Vom Problem über den Algorithmus zum Programm

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1 2 Vom Problem über den Algorithmus zum Programm Computer sind heute praktisch überall zu finden. Entsprechend groß ist die Vielzahl der Problemstellungen, mit denen man bei der Entwicklung von Programmen und Software-Systemen konfrontiert ist. Viele Problemstellungen erscheinen auf den ersten Blick recht weit von dem entfernt, was von Rechnern zu bewältigen ist, oder scheinen von sehr unterschiedlicher Natur zu sein. Um mit diesen Schwierigkeiten zurecht zu kommen, bietet die Informatik Problemlösungsstrategien an, die sich bewährt haben. In Abschnitt 2.1 dieses Kapitels stellen wir eine Vorgehensweise vor, in deren Zentrum das Konzept des Algorithmus steht. Der Begriff des Algorithmus wird in Abschnitt 2.2 behandelt. Abschnitt 2.3 präsentiert ein Beispiel zur Verdeutlichung der Vorgehensweise. 2.1 Vorgehensweise bei der Lösung von Programmierproblemen In Abbildung 2.1 ist eine klassische Vorgehensweise dargestellt, nach der Probleme in der Informatik gelöst werden können. Das Ziel einer Problemlösung ist, ausgehend von einer Problemstellung ein System zu finden, das diese Lösung darstellt. Diese Vorgehensweise lässt sich in drei Schritten aufgliedern. Ausgangspunkt ist eine gegebene Problemstellung, für die eine Lösung durch den Rechner gesucht wird. Nachfolgend wird mittels Abstraktion aus dem Problem im Idealfall ein Algorithmus erstellt. Der Algorithmus ist im nächsten Schritt in ein Programm zu transferieren, welches dann auf einem Rechner ausgeführt wird. Das Programm stellt die Lösung des Problems dar. Programmierprobleme entstammen dabei üblicherweise der realen Welt. Deshalb ist es in der Phase der Abstraktion notwendig, die realen Gegebenheiten in eine abstrakte Form, die durch Algorithmen beschrieben werden kann, zu überführen. Resultierend wird ein informationsverarbeitendes System hergeleitet, das durch ein Programm gegeben ist. Die eigentliche Ausführung geschieht dann auf einem Rechner (Computer, Maschine). H. Müller, F. Weichert, Vorkurs Informatik, DOI / _2, Springer Fachmedien Wiesbaden 2013

2 16 2 Vom Problem über den Algorithmus zum Programm Reale Welt Abstrakte Objekte Informationsverarbeitendes System Rechner Problem Abstraktion Algorithmus Darstellung Programm Realisierung Maschine Problemanalyse funktionale Spezifikation Algorithmenentwurf Darstellung in formalisierter Sprache für Ausführung durch Rechner Umsetzung in Elementarschritte einer Maschine Abbildung 2.1: Vorgehensweise zur Lösung von Problemen in der Informatik Aufgaben der Abstraktion sind die Problemanalyse, funktionale Spezifikation und der Algorithmenentwurf. Innerhalb der funktionalen Spezifikation wird beschrieben, was der Algorithmus genau leisten soll. Im Anschluss wird festgelegt wie er zu realisieren ist. Der Übergang vom Algorithmus zum Programm, die sogenannte Darstellung, bedeutet Beschreibung in formalisierter Sprache zur Ausführung durch den Rechner. Die letzte Stufe, der Übergang vom Programm zur Maschine, Realisierung genannt, besteht in der Umsetzung des Programms in Elementarschritte einer Maschine. 2.2 Algorithmen Das zentrale Konzept bei dieser Vorgehensweise ist offensichtlich der Algorithmus. Ein Algorithmus ist eine endliche Vorschrift zur eindeutigen Überführung von Eingabegrößen zu Ausgabegrößen in einer endlichen Zahl von Schritten. Diese Definition hört sich möglicherweise etwas abstrakt an, solche Vorschriften sind jedoch im täglichen Leben durchaus gebräuchlich. Betrachten wir beispielsweise einmal das folgende Backrezept für einen Marmorkuchen: Beispiel: Backrezept für einen Marmorkuchen Zutaten: 300g Mehl, 1 TL Backpulver, 300g Butter, 5 Eier, 250g Zucker, 1 Prise Salz, 3 EL ungesüßtes Kakaopulver, 1 guter El Schokocreme

