Modulklausur Multivariate Verfahren. Datum Punkte Note. Termin: 26. September 2008, Uhr Prüfer: Univ.-Prof. Dr. H.

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1 Name, Vorname Matrikelnummer Modulklausur Multivariate Verfahren Datum Punkte Note Termin: 26. September 2008, Uhr Prüfer: Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur Füllen Sie zunächst den Kopf des Deckblatts aus! 2. Es können insgesamt 100 Punkte erreicht werden. Bei Erreichen von 50 Punkten ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 3. Kursmaterialien des Kurses sind als Hilfsmittel zugelassen, sofern sie keine handschriftlichen Ergänzungen enthalten. Als Kursmaterialien gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. 4. Die Benutzung von Taschenrechnern ist nur gestattet, wenn das betreffende Modell nicht programmierbar ist, keine Texte oder Formeln speichern kann, nicht drahtlos mit anderen Geräten kommunizieren kann, über keine alphanumerische Tastatur verfügt, kein grafisches Display (z.b. zur Darstellung von Funktionsgraphen) besitzt. 5. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbögen. 6. Wenn Sie die einzelnen Blätter der Klausur voneinander trennen, vermerken Sie auf jedem Blatt Ihre Matrikelnummer. Legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 7. Vergessen Sie nicht, die Klausur auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

3 Aufgabe 1 (25 Punkte) Gegeben sei das lineare Regressionsmodell y i = β 1 x 1i + β 2 x 2i + ɛ i. Der Fehlerterm wird als unabhängig identisch normalverteilt angenommen, ɛ i N(0, σ 2 ), und insbesondere unkorreliert mit den Regressoren. Folgende Beobachtungswerte liegen vor: y x x a) Formulieren Sie das Regressionsmodell in Vektor/Matrix-Schreibweise. (2 P.) b) Berechnen Sie den Kleinste-Quadrate Schätzer für den Parametervektor β. (14 P.) Hinweis: Die Inverse einer (2 2)-Matrix A berechnet sich zu ( ) A 1 = 1 a 22 a 12. det A a 21 a 11 c) Schätzen Sie die Varianz des Zufallsfehlers mit Hilfe des Mittels über die quadrierten Residuen. (6 P.) d) Geben Sie die geschätzte Kovarianzmatrix von ˆβ an. (3 P.) Aufgabe 2 (20 Punkte) Bei einem Experiment werden simultan zwei normalverteilte Größen X und Y beobachtet, von denen man annimmt, dass sie nicht voneinander unabhängig sind. Die empirische Kovarianzmatrix wird nach n = 12 Durchläufen berechnet: ( ) S XY = a) Berechnen Sie den Pearsonschen Korrelationskoeffizienten r XY. (3 P.) b) Testen Sie zum Konfidenzniveau 1 α = 90%, ob die beiden Größen tatsächlich miteinander korreliert sind. (5 P.) c) Eine alternative Theorie schlägt die Korrelation ρ XY = 0.5 für die beiden experimentellen Messgrößen vor. Testen Sie, ob diese Annahme zum Konfidenzniveau von 1 α = 99% zu halten ist. (7 P.) d) Geben Sie ein approximatives 95%-Konfidenzintervall für ρ an. (5 P.) 1

4 Aufgabe 3 (10 Punkte) Kennzeichnen Sie die folgenden Aussagen zur Klassifikation mit R für richtig oder F für falsch. Eine Partition ist eine Überdeckung die eine Überschneidung der Klassen zulässt, solange keine Klasse vollständig in einer anderen enthalten ist. Eine Klassifikation heißt genau dann exhaustiv, wenn ausnahmslos alle Objekte klassifiziert werden. Ein Klassifikationsverfahren heißt divisiv, wenn eine Startlösung gegeben ist, die lediglich durch Austauschen einzelner Elemente zwischen den Klassen verbessert wird. Ein Heterogenitätsmaß ist eine Kennzahl, die die Übereinstimmung verschiedener Objekte beurteilt. Je ähnlicher zwei Objekte sind, desto höher ist ihre Heterogenität. Die Interklassenheterogenität kann mit dem Maß Average Linkage nur dann beurteilt werden, wenn die betreffenden Klassen disjunkt sind. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 Punkte vergeben. Für jede falsche Kennzeichnung werden 2 Punkte abgezogen. Nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 Punkten bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0 Punkte. Aufgabe 4 (30 Punkte) Zum Aufbau eines rudimentären Unternehmensratings werden das Kurs/Cash-Flow Verhältnis (KCV) und der Return-on-Investment (ROI) verschiedener börsennotierter Unternehmen erfasst. Weiterhin wird nachgehalten, ob die Aktienkursrenditen der Unternehmen in der letzten Bilanzierungsperiode größer oder kleiner als der risokolose Zinssatz waren (Überrendite). So soll festgestellt werden, ob Unternehmen, die ein überproportionales Wertentwicklungspotential haben, selektiert werden können. Es sind folgende Daten vorhanden (nächste Seite): 2

5 ISIN-Kürzel KCV ROI (%) Überrendite (%) ACX BUH BTX EBB GKU KLA LBA LHU PKL STT XDI ZUP a) Bilden Sie zwei Klassen (positive/negative Überrendite) und berechnen Sie die klassenspezifischen Mittelwertschätzer für die Kennzahlen y 1 = KCV und y 2 = ROI (%). (8 P.) Verwenden Sie für alle weiteren Rechenschritte die geschätzte Kovarianzmatrix ( ) S = b) Berechnen Sie die lineare Fishersche Diskriminanzfunktion h 12 (y) mit y = (y 1, y 2 ). (10 P.) c) Testen Sie zum 1 α = 95% Konfidenzniveau, ob die beiden Merkmale zuverlässig zwischen den beiden Klassen trennen. (6 P.) Zwei neue Unternehmensbewertungen treffen ein, für die jedoch keine Überrendite zur Verfügung steht. ISIN-Kürzel KCV ROI (%) Überrendite (%) BSG TFX d) Klassifizieren Sie die neuen Unternehmen mit Hilfe der Fisher schen Diskriminanzfunktion aus Aufgabenteil b. (6 P.) 3

6 Aufgabe 5 Gegeben sei die folgende Korrelationsmatrix R = (15 Punkte) a) Bestimmen Sie die Zahl der Hauptkomponenten, die zu extrahieren sind um 90% der Gesamtvarianz zu erklären. (7 P.) b) Berechnen Sie die Ladungsmatrix zur geforderten Anzahl der Hauptkomponenten. (8 P.) 4

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