenzen (GK) bezieht sich auf den Stand von April Auflage, 2012 Alle Drucke sind im Unterricht parallel verwendbar. Satz, Grafik: imprint, Zusmarshausen Gesamtherstellung: Verlag E. DORNER GmbH, Wien Unter Mitarbeit von OStR Mag. Gottfried Obereder zu Buch-Nr Bleier, Lindenberg, Lindner, Stepancik 2010 Verlag E. DORNER GmbH Ungargasse 35, 1030 Wien Tel.: , Fax: 01 / office@dorner-verlag.at ISBN

3 Zahlen und Rechengesetze GK Zahlen und Rechengesetze Checkliste Inhaltsbereich Algebra und Geometrie Grundbegriffe der Algebra In den Abschnitten 2 Zahlenbereiche und 3 Zehnerpotenzen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R verständig einsetzen Seite 12: Aufgabe Seite 22: Aufgabe Seite 23: Aufgabe 66 Seite 24: Aufgabe 67 Seite 25: Aufgabe Seite 26: Aufgabe 70 Seite 27: Aufgabe Seite 28: Aufgabe Seite 29: Aufgabe In den Abschnitten 5 Aufstellen und Interpretieren von Formeln und 6 Termumformung erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen: Variable, Terme, Formeln und Umformungen Seite 37: Aufgabe Seite 38: Aufgabe Seite 39: Aufgabe 124 Seite 40: Aufgabe Seite 42: Aufgabe Seite 43: Aufgabe Seite 44: Aufgabe 153 Seite 45: Aufgabe Seite 46: Aufgabe Seite 47: Aufgabe Seite 48: Aufgabe

4 Zahlen und Rechengesetze Zusatzaufgaben 1 Eis-Max liefert Eis in 1-l-Behältern zu s sowie 1 } 2 l zum halben Preis und 2 l zum doppelten Preis von 1 l. An einem Tag hat er a Behälter zu 1 } 2 l, b zu 1 l und c zu 2 l verkauft. Durch welche Formel(n) werden die Tageseinnahmen dargestellt? a) s a + b + c b) (a + b + c) s c) s } a 2 + s b + 2 s c d) a b c s e) s (2 c + 0,5 a + b) 2 Durch welchen Term / welche Terme kann man 25 a 2 36 b 2 auch darstellen? a) (5 a 6 b) 2 b) (5 a 6 b) (5 a + 6 b) c) (5 a) 2 (6 b) 2 d) ( 6 b 5 a) (6 b 5 a) e) 25 (a 2 - b 2 ) 3 Durch welche Formel(n) kann der Mittelwert von a, b und c dargestellt werden? a) a + b + c b) a } b c 3 c) b } 3 + c } 3 + a } 3 d) a + b + c 1 } e) } (c + b + a) Der Preis einer Ware beträgt p. Dieser Preis wird zuerst um 10 % gesenkt, der neue Preis nach einem Monat um 10 % erhöht. Durch welche der folgenden Formeln kann der endgültige Preis dargestellt werden? a) p b) 0,9 p 1,1 c) p 10 d) 0,99 p e) 1,01 p 5 Die Breite eines Rechtecks ist b, die Länge ist das 1 1 } 2 -Fache der Breite. (I) Durch welche der folgenden Formeln kann der Umfang des Rechtecks dargestellt werden? a) 4 b b) 2 1 } 2 b c) 1 } 2 1 b2 d) 5 b e) (b + 1,5 b) 2 f) 2,5 b 2 (II) Durch welche der folgenden Formeln kann der Flächeninhalt des Rechtecks dargestellt werden? a) b 2 b) 1 1 } 2 b c) b + 1,5 b d) 3 b2 e) 5 4

