Grafische Darstellung von Funktionen

Transkript

1 vl-evaluated.nb Grafische Darstellung von Funktionen VL Mathematische Software WS 6/7 Rudolf Schürer Letzte Änderung: 8. Jänner 7 Graph einer Funktion f : Æ Plot@Sin@x D, 8x,, 5<D Graphics Das erste Argument von Plot ist die Funktion, die dargestellt werden soll. Das zweite Argument ist eine Liste mit drei Elementen: Variable, linke Grenze, rechte Grenze. Man beachte dabei die Analogie zu den Befehlen Sum, Product, Integrate und Table. Die Größe und Lage der Grafik kann mit der Maus verändert werden. Plot zeichnet einerseits den Graphen auf den Bildschirm und liefert andererseits als Ergebnis ein Grafikobjekt. Dieses erscheint zusätzlich zur Grafik in einer Output-Zelle. Ein Ergebnis einer Mathematica-Funktion lässt sich durch nachstellen eines Semikolons (;) unterdrücken. Da wir das Grafik-Objekt (vorerst) nicht benötigen, werden Grafik- Befehle ab jetzt immer mit nachgestelltem Semikolon eingegeben. Plot@Sin@x D, 8x,, 5<D;

2 vl-evaluated.nb Graph einer Funktion f : Æ Der Graph von Funktionen abhängig von zwei Veränderlichen wird mit Plot3D dargestellt. Plot3D@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints D; Der einzige Unterschied zu Plot ist, dass zusätzlich eine zweite Liste für die untere und obere Schranke der zweiten Variablen notwendig ist. Der Graph einer Funktion f : Ø is eine Fläche im 3, die von Plot3D perspektivisch und mit Beleuchtung aus einem bestimmten Blickwinkel abgebildet wird. Es gibt aber noch andere Möglichkeiten, solche Funktionen zu visualisieren: ContourPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints D; ContourPlot liefert die Höhenlinien des Graphens. Die Flächen dazwischen werden abhängig von der Höhe (also dem Funktionswert) eingefärbt. Die Syntax ist dabei gleich wie bei Plot3D.

3 vl-evaluated.nb 3 DensityPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints D; Auch bei DensityPlot wird der Graph von oben betrachtet, und die Flächen werden abhängig vom Funktionswert eingefärbt. Nur wird anstatt der Höhenlinien ein regelmäßiges Gitter zur Einteilung der Flächen benutzt. Optionen für die Plot-Befehle ü Wertebereich Mathematica versucht, den darzustellenden Bereich einer Grafik selbst zu schätzen, wenn er nicht explizit angegeben ist. Es versucht dabei, den Teil der Grafik möglichst groß darzustellen, der die meisten Punkte enthält. Ausreißer werden dadurch ignoriert. Bei Plot muss zwar immer die Grundmenge der Funktion angegeben sein (x-achse), der darzustellende Bereich auf der y-achse wird jedoch von Mathematica geschätzt. Plot@ ê x, 8x,., <D; Dieses Verhalten kann mit der Option PlotRange gesteuert werden: Automatic dient bei vielen Optionen dazu, das Standardverhalten auszuwählen:

4 vl-evaluated.nb ê x, 8x,., <, PlotRange AutomaticD; Explizit, als Liste mit unterer und oberer Grenze. Plot@ ê x, 8x,., <, PlotRange 8 5, <D; Mit All wird die Grafik vollständig dargestellt. Plot@ ê x, 8x,., <, PlotRange AllD; ü Allgemeines zu Optionen Die Arbeitsweise vieler Mathematica-Funktionen kann durch Angabe von Optionen beeinflusst werden. Optionen haben immer die Form Name->Wert und werden durch Beistriche getrennt als zusätzliche Funktionsargumente angeführt. Die beiden Zeichen -> werden bei der Eingabe durch Ø ersetzt. Sämtliche zu einer Funktion verfügbaren Optionen mit ihren Standardeinstellungen erhält man mit der Funktion Options. Es lässt sich auch die Standardeinstellung für eine bestimmte Option anzeigen.

