FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

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1 FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: 22. März 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine, Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur Die Klausur besteht aus zwei Teilen, dem Aufgabenteil und dem Lösungsteil. Weiterhin sind Aufgaben- und Lösungsteil jeweils nach den zwei Kursen (42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis und Vertiefung der Statistik) des Moduls separat unterteilt. Nutzen Sie bei der Lösung der Aufgaben für jeden Klausurteil nur die entsprechenden Lösungsblätter zu dem jeweiligen Klausurteil! Zur leichteren Bearbeitung können Sie den Aufgaben- vom Lösungsteil trennen. Trennen Sie jedoch nicht die Lösungsblätter! WICHTIG: Nur der ungetrennte Lösungsteil wird am Ende der Klausur eingesammelt! Sollten Sie doch einzelne oder mehrere Lösungsblätter vom Lösungsteil getrennt haben, liegt es in Ihrer Verantwortung, diese zusammenzuführen und bspw. geheftet als ein Ganzes abzugeben! Trennen Sie in jedem Fall vor der Abgabe den Aufgaben- vom Lösungsteil. 2. Tragen Sie für beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) auf das Deckblatt der Lösungsbögen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 3. Es können insgesamt 100 erreicht werden. Bei Erreichen von 50 n ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 4. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbögen zu dem jeweiligen Klausurteil und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Für den Klausurteil Mathematik müssen die Lösungen in den dafür vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseiten oder die freien Blätter am Ende und geben Sie einen deutlichen Hinweis auf die Aufgabenzugehörigkeit. Bedenken Sie bitte bei der Anfertigung Ihrer Lösungen, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Bei einem mehrfach bearbeiteten Aufgabenteil wird lediglich die erste Lösung bewertet. Nicht zu korrigierende Lösungsteile sind zu entwerten. Für den Klausurteil Statistik müssen die Lösungen in die entsprechenden Kästchen auf dem Lösungsbogen eingetragen werden. Für jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begründung bzw. Interpretation ist auf dem Lösungsbogen ein entsprechendes Kästchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen können nicht bewertet werden.

3 5. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86 oder Casio fx87 Texas Instruments TI 30 X II Sharp EL 531 Eventuelle Vorgänger- oder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. 6. Für den Klausurteil Mathematik sind weder die Kursunterlagen noch weitere Materialien der Wirtschaftsmathematik als Hilfsmittel zugelassen. Für den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zusätzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. Nicht zugelassen sind selbst ausgedruckte und kopierte Kursmaterialien. 7. Wenn Sie einzelne Blätter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 8. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

4 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 22. März 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

5 2 Hinweis: Bitte tragen Sie die Lösungen aller Aufgaben in die Lösungsbogen ein. Bewertet werden nur die Lösungsbogen. Aufgabe 1 (10 ) Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. 1. Eine stetige Funktion f(x) ist eine Dichte, wenn f(x) 0 und die Fläche unterhalb f(x) gleich 1 ist. 2. Die Normalverteilungsdichte besitzt genau ein Maximum an der Stelle x = σ Unter der Normalverteilungsannahme liefert die Maximum-Likelihood Methode eine identische Parameterschätzung wie die Kleinste-Quadrate Methode. 4. Das Produkt zweier unabhängig normalverteilter Zufallsvariablen X 1 und X 2 ist standardnormalverteilt. 5. χ 2 als Zusammenhangsmaß hängt von der Dimension der Kontingenztafel ab, weshalb sich ohne weitere Überlegungen nicht feststellen lässt, wie groß der Wert von χ 2 sein muss, um auf einen Zusammenhang hinzudeuten. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 n bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0.

