Gliederung. Programmierparadigmen. Mathematische Funktionen: Mathematische Funktionen: Lambda-Kalkül

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1 Gliederung Programmierparadigmen D. Rösner Institut für Wissens- und Sprachverarbeitung Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Sommer 2013, 9. Juli 2013, c D.Rösner 1 Einführung Arithmetik Boolesche Operationen Datenstrukturen Kontrollstrukturen D. Rösner PGP D. Rösner PGP Mathematische Funktionen: Mathematische Funktionen: math.: Funktion ist (eindeutige) Abbildung einer Menge (Urbild, domain) in eine andere Menge (Bildbereich, range) z.b. sqrt: R R plus: [R R] R totale Funktion: alle Elemente des Urbildbereiches besitzen ein Bild andernfalls: partielle Funktion Beispiel: Sei f die Funktion, die jeder natürlichen Zahl a die kleinste natürliche Zahl b zuordnet, für die gilt, dass die Ziffern von a in dezimaler Repräsentation in der dezimalen Expansion von π zum ersten Mal nach b Ziffern rechts vom Dezimalpunkt auftauchen z.b. a = 59, π = 3,14159, f (59) = 4 Frage: Ist f total oder partiell? D. Rösner PGP D. Rösner PGP

2 Funktionen als Mengen: Funktionen sind math. Objekte: Funktionen sind Teilmengen des kartesischen Produkts aus Urbild- und Bildbereich z.b. sqrt [R R] plus [R R R] in Mengennotation: sqrt {(x, y) R R y = x 2 } plus {(x, y, z) R R R z = x + y} beachte: dies sind intensionale Darstellungen, aber keine Berechnungsvorschriften Wenn f Funktion von A nach B, dann ist f Teilmenge von A B, m.a.w.: f ist Element der Potenzmenge von A B, d.h. der Menge aller Teilmengen von A B, kurz: 2 A B wegen der geforderten Eindeutigkeit sind nicht alle Elemente von 2 A B Funktionen von A nach B D. Rösner PGP D. Rösner PGP Funktionen sind math. Objekte: Funktionsraum A B: diejenigen Elemente von 2 A B, bei denen in jedem Paar die erste Komponente eindeutig (A B) 2 A B höhere Funktionen in Mengennotation, z.b. compose {(f, g, h) x R : h(x) = f (g(x))} compose [(R R) (R R)] (R R) Lambda-Ausdruck: rekursive Definition Lambda-Ausdruck ist entweder 1 Name 2 Lambda-Abstraktion aus λ, Name, Punkt und Lambda-Ausdruck 3 Funktionsanwendung aus zwei nebeneinander stehenden n 4 geklammerter Lambda-Ausdruck D. Rösner PGP D. Rösner PGP

3 meist zusätzliche Vorrangregeln: Funktionsanwendung linksassoziativ, d.h. f A B interpretiert als (f A) B (und nicht f (A B)) Anwendung hat höhere Präzedenz als Abstraktion, d.h. λ x.ab interpretiert als λ x.(a B) (und nicht (λ x.a)b) kontextfreie Grammatik (CFG) für mit minimaler Klammernzahl expr name number λ name. expr func arg func name (λ name. expr) func arg arg name number (λ name. expr) (func arg) Bemerkung: es wird unterschieden zwischen n, die als Funktionen (s. func), und solchen, die als Argumente verwendet werden (s. arg). D. Rösner PGP D. Rösner PGP mit λ werden formale Parameter eingeführt der mit λ eingeführte Name wird im nachfolgenden Ausdruck als gebunden bezeichnet und der Ausdruck ist der Gültigkeitsbereich (Skopus) für diesen Namen eine nicht gebundene Variable heißt frei freie Variable müssen in einem umgebenden Skopus gebunden sein Beispiel: in λ x.λ y. times x y ist x gebunden, in λ y. times x y ist x frei Ein Name < name > ist frei in einem λ-ausdruck, wenn einer der drei Fälle zutrifft: < name > ist frei in < name >. < name > ist frei in λ < name 1 >. < exp >, wenn der Identifikator < name > < name 1 > und < name > ist frei in < exp > < name > ist frei in E 1 E 2 wenn < name > ist frei in E 1 oder < name > ist frei in E 2 s.a. [Roj98] D. Rösner PGP D. Rösner PGP