5 vl-evaluated.nb 5 Options@PlotD 9AspectRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, FormatType $FormatType, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend., PlotDivision 3., PlotLabel None, PlotPoints 5, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog 8<, RotateLabel True, TextStyle $TextStyle, Ticks Automatic= Options@Plot, PlotRangeD 8PlotRange Automatic< Zu vielen Mathematica-Funktionen lassen sich Optionen angeben, obwohl wir nur die wenigsten davon in dieser Vorlesung kennen lernen werden. Zum Beispiel kennt auch Simplify Optionen: Options@SimplifyD 8Assumptions $Assumptions, ComplexityFunction Automatic, TimeConstraint 3, TransformationFunctions Automatic, Trig True< Zu jeder Option existiert ein Eintrag in der Hilfe. Die Standardwerte können mit dem Befehl SetOptions verändert werden: 8 6 SetOptions@Plot, PlotRange AllD 9AspectRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, FormatType $FormatType, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend., PlotDivision 3., PlotLabel None, PlotPoints 5, PlotRange All, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog 8<, RotateLabel True, TextStyle $TextStyle, Ticks Automatic= Plot@ ê x, 8x,., <D;.5.5 Für das Zurücksetzten auf den Standardwert muss wieder SetOptions benutzt werden. SetOptions@Plot, PlotRange AutomaticD;

6 vl-evaluated.nb 6 Plot@ ê x, 8x,., <D; ü Genauigkeit der Darstellung Alle Plot-Funktionen nähern den Graphen der Funktion durch einen Linienzug bzw. durch ein Gitternetz an. Die (anfängliche) Auflösung wird dabei von PlotPoints bestimmt. In der folgenden Graphik übersieht Mathematica eine Schwingung. Plot@Sin@x ^D, 8x,, <D; Der Standardwert: Options@Plot, PlotPointsD 8PlotPoints 5< Jetzt mit 5 Unterteilungen: Plot@Sin@x ^D, 8x,, <, PlotPoints 5D; Dasselbe gilt für ContourPlot:

7 vl-evaluated.nb 7 ContourPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <D; ContourPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints D; Bei Plot3D und DensityPlot bestimmt PlotPoints die Auflösung des Gitternetzes. Options@Plot3D, PlotPointsD Options@DensityPlot, PlotPointsD 8PlotPoints 5< 8PlotPoints 5<

8 vl-evaluated.nb 8 Plot3D@Sin@x yd, 8x, π, π<, 8y, π, π<d; Plot3D@Sin@x yd, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 5D; Die Auflösung kann für x- und y-koordinate getrennt angegeben werden: Plot3D@Sin@x yd, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 87, <D;

9 vl-evaluated.nb 9 DensityPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints 8, <D; Während PlotPoints bei ContourPlot die Genauigkeit der Höhenlinien bestimmt, kann mit Contours festgelegt werden wieviele (und welche) Höhenlinien gezeichnet werden sollen. ContourPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, Contours D; Nur eine Höhenlinie, die kleine (schwarze) von großen (weißen) Funktionswerten trennt.

10 vl-evaluated.nb yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, Contours 6D; Jetzt mit sechs Höhenlinien zwischen kleinen (schwarzen) und hohen (weißen) Funktionswerten. ContourPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, Contours 8.,.3,,.3,.<D; Die Höhenlinien können auch explizit in einer Liste angegeben werden. Hier fünf Höhenlinien bei Höhe -., -.3,,.3 und.. ü Ausschalten von Linien und Flächen Die Option Mesh in Plot3D und DensityPlot entscheidet, ob das Gitter tatsächlich gezeichnet wird. Wie bei allen Optionen, die etwas ein- oder ausschalten, sind die möglichen Werte True und False.

