FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

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1 FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: 30. März 2017, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur Die Klausur besteht aus zwei Teilen, dem Aufgabenteil und dem Lösungsteil. Weiterhin sind Aufgaben- und Lösungsteil jeweils nach den zwei Kursen (42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis und Vertiefung der Statistik) des Moduls separat unterteilt. Nutzen Sie bei der Lösung der Aufgaben für jeden Klausurteil nur die entsprechenden Lösungsblätter zu dem jeweiligen Klausurteil! Zur leichteren Bearbeitung können Sie den Aufgaben- vom Lösungsteil trennen. Trennen Sie jedoch nicht die Lösungsblätter! WICHTIG: Nur der ungetrennte Lösungsteil wird am Ende der Klausur eingesammelt! Sollten Sie doch einzelne oder mehrere Lösungsblätter vom Lösungsteil getrennt haben, liegt es in Ihrer Verantwortung, diese zusammenzuführen und bspw. geheftet als ein Ganzes abzugeben! Trennen Sie jedoch in jedem Fall vor der Abgabe den Aufgaben- vom Lösungsteil. 2. Tragen Sie für beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) auf das Deckblatt der Lösungsbögen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 3. Es können insgesamt 100 erreicht werden. Bei Erreichen von 50 n ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 4. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbögen zu dem jeweiligen Klausurteil und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Für den Klausurteil Mathematik müssen die Lösungen in den dafür vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseiten oder die freien Blätter am Ende und geben Sie einen deutlichen Hinweis auf die Aufgabenzugehörigkeit. Bedenken Sie bitte bei der Anfertigung Ihrer Lösungen, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Bei einem mehrfach bearbeiteten Aufgabenteil wird lediglich die erste Lösung bewertet. Nicht zu korrigierende Lösungsteile sind zu entwerten. Für den Klausurteil Statistik müssen die Lösungen in die entsprechenden Kästchen auf dem Lösungsbogen eingetragen werden. Für jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begründung bzw. Interpretation ist auf dem Lösungsbogen ein entsprechendes Kästchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen können nicht bewertet werden.

3 5. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86 oder Casio fx87 Texas Instruments TI 30 X II Sharp EL 531 Eventuelle Vorgänger- oder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5, 0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. 6. Für den Klausurteil Mathematik sind weder die Kursunterlagen noch weitere Materialien der Wirtschaftsmathematik als Hilfsmittel zugelassen. Für den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zusätzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. Nicht zugelassen sind selbst ausgedruckte und kopierte Kursmaterialien. 7. Wenn Sie einzelne Blätter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 8. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

4 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 30. März 2017, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

5 Vertiefung der Statistik Hinweis: Bitte tragen Sie die Lösungen aller Aufgaben in die Lösungsbogen ein. Bewertet werden nur die Lösungsbogen. Aufgabe 1 (10 ) Bewerten Sie folgende Aussagen anhand von drei Gütekriterien mit richtig oder f alsch. 1. Wenn verschiedene Professoren dieselbe Bachelorarbeit gleich beurteilen, dann ist das Urteil objektiv. 2. Wenn ein Urteil gültig ist, so bezeichnet man dieses Urteil auch als valide. 3. Ein Professor, der zu verschiedenen Zeitpunkten dieselbe Bachelorarbeit unterschiedlich beurteilt, gibt ein Urteil ab, das nicht objektiv ist. 4. Sind erhebliche Zweifel daran berechtigt und nachgewiesen, dass der Professor nicht das beurteilt, was er zu beurteilen vorgibt, dann ist das Urteil nicht reliabel. 5. Geben verschiedene Professoren zu verschiedenen Zeitpunkten uber dieselbe Bachelorarbeit das gleiche Urteil ab, dann sind die Urteile sowohl objektiv, wie auch reliabel. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 n bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0.

