AUFGABEN. Klausur: Modul Problemlösen in graphischen Strukturen. Termin:

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1 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine AUFGABEN Klausur: Modul Problemlösen in graphischen Strukturen Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

2 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 1 Erreichbare Punktzahl: 10 Gegeben sei der folgende Digraph G : a) Geben Sie eine topologische Sortierung der Knoten von G an. Schreiben Sie hierzu die Knotennummern in den Graphen im Lösungsteil. b) Stellen Sie die Adjazenzmatrix A( G ) und die Inzidenzmatrix B( G ) auf. Bezeichnen Sie die Pfeile zwischen den Knoten i und j mit <i, j>; alternativ nummerieren Sie die Pfeile im Lösungsteil und benennen diese mit e k (k = 1,,20). c) Notieren Sie zu obigem Digraph G eine Pfeilfolge mit maximaler Knotenzahl. d) Notieren Sie alle starken Zusammenhangskomponenten.

3 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 2 Erreichbare Punktzahl: 20 Gegeben ist das folgende Netzwerk mit einem Anfangsfluss und maximalen Kapazitäten, die an den Pfeilen jeweils mit (φ ij, κ ij ) notiert sind; die Minimalkapazitäten λ ij seien auf allen Kanten gleich Null. a) Welche (Gesamt-)Stärke hat der aktuelle Anfangsfluss von der Quelle Q zur Senke S? b) Ist der gegebene Anfangsfluss zulässig? Geben Sie hierzu eine Begründung an. c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Markierungsalgorithmus von Ford-Fulkerson den maximalen Fluss von der Quelle Q zur Senke S. d) Geben Sie anschließend den minimalen (Q, S)-Schnitt an.

4 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 3 Erreichbare Punktzahl: 15 Gegeben sei das folgende unkapazitierte Warehouse Location Problem; der angegebene Fixkostenanteil ist für den Fall der Einrichtung des Standortes jeweils zu berücksichtigen. Die zu erwartenden Transportkosten für die Belieferung von fünf Großkunden K j (j = 1,,5) sind in nachfolgender Tabelle zusammengestellt, wobei fünf potenzielle Standorte S i (i = 1,,5) für die Errichtung der Produktionsstätten zur Debatte stehen. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 Fixkosten S S S S S Erste Analysen haben ergeben, dass aus strategischen Gründen in jedem Fall zwei Produktionsstandorte errichtet werden sollten. a) Ermitteln Sie eine Lösung mit Hilfe des Add-Algorithmus. Tragen Sie Ihre Ergebnisse in das Schema im Lösungsteil ein. b) Führen Sie die Berechnungen auch für einen dritten potenziellen Standort aus, und begründen Sie warum dieser eingerichtet bzw. nicht eingerichtet werden sollte.

5 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 4 Erreichbare Punktzahl: 30 Zur Aufrechterhaltung der Leistung von Fernwärmekraftwerken, die durch Müllverbrennungsanlagen betrieben werden, ist die zusätzliche Lieferung von Abfall erforderlich. Es wurden Vereinbarungen getroffen, dass für die zwei bestehenden Müllheizkraftwerke (MHKW) H 1 und H 2 im Regierungsbezirk Düsseldorf notwendige Mengen aus den umliegenden Bezirken B 1, B 2 und B 3 angeliefert werden. Der Heizwert des Mülls muss bei der Lösung der Aufgabe nicht berücksichtigt werden. Die vereinbarten Liefermengen (in 1000 t pro Jahr) sind: B 1 = 350, B 2 = 700, B 3 = 560 Die MHKW haben pro Jahr den folgenden Zusatzbedarf: H 1 = 630, H 2 = 770 Weiterhin sind in der folgenden Matrix die Transportkosten pro 1000 t pro Jahr gegeben: c ij H 1 H 2 B B B Die vereinbarten Liefermengen übersteigen den Zusatzbedarf. Der Überschuss wird abgeholt und zu einem dritten MHKW H 3 transportiert, wobei die Kosten aus allen Bezirken dorthin 10 betragen, also gleich sind. a) Lösen Sie nun mit der Zeilen-Minimum-Methode das vorliegende Transportproblem. Tragen Sie zunächst alle Daten in das vorbereitete Tableau im Lösungsteil ein. Kennzeichnen Sie darin im Verlauf des Verfahrens auch die Reihenfolge der realisierten Transporte. b) Wie hoch sind die Transportkosten für den in a) ermittelten Transportplan? c) Ein Kollege hat ebenfalls einen Transportplan berechnet, der wie folgt aussieht: H 1 H 2 H 3 B B B

6 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Offensichtlich besteht für diesen Transportplan noch Aussicht auf Lösungsverbesserung. Berechnen Sie deshalb die reduzierten Kosten; bestimmen Sie hierzu die Knotenpotentiale u i /u j und notieren Sie alle Werte für c ij. Ermitteln nun Sie mittels Stepping-Stone die optimale Lösung. Verwenden Sie das im Lösungsteil abgedruckte Schema. Bestimmen Sie auch für den veränderten Transportplan nochmals die Knotenpotentiale u i /u j und notieren Sie alle Werte für c ij.