3 2.2 Algorithmen 17 Abbildung 2.2: Algorithmische Beschreibung für das Backen eines Marmorkuchens Zubereitung: Butter mit Zucker und Salz schaumig rühren. Eier vorsichtig zugeben. Backpulver zum Mehl geben und über die Eier-Buttermasse sieben. Kastenkuchen oder Kranzkuchenform gut ausfetten und eventuell mit Semmelbrösel oder Gries ausstreuen. Die Hälfte des Teiges einfüllen. Unter die andere Hälfte das Kakaopulver und Schokocreme rühren. Auf den hellen Teig geben und mit einer Gabel spiralförmig durch den Teig ziehen. Oberfläche glatt streichen. Im Backofen bei 180 Grad Minuten backen. Kuchen 10 min in der Form auskühlen lassen. Den fertigen Marmorkuchen aus der Form stürzen und auf einem Kuchengitter vollständig erkalten lassen. Das Backrezept weist tatsächlich die wesentlichen Eigenschaften eines Algorithmus auf: die Endlichkeit der Länge der Beschreibung, die Terminierung, d. h. die Beendigung nach endlich vielen Operationen sowie die eindeutige Reihenfolge der Operationen. Allein die eindeutige Wirkung der Anweisungsfolge mag beim Backen nicht immer gegeben sein: die resultierenden Kuchen könnten durchaus etwas unterschiedlich aussehen und schmecken.

4 18 2 Vom Problem über den Algorithmus zum Programm Zusammenfassung 2.1 (Algorithmus): Ein Algorithmus ist eine Folge einfacher Anweisungen, die folgende Eigenschaften aufweisen: Endlichkeit: Die Beschreibung ist endlich lang. Terminierung: Nach Durchführung endlich vieler Operationen kommt das Verfahren zum Stillstand. Eindeutige Reihenfolge: Die Reihenfolge, in der die Operationen anzuwenden sind, ist festgelegt. Eindeutige Wirkung: Die Wirkung jeder Anweisung der Anweisungsfolge und damit der gesamten Folge ist eindeutig festgelegt. 2.3 Beispiel: Jüngster Studierender Wir wollen nun die oben geschilderte Vorgehensweise zur Lösung von Programmierproblemen an einem Beispielproblem des Jüngster Studierender illustrieren. Aufgabe ist es, in einer Menge von Studierenden den jüngsten zu finden. Zur Lösung des Problems sind sechs Teilschritte notwendig, die im Folgenden näher beschrieben werden: 1. Problem formulieren Wir wollen den jüngsten Studierenden in einer Vorlesung finden. 2. Problemanalyse, Problemabstraktion, Problemspezifikation Eine wesentliche Frage bei der Problemanalyse ist, ob es überhaupt eine Lösung gibt. Für unser Problem ist dies klar, es gibt eine Lösung. Es stellt sich hierbei allerdings die Frage, ob es genau eine Lösung gibt. Wenn man etwas genauer darüber nachdenkt, kommt man zu dem Schluss, dass es keine eindeutige Lösung gibt. Es könnte sein, dass es mehrere Studierende gibt, bei denen die Anforderungen erfüllt sind. Die Problemabstraktion wirft ebenfalls einige Fragen auf, die im Folgenden zu behandeln sind. Eine erste Frage ist sicherlich: Was ist Alter? Alter kann als ganze positive Zahl verstanden werden. Wenn es allerdings mehrere Studierende mit der gleichen ganzen positiven Zahl als Alter gibt, könnte man auf die Idee kommen, auch gebrochene Zahlen zu berücksichtigen. Eine andere Möglichkeit wäre, das Alter in Jahren, Monaten und Tagen zu messen. Wir werden uns bei dem gegebenen Problem des jüngsten Studierenden für die Version der ganzen positiven Zahl entscheiden. Eine weitere Frage ist: Was ist jüngster? Hierzu ist es notwendig, eine Ordnungsrelation zu haben. Diese ist auf ganzen positiven Zahlen natürlich durch die übliche <-Relation gegeben. Die letzte Frage, die wir uns stellen, ist: Müssen Personenangaben über die Studierenden vorhanden sein und in welcher Form? Eine Möglichkeit ist, dass die Studierenden anwesend sind, etwa während einer Vorlesung in einem Hörsaal. Eine andere Version ist, dass eine Liste