6 3 Aufgabe 2 (10 ) Ein Unternehmen möchte die Umsatzsteigerung beim Einsatz von zwei verschiedenen Werbemaßnahmen vergleichen. Es wurden die in der folgenden Tabelle eingetragenen Umsatzsteigerungen erzielt. (H 0 : Beide Werbemaßnahmen führen zu gleichen Umsatzsteigerungen, α = 0.1, Vorsicht: in der Tabelle sind die kritischen Werte für einseitige Tests angegeben). Werbung X Werbung Y (7 ) Verwenden Sie einen nichtparametrischen Test, um festzustellen, ob Werbung X zu größeren Umsatzsteigerungen führt als Werbung Y. - Welchen nichtparametrischen Test verwenden Sie? - Geben Sie die Prüfgröße an. - Geben Sie den unteren kritischen Wert an. - Geben Sie den oberen kritischen Wert an. - Lehnen Sie die Nullhypothese, es besteht kein Unterschied, ab? - Bestimmen Sie den Erwartungswert der Prüfgröße. - Bestimmen Sie die Varianz der Prüfgröße. 2.2 (3 ) Prüfen Sie dieselbe Hypothese unter Normalverteilungsannahme. (Signifikanzniveau α = 0.1). Es ergaben sich folgende Statistiken: X = 31.75; Ȳ = 25.75; SX 2 = 314.4; S2 Y = Nehmen Sie an, dass die Anzahl der Freiheitsgraden k gleich 5 ist. - Geben sie die Quantile der asymptotischen Verteilung an. - Geben Sie die Prüfgröße an. - Lehnen Sie die Nullhypothese, es besteht kein Unterschied, ab?

7 4 Aufgabe 3 (15 ) Betrachten Sie für die Analyse der Zufallsvariable X folgende Funktion: { a (x 2) für 2 x 3 f X (x) = 0 sonst. 3.1 (4 Punkt) Bestimmen Sie a derart, dass die obige Funktion die Dichtefunktion der Zufallsvariable X ist. 3.2 (4 Punkt) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X. 3.3 (3 Punkt) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X). 3.4 (4 Punkt) Bestimmen Sie die Varianz Var(X).

8 5 Aufgabe 4 (15 ) Ein Unternehmen untersucht die persönlichen Umsätze ihrer Verkäufer bezüglich eines neu eingeführten Produktes innerhalb eines bestimmten Zeitraumes. Betrachtet wird dabei die Abhängigkeit der Umsätze Y (in Euro) von der Anzahl der Verkaufsgespräche X. Im Rahmen der Untersuchung werden N = 500 Verkäufer überprüft. Es ergaben sich folgende Werte. 4.1 x = 10 s x = 0.8 ȳ = 500 s y = 50 s xy = Ĉov(x, y) = 8 (1 Punkt) Geben Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen Umsatz und Anzahl der Verkaufsgespräche an. 4.2 (1 Punkt) Sie möchten überprüfen, ob der Korrelationskoeffizient einen Wert kleiner als 0.3 annimmt. Geben Sie die Nullhypothese an. 4.3 (6 ) Zugrundegelegt wird die Nullhypothese H 0 : ρ 0.5 zum Signifikanzniveau von α = Geben Sie das Quantil und die Realisation der geeigneten Teststatistik an. Wird die Hypothese H 0 abgelehnt? Begründen Sie kurz Ihre Entscheidung. 4.4 (3 ) Berechnen Sie die Schätzungen für die Parameter α und β der Regressionsgeraden und geben Sie die durch die Schätzungen bestimmten Regressionsgerade an. 4.5 (1 Punkt) Ein Verkäufer führte 8 Verkaufsgespräche. Mit welchem Umsatz ist zu rechnen? 4.6 (3 ) Bestimmen Sie das zweiseitige 99%-Konfidenzintervall zur Vorhersage des Umsatzes eines Verkäufers mit x 0 = 8 und ˆσ = 4. Verwenden Sie anstelle des t-quantils als Näherung das entsprechende z-quantil der Standardnormalverteilung. Geben Sie das Quantil separat an.

9 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 22. März 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