11 vl-evaluated.nb yd, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 5, Mesh FalseD; DensityPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints 8, <, Mesh FalseD; Analog dazu können die Höhenlinien bei ContourPlot mittels ContourLines ein- und ausgeschalten werden. ContourPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, Contours 5, ContourLines FalseD;

12 vl-evaluated.nb Über das Zeichnen der Flächen zwischen den Linien bestimmt die Option Shading bei Plot3D und ContourShading bei ContourPlot. yd, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints, Shading FalseD; ContourPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, ContourShading FalseD; ü Rahmen und Koordinatensystem Die Koordinatenachsen können mittels Axes, ein Rahmen mittels Frame ein- und ausgeschalten werden. Options@Plot, 8Axes, Frame<D 8Axes Automatic, Frame False<

13 vl-evaluated.nb 3 Plot@Sin@x D, 8x,, 5<D; Plot@Sin@x D, 8x,, 5<, Frame True, Axes FalseD; ContourPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, Frame FalseD; Bei Axes kann mittels einer Liste die Darstellung auch getrennt für x-, y- und (bei Plot3D) z-achse ein- und ausgeschalten werden. Die Option Boxed bei 3D-Darstellungen schaltet das Zeichnen des die Grafik umschließenden Quaders ein und aus.

14 vl-evaluated.nb yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, Boxed False, Axes 8True, False, True<D; Hier ein 3D-Plot ohne umschließenden Quader und mit Koordinatenachse für x- und z-achse. ü Seitenverhältnis Das Seitenverhältnis einer -dimensionalen Grafik wird mit AspectRatio bestimmt. Options@Plot, AspectRatioD Options@ContourPlot, AspectRatioD Options@DensityPlot, AspectRatioD 9AspectRatio GoldenRatio = 8AspectRatio < 8AspectRatio < Der Wert kann explizit angegeben werden: Plot@Sin@x D, 8x,, 5<, AspectRatio D;

15 vl-evaluated.nb 5 Automatic sorgt dafür, dass die Grafik unverzerrt dargestellt wird. Das heißt, die Einheiten in x- und y-richtung werden gleich groß gezeichnet. Plot@Sin@x D, 8x,, 5<, AspectRatio AutomaticD; Für 3-dimensionale Grafiken kann das Seitenverhältnis des umschließenden Quaders mit BoxRatios bestimmt werden. Als Argument dient entweder eine Liste mit den (relativen) Längen von x-, y- und z-achse, oder der Wert Automatic, um die Grafik unverzerrt darzustellen. Options@Plot3D, BoxRatiosD 8BoxRatios 8,,.<< Standardmäßig stellt Plot3D die Grundmenge als Quadrat dar, und die Höhe des Gebirges ist % der Kantenlänge dieses Quadrats. Plot3D@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints 8, <, BoxRatios AutomaticD;

16 vl-evaluated.nb 6 Plot3D@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints 8, <, BoxRatios 8, 3, <D; Achtung! Eine Angabe von AspectRatio bei 3-dimensionalen Grafiken verzerrt die -dimensionale perspektivische Projektion das ist in der Regel unerwünscht! Darum sollte man AspectRatio für 3-dimensionale Grafiken immer auf den Standardwert Automatic gesetzt lassen. ü Farbe und Form von Linien Verschiedene Optionen erlauben, den Stil (Form und Farbe) der verwendeten Linien zu bestimmen. Dabei gibt es für jede Art von Linie eine eigene Option. Der Stil des Graphen bei Plot wird mittels PlotStyle definiert. Analog funktioniert bei ContourPlot die Option Contour- Style, bzw. bei Plot3D und DensityPlot die Option MeshStyle. Bei -dimensionalen Darstellungen wählt man den Stil der Achsen mit AxesStyle, den eines Rahmens mit FrameStyle. Bei 3-dimensionalen Darstellungen kann mittels BoxStyle der Stil des umschließenden Quaders bestimmt werden. Es ist dabei zu beachten, dass die Einstellungen immer in einer Liste angegeben werden sollten.

17 vl-evaluated.nb 7 Plot@Sin@x D, 8x,, 5<, PlotStyle 8 GrayLevel@.D, Thickness@ ê 8D, Dashing@8, 5,, < ê D <, AxesStyle 8 RGBColor@,, D, Thickness@ ê 3D <D; ü Farben Farben können in Mathematica auf verschiedene Weise definiert werden: RGBColor[r,g,b]: Additive Farbmischung mit den Komponenten Rot, Grün und Blau (jeweils bis ) GrayLevel[level]: Grauwert zwischen (Schwarz) und (Weiß) Hue[farbe,sättigung,helligkeit], wobei Hue[farbe] dasselbe ist wie Hue[farbe,,]. Die Argumente sind Zahlen aus dem D. Wenn farbe das D durchläuft, dann ergeben sich alle Spektralfarben in zyklischer Weise, also von rot über gelb, grün und blau wieder bis zu rot. Die 3 wichtigsten Farben sind (ab Mathematica 5.) vordefiniert: 8Black, Blue, Brown, Cyan, Gray, Green, Magenta, Orange, Pink, Purple, Red, White, Yellow< 8GrayLevel@D, RGBColor@,, D, RGBColor@.6,.,.D, RGBColor@,, D, GrayLevel@.5D, RGBColor@,, D, RGBColor@,, D, RGBColor@,.5, D, RGBColor@,.5,.5D, RGBColor@.5,,.5D, RGBColor@,, D, GrayLevel@D, RGBColor@,, D< Hinter diesen vordefinierten Namen verbergen sich die oben besprochenen Farbbefehle. Weitere Farben stehen im Erweiterungspaket Graphics`Colors` zur Verfügung. Ein Erweiterungspaket wird mit dem Befehl Needs geladen. Der Paket-Name wird mit doppelten Anführungszeichen umschlossen. Needs@"Graphics`Colors`"D

18 vl-evaluated.nb 8 DensityPlot@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, MeshStyle 8SkyBlue<, FrameStyle 8RGBColor@,, D<D; AllColors produziert eine Liste aller vordefinierten Farben. Short kürzt die Ausgabe (in diesem Fall) auf etwa Zeilen. Short@AllColors, D 8AliceBlue, AlizarinCrimson, Antique, Apricot, Aquamarine, AureolineYellow, Azure, Banana, Beige, Bisque, BlanchedAlmond, BlueViolet, Brick, BrownMadder, BrownOchre, Burlywood, BurntSienna, 6, Thistle, Titanium, Tomato, Turquoise, TurquoiseBlue, Ultramarine, UltramarineViolet, VanDykeBrown, VenetianRed, Violet, VioletRed, WarmGray, Wheat, YellowBrown, YellowGreen, YellowOchre, Zinc< Noch eine Bemerkung zur Benutzung von Ergänzungspaketen: Wird ein Befehl aus einem Ergänzungspaket benutzt bevor das Paket geladen wurde, so hilft auch nachträgliches Laden des Pakets nichts mehr. Der Grund dafür ist, dass der Name dann schon im Kontext Global` und nicht im Kontext des Erweiterungspaketes angelegt wurde. Um das Problem zu beheben, muss entweder der Name mit Remove entfernt, oder der Kernel neu gestartet werden (mit Quit oder über das Menü). Quit@D Der Befehl Quit beendet den laufenden Kernel. Tomato Tomato Tomato wird benutzt, bevor das Paket Graphics`Colors` geladen wurde. Needs@"Graphics`Colors`"D Tomato::shdw : Symbol Tomato appears in multiple contexts 8Graphics`Colors`, Global`<; definitions in context Graphics`Colors` may shadow or be shadowed by other definitions. Mehr? Tomato Global`Tomato

19 vl-evaluated.nb 9? *`Tomato Global` Tomato Graphics`Colors` Tomato Tomato Tomato Der folgende Befehl entfernt Global`Tomato. Tomato ü Strichstärke Die Strichstärke wird mit Thickness bestimmt. yd, 8x, π, π<, 8y, π, π<, MeshStyle 8Green, ê 8D<, BoxStyle 8Red, ê D<, Axes FalseD; Die Strickstärke wird dabei als Bruchteil der Breite der gesamten Grafik angegeben. Das bedeutet insbesondere, dass der angegebene Wert immer kleiner als sein muss.

20 vl-evaluated.nb ü Strichlieren yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, Contours, ContourShading False, ContourStyle 8 Red, Thickness@ ê D, Dashing@8 ê 5, ê 5<D<, FrameStyle 8 Blue, Thickness@ ê D, Dashing@83,, 3, < ê 5D< D; Dashing erwartet als Argument eine Liste mit den Längen des ersten Strichs, der ersten Lücke, des zweiten Strichs, der zweiten Lücke,, wieder gegeben als Bruchteil der Breite der gesamten Grafik. Die Division oder Multiplikation zur Skalierung der Werte kann auf die ganze Liste angewandt werden (wie oben beim zweiten Dashing verwendet). Details dazu im Kapitel Vektorrechnung. ü Beschriftung der Grafik Achsen lassen sich mit AxesLabel beschriften, die ganze Grafik mit PlotLabel. Der Wert kann dabei entweder eine Zeichenkette (in doppelten Anführungszeichen) oder ein beliebiger Mathematica-Ausdruck sein. Plot@Sin@t D, 8t,, 5<, PlotLabel Sin@t D, AxesLabel 8t, "y Achse"<D; y Achse Sin@t D t -.5 -

21 vl-evaluated.nb Mit der Option TextStyle wird eine Liste weiterer Optionen übergeben, mit denen die Schriftart ausgewählt werden kann. D, 8x,, 5<, PlotLabel "Eine Funktion", TextStyle 8 FontFamily "Arial", FontSize, FontColor Red<D; Eine Funktion 3 5 Der Standardwert von TextStyle ist die Benutzung der globalen Variable $TextStyle. Options@Plot, TextStyleD 8TextStyle $TextStyle< Durch setzen dieser Variable kann der TextStyle für alle kommenden Grafikbefehle geändert werden: $TextStyle = 8FontSize < 8FontSize <.5 Plot@Sin@x D, 8x,, 5<D; Die folgende Eingabe stellt die Standardeinstellung wieder her. $TextStyle = 8< 8<

22 vl-evaluated.nb D, 8x,, 5<D; ü Sonstiges Mit der Option Background lässt sich die Hintergrundfarbe einer Grafik bestimmen:.5 Plot@Sin@x D, 8x,, 5<, Background Yellow, PlotStyle 8Red<, AxesStyle 8DarkGreen<, TextStyle 8FontColor Blue<D; Gleichzeitige Darstellung mehrerer Graphen Anstelle einer einzelnen Funktion kann Plot auch eine Liste von Funktionen übergeben werden. Es werden dann die Graphen aller gelisteten Funktionen in ein Koordinatensystem gezeichnet.

23 vl-evaluated.nb 3 Plot@ 8 x, x, x Sin@ xd<, 8x, π ê, π ê < D; Soll der Stil der Graphen verändert werden, so ist jetzt auch bei PlotStyle eine Liste anzugeben, die als Elemente selbst wieder die Listen mit den Stil-Einstellungen für je einen Graphen enthält. Plot@ 8 x, x, x Sin@ xd<, 8x, π ê, π ê <, PlotStyle 8 8Red, Dashing@83, 3< ê D<, 8Red, Dashing@83, 3< ê D<, 8Blue, Thickness@ ê D< < D; Grafikobjekte Jede Grafikfunktionen liefert als Ergebnis ein Grafikobjekt. Bis jetzt haben wir diese Objekte immer durch ein nachgestelltes Semikolon verworfen. Grafikobjekte können aber weiterverarbeitet werde, z.b. indem man sie einer Variable zuweist.

24 vl-evaluated.nb grafik = Plot@Sin@x D, 8x,, 5<D; Das Grafikobjekt ist jetzt unter dem Namen grafik verfügbar. grafik Graphics Grafikobjekte können mit Show dargestellt werden. Show gibt als Ergebnis selbst wieder das Grafikobjekt zurück. Will man das unterdrücken, so muss man wieder ein Semikolon verwenden. Show@grafikD; Mit Show lassen sich viele Optionen einer Grafik noch nachträglich ändern. Bei dem von Show zurückgelieferten Grafikobjekt handelt es sich um die Grafik mit den neuen Optionen. Show@grafik, Axes False, Frame True, FrameStyle 8Red, Thickness@ ê 5D<, PlotLabel "Jetzt mit zusätzlichen Optionen", TextStyle 8FontFamily > "Arial"<, AspectRatio ê 5, Background Black, PlotRange 8,.5<D Jetzt mit zusätzlichen Optionen Graphics

25 vl-evaluated.nb 5 Show@%D; Jetzt mit zusätzlichen Optionen Die in grafik gespeicherte Grafik bleibt davon natürlich unberührt. Show@grafikD; ü Die Option DisplayFunction Wenn man Grafikobjekte, die zur weiteren Verarbeitung bestimmt sind, erzeugt, ist es oft unerwünscht, dass die Grafik schon beim Aufrufen des Plot-Befehls am Bildschirm erscheint. Das lässt sich mit der Option DisplayFunction verhindern. Options@Plot, DisplayFunctionD 8DisplayFunction $DisplayFunction< Der Standardwert von DisplayFunction ist $DisplayFunction, eine Funktion, die Grafikprimitiven am Bildschirm ausgibt. Warum hier ß anstelle von Ø Verwendung findet, erfahren Sie im Kapitel Zuweisungen. Fürs erste können Sie das ignorieren und wie gewohnt Ø benutzen. Indem man DisplayFunction auf Identity setzt, lässt sich eine Ausgabe verhindern. grafik = Plot3D@Sin@x yd, 8x,, <, 8y,, <, PlotPoints, DisplayFunction IdentityD; Auch Show zeigt die Grafik nicht an, da DisplayFunction immer noch auf Identity steht. Show@grafikD; Manuelles zurücksetzen der DisplayFunction auf den Standardwert behebt das Problem!

26 vl-evaluated.nb 6 Show@grafik, DisplayFunction $DisplayFunctionD; ü Nachträgliches Kombinieren mehrerer Grafiken Wir erstellen zuerst vier Grafiken, jeweils mit stummer DisplayFunction: SetOptions@Plot, DisplayFunction IdentityD; gr = Plot@Sin@ xd, 8x,, π<d; gr = Plot@Sin@ xd, 8x,, π<d; gr3 = Plot@Sin@3 xd, 8x,, π<d; gr = Plot@Sin@ xd, 8x,, π<d; SetOptions@Plot, DisplayFunction $DisplayFunctionD; ü Übereinander Werden bei Show mehrere Grafikobjekte angeführt, so werden diese übereinander gedruckt. Show@gr, gr, gr3, gr, grafik, PlotRange All, DisplayFunction $DisplayFunctionD; Man muss dabei jedoch beachten, dass die Grafiken den gleichen Maßstab haben sollten, da sie in ein gemeinsames Koordinatensystem abgebildet werden. ü Nebeneinander GraphicsArray erzeugt ein neues Grafikobjekt, indem es eine Matrix von gegebenen Grafikobjekten entsprechend neben- und übereinander anordnet. Dieses neue Grafikobjekt kann dann mit Show dargestellt werden.

27 vl-evaluated.nb 7 Show@GraphicsArray@ 88gr, gr<, 8gr3, grafik<<d, DisplayFunction $DisplayFunction, Frame TrueD;