5 2.3 Beispiel: Jüngster Studierender 19 mit Personenangaben von Studierenden vorliegt, die natürlich eine Altersangabe, aber auch weitere Kennzeichen wie den Namen enthalten kann. Abhängig von der Gegebenheit ist das Problem in recht unterschiedlicher Weise lösbar. Wir entscheiden uns hier für die Möglichkeit mit der Liste von Personenangaben, da sie sich für die rechnerbasierte Lösung besser eignet. Man kann sich nun überlegen, ob tatsächlich der Name des jüngsten Studierenden gesucht werden soll. Vielleicht ist es zunächst einmal ratsam, sich nur mit dem Problem des Auffindens des Alters des jüngsten anwesenden Studierenden zu befassen. Dies führt zu einer Überarbeitung der Problemformulierung: Finde das Alter des jüngsten Studierenden. Solche Entscheidungskorrekturen über die Problemstellung sind tatsächlich auch in der Praxis üblich, sie erfolgen dann normalerweise in Rücksprache mit dem Kunden, der von der Notwendigkeit zu überzeugen ist. Ausgehend von diesen Überlegungen können wir nun unser Problem in abstrahierter Form spezifizieren: Problem: Minimum einer Menge von Zahlen Gegeben: Eine Folge a 0,...,a n 1 von positiven ganzen Zahlen, n > 0. Gesucht: Der kleinste Wert a der gegebenen Zahlen, d. h. a = min(a 0,...,a n 1 ). 3. Algorithmenentwurf Für den Entwurf von Algorithmen zur Lösung eines Problems stehen eine Reihe von Vorgehensweisen zur Verfügung. Zwei weitverbreitete Strategien sind: Top-Down-Strategie: Das gegebene Gesamtproblem wird in möglichst einfache Teilprobleme zerlegt, die dann einzeln gelöst werden. Aus den Lösungen dieser Teilprobleme wird dann die Lösung des Gesamtproblems abgeleitet. Diese Strategie wird auch als Divide and Conquer -Strategie bezeichnet. Wir werden auf diese Herangehensweise im Abschnitt 6 Rekursion zurückkommen. Bottom-Up-Strategie: Hierbei besteht das Gesamtproblem aus mehreren Teilproblemen. Diese Teilprobleme werden geeignet zusammengefügt, um eine Lösung des Gesamtproblems zu generieren. Das Minimum einer Menge von Zahlen lässt sich jedoch einfacher finden. Eine sicherlich naheliegende Strategie ist, die Menge Element für Element durchzugehen und sich das kleinste bisher gesehene Element zu merken. Dies ist die Vorgehensweise, der auch im Pseudocode in Abbildung 2.3 gefolgt wird. Pseudocode ist eine leicht formalisierte, aber noch nahe an der üblichen Sprache durchgeführte Formulierung eines Algorithmus, von der aus der Schritt zu einem Programm nicht mehr sehr groß ist. Der Pseudocode wird in Kapitel 3, das den Algorithmenentwurf zum Thema hat, erklärt. 4. Nachweis der Korrektheit (Semantik, Verifikation) Fragen, die im Zusammenhang mit dem Nachweis der Korrektheit gestellt werden, sind: Terminiert der Algorithmus, d. h., hört er irgendwann einmal auf zu arbeiten? Liefert er immer das richtige Ergebnis? Um solche Fragen zu beantworten, gibt es spezielle Formalismen und

