Die Permutation Sudoku-Rätsel selbst erstellen. Manfred Vogel, Hiddenhausen

Transkript

1 S 1 Die Permutation Sudoku-Rätsel selbst erstellen Manfred Vogel, Hiddenhausen M 1 Das 81er-Quadrat ein Beispiel als Einstieg Das Sudoku-Rätsel indest du in vielen Zeitungen und Zeitschriften. Wie geht Sudoku? Die Regeln wiederholen Bei dem Rätsel mit 81 Feldern (9 x 9) setzt man die Ziffern 1 bis 9 so ein, dass jede dieser Ziffern in jeder Zeile, in jeder Spalte und in den neun Teilquadraten jeweils einmal vorkommt. Aufgabe: Löse das Sudoku, indem du die obigen Regeln geschickt anwendest

2 S 2 M 2 Wie viele Möglichkeiten? Das 16er-Quadrat erforschen Einige Ziffern sind in den üblichen Rätseln bereits ausgedruckt. Denn sonst kann man das Sudoku überhaupt nicht lösen. Doch welche Ziffern bei dieser Vorgabe in welche Felder gehören, scheint das Geheimnis der Rätsel-Ersteller zu sein. Bald wirst du zu diesen Weisen gehören! Hier erfährst du, wie du ein (lösbares) Sudoku-Rätsel selbst erstellen kannst. Aufgabe (Ausgangsproblem) Für deine jüngeren Mitschülerinnen und Mitschüler ist ein großes Sudoku mit 81 Feldern zu unübersichtlich. Deshalb sollst du für sie ein kleineres Rätsel erstellen: Es hat nur 16 Felder und enthält, vollständig ausgefüllt, nur die Ziffern 1 bis 4. Suche dir einen Partner! Versucht zusammen herauszuinden, wie viele verschiedene Rätsel dieses Typs es gibt. So geht s eine schrittweise Anleitung a) Verwendet die Buchstaben A bis D als Platzhalter. Jeder dieser Buchstaben kommt insgesamt viermal vor. Schreibt die Buchstaben in das 16er-Quadrat. Beachtet dabei die Sudoku-Regeln. Findet durch Probieren vier gültige Sudoku-Quadrate. Zeichnet das Quadrat mit den 16 Feldern in euer Heft. Die Zeilen und Spalten beschriftet ihr wie hier. Wählt einen etwas größeren Maßstab, damit ihr die Zahlen leicht eintragen könnt. Nun zückt ihr eure Bleistifte. Haltet einen Radiergummi parat, damit ihr eure Einträge gegebenenfalls korrigieren könnt. Beginnt mit der obersten Zeile Z 1. Geht möglichst systematisch vor. b) Habt ihr das ganze Quadrat mit Buchstaben gefüllt? Dann indet heraus, ob und wann ihr die Zeilen bzw. die Spalten oder ganze Blöcke miteinander vertauschen könnt. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür? Ist diese Methode geeignet, das Ausgangsproblem zu lösen? Falls nicht, begründet eure Entscheidung. c) Nun belegt die Platzhalter A, B, C und D mit den Ziffern 1, 2, 3 oder 4. Wie viele Möglichkeiten gibt es hierfür? d) Wie viele Möglichkeiten gibt es dann insgesamt? e) Löscht elf Ziffern. Das Rätsel muss aber immer noch lösbar sein. Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Sp 1 Sp 2 Sp 3 Sp 4

3 S 4 Rund um das Einzelmaterial Klasse: 9 und 10 Dauer: Inhalt: 2 Stunden Sudoku-Rätsel selbst erstellen; das Permutationsgesetz anwenden; Kombinationsvermögen und lexibles Denken trainieren Ihr Plus: Ideal für Vertretungsstunden und Aufenthalte im Schullandheim (Schlecht- Wetter-Programm); Denkanstöße für Schüler, die Spaß am Knobeln und Tüfteln haben Didaktisch-methodische Hinweise Fachliche Vorbemerkungen zum Ursprung des Sudoku-Rätsels Die Wurzel des Sudoku-Rätsels liegt in dem Permutationsgesetz von Leonhard Euler ( ), nach dem die Anzahl der Permutationsmöglichkeiten von n Zahlen n = n! beträgt. Jedes Sudoku-Feld mit neun Zeilen und neun Spalten kann demnach auf 9! = verschiedene Weisen mit den Platzhaltern A, B, C, D, E, F, G, H und I belegt werden, wobei jeder dieser Buchstaben genau neunmal auftritt. Die Platzhalter stehen für die Ziffern 1 bis 9. Als Rätsel wurde das Sudoku-Quadrat erst in den 70er-Jahren des letzten Jahrhunderts 200 Jahre nach Euler von Howard Garns (USA) als NumberPlace entwickelt. Von den USA gelangte es nach Japan, wo es seinen heutigen Namen erhielt. In Deutschland veröffentlichte Stefan Hein die ersten Sudoku-Rätsel, ohne dass sie anfangs auf große Resonanz stießen. Vorbereitung Erklären Sie den Schülerinnen und Schülern in einem kurzen, frontal geführten Unterrichtsgespräch die Regeln des Sudoku. Deuten Sie an, dass man aus einem vorgegebenen Sudoku-Quadrat ein anderes erzeugen kann, indem man Zeilen oder Spalten vertauscht. Warum sollen die Schüler selbst Sudoku-Rätsel erstellen? Sudoku-Rätsel zu erstellen und zu lösen, bietet sich als Anwendung an, wenn Sie das Permutationsgesetz erarbeitet haben. Zur Aulockerung des normalen Unterrichtsalltags und als Knobelaufgabe für Schnelle setzen Sie die Rätsel gewinnbringend ein. Auch für Vertretungsstunden und Arbeitsgemeinschaften eignet sich das Sudoku gut. Um zu erkennen, welche Kombinationen den Regeln entsprechen, muss man die Zahlenfelder logisch durchdenken. So erkennt man eine Systematik, nach der man Sudoku- Rätsel selbst erstellen kann. Geben Sie diese Systematik nicht vor! Die Schülerinnen und Schüler sollen sie sich in Partnerarbeit selbst erschließen. So fördern Sie logisches Denken und systematisches Arbeiten. Während sich viele Schülerinnen und Schüler im Frontalunterricht nur berieseln lassen, führt das selbstentdeckende Lernen gewöhnlich zu Wissen, das nachhaltig verankert ist. Für zusätzliche Motivation sorgen Sie mit dem Auftrag, für jüngere Mitschülerinnen und Mitschüler kleinere Sudoku-Rätsel zu erstellen. So schlüpft der Lernende selbst in die Rolle des Lehrmittelerstellers.

4 S 5 Den lexiblen Umgang mit Zahlen fördern Die meisten mathematischen Bereiche tendieren zu Überlegungen, die ein und nur ein (richtiges) Ziel, das Ergebnis, haben. Wenn auch die Wege dorthin verschieden sein mögen, so sind in diesen Fällen alle anderen Lösungen falsch. Hier fördern Sie das genaue Gegenteil des Glaubens an die eineindeutige Lösung die geistige Offenheit und Wendigkeit. Bei der Erstellung von Sudoku-Quadraten muss die Schülerin oder der Schüler nämlich versuchen, möglichst viele verschiedene Möglichkeiten zu inden, die zu einem gültigen Resultat führen. Gültig ist ein Rätsel dann, wenn es mit allen Regeln vereinbar ist. Der Reiz der Aufgabe besteht darin abzuschätzen, wie viele verschiedene Möglichkeiten denn grundsätzlich denkbar sind. Für den Ratenden wird das Lösen nicht eintönig, da sie oder er sich jedes Mal mit einer anderen Konstellation auseinandersetzen muss. Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein gültiges Sudoku-Quadrat zu erstellen? Es gibt eine nahezu unbegrenzte Zahl von Endprodukten. Wenn zwei Zweier-Gruppen die gleiche Rätselkonstellation vorweisen, dann handelt es sich mit großer Wahrscheinlichkeit um ein Produkt und seine Kopie wie bei zwei identischen Aufsätzen im Fach Deutsch. Einzig die Aufgabe für Sudoku-Muffel ( Erstelle alle möglichen Sudoku-Rätsel mit nur neun Feldern, d.h. drei Zeilen und drei Spalten, also mit den drei Ziffern 1, 2 und 3 ) bildet davon eine Ausnahme. Hier gibt es nur 3! 2 1 = 12 verschiedene Lösungen. Erfolgreich erstellt man Sudoku-Rätsel vor allem zu zweit. Gemeinsam schöpfen die Lernenden die Vielfalt der Lösungsmöglichkeiten aus. Probieren, Austarieren und gegenseitiges Prüfen auf Richtigkeit und Machbarkeit sind einige der Techniken, die Erfolg versprechen. Die Partner motivieren sich gegenseitig, aktiv an der Gestaltung der Rätsel mitzuarbeiten. Keiner sitzt nur zuschauend oder zuhörend im Abseits. Die Rolle des Ideengebers und Prüfers wechselt ständig zwischen den beiden. Es ist wenig sinnvoll, binnendifferenzierende Gruppen zu bilden. Während der eine eventuell besonders sorgfältig und gründlich überlegt und daher normalerweise die besseren Noten in den Arbeiten schreibt, hat der andere eine größere Einfallsgabe und ist besonders kreativ. Starke und schwache Mathematiker das sind Stempel, deren Fragwürdigkeit sich gerade bei der Erstellung der Sudoku-Rätsel zeigt. Bilden Sie besser Sympathiegruppen : Lassen Sie Schülerinnen und Schüler zusammenarbeiten, die unterschiedliche Stärken und Schwächen haben, sich aber gut miteinander verstehen. Das gemeinsame Knobeln soll den Schülerinnen und Schülern Spaß machen. So erreichen Sie am ehesten, dass es am Schluss viele verschiedene Lösungswege und Endprodukte gibt. Nach der Fertigstellung Wenn die Lernenden ein gültiges Sudoku-Quadrat gefunden haben, müssen sie einen Teil der Ziffern wieder entfernen (ausradieren). Dabei sind die folgenden Bedingungen zu erfüllen: Einerseits möglichst viele Ziffern zu entfernen. Andererseits soll das Rätsel aber durch logisches Denken lösbar bleiben. Es könnte sich durchaus ein Wettbewerb zwischen den Gruppen entwickeln, wer mit der geringsten Zahl von Ziffern ein (noch) lösbares Rätsel erstellt. Schwierigkeitsgrad Bei der einfachen Form des 16er-Rätsels können die Schülerinnen und Schüler anhand des Permutationsgesetzes leicht nachvollziehen, welche Kombinationsmöglichkeiten es gibt und wie groß die Anzahl aller Möglichkeiten für gültige Rätsel ist. Die Aufgabe ist überschaubar.

5 S 7 Lösungen und W Tipps zum Einsatz M 1 Das 81er-Quadrat ein Beispiel als Einstieg Aufgabe M 2 Wie viele Möglichkeiten? Das 16er-Quadrat erforschen Zu den einzelnen Schritten der Anleitung a) Beispielsweise sind folgende Anordnungen möglich: A B C D A C D B A D C B A B D C C D A B D B A C B C A D D C A B B C D A B A C D C B D A B A C D D A B C C D B A D A B C C D B A Möglicherweise versuchen die Schülerinnen und Schüler, jeden Buchstaben durch einen anderen Buchstaben zu ersetzen: A => B, B => C, C => D und D => A. Dieser Gedanke führt auf das Permutationsgesetz (in diesem Fall wurde zyklisch permutiert). Insgesamt gibt es 4! = = 24 Möglichkeiten, vier verschiedene Buchstaben auf vier Plätzen anzuordnen. Jede Zeile, jede Spalte und jeder Block besteht aus vier solchen Plätzen. Dies sind aber nur die Möglichkeiten, beispielsweise die erste Zeile oder die erste Spalte (oder den ersten Block) zu besetzen. Das Vertauschen von Zeilen bzw. Spalten oder ganzen Blöcken führt auf weitere Sudoku-Quadrate.