4 Ein Name < name > ist gebunden in einem λ-ausdruck, wenn einer der zwei Fälle zutrifft: < name > ist gebunden in λ < name 1 >. < exp >, wenn der Identifikator < name >=< name 1 > oder < name > ist gebunden in < exp > < name > ist gebunden in E 1 E 2 wenn < name > ist gebunden in E 1 oder < name > ist gebunden in E 2 ein Identifikator kann in einem Ausdruck sowohl frei als auch gebunden vorkommen Beispiel: (λx.xy)(λy.y) s.a. [Roj98] zur vereinfachten Referenz können Ausdrücken Namen (im Sinne von Synonymen oder Kurzschreibweisen) gegeben werden z.b. square λx.times x x identity λx.x const7 λx.7 hypot λx.λy. sqrt (plus (square x) (square y)) lies: ist Abkürzung für D. Rösner PGP D. Rösner PGP Rechnen mit dem Rechnen mit dem Zum Rechnen mit dem genügen im wesentlichen drei : β-reduktion α-konversion η-reduktion β-reduktion: Für jede λ-abstraktion λx.e und jeden Ausdruck M: (λx.e)m β E[M \ x] Dabei bezeichnet E[M \ x] den Ausdruck E mit allen freien Vorkommen von x ersetzt durch M. Anwendungsbedingung: β-reduktion ist nicht erlaubt, wenn irgendwelche in M freien Variablen in E[M \ x] gebunden würden. D. Rösner PGP D. Rösner PGP

5 Rechnen mit dem Rechnen mit dem Anwendungsbedingung der β-reduktion: verhindert sog. Variablenergreifen (engl. variable capture) Beispiel: würde der Ausdruck (λx.(λy.xy))y ohne Beachtung der Anwendungsbedingung β-reduziert, so ergäbe sich (λy.yy) das korrekte Resultat ergibt sich, wenn zunächst eine Umbenennung vorgenommen wird (λx.(λy.xy))y (λx.(λt.xt))y (λt.yt) s.a. [Roj98] α-konversion: Für jede λ-abstraktion λx.e und jede Variable y, die keine freien Vorkommen in E hat: λx.e α λy.e[y \ x] η-reduktion: Für jede λ-abstraktion λx.e, wobei E von der Form F x und x hat keine freien Vorkommen in F: λx.fx η F (überflüssige λ-abstraktionen eliminieren) D. Rösner PGP D. Rösner PGP Bemerkungen zu den : Rechnen mit dem β-reduktion: ähnelt Parameterübergabe durch call-by-name; unbeabsichtigtes Ergreifen (capture) einer Variable wird durch die Anwendungsbedingung verhindert α-konversion: Umbenennungen, damit β-reduktion möglich η-reduktion: von geringerer Bedeutung wenn square wie oben definiert, dann mit η-reduktion erlaubt: λx.square x η square zusätzlich für Arithmetik (falls nicht direkt innerhalb des Kalküls behandelt) : δ-reduktion ein Ausdruck der Form op x y mit x, y numerische Literale und op aus kleiner Menge von Standardfunktionen kann durch arithmetischen Wert ersetzt werden Beispiele: plus 2 3 δ 5 minus 5 2 δ 3 times 2 3 δ 6 D. Rösner PGP D. Rösner PGP

6 Rechnen mit dem Rechnen mit dem β-reduktion und α-konversion (und ggf. η-reduktion) werden wiederholt angewendet, bis keine weitere Reduktion möglich ist und der λ-ausdruck sich in seiner einfachsten Form befindet Church-Rosser [1936]: einfachste Formen sind eindeutig jede Folge von Reduktionen, die in einem nicht weiter reduzierbaren Ausdruck endet, produziert das gleiche Resultat beachte: Termination ist nicht garantiert Beispiel: (λx.xx)(λx.xx) β... Reduktion in Normalordnung: wenn mehr als eine β-reduktion möglich, wird hierbei diejenige gewählt, deren λ am weitesten links im gesamten Ausdruck steht Beispiel: (λf.λg.λh.fg(hh))(λx.λy.x)h(λx.xx) β... D. Rösner PGP D. Rösner PGP Rechnen mit dem Rechnen mit dem Arithmetik mit natürlichen Zahlen lässt sich wie folgt im λ-kalkül darstellen: benötigt wird eine Darstellung für Null sowie eine Darstellung für Nachfolger-Funktion (engl. successor) n-fache Anwendung der Nachfolger-Funktion auf Null repräsentiert dann die jeweilige Zahl n die so dargestellten Zahlen werden auch als Church-Numerale bezeichnet eine Darstellung für natürliche Zahlen im λ-kalkül 0 λs.(λz.z) auch geschrieben als: λsz.z die Definitionen weiterer Zahlen