6 20 2 Vom Problem über den Algorithmus zum Programm Setze merker auf a 0 ; Setze i auf 1; Solange i < n ist, fuehre aus: Wenn a i < merker, dann Setze merker auf a i ; Erhoehe i um 1; Gib merker zurueck; Abbildung 2.3: Pseudocode für den Algorithmus Minimumsuche Mechanismen. Eine Vorgehensweise besteht darin, die Wirkung von Einzelschritten eines Algorithmus zu spezifizieren. Dies kann über Aussagen geschehen, die den Zustand der Berechnung nach Ausführung des Einzelschrittes in Abhängigkeit des Zustandes vor Ausführung von Einzelschritten beschreiben. Durch Zusammensetzen der Aussagen entlang der Einzelschritte eines Algorithmus ist es dann möglich, eine Aussage über den Zustand der Berechnung nach Abarbeiten des Algorithmus zu treffen, d.h des Ergebnisses, in Abhängigkeit des Zustandes der Berechnung vor der Ausführung des Algorithmus, der Eingabe, zu machen. Auf diese Weise wird dem sprachlichen Aufbau eines Algorithmus, der sogenannten Syntax, eine inhaltliche Bedeutung, eine so genannte Semantik zugeordnet. Wir werden uns in Kap. 18 Compiler und formale Sprachen mit Syntax und Semantik befassen, dabei allerdings die Frage des Nachweises der Korrektheit nicht mehr aufgreifen. Dieser ist einer der Schwerpunkte des Informatikstudiums. 5. Aufwandsanalyse Durch Aufwandsanalyse soll herausgefunden werden, welche Rechnerressourcen bei der Abarbeitung des Algorithmus gebraucht werden. Rechnerressourcen sind beispielsweise der Bedarf an Speicher zur Ablage der benötigten Daten und der Zeitbedarf für die Ausführung des Algorithmus. Der Algorithmus zur Minimumsuche ist in beiderlei Hinsicht recht genügsam. Die Anzahl der Schritte, die bei n gegebenen Zahlen auszuführen ist, ist offensichtlich proportional zu n: jedes Element wird genau einmal angesehen und die Anzahl der Aktionen für jedes Element ist konstant, da nur ein Vergleich des aktuellen Wertes mit dem gemerkten Minimum und möglicherweise eine Aktualisierung des gemerkten Minimums durchzuführen sind. Dies ist im Prinzip optimal, denn jedes Element der Menge muss mindestens ein Mal angesehen werden, da es sonst sein könnte, dass sich das minimale unter den nicht betrachteten befindet. Auch der Bedarf an Speicher ist proportional zu n, da neben den n Elementen im Wesentlichen nur das gemerkte Minimum gespeichert werden muss. Wir werden in Kapitel 12, das sich mit der Analyse des asymptotischen Aufwands von Algorithmen befasst, genauer auf die Aufwandsanalyse des Minimumsuche-Algorithmus eingehen. 6. Programmierung Bei der Programmierung geht es darum, den Algorithmus in einer Programmiersprache zu

7 2.3 Beispiel: Jüngster Studierender 21 class ProgrammMinSuche{ public static void main(string[] args){ int[] a = {11,7,8,3,15,13,9,19,18,10,4}; int merker = a[0]; int i = 0; int n = a.length; while (i < n){ if (a[i] < merker) merker = a[i]; i = i + 1; } System.out.println(merker); } } Abbildung 2.4: Java-Programm zur Minimumsuche formulieren, sodass er letztendlich durch einen Rechner ausführbar wird. Der Quellcode in Abbildung 2.4 zeigt ein Java-Programm, das den Algorithmus aus Pseudocode 2.3 realisiert. Offensichtlich ist diese Darstellung recht formal und für den menschlichen Leser mit scheinbar überflüssigen Dingen versehen. Dieser Formalismus erlaubt es jedoch dem Rechner, das Programm automatisch zu analysieren und auszuführen. Das gezeigte Programm soll nur zur Illustration dienen und muss an dieser Stelle nicht verstanden werden. Es wird in Kapitel 4 Grundkonzepte der Programmierung besprochen, mit dem die Einführung in die Programmierung beginnt. Zusammenfassung 2.2 (Vorgehensweise bei der Lösung von Programmierproblemen): Bei der Lösung eines algorithmisch orientierten Programmierproblems sind im Allgemeinen folgende Schritte durchzuführen: 1. Problem formulieren 2. Problemanalyse, Problemabstraktion, Problemspezifikation 3. Algorithmenentwurf 4. Nachweis der Korrektheit, Verifikation 5. Aufwandsanalyse 6. Programmierung Aufgabe 2.1: Geben Sie analog zum Backrezept weitere Beispiele für algorithmenartige Anweisungen aus dem täglichen Leben an.

8 22 2 Vom Problem über den Algorithmus zum Programm Aufgabe 2.2: Wir wollen feststellen, ob sich in einer Liste von Studierenden eine Person mit dem Alter 19 befindet. Spezifizieren Sie das Problem in abstrahierter Form analog zur Vorgehensweise beim Problem Jüngster Studierender. Aufgabe 2.3: Geben Sie abstrahierte Formulierungen für die folgenden Probleme an: a) Gibt es in der Vorlesung einen Teilnehmenden mit dem Namen Müller? b) Überprüfen Sie, ob sich innerhalb der Veranstaltung zwei Personen mit gleichem Nachnamen befinden.

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