7 Modul vom Problemlösen in graphischen Strukturen Aufgabe 5 Erreichbare Punktzahl: 25 Ein gesuchter Gegenstand kann an vier verschiedenen Orten (B, C, D, E) sein. Die Suche wird vom Ort A aus gestartet. Der Zeitaufwand, von einem zum anderen Ort zu gelangen, ist in folgender Matrix angegeben: nach B C D E von A B C D E Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der gesuchte Gegenstand an einem der Orte befindet, wird wie folgt geschätzt. Ort B C D E W keit 0,1 0,2 0,3 0,4 Ihre Aufgabe ist es nun, eine Suchstrategie zu entwickeln, bei der sowohl die Entfernungen als auch die Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt werden. a) Gehen Sie zunächst davon aus, dass der ungünstigste Fall eintritt (worst case) und Sie alle Räume durchsuchen müssen, bevor Sie den Gegenstand finden. Gewichten Sie den Zeitaufwand nur von Raum x zum Raum y zu gelangen multiplikativ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit, dass sich der Gegenstand nicht im Raum y befindet (x {A,B,C,D,E}, y {B,C,D,E}). Dies entspricht der Vorgabe, dass wegen der worst case Betrachtung dieser Raum y auch wieder verlassen werden muss. Tragen Sie die Werte für die sich ergebende Aufwandsmatrix im Lösungsteil ein. b) Mit dem A*-Verfahren soll nun auf Basis der Überlegungen in Teil a) die beste Strategie, d.h. Reihenfolge zum Durchsuchen der Räume ermittelt werden. Folgende Bewertungen sind dabei vorzunehmen: Die Zustandkosten g entsprechen der bei der Suche bereits verstrichenen gewichteten Zeit gemäß der modifizierten Aufwandsmatrix aus Teil a). Die Schätzfunktion h ermittelt über das Verfahren des nächsten Nachbarn den Aufwand zum Durchsuchen der restlichen Räume, ebenfalls auf Basis der modifizierten Aufwandsmatrix aus Teil a). Zeichnen Sie den Suchgraphen S zu der gestellten Aufgabe und notieren Sie die Knoten mit folgenden Angaben:

8 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Modul Problemlösen in graphischen Strukturen Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

9 Hinweise für die Bearbeitung Füllen Sie zunächst das Deckblatt und den Kopf der Lösungsbögen aus. Trennen Sie von den Lösungsbögen keine Blätter ab; am Ende der Klausur müssen alle Lösungsbögen abgegeben werden. Die Lösungen müssen in den vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseite, und geben Sie einen deutlichen Hinweis hierauf. Bedenken Sie, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Die Klausur umfasst 5 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten sind. Zu jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Punktzahl angegeben; die Summe aller Punkte beträgt 100. Die Klausur ist auf jeden Fall bestanden, wenn 50 Punkte erreicht wurden. Als Hilfsmittel für diese Klausur sind zugelassen: Die Verwendung eines Taschenrechners ist dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der drei folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86, Texas Instruments TI 30 X II, Sharp EL 531. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. Eventuelle Vorgängeroder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Darüber hinaus sind ausschließlich die zum Modul gehörenden Kurseinheiten einschließlich der darin enthaltenen Lösungen zu den Übungsaufgaben zugelassen. Die Kurse dürfen Markierungen und textbezogene Anmerkungen enthalten. Lesen Sie den Aufgabentext gut durch und nun: Viel Erfolg!

10 Modul vom Name: 1 Lösung zu Aufgabe 1

11 Modul vom Name: 2 Lösung zu Aufgabe 2 a) (Gesamt-)Stärke des aktuellen Anfangsflusses von der Quelle Q zur Senke S? b) Anfangsfluss zulässig? Begründung!

12 Modul vom Name: 3 Lösung zu Aufgabe 2 (Fortsetzung) c) Iterationsschritt Knoten Q S Flussänderung Die Anzahl der Spalten muss nicht der Anzahl der Iterationsschritte entsprechen. d) C<A, B> mit Q A und S B? C<A, B> =

13 Modul vom Name: 4 Lösung zu Aufgabe 3 a) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 fix σ i η i2 η i3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 1 δ j 1 ν j 2 j δ 2 j ν Füllen Sie das Schema vollständig aus! Die Spalte η i3 kann für Teilaufgabe b) verwendet werden. b)

14 Modul vom Name: 5 Lösung zu Aufgabe 4 a) B 1 H 1 H 2 H 3 a i B 2 B 3 b j Legende: c ij k mit Transportkosten c ij und k Nummer der Zuweisung x ij sowie Transportmengen x ij b) Transportkosten?

15 Modul vom Name: 6 Lösung zu Aufgabe 4 (Fortsetzung) (alternativ) c) B 1 H 1 H 2 H 3 u i B 2 B 3 u j B 1 H 1 H 2 H 3 u i B 2 B 3 u j Legende: c ij c ij mit Transportkosten c ij, reduzierten Kosten c ij x ij und Transportmengen x ij

16 Modul vom Name: 7 Lösung zu Aufgabe 5 a) Tragen Sie die Werte für die sich ergebende Aufwandsmatrix ein. von A B C D E nach B C D E (Teil b nächste Seite)

17 Modul vom Name: 8 Lösung zu Aufgabe 5 (Fortsetzung) b) Zeichnen Sie den Suchgraphen zu der gestellten Aufgabe und notieren Sie die Knoten mit folgenden Angaben:

18 Modul vom Name: 9 Zusätzliche Seite 1; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.

19 Modul vom Name: 10 Zusätzliche Seite 2; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.