6 Vertiefung der Statistik Aufgabe 2 (13 ) An der Fernuniversität in Hagen wurde eine Lehrevaluation durchgeführt. Studierende wurden befragt, wie sie mit dem Skript, dem Mentoriat und der Klausur zufrieden waren. 2.1 (5 ) Zuerst wurde der Korrelationskoeffizient zwischen Zufriedenheit mit dem Skript und Zufriedenheit mit dem Mentoriat ausgerechnet. Berechnen Sie ein 99%-Konfidenzintervall für den unbekannten Korrelationskoeffizienten ρ unter Annahme der Normalverteilung. 2.2 (3 ) Prüfen Sie mittels des Signifikanztests ρ = 0 die Hypothese H 0 : ρ = 0 auf dem Signifikanzniveau α = 1%. 2.3 (2 ) Kann die Fragestellung aus 2.2 auch mit dem Ergebnis aus 2.1 beantwortet werden? Wenn ja, erläutern Sie den Zusammenhang.

7 Vertiefung der Statistik (3 ) Berechnen Sie die partielle Korrelation der Variablen Zufriedenheit mit dem Skript (X) und Zufriedenheit mit dem Mentoriat (Y ), wenn die Variable Zufriedenheit mit der Klausur (Z) kontrolliert wurde.

8 Vertiefung der Statistik Aufgabe 3 (12 ) Zwei HR-Manager eines mittelständigen Unternehmens bewerten die Arbeit von Mitarbeitern. Untersucht werden soll die Übereinstimmung der Manager. Manager A gut mittel schlecht gut Manager B mittel schlecht (2 ) Geben Sie die Hypothese in Tabellenform an (Hinweis: A priori-regel). 3.2 (4 ) Geben Sie die Unabhängigkeitstafel an. 3.3 (6 ) Der Chi-Quadrat-Wert beträgt Geben Sie den Kontingenzkoeffizienten und Phi-Koeffizienten an, berechnen Sie den Koeffizienten Cohen Kappa.

9 Vertiefung der Statistik Aufgabe 4 (15 ) Auf den nächsten Seiten finden Sie die Ergebnisse einer Faktorenanalyse, die von einer Bank durchgeführt wurde. Es wurden die Daten von 50 Kreditkunden erhoben: Laufzeit des Kredits Höhe des Kredits Alter des Kunden/der Kundin Kontostand des Girokontos des Kunden/der Kundin Ratenhöhe des Kredits in % des monatlichen Einkommens Kunden/der Kundin Die Daten wurden standardisiert, so dass Σ = R gilt. 4.1 (3 ) Wie viele Faktoren sollten verwendet werden, wenn man sich am Screeplot orientiert? Und wie viele sind notwendig, wenn 75% der Varianz erklärt werden sollen? 4.2 Interpretieren Sie den ersten Faktor! (2 )

10 Vertiefung der Statistik (7 ) Es sollen zwei Faktoren verwendet werden. Geben Sie die unrotierte Ladungsmatrix an! Bestimmen Sie die Kommunalitäten und die spezifischen Varianzen der Variablen Laufzeit und Ratenhöhe. Hinweis: Die quadrierte Ladungsmatrix ist Λ 2 Λ 2 = (3 ) Es sollen zwei Faktoren verwendet werden. Schätzen Sie den Faktorwert des ersten Faktors der dritten Messung.

11 Vertiefung der Statistik

12 Vertiefung der Statistik

13 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 30. März 2017, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

14 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 9 Aufgabenteil Aufgabe 1 18 Die Getränke GmbH & Co. KG möchte für die nächste Planungsperiode die Produktion der Spezialgetränkesorten Schmecktgut und Löschtdurst planen, wobei x 1 die zu produzierende Menge in Hektolitern (hl) von Schmecktgut und x 2 die zu produzierende Menge in hl von Löschtdurst bezeichnet. Der zugehörige Gewinn der Getränke GmbH & Co. KG in Euro wird annähernd durch die Funktion f(x 1, x 2 ) = 0,125x 4 1 4x 3 1 2x x 1 x beschrieben. Helfen Sie der Getränke GmbH & Co. KG und bestimmen Sie die gewinnmaximierende Mengenkombinationen (x 1, x 2 0). Gehen Sie dabei wie folgt vor: a) Bilden Sie die ersten partiellen Ableitungen der Funktion f(x 1, x 2 ). b) Bilden Sie die zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f(x 1, x 2 ). c) Berechnen Sie den Gewinn im Punkt x (1) = (12, 20) T! d) Untersuchen Sie den Punkt x (1) = (12, 20) T, ob es sich dabei um einen kritischen Punkt handelt! e) Bestimmen Sie alle kritschen, indem Sie einen formal vollständigen Rechenweg aufzeigen. Prüfen Sie diese auf ihre Zulässigkeit! f ) Untersuchen Sie die in Aufgabenteil e) gefundenen zulässigen auf lokale Extrema. g) Wie hoch fällt der maximale Gewinn aus? Vergleichen Sie dies mit dem Ergebnis in Aufgabenteil c). Aufgabe 2 16 Die Firma Mittelzwerg GmbH fertigt besonders ausgefallene Vorgartenzwerge. Interessierten Kleingärtnern stehen die vier folgenden Artikel bzw. Zwerge zur Auswahl: Bombur mit Laterne und Pfeife, Durin mit Schaufel, Gimli mit Axt und Helm sowie Thorin mit Eichenschild und Hellebarde. Für die Herstellung dieser vier Zwerge

15 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 10 Aufgabenteil werden drei verschiedene Tonarten A, B und C verwendet, von denen jeweils nur ein begrenzter Vorrat pro Periode zur Verfügung steht. Je nach Artikel werden unterschiedliche Mengen Ton (gemessen in kg) zur Herstellung eines Zewerges benötigt. Der Tonbedarf pro Mengeneinheit (ME) des Artikels und die Vorratsrestriktionen je Tonart sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. Zwerg / Tonart A B C Gewinn je ME Bombur e Durin e Gimli e Thorin e Vorrat je Periode Gesucht ist der gewinnmaximale Produktionsplan für die nächste Periode unter der Annahme, dass die hergestellten Artikel vollständig abgesetzt werden können. a) Stellen Sie ein lineares Optimierungsmodell zur Bestimmung des optimalen Produktionsplans auf. Die Entscheidungsvariablen x i mit i = 1,...,4 beschreiben jeweils die Produktionsmenge in ME für die Gartenzwerge Bombur (x 1 ), Durin (x 2 ), Gimli (x 3 ) und Thorin (x 4 ). b) Stellen Sie ein Anfangstableau für die Berechnung der optimalen Lösung mittels Simplexalgorithmus auf und markieren Sie das Pivot-Element. c) Vervollständigen Sie das Simplextableau auf Seite 18 der Lösungsbögen zur Bestimmung der optimalen Lösung des Problems. d) Wie hoch ist der maximale Gewinn? Wie lauten die optimalen Werte für x 1, x 2, x 3 und x 4? Welche Mengen Ton der Arten A, B und C werden für die Herstellung des Artikels Durin gemäß dem optimalen Produktionsplan benötigt? e) Die Produktentwicklung der Mittelzwerg GmbH möchte einen besonderen Artikel für Sammler herstellen, und zwar den Zwerg Balin mit Buch und Schreibfeder. Dafür werden je Mengeneinheit des Artikels 1 kg Ton der Tonart A und 2 kg Ton der Tonart C benötigt und es lässt sich ein Gewinn in Höhe von 2 e je ME erzielen. Sollte der Artikel in den Produktionsplan aufgenommen werden? Sprechen Sie der Firma Mittelzwerg GmbH eine Empfehlung aus und begründen Sie diese. (Hinweis: Keine Rechnung notwendig!)

16 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 11 Aufgabenteil Aufgabe 3 16 Gegeben seien folgende Aussagen. Markieren Sie auf Seite 19 der Lösungsbögen zunächst, ob diese Aussagen entweder wahr oder falsch sind und begründen Sie anschließend die Auswahl! Hinweis: Für jede eindeutige korrekte Markierung und für jede nachvollziebare Begründung mit Rechenweg erhalten Sie jeweils die maximale Punktzahl! ( ) 2 1 A) Gegeben sei die Matrix A =. Die Matrix A ist nicht regulär. 4 3 B) Anhand der Größe einer n n-matrix lässt sich die Kovexität und Konkavität ihrer quadratischen Form bestimmen. C) Das 10. Glied der ersten Differenzenfolge von y = n 3 lautet y 10 = 331. D) Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 5y 6x 2 = 0 lautet y(x) = 2x 3 + c. E) Gegeben sei die Matrix B = Matrix B beträgt F) Die Hessematrix Hf(x,y) der Funktion f(x,y) = x x + y 1 Hf(x,y) = (x + y) 2y 3 x y. Die Summe der Eigenwerte zu x y 2x hat die Form.