10 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 6 Aufgabenteil Aufgabe 1 20 Der süddeutsche Automobilhersteller Badener Dusel Werke AG (BDW AG) geriet unlängst in negative Schlagzeilen, da einige verbaute Motoren vermutlich nicht den gesetzlichen Bestimmungen entsprachen. Aus diesem Grund möchte die Geschäftsleitung der BDW AG das Image des Unternehmens in der Öffentlichkeit verbessern. Dazu sollen verschiedene Marketingaktivitäten realisiert werden. Die Marktforschungsabteilung hat für die vier möglichen Werbeträger die sogenannten Wirkungskoeffizienten ermittelt: Der Werbeträger Zeitungsanzeigen bringt mit einem Wirkungskoeffizienten in Höhe von 5 das Fünffache an investierten Ausgaben ein, Direktwerbung mit einem Koeffizienten von 10 das Zehnfache, Werbespots in Rundfunk und Fernsehen das Sechzehnfache und die Herausgabe einer Dieselschutzzeitschrift das Vierfache. Bei der Planung der Marketingkampagne seien folgende Rahmenbedingungen einzuhalten: Das Gesamtbudget betrage 10 Millionen Geldeinheiten (GE). Die Ausgaben für die Werbespots in Rundfunk und Fernsehen sollen 40% der Ausgaben für alle anderen Aktivitäten nicht überschreiten. Direktwerbeaktionen dürfen nur maximal 30% des zur Verfügung stehenden Gesamtbudgets ausmachen. Für die Herausgabe der Dieselschutzzeitschrift seien maximal ,- GE einzuplanen. a) Stellen Sie ein lineares Optimierungsmodell zur Bestimmung einer Marketingkampagne mit maximaler Wirkung auf. Die Ausgaben in Millionen GE für den i-ten Werbeträger (i = 1,2,3,4) seien durch die Entscheidungsvariable x i 0 beschrieben. b) Stellen Sie ein Anfangstableau für die Berechnung der optimalen Lösung mittels Simplexalgorithmus auf und markieren Sie das Pivot-Element. c) Vervollständigen Sie das Simplextableau auf Seite 13 der Lösungsbögen zur Bestimmung der optimalen Lösung des Problems. d) Wie lautet die optimale Marketingkampagne mit maximaler Wirkung? Wie lautet der maximale Zielfunktionswert und wie ist dieser ökonomisch zu interpretieren? e) Aufgrund massiver unternehmensinterner Proteste gegen die Herausgabe einer Dieselschutzzeitschrift entschließt sich die BDW AG dazu, diesen Werbeträger von vornherein nicht zu berücksichtigen. Inwiefern ändert sich dadurch das optimale Ergebnis aus Aufgabenteil d)? Begründen Sie Ihre Antwort!

11 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 7 Aufgabenteil Aufgabe 2 20 Gegeben seien folgende Aussagen. Markieren Sie auf Seite 15 der Lösungsbögen zunächst, ob diese Aussagen entweder wahr oder falsch sind und begründen Sie anschließend die Auswahl! Hinweis: Für jede eindeutige korrekte Markierung und für jede nachvollziehbare Begründung mit Rechenweg erhalten Sie jeweils die maximale Punktzahl! A) Gegeben sei die Funktion f(x,y) = 2x 2 2xy 2y x + 42y 158, x,y R. Ein kritischer Punkt dieser Funktion liegt bei (x; y) = (5; 2). B) Die Hessematrix Hf(x,y) der Funktion f(x,y) = 2xy2 mit x + y 0 hat die x + y Form 1 Hf(x,y) = (x + y) 4y 3 2y 2 (3x + y) 3. 2y 2 (3x + y) 4x 3 C) Gegeben sei die Matrix C = Die Summe der Eigenwerte zu Matrix C beträgt 3. D) Gegeben sei die Matrix D = Die Determinante dieser Matrix lautet D = 228.

12 Kurs Klausur vom Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis 8 Aufgabenteil Aufgabe 3 10 Aus der Versicherungsmathematik ist das Problem der Modellierung sogenannter Absterbeordnungen bekannt. Aus der Definition der Sterbeintensität d(x) = λ + ak x ergibt sich der folgende Zusammenhang l (x) = d(x) l(x), wobei die Funktion l(x) die Anzahl der Lebenden vom Alter x 0 darstellt. Der Parameter a > 0 beschreibe das Mortalitätsniveau im Anfangsalter; λ und k seien nicht näher beschriebene Konstanten. Gesucht ist eine Lösung der obigen Differentialgleichung (DGL), in der l(x) in Abhängigkeit der Variablen x, des Parameters a sowie der Konstanten λ und k ausgedrückt wird. Gehen Sie dabei wie folgt vor: a) Um was für eine DGL handelt es sich hier genau? Ist die DGL zudem homogen oder inhomogen? Begründen Sie Ihre Antwort! b) Bestimmen Sie die Stammfunktion von d(x). Es gilt D(x) = d(x) dx. c) Leiten Sie eine allgemeine Lösung der vorliegenden DGL her. Geben Sie dafür l(x) zunächst in Abhängigkeit der Stammfunktion D(x) an. Setzen Sie anschließend den ermittelten Ausdruck für D(x) aus Aufgabenteil b) in Ihre Lösung ein. [Hinweise: Ein möglicher Ansatz besteht in der Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit e D(x) und anschließenden Umformungsschritten. Bei der Umformung sind die Produkt- und Kettenregel besonders hilfreich.]

13 Name, Vorname Matrikelnummer LÖSUNGSTEIL der Modulklausur Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Datum Termin: Prüfer: 22. März 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine, Univ.-Prof. Dr. H. Singer

14 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik LÖSUNGSTEIL Datum Termin: Prüfer: 22. März 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer

15 LÖSUNGSBOGEN Klausur: Kurs Vertiefung der Statistik Termin: Prüfer: , Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Datum: Unterschrift des Prüfers: 1

16 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 1 (10 ) richtig falsch 1. Eine stetige Funktion f(x) ist eine Dichte, wenn f(x) 0 und die Fläche unterhalb f(x) gleich 1 ist. 2. Die Normalverteilungsdichte besitzt genau ein Maximum an der Stelle x = σ Unter der Normalverteilungsannahme liefert die Maximum- Likelihood Methode eine identische Parameterschätzung wie die Kleinste-Quadrate Methode. 4. Das Produkt zweier unabhängig normalverteilter Zufallsvariablen X 1 und X 2 ist standardnormalverteilt. 5. χ 2 als Zusammenhangsmaß hängt von der Dimension der Kontingenztafel ab, weshalb sich ohne weitere Überlegungen nicht feststellen lässt, wie groß der Wert von χ 2 sein muss, um auf einen Zusammenhang hinzudeuten. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 n bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0. 2

17 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe (10 ) (7 ) Test Prüfgröße unterer kritischer Wert oberer kritischer Wert Ablehnung H 0 Erwartungswert und Varianz 2.2 (3 ) Quantil Prüfgröße Ablehnung H 0 3

18 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe (15 ) (4 ) 3.2 (4 ) 4

19 LÖSUNGSBOGEN (3 ) 3.4 (4 ) 5

20 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 4 (15 ) 4.1 Korrelationskoeffizient(Umsatz,Anzahl) (1 Punkt) 4.2 Nullhypothese H 0 (1 Punkt) 4.3 Quantil (1 Punkt) Realisation der Prüfgröße (2 ) Ablehnung von H 0, ja oder nein? (1 Punkt) Begründung (2 ) 6

21 LÖSUNGSBOGEN ˆα (1 Punkt) ˆβ (1 Punkt) Regressionsgerade (1 Punkt) 4.5 Umsatz (1 Punkt) 4.6 Quantil (1 Punkt) KI (2 ) 7

22 LÖSUNGSBOGEN

23 LÖSUNGSBOGEN

24 LÖSUNGSBOGEN

25 LÖSUNGSBOGEN

26 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42220: Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis LÖSUNGSTEIL Datum Termin: Prüfer: 22. März 2018, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine

27 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Kurs Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis Termin: Prüfer: Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

28 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 12 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: a) b)

29 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 13 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: c) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 s 4 b 1 11,4 16,4 0 10, ,4 1,4 0 1, ,4 0,4 1 0, ,75 d)

30 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 14 Lösungsbögen Aufgabe 1 Matr.-Nr.: e)

31 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 15 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: Die Aussage zu wahr falsch 2 A) ist 2 B) ist 2 C) ist 2 D) ist Begründung zu Aussage A): Begründung zu Aussage B):

32 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 16 Lösungsbögen Aufgabe 2 Matr.-Nr.: Begründung zu Aussage C): Begründung zu Aussage D):

33 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 17 Lösungsbögen Aufgabe 3 Matr.-Nr.: a) b) c)

34 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 18 Lösungsbögen Aufgabe Matr.-Nr.:

35 Kurs vom Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik 19 Lösungsbögen Aufgabe Matr.-Nr.: