AUFGABEN. Klausur: Modul Problemlösen in graphischen Strukturen. Termin:

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1 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine AUFGABEN Klausur: Modul 3181 Problemlösen in graphischen Strukturen Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

2 Modul 3181 vom Problemlösen in graphischen Strukturen Ausgangssituation (relevant für die Aufgaben 1, 2, 3 und 5) In dieser Klausur beziehen sich die Aufgaben 1, 2, 3 und 5 auf einige Städte im Ruhrgebiet oder daran angrenzend. Im Einzelnen sind das (in alphabetischer Reihenfolge) Bochum (BO), Dortmund (DO), Duisburg (DU), Essen (E), Gelsenkirchen (GE), Hagen (HA), Herne (HER), Hilden (HIL), Oberhausen (OB) und Wuppertal (W). In Nordrhein-Westfalen existiert ein dichtes Autobahnnetz, und so sind auch die obigen Städte über Autobahnen miteinander verbunden. Die Entfernungen der jeweiligen Direktverbindung entnehmen Sie bitte der folgenden Bewertungsmatrix C(G): BO DO DU E GE HA HER HIL OB W BO DO DU E GE HA HER HIL OB W

3 Modul 3181 vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 1 Erreichbare Punktzahl: 2 Das Fernbusunternehmen CommeOR mit Sitz in Hagen möchte ein Verkehrsnetz aufbauen und zunächst verschiedene Ziele im Ruhrgebiet anfahren. Die Liste der Städte mit ihren Autobahnverbindungen liegt vor (siehe Ausgangssituation auf Seite 1), und zur Planung der Linien schlägt ein Mitarbeiter vor, zu dem durch die Bewertungsmatrix gegebenen Graphen ein minimales Gerüst zu bestimmen, in dem alle Zielorte miteinander verbunden sind. a) Ihre erste Aufgabe ist es, dieses Gerüst mit dem Algorithmus von Prim zu ermitteln. Ausgangspunkt ist Hagen. i) Zeichnen Sie dazu zunächst den Graphen, der in der Ausgangssituation auf Seite 1 durch die Bewertungsmatrix gegeben ist. Nutzen Sie das im Lösungsteil vorgegebene Schema. ii) Notieren Sie die Reihenfolge, in der die Kanten dem Baum hinzugefügt werden und zeichnen Sie das vollständige Gerüst. Beschriften Sie die Kanten mit den zugehörigen Entfernungen. b) Die Blätter des Baumes stellen gleichzeitig die Endpunkte der Fernbuslinien dar. Notieren Sie alle Ketten im Graphen, die den Knoten HA (Hagen) mit diesen Endknoten verbinden. c) Die Unternehmensleitung konfrontiert Sie mit der Behauptung, dass die Installation dieses auf dem Gerüst basierenden Linienkonzeptes wahrscheinlich nicht optimal ist, wenn man alle Orte auf dem kürzesten Weg erreichen und damit möglichst wenig Kilometer fahren möchte. Ist diese Behauptung richtig? Argumentieren Sie aus graphentheoretischer Sicht. (Hinweis: Die Anzahl der zu befördernden Personen und die daraus ggf. resultierende Auslastung der Busse soll hier keine Rolle spielen.)

4 Modul 3181 vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 2 Erreichbare Punktzahl: 2 Das Fernbusunternehmen CommeOr ist gewachsen und mittlerweile wird von Hagen aus jede Stadt mit einem separaten Bus angefahren. Das führt bei der Unternehmensleitung zu der Überlegung, die Anzahl der insgesamt gefahrenen Kilometer durch eine Bündelung der Fahrten bei gleichzeitigem Einsatz von Großraumbussen zu reduzieren. Als Standort für den zentralen Umsteigeknotenpunkt sind entweder Bochum oder Essen im Gespräch, und eine Analyse soll ermitteln, wie viele Kilometer durch die Bündelung eingespart werden können. In der Tabelle 1 sind die Entfernungen der Städte Hagen, Bochum und Essen zu den übrigen Städten erfasst. Hierbei handelt es sich um gerundete Werte, die nur in dieser Aufgabe verwendet werden sollen. BO DO DU E GE HA HER HIL OB W HA BO E Tabelle 1: Entfernungen in km a) Gehen Sie davon aus, dass jeder Ort von einem separaten Bus angefahren werden muss. Notieren Sie in Zeile des Schemas im Lösungsteil die jeweils in den Zielort gefahrene Strecke und in Feld die Summe der gefahrenen Kilometer aller Busse des Unternehmens CommeOR. b) Weiterhin starten alle Busse in Hagen; die Ziele können dann direkt oder über den neuen Knotenpunkt Bochum bzw. Essen angefahren werden. Durch die Bündelung der Fahrten über den Knotenpunkt reduziert sich die Anzahl der Busse, die von Hagen nach Bochum bzw. von Hagen nach Essen fahren müssen, um die Hälfte, d.h. bei Fahrt über den Knotenpunkt muss im Mittel für die Fahrt dorthin 2 bzw. 25 Kilometer hinzugerechnet werden. Die in Tabelle 1 angegebenen Fahrtkilometer sind entsprechend zu korrigieren und in die Zeilen und des Lösungsschemas einzutragen. c) Ermitteln Sie gemäß Add-Algorithmus in den Feldern und die Ersparnis η i, die durch eine Bündelung erreicht werden kann. Notieren Sie anschließend in den Zeilen und des Lösungsschemas die zu den Zielen zu fahrenden Kilometer und ob von Hagen direkt bzw. über den Knotenpunkt gefahren wird. Welcher Wert errechnet sich jetzt für die insgesamt zu fahrende Strecke (Feld ) und welche Ersparnis ergibt sich daraus?

5 Modul 3181 vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 3 Erreichbare Punktzahl: 5 Das Fernbusunternehmen CommeOR plant von Hagen aus eine Rundreise durch alle neun Ruhrgebietsstädte und Rückkehr nach Hagen. Grundlage ist wieder das in der Ausgangssituation auf Seite 1 gegebene Autobahnnetz. Welche Route fährt der Bus, wenn die Strecke mittels des Verfahrens des Nächsten Nachbarn ermittelt wird? Sollte in einem Knoten kein direkter Nachbar existieren, wählen Sie einen beliebigen noch nicht besuchten Ort und bewerten Sie diese Strecke mit 1 km. Wieviel Kilometer werden insgesamt zurückgelegt? Aufgabe 4 Erreichbare Punktzahl: 25 Das Fernbusunternehmen CommeOR möchte ein neues Geschäftsfeld erschließen und Reisen ins europäische Ausland ins Programm aufnehmen. Als Zielorte sind zunächst Budapest, Madrid, Rom und Warschau geplant. Neben erfahrenem Personal sind auch neue Fahrerinnen und Fahrer eingestellt worden. Wegen der weiten Entfernungen sind für die Touren immer zwei Personen einzuplanen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass 1) die langjährigen Fahrerinnen bzw. Fahrer Frau Abel, Herr Blankovicz und Herr Calau nicht zusammen in einem Team sein sollen, 2) Die neu eingestellten Frau Droste, Herr Ehring und Frau Falk ebenfalls nicht zusammen unterwegs sein sollen. 3) Weiter ist zu beachten, dass Frau Falk nicht mit Frau Abel und auch nicht mit Herrn Grohe sowie Herr Calau nicht mit Frau Hauser und auch nicht mit Herrn Ehring fahren sollen. 4) Schließlich sollen Frau Hauser und Herr Grohe kein Team bilden. Die Unternehmensleitung hat Sie nun damit beauftragt, eine Einsatzplan zu erstellen, der alle oben formulierten Bedingungen erfüllt. a) Abstrahieren Sie das Personaleinsatzproblem auf einen Graph mit 8 Knoten. Versehen Sie dabei die Knoten mit den jeweiligen Anfangsbuchstaben der Nachnamen der Fahrerinnen bzw. Fahrer und stellen Sie die zu vermeidenden Einsatzkombinationen durch Kanten dar.

6 Modul 3181 vom Problemlösen in graphischen Strukturen b) Ein Team wird durch einen Klammerausdruck repräsentiert, bspw. (AE) für die gemeinsame Fahrt von Frau Abel und Herrn Ehring. Ein Einsatzplan besteht stets aus genau vier Teams. Bewerten Sie die folgenden Pläne, die als Liste mit vier Elementen Lösungen des Zuordnungsproblems darstellen, mit der Anzahl der Konflikte. AB CD, EF, GH ED GA, BF, CH FA, ED, BC, HG. [( ), ( ) ( ) ( )], [( ), ( ) ( ) ( )], [( ) ( ) ( ) ( )] c) Führen Sie das Verfahren Simulated Annealing unter Anwendung des im Kurs beschriebenen Pseudocodes mit der in b) gewählten Bewertung und dem Abkühlplan Ti + 1 =. 5 Ti für jeden Iterationsschritt i durch. Die Starttemperatur ist T = 5, wobei die Boltzmannkonstante dabei schon mit eingerechnet wurde. Die Startlösung ist im Lösungsschema bereits eingetragen; sie lautet FA, EB, CD, GH. [( ) ( ) ( ) ( )] Eine Nachbarlösung ist wie folgt definiert: Man wählt das erste Team in der Liste, das die Bedingungen verletzt (Team 1 mit Fahrer/innen u und v). Das in der Liste nächste Team wird ebenfalls ausgewählt (Team 2: (xy)) und mit Team 1 wie folgt kombiniert, so dass eine Nachbarlösung entsteht: Die Personen in den beiden Teams (uv)(xy) werden getauscht, und es entstehen die neuen Teams (vy)(xu). Muss eine weitere Nachbarlösung generiert werden, so wird für Team 2 das nächste Element der Liste ausgewählt. Dabei folgt auf den letzten Eintrag das erste Paar der Liste. Hinweis: Die erste Nachbarlösung ist bereits in das Lösungsschema eingetragen. Führen Sie drei Iterationen vollständig durch! Je nach Auswahl der Nachbarlösungen, ist das Optimum dann eventuell noch nicht erreicht.

7 Modul 3181 vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 5 Erreichbare Punktzahl: 3 Ein in Hagen ansässiges Unternehmen produziert Spezial-Dampfkessel, deren Gesamtgewicht jeweils bei 4 bis 6 t liegt und die nach ihrer Fertigstellung per Schwerlasttransport zum Kunden geliefert werden müssen. Der Transport läuft über die Autobahn, und so ist für jede Lieferung im dichten Autobahnnetz der kürzeste Transportweg zu ermitteln. a) Die nächsten neun Kessel gehen in die Industriestädte Bochum (BO), Dortmund (DO), Duisburg (DU), Essen (E), Gelsenkirchen (GE), Herne (HER), Hilden (HIL), Oberhausen (OB) und Wuppertal (W). Ermitteln Sie für das in der Ausgangssituation auf Seite 1 gegebene Autobahnnetz mit dem Dijkstra-Algorithmus alle kürzesten Transportwege in die neun aufgeführten Orte. Verwenden Sie das im Lösungsteil angegebene Schema. b) Notieren Sie alle Wege in der im Lösungsteil abgedruckten Tabelle, und geben Sie die jeweilige Weglänge an. c) Erneuerungsarbeiten auf der A2 bei Bottrop führen dazu, dass das Autobahnteilstück zwischen Oberhausen (OB) und Gelsenkirchen (GE) nicht für den Schwerlastverkehr frei gegeben ist. Welche Auswirkungen hat diese Sperrung für die Planung der Transportwege aus Teil a) der Aufgabe? In welcher Iteration des Dijkstra-Algorithmus tritt eine Änderung gegenüber der ursprünglichen Situation auf, und worin besteht diese Änderung?

8 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Modul 3181 Problemlösen in graphischen Strukturen Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

9 Hinweise für die Bearbeitung Füllen Sie zunächst das Deckblatt und den Kopf der Lösungsbögen aus. Trennen Sie von den Lösungsbögen keine Blätter ab; am Ende der Klausur müssen alle Lösungsbögen abgegeben werden. Die Lösungen müssen in den vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseite, und geben Sie einen deutlichen Hinweis hierauf. Bedenken Sie, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Die Klausur umfasst 5 Aufgaben, die in 12 Minuten zu bearbeiten sind. Zu jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Punktzahl angegeben; die Summe aller Punkte beträgt 1. Die Klausur ist auf jeden Fall bestanden, wenn 5 Punkte erreicht wurden. Als Hilfsmittel für diese Klausur sind zugelassen: Die Verwendung eines Taschenrechners ist dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der drei folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86, Texas Instruments TI 3 X II, Sharp EL 531. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. Darüber hinaus sind ausschließlich die zum Modul gehörenden Kurseinheiten einschließlich der darin enthaltenen Lösungen zu den Übungsaufgaben zugelassen. Die Kurse dürfen Markierungen und textbezogene Anmerkungen enthalten. Lesen Sie den Aufgabentext gut durch und nun: Viel Erfolg!

10 Modul 3181 vom Name: 1 Aufgabe 1 a)-i) a)-ii)

11 Modul 3181 vom Name: 2 Aufgabe 1 (Fortsetzung) b) c)

12 Modul 3181 vom Name: 3 Lösung zu Aufgabe 2 a) + b) BO DO DU E GE HA HER HIL OB W HA BO E 1 δ j 1 ν j HA HA HA HA HA HA HA HA HA HA σ i η i 2 j δ 2 j ν

13 Modul 3181 vom Name: 4 Lösung zu Aufgabe 3

14 Modul 3181 vom Name: 5 Lösung zu Aufgabe 4 a) b)

15 Modul 3181 vom Name: 6 Lösung zu Aufgabe 4 (Fortsetzung) c) aktuelle Lösung Nachbarlösung f akt f N f T T e R akzept. [( FA ), ( EB),( CD),( GH )] [( AB ), ( EF ), ( CD),( GH )]

16 Modul 3181 vom Name: 7 Lösung zu Aufgabe 5 a) Iteration Knoten j d j q j d j q j d j q j d j q j d j q j BO (1) DO (2) DU (3) E (4) GE (5) HA (6) HER (7) HIL (8) OB (9) W (1) L M Iteration Knoten j d j q j d j q j d j q j d j q j d j q j BO (1) DO (2) DU (3) E (4) GE (5) HA (6) HER (7) HIL (8) OB (9) W (1) L M

17 Modul 3181 vom Name: 8 Lösung zu Aufgabe 5 b) Knoten j BO (1) DO (2) DU (3) E (4) GE (5) HA (6) HER (7) HIL (8) OB (9) W (1) kürzester Weg von 6 nach j Weglänge d j c)

18 Modul 3181 vom Name: 9 Zusätzliche Seite 1; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.

19 Modul 3181 vom Name: 1 Zusätzliche Seite 2; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.