5 Funktionen GK Funktionen Checkliste Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten Funktionsbegriff, relle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften Im Kapitel Funktionen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Für gegebene Zusammenhänge entscheiden, ob man sie als Funktion betrachten kann Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten Seite 50: Aufgabe 177 Seite 51: Aufgabe Seite 52: Aufgabe Seite 55: Aufgabe 190 Seite 56: Aufgabe Seite 57: Aufgabe Seite 58: Aufgabe Seite 59: Aufgabe 210 Seite 60: Aufgabe Seite 71: Aufgabe 264 Seite 73: Aufgabe 270 Seite 74: Aufgabe Zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln Seite 62: Aufgabe 222 Seite 63: Aufgabe Seite 64: Aufgabe Seite 65: Aufgabe Seite 66: Aufgabe Seite 67: Aufgabe Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten Seite 54: Aufgabe 187 Seite 56: Aufgabe Seite 60: Aufgabe Seite 61: Aufgabe 215 Seite 62: Aufgabe Seite 116: Aufgabe Seite 117: Aufgabe

6 Funktionen Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen: Monotonie, Monotonie wechsel (lokale Extrema), Achsensymmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen Seite 68: Aufgabe Seite 69: Aufgabe Seite 70: Aufgabe Seite 107: Aufgabe 387 Seite 108: Aufgabe Seite 109: Aufgabe 391 Seite 110: Aufgabe 393 Seite 112: Aufgabe 395 Seite 113: Aufgabe 397 Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren Zusatzaufgabe 6 Gegeben ist die Formel a = 3 } b c2 für a, b, c, d, e > 0. 4 d e Welche der folgenden Funktionen passt zu welchem Funktionsgraphen? a) a = f (b), wenn c, d, e konstant sind. b) a = f (c), wenn b, d, e konstant sind. c) a = f (d), wenn b, c, e konstant sind. 6

7 Funktionen GK Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten Lineare Funktion f (x) = k x + d Im Abschnitt 8 Lineare Funktionen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln Aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten Seite 76: Aufgabe 290 Seite 77: Aufgabe Seite 78: Aufgabe 293 Seite 79: Aufgabe 319 Die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten Seite 80: Aufgabe Seite 81: Aufgabe Seite 82: Aufgabe 306 Seite 83: Aufgabe Seite 84: Aufgabe 309 Seite 89: Aufgabe 316 Seite 90: Aufgabe Seite 91: Aufgabe Seite 92: Aufgabe Seite 93: Aufgabe Seite 94: Aufgabe 339 Seite 95: Aufgabe Seite 96: Aufgabe 351 Charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten f (x + 1) = f (x) + k und f (x 2) f (x 1 ) } = k x 2 x 1 Seite 78: Aufgabe 294 Seite 80: Aufgabe 299 Seite 84: Aufgabe 310 Seite 86: Aufgabe Seite 88: Aufgabe 315 Seite 92: Aufgabe Die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten Seite 78: Aufgabe 293 7

8 Funktionen Zusatzaufgabe 7 Ist das folgende Problem durch eine lineare Gleichung beschreibbar? a) Der Preis von x Rosen bei einem Einzelpreis von p. b) Die Stromkosten für x kwh bei einer Grundgebühr von G und s je kwh. c) Die Oberfläche eines Würfels mit der Seitenlänge a. d) Die Anzahl der getankten Liter Benzin, wenn man G einwirft und 1 l Benzin b kostet. e) Das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge a. f) Der Umfang eines Quadrates mit der Seitenlänge a. g) Die Größe der Fläche eines Algenteppichs nach x Tagen, wenn sie sich täglich verdoppelt und zu Beginn A 0 m 2 beträgt. Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionsgraphen ermitteln und im jeweiligen Kontext deuten Seite 116: Aufgabe Seite 117: Aufgabe Direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f (x) = k x beschreiben Seite 80: Aufgabe 297 Seite 97: Aufgabe Seite 98: Aufgabe Seite 99: Aufgabe Zusatzaufgabe 8 Das Volumen eines Zylinders wird mit der Formel V = r 2 π h berechnet. Welcher Funktionstyp entsteht? Ordne richtig zu. h ist konstant. A h (r) = } V r 2 indirekt proportionale Funktion π r (h) = _ V } indirekt proportionale Funktion h π r ist konstant. B V (r) = r 2 π h lineare Funktion V ist konstant, die Höhe des Zylinders ist abhängig vom Radius. C V (r) = r 2 π h quadratische Funktion V (h) = r 2 π h lineare Funktion V (h) = r 2 π h quadratische Funktion 8

9 Gleichungen GK Gleichungen Checkliste Inhaltsbereich Algebra und Geometrie Gleichungen In den Abschnitten 2 Äquivalenzumformungen und rechnerisches Gleichungslösen und 3 Lineare Gleichungen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten Seite 126: Aufgabe Seite 127: Aufgabe Seite 128: Aufgabe 452 Diese Grundkompetenz wird außerdem im Kapitel Zahlen und Rechengesetze im Abschnitt 5 Aufstellen und Interpretieren von Formeln trainiert. Du findest dazu Aufgaben unter der Grundkompetenz Die algebraischen Begriffe Variable, Term und Formel kennen und angemessen anwenden. Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten Seite 38: Aufgabe 120 Seite 128: Aufgabe Seite 129: Aufgabe Seite 130: Aufgabe Zusatzaufgaben 9 Ein Bäcker liefert an ein Gasthaus s Semmeln und b 1-kg-Brotlaibe. Der Preis für eine Semmel ist p s, für ein kg Brot p b. Was bedeutet der folgende Ausdruck? a) s + b b) s p s c) p b b d) b p b + s p s 10 Ein anderer Bäcker liefert a Semmeln zu einem Preis von r je Stück und b Brote, die insgesamt s kosten. Was bedeutet der folgende Ausdruck? a) a r b) } s b c) a r + s 11 Von einem Quader kennt man die Kantenlängen der Grundfläche a und b und sein Volumen V. Was bedeutet der folgende Ausdruck? a) a b b) a + b c) } V a b d) V } a e) V } b 9

10 Gleichungen 12 In einem Gasthaus werden zwei Menüs angeboten. Mittags wurden insgesamt s Menüs verkauft, davon a vom ersten Menü. Der Preis beträgt für beide Menüs p. Was bedeutet der folgende Ausdruck? a) s a b) a p c) s p d) p (s a) Im Abschnitt 4 Quadratische Gleichungen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten Seite 132: Aufgabe 473 Seite 133: Aufgabe 475 Seite 134: Aufgabe Seite 135: Aufgabe Zusatzaufgabe 13 Für welches a hat die Gleichung zwei Lösungen, eine bzw. keine Lösung? a) x 2 + a x + 4 = 0 b) x x + a = 0 c) x 2 + (a + 1) x + a = 0 Seite 131: Aufgabe 472 Seite 133: Aufgabe 474 Seite 134: Aufgabe Seite 135: Aufgabe

11 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen GK Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Checkliste Inhaltsbereich Algebra und Geometrie Gleichungssysteme In den Abschnitten 2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen und 3 Algebraisches Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten Seite 143: Aufgabe 514 Seite 144: Aufgabe Seite 147: Aufgabe Seite 148: Aufgabe 522 Zusatzaufgaben 14 Beschreibe, wie man ein Gleichungssystem mit zwei Variablen lösen kann, wenn man folgende Methode anwendet: a) Einsetzungsverfahren b) Gleichsetzungsverfahren c) Gauß sches Eliminationsverfahren 15 Wie erkennt man aus der Angabe, ob ein Gleichungssystem mit zwei Variablen a) eine Lösung b) keine Lösung c) unendlich viele Lösungen hat? 16 Kreuze die richtigen Antworten an. Anzahl der Lösungen Günstiges Verfahren (a) (b) (c) (d) (e) (f) 1 0 Einsetzen Gleichsetzen Eliminieren (I) 3 x + 13 y = 19 9 x 2 y = 16 (II) 7 x 4 y = 1 12 y 21 x = 1 (III) x + y = 1 11 x + 5 y = 7 (IV) 11 x + 5 y = 1 15 y 33 x = 3 (V) 5 x 3 y = 14 3 y 2 x = 11 11

12 Trigonometrie Trigonometrie Checkliste Inhaltsbereich Algebra und Geometrie Trigonometrie Im Kapitel Trigonometrie erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Definitionen von sin α, cos α, tan α im rechtwinkligen Dreieck kennen und einsetzen Seite 152: Aufgabe 539 Seite 153: Aufgabe Seite 167: Aufgabe Seite 168: Aufgabe Rechtwinklige Dreiecke mithilfe dieser Definitionen auflösen Seite 169: Aufgabe Seite 171: Aufgabe 610 Seite 172: Aufgabe Seite 173: Aufgabe 616 Seite 175: Aufgabe Seite 176: Aufgabe Definitionen von sin α, cos α für α > 90 kennen und einsetzen Seite 157: Aufgabe Seite 158: Aufgabe Zusatzaufgaben 17 Wie sind sin α, cos α und tan α festgelegt? Kreuze die richtigen Antworten an. e } f e } g f } e f } g } g sin α cos α tan α e } g f 12

13 Vektorrechnung und analytische Geometrie GK 18 Wie sind sin α und cos α für α > 90 festgelegt? Gib die richtigen Antworten an. a b c d 1 90 sin α = sin (α 180 ) sin α = sin (180 α) sin α = sin (α 90 ) sin α = sin (180 α) 2 < α cos α = cos (α 90 ) cos α = cos (α 180 ) cos α = cos (180 α) cos α = cos (180 α) 3 < 180 tan α = tan (α 90 ) tan α = tan (α 180 ) tan α = tan (180 α) tan α = tan (180 α) sin α = sin (α 180 ) sin α = sin (270 α) sin α = sin (α 180 ) sin α = sin (180 α) 5 < α cos α = cos (α 270 ) cos α = cos (α 180 ) cos α = cos (180 α) cos α = cos (α 180 ) 6 < 270 tan α = tan (α 180 ) tan α = tan (α 180 ) tan α = tan (270 α) tan α = tan (180 α) sin α = sin (α 270 ) sin α = sin (360 α) sin α = sin (α 180 ) sin α = sin (α 360 ) 8 < α cos α = cos (360 α) cos α = cos (360 α) cos α = cos (180 α) cos α = cos (α 270 ) 9 < 360 tan α = tan (360 α) tan α = tan (α 270 ) tan α = tan (270 α) tan α = tan (360 α) Vektorrechnung und analytische Geometrie Checkliste Inhaltsbereich Algebra und Geometrie Vektoren Im Kapitel Vektorrechnung und analytische Geometrie erwirbst du folgende Grundkompetenzen: Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext interpretieren Seite 199: Aufgabe 712 Seite 200: Aufgabe 714 Seite 201: Aufgabe 721 Seite 202: Aufgabe Seite 209: Aufgabe Seite 210: Aufgabe Seite 216: Aufgabe Zusatzaufgaben 19 Zwei Wanderer A und B gehen auf annähernd geradlinigen Wegen und starten beide um 8 Uhr früh. A beginnt im Punkt P (10 14) und ist nach einer Stunde in Q (7 10). B startet in C ( 5 10) und ist um 9 Uhr im Punkt D ( 2 6). Die Komponenten sind in km gegeben. a) Wie schnell gehen die beiden? b) Berechne den Schnittpunkt der beiden Wege. c) Treffen die beiden einander an dieser Stelle? Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) interpretieren und verständig einsetzen Seite 197: Aufgabe 708 Seite 198: Aufgabe 709 Seite 199: Aufgabe Seite 201: Aufgabe , Seite 202: Aufgabe

14 Vektorrechnung und analytische Geometrie Zusatzaufgabe 20 Kreuze an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. a) Alle gleich langen Pfeile bilden einen Vektor. b) Alle Pfeile, die durch das gleiche Zahlenpaar dargestellt werden, bilden einen Vektor. c) Es gibt unendlich viele Vektoren, denen derselbe Pfeil zugeordnet wird. d) Jedem Punkt der Ebene entspricht genau ein Vektor. e) Es gibt einen Punkt und einen Pfeil der Ebene, denen derselbe Vektor zugeordnet wird. f) Alle gleich langen, parallelen und gleich orientierten Pfeile gehören zum selben Vektor. Richtig Falsch Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten Seite 205: Aufgabe Seite 206: Aufgabe Seite 207: Aufgabe Seite 208: Aufgabe Seite 212: Aufgabe Seite 213: Aufgabe Seite 214: Aufgabe Seite 215: Aufgabe Seite 218: Aufgabe Normalvektoren in R 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren Seite 221: Aufgabe Seite 222: Aufgabe Seite 223: Aufgabe Geraden durch (Parameter-) Gleichungen in R 2 angeben; Geradengleichungen interpretieren; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Geraden) analysieren, Schnittpunkte ermitteln Seite 234: Aufgabe 857 Seite 235: Aufgabe Seite 236: Aufgabe Seite 237: Aufgabe Seite 240: Aufgabe Seite 241: Aufgabe Seite 242: Aufgabe

15 Lösungen der Zusatzaufgaben GK Lösungen der Zusatzaufgaben 1 c, e 2 b, c, d 3 c, e 4 b, d 5 (I): d), e) (II): keine richtige Antwort, diese wäre 1 1 } 2 b2 6 a) f 2 b) f 3 c) f 1 7 a) ja, P (x) = p x b) ja, K (x) = G + s x c) nein, O (a) = 6 a 2 d) nein, A (b) = G } b e) nein, V (a) = a 3 f) ja, U (a) = 4 a g) nein, A (x) = A 0 2 x 8 h ist konstant. A C h (r) = } V r 2 indirekt proportionale Funktion π r (h) = _ V } indirekt proportionale Funktion h π r ist konstant. B V (r) = r 2 π h lineare Funktion V ist konstant, die Höhe des Zylinders ist abhängig vom Radius. C A B V (r) = r 2 π h quadratische Funktion V (h) = r 2 π h lineare Funktion V (h) = r 2 π h quadratische Funktion 9 a) Gesamtzahl der gelieferten Sachen b) Preis der gelieferten Semmeln c) Preis der gelieferten Brote d) Gesamtpreis der Lieferung 10 a) Preis der gelieferten Semmeln b) Preis eines Brotes c) Gesamtpreis der Lieferung 11 a) Inhalt der Grundfläche b) halber Umfang der Grundfläche c) Höhe h des Quaders d) b h = Inhalt einer Seitenfläche e) a h = Inhalt der Vorder- bzw. Rückfläche 12 a) Anzahl der verkauften zweiten Menüs b) Einnahmen aus erstem Menü c) Gesamteinnahmen d) Einnahmen aus zweitem Menü 13 a) b) c) zwei Lösungen für a > 4 a < 9 a 1 eine Lösung für a = 4 a = 9 a = 1 keine Lösung für a < 4 a > 9 14 a) Man rechnet eine Unbekannte aus einer Gleichung aus und setzt den erhaltenen Ausdruck in die andere Gleichung ein. b) Man rechnet aus beiden Gleichungen dieselbe Unbekannte (oder das gleiche Vielfache derselben Unbekannten) aus und setzt die erhaltenen Ausdrücke gleich. c) Man multipliziert die beiden Gleichungen mit jeweils einer Zahl derart, dass bei Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. 15

16 Lösungen der Zusatzaufgaben 15 a) Die entsprechenden Koeffizienten der beiden Unbekannten sind nicht dasselbe Vielfache von einander. b) Die entsprechenden Koeffizienten der beiden Unbekannten sind dasselbe Vielfache von einander, nicht aber die besonderen Zahlen. c) Die beiden Gleichungen sind Vielfache von einander, stellen also dieselbe Gerade dar. 16 (I) a, f (II) b, f (III) a, d (IV) c, f (V) a, e 17 sin α = f } e cos α = g } e tan α = f } g 18 1 b, 2 d, 3 d, 4 c, 5 b, 6 a, 7 b, 8 a, 9 d 19 a) beide 5 km/h b) S (1 2) c) Ziemlich sicher nicht, weil A um 11 Uhr, B aber schon um 10 Uhr in S ist. 20 a und c falsch, b, d, e und f richtig zu Buch-Nr Bleier, Lindenberg, Lindner, Stepancik Verlag E. DORNER GmbH, Wien ISBN