17 Name, Vorname Matrikelnummer LÖSUNGSTEIL der Modulklausur Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Datum Termin: Prüfer: 30. März 2017, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine, Univ.-Prof. Dr. H. Singer

18 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik LÖSUNGSTEIL Datum Termin: Prüfer: 30. März 2017, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer

19 LÖSUNGSBOGEN Klausur: Kurs Vertiefung der Statistik Termin: 30. März 2017 Prüfer: Univ.-Prof. Dr. H. Singer Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Datum: Unterschrift des Prüfers: 1

20 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 1 (10 ) Bewerten Sie folgende Aussagen anhand von drei Gütekriterien mit richtig oder f alsch. richtig falsch 1. Wenn verschiedene Professoren dieselbe Bachelorarbeit gleich beurteilen, dann ist das Urteil objektiv. 2. Wenn ein Urteil gültig ist, so bezeichnet man dieses Urteil auch als valide. 3. Ein Professor, der zu verschiedenen Zeitpunkten dieselbe Bachelorarbeit unterschiedlich beurteilt, gibt ein Urteil ab, das nicht objektiv ist. 4. Sind erhebliche Zweifel daran berechtigt und nachgewiesen, dass der Professor nicht das beurteilt, was er zu beurteilen vorgibt, dann ist das Urteil nicht reliabel. 5. Geben verschiedene Professoren zu verschiedenen Zeitpunkten uber dieselbe Bachelorarbeit das gleiche Urteil ab, dann sind die Urteile sowohl objektiv, wie auch reliabel. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 n bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0. 2

21 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 2 (13 ) 2.1 (5 ) a (1,5 ) b (1,5 ) 95% Intervallf ürρ (2 ) 2.2 (3 ) Quantil Prüfgröße Ablehnung H 0 3

22 LÖSUNGSBOGEN (2 ) Ja / Nein 2.4 (3 ) partielle Korrelation 4

23 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe (12 ) (2 ) 3.2 (4 ) 5

24 LÖSUNGSBOGEN (6 ) Kontingenzkoeffizient Phi-Koeffizient Cohen Kappa 6

25 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe (15 ) (3 ) Anzahl der Faktoren anhand des Screeplots (1.5 P.) Anzahl der Faktoren anhand der Varianz (1.5 P.) 4.2 (2 ) 7

26 LÖSUNGSBOGEN (7 ) Die unrotierte Ladungsmatrix (3 ) Λ 2 = h Laufzeit (1 Punkt) v Laufzeit (1 Punkt) h Ratemhöhe (1 Punkt) v Ratemhöhe (1 Punkt) 8

27 LÖSUNGSBOGEN (3 ) Faktorwert 9

28 LÖSUNGSBOGEN

29 LÖSUNGSBOGEN

30 LÖSUNGSBOGEN

31 LÖSUNGSBOGEN

32 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis LÖSUNGSTEIL Datum Termin: Prüfer: 30. März 2017, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine

33 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Kurs Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis Termin: Prüfer: Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

34 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 14 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: a) f(x 1, x 2 ) = 0,125x 4 1 4x 3 1 2x x 1 x f x1 (x 1, x 2 ) = f x2 (x 1, x 2 ) = b) f x1 x 1 (x 1, x 2 ) = f x2 x 2 (x 1, x 2 ) = f x1 x 2 (x 1, x 2 ) = f x2 x 1 (x 1, x 2 ) = c) f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 ) = 0,125x 4 1 4x 3 1 2x x 1 x d)

35 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 15 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: e)

36 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 16 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: f) g)

37 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 17 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: a) b)

38 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 18 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: c) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 b d) e)

39 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 19 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: Die Aussage zu wahr falsch 3 A) ist 3 B) ist 3 C) ist 3 D) ist 3 E) ist 3 F) ist Begründung zu Aussage A): Begründung zu Aussage B):

40 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 20 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: Begründung zu Aussage C): Begründung zu Aussage D):

41 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 21 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: Begründung zu Aussage E):

42 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 22 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: Begründung zu Aussage F):

43 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 23 Lösungsbögen Aufgabe Matr.-Nr.:

44 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 24 Lösungsbögen Aufgabe Matr.-Nr.: