Computer graphics. Volumen und marching cubes. Dr. Ernst Kruijff

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1 Computer graphics Volumen und marching cubes Dr. Ernst Kruijff Institute of Visual Computing 3DMi group Bonn-Rhein-Sieg University of Applied Sciences 3 Dm group

2 Sources Andre Hinkenjann, Vorlesung Computergrafik Oliver Jato, Vorlesung Computergrafik Carlos Andujar, Marching Cubes Algorithm Slides von Computer Science /Swansea University

3 Volumenvisualisierung Direkte n CFD: Computational Fluid Dynamics n Simulationen der numerischen Strömungsmechanik auf 3D Gittern (Finite Elemente / Volumina Methode) num3sys.inria.fr American Institute of Physics

4 Direkte Volumenvisualisierung Dämpfung von Röntgenstrahlen (Hounsfield Units) Windgeschwindigkeiten in Simulation von Hurricane Isabel

5 Direkte Volumenvisualisierung Globale Ozeantemperaturen in einer Klimasimulation 5

6 Volumenvisualisierung Motivation: Direkte n Informationen, Phänomene und Modelle ohne Oberflächen darstellen: inhomogene Regionen n Visualisierung von Participating Media: Fluid, Gas, Rauch, n Visualisierung von wissenschaftlichen Daten Skalare: Temperatur, Druck, Gewebedichte, Feldstärke, Vektoren: Gradienten, Richtung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Wikipedia graphics.stanford.edu

7 Volumenvisualisierung Direkte n Volumenvisualisierung allgemein: Repräsentation, Extraktion, Manipulation und Darstellung von Informationen, denen der Wertebereich dreidimensionaler Funktionen zugrunde liegt [Arie E. Kaufman: Volume Visualization, In: ACM Comput. Surv. 28, 1996] n Definitionsbereich einer 3D Funktion Punkte im 3D Raum sind Informationsträger n Wertebereich einer 3D Funktion Skalar- oder Vektorfeld über begrenzendes Volumen n Volumenrendering: Prozess der Darstellung eines solchen Feldes mit Methoden der Computergrafik [James D. Foley et al.: Computer Graphics: Principles and Practice, Addison-Wesley, 1996]

8 Volumenvisualisierung Direkte n Direkte Volumenvisualisierung n Einfluss der Voxel auf Projektionsfläche ergibt Farben der Bildpunkte n n Vorteile n n n n Information des Volumens wird vom Datenraum in den Bildraum projeziert Einblick in das Innere eines Datensatzes Keine zeitaufwändige Erzeugung von Flächen Kein zusätzlicher Speicher für Flächen Dynamische Daten: zeitvariante Daten, Live-Simulation, Clipping n Unterteilung der direkten Verfahren: n Objektraumverfahren, Bildraumverfahren, Frequenzraumverfahren

9 Volumenvisualisierung Direkte n Welche Schritte sind zur Bildgenerierung notwendig? n Volumenrendering Pipeline n Traversierung: Wie wird ein Volumen durchlaufen? n n n n n Rekonstruktion: Wie wird der Wert an einem Ort bestimmt? Gradientenberechnung: Wie werden Normalen berechnet? Klassifikation: Welche Voxel sind von Interesse? Schattierung: Welche Farbe soll ein Voxel bekommen? Komposition: Wie wird aus den Voxeln die Farbe eines Bildpunktes ermittelt? n Wir schauen hier nur einige Visualisierungsverfahren an!

10 Volumenvisualisierung Direkte n Objektraumverfahren (Vorwärtsprojektion) n Auswirkung der Voxel auf Projektionsfläche berechnen n Komposition aller Voxelbeiträge bestimmt Ausgabe werden nicht in Detail auf Techniken eingehen n Algorithmen: Splatting, Projected Tetrahedra (unstrukt. Gitter), Shear-Warp Faktorisierung (auf CPUs sehr schnell), Slicing (mit GPUs, Object aligned oder View aligned)

11 Volumenvisualisierung Direkte n Bildraumverfahren (Rückwärtsprojektion) n Volumen für jeden Bildpunkt abtasten n n Sehstrahlen durch Bildpunkte schneiden Voxel Hohe Qualität, jedoch ungeordnete Speicherzugriffe n Typischer Vertreter: Ray Casting n n Grundsätzlich Effekte wie beim Ray Tracing möglich Reflektion, Refraktion, Streuung, Lichtquellen, Schatten,, aber extrem Aufwändig n Frequenzraumverfahren n Abbildung des Volumens in 3D Frequenzraum durch Fourier Transformation (kontinuierliche, aperiodische Signale werden in ein kontinuierliches Spektrum zerlegt)

12 Alterna3v: Oberfläche sta: direkte Visualisierung? Rekonstruktion von Gewebeoberflächen aus Computer-Tomographie (CT) Scan Beispiel zwei unterschiedliche Isooberflächen Rekonstruktion der Rekonstruktion der Hautoberfläche Knochenoberfläche

13 Visualisierungspipeline Bildgenerierung Visualisierung Ausgabe

14 Visualisierungspipeline Bildgenerierung Visualisierung Ausgabe

15 Marching cubes Beliebter Algorithmus zur isosurface extraction Original Lorensen, W.E. and Cline, H.E. (1987). Marching cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm. ACM Computer Graphics, 21(4). (SIGGRAPH '87) Update (closed meshes) Claudio Montani, Riccardo Scateni and Roberto Scopigno. A modified look-up table for implicit disambiguation of Marching Cubes. The Visual Computer, 10(6),

16 Marching cubes Von Voxel bis Triangle Mesh Voxels marching cubes triangle mesh

17 Datenstruktur Voxel: Volume Element Ist die 3D Entsprechung eines Pixels: Picture Element Voxel liegen in Eckpunkten des Gitters Zelle: durch acht Voxel an den Eckpunkten definierter Würfel.

18 Input Voxels welche ein scalar field repräsentieren v = f(x,y,z) Kann aber muss nicht binär sein Values in IR Binary values

19 Input Prüfen ob sample innerhalb oder außerhalb der Oberfläche ist Isovalue = Values in IR 6 Isovalue = 4 8 6

20 Output Input Modell Binär à Oberfläche separiert Punkte innerhalb/außerhalb Input Modell nicht Binär à Isosurface welcher alle Punkte mit gleicher isovalue verbindet

21 Marching cubes - Beispiel Gesucht: Oberfläche längs konstantem Schwächungswert 600 (Isooberfläche), z.b. Knochenoberfläche Schicht k+1 Cube/Zelle Schicht k z y Pixel mit Schwächungswert / Grauwert x

22 Marching cubes 30 (0) 30 (0) Schwächungswerte von Gewebe ( Wasser (normiert auf 20 (0) 30 (0) Gewebe Hounsfield Units z 30 (0) y x 20 (0) (0) (1) Knochen Knochen Niere Blut Wasser 0 Fett Luft -1000

23 Marching cubes: Idee Traversier ( march ) durch alle Quader (cubes) welche durch 2x2x2 an einander grenzende Samples geformt wird Für jeder Quader: generiere einen Satz von Dreiecke welche die Output Isosurface innerhalb des Quaders repräsentiert

24 Ablauf Für jeder Quader werden wir : Geometrie: Vertices des Isosurface bestimmen Topologie: Die Vertices verbinden mittels Dreiecke

25 Das Prinzip Raster Zahlen in Zellen repräsentieren Werte von irgend ein physikalischer Eigenschaft Wir wollen zeigen wo f(x) = 5 ist a) Linear interpolieren b) Punkte auf Umriss bestimmen c) Punkte mit einander verbinden

26 Ablauf Unter Annahme das das Feld kontinuierlich ist: Kanten (edges) mit sign change (innerhalb/ausserhalb) werden geschnitten durch Isosurface X X X 6 8 X X 8 X 6 8 X X X

27 Marching Cubes genauere Schritte 1. Zellenanalyse 2. Klassifiziere jeder Vertex als innerhalb oder außerhalb 3. Indexierung 4. Kantenliste aus table[index] 5. Interpoliere Kanten 6. Berechne Gradienten 7. Beachte ambiguous cases 8...nächste Zelle Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

28 Marching Cubes Schritt 1 Step 1: Zelle ist definiert durch Eckpunkte (i,j+1,k+1) (i+1,j+1,k+1) (i,j,k+1) (i+1,j,k+1) (i,j+1,k) (i+1,j+1,k) (i,j,k) (i+1,j,k) Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

29 Marching Cubes Schritt 2 Step 2:. Klassifizier jeder Vertex: innerhalb oder außerhalb Außerhalb surface (value > isosurface value) Innerhalb surface (value <= isosurface value) iso = isovalue =7 =inside =outside Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

30 Marching Cubes Schritt 3 Step 3: Nutze binary labeling um Index zu erstellen aus Binärwert ergibt sich der case! v4 v8 v3 v7 inside =1 outside= v5 v v1 v2 Index: v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

31 Schritt 4 - Eckenkombinationen Viele der Konfiguration sind symmetrisch und können gruppiert werden Result: wenige cases Case... config 1 config 2 config 4

32 Schritt 4 Eckenkombinationen Vorsicht: in der Übung ist die Tabelle vollständig! Step 4: Kantenliste aus table[index]: Für jeder Index, schaue in LUT Es gibt 256 (2 8 ) Eckenkombinationen (Fläche-Würfel-Schnitte). Reduzierung durch Rotationssymmetrie und Umkehrung der Bits => 15 relevante Fälle

33 Marching Cubes Schritt 4 Step 4 cont. Kantenliste aus table[index] Beispiel Index = triangle 1 = e4,e7,e11 triangle 2 = e1, e7, e4 triangle 3 = e1, e6, e7 triangle 4 = e1, e10, e6 e4 e11 e1 e7 e6 e10 Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

34 Nochmal: Dreiecke und LUT Marching cubes benutzt einen LUT (look-up table) mit 256 Einträge die Beschreiben wie die Dreiecke innerhalb des Quaders aufgebaut werden Zahl der Dreiecke Für jedes Dreeick: Indices (a,b,c) der vertices vom Dreieck. Jeder Index ist ein Zahl welche beschreibt welcher Kante (Kanten sind auch durch nummeriert!) des Quaders den Vertex beinhaltet. 0 Triangles for config 0 1 Triangles for config 1 2 Triangles for config Triangles for config 255

35 ... Beispiel Kante! V6 4 V V7 V à Konfiguration 51 gibt die Dreiecke! V0 3 2 V1 0 Triangles for config 0 1 Triangles for config 1 51 { {8, 9, 10}, {9, 11, 10} } V4 1 V5

36 Marching Cubes Schritt 5 Step 5: Für jeder Dreiecks-Kante, finde Vertex Lokation entlang Kante, nutze lineare Interpolation i i+1 x =10 =0 T=5 T=8 Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

37 Vertices bestimmen Vertices werden durch Interpolation bestimmt P 1 (x1,y1,z1) v 1 =f(x1,y1,z1) P=(x,y,z)? P 2 =(x2,y2,z2) X 8 v=f(x,y,z) v 2 =f(x2,y2,z2) V V P = P 2 V V 1 + P 1 V 2 V 2 1 V 2 V 1

38 Vertices bestimmen Vertices werden durch Interpolation bestimmt P 1 =(0,1,0) v 1 =2 P=(0,0.667,0) P 2 =(0,0,0) X 8 v=4 v 2 =8 P = (0,1,0) (0,0,0) P=(0,0.667,0)

39 Marching Cubes Schritt 6 Step 6: Berechne Normale à Siehe Mathe Einführung Vorlesung 2 Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

40 Marching Cubes Schritt 7 Step 7: Beachte ambiguous cases Ambiguous cases: 3, 6, 7, 10, 12, 13 Angrenzende Vertices: verschiedene states Diagonale Vertices: gleicher state Lösung : wähle der Richtige or or letzter Punkt: gehen wir hier nicht auf ein Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

41 Marching Cubes - Summary Summary 256 Cases Reduziert zu 15 cases durch Symmetrie Ambiguity in cases 3, 6, 7, 10, 12, 13 Kann Löcher verursachen, aber, gehen wir hier nicht auf ein Bis 5 Dreiecke per cube Source: hrp://cs.swan.ac.uk/~csbob/teaching/

42 Marching cubes Algorithmus 1 zur Generierung einer Isooberfläche mit Wert i for (z = 0; z < Anzahl der Schichten - 1; z++) { Lese Schicht z, z+1 in den Speicher; for (y = 0; y < y-auflösung - 1; y++) { for (x = 0; x < x-auflösung - 1; x++) { b = BerechneBitstring(i,Eckwert(x,y,z),Eckwert(x+1,y,z),...,Eckwert(x,y+1,z+1)); GeneriereDreiecke(i,b,Eckwert(x,y,z),...); } } } Speicherbedarf: quadratisch, ok für Standardauflösungen J Laufzeit: kubisch L

43 Effiziente Realisierung: Octrees Schwachstelle: Alle Würfel werden durchlaufen, auch wenn sie nicht zur gesuchten Isooberfläche beitragen. Wie kann für weite Bereiche schnell bestimmt werden, ob die Isooberfläche darin enthaltene Würfel schneidet? Lösung: Hierarchisierung mittels Octrees

44 Octrees Rekursive Unterteilung des Raumes in 8 kongruente Würfel => =>... => =>... Datenstruktur: Baum mit Verzweigungsgrad 8 (Octree) Anzahl der Baumebenen: log 2 (Kantenauflösung)

45 Octree...und nochmal: Volum teilen in 8 Teile (octant) Baum aufauen welche Polygonen in jeder octant beinhaltet Wenn ein octant mehr als Minimum Zahl von Polygone hat: weiter aukeilen No@z: Octree ist ähnlich wie ein quadtree (2D) wikimedia commons Wich@g: Ein Octree ist ein gewurzelter Baum, dessen Knoten jeweils entweder acht direkte Nachfolger oder gar kein Nachfolger haben

46 Octrees zur Beschleunigung der Isooberflächengenerierung Die Blätter des Octrees verweisen jeweils auf 8 benachbarte Cubes und enthalten jeweils das Maximum und Minimum aller Eckwerte ihrer Cubes. Alle inneren Knoten enthalten das Maximum und Minimum der Werte ihrer Söhne. 10/ / / / / 1000

47 Octrees zur Beschleunigung der Isooberflächengenerierung Algorithmus 2 zur Generierung einer Isooberfläche mit Wert i GeneriereOberfläche(Knoten k, Wert i) { if (k ist Blatt) { Teste und generiere Dreiecke in allen acht Cubes von k; return; } if ( (Maximum von k < i) ODER (Minimum von k > i) ) return; else { GeneriereOberfläche(1. Sohn von k, i);... GeneriereOberfläche(8. Sohn von k, i); } }

48 Octrees zur Beschleunigung der Isooberflächengenerierung GeneriereOberfläche(Wurzel, ~20) GeneriereOberfläche(Wurzel, 600) Speicher: kubisch L, aber Komprimierung des Octrees möglich Zeit: J, falls große, zusammenhängende Bereiche ausschließbar Vorverarbeitungsschritt zum Aufbau des Octrees ist notwendig. Für wiederholte Generierung von Oberflächen mit verschiedenen Isowerten aber vertretbar.

49 Zusammenfassung Volumen werden u.a. im wissenschaftlichtechnischen Bereich und in der medizinischen Informatik visualisiert. Ein oberflächenbasiertes Verfahren ist der MC Algorithmus. Er generiert aus Datenwürfeln eine hochaufgelöste Oberfläche. Beschleunigung der Generierung von Oberflächen durch Vorverarbeitung in einen Octree möglich. Hierarchisierung ist Standardwerkzeug der Informatik.

50 ÜBUNG! Lesen...wie funktioniert Marching cubes Aufgabe (nächste 2 Wochen!) Rekonstruier Isooberfläche aus Skull Datensatz Selber Wert wählen (experimentieren) Mehr Datensätze auf volvis.org Code sample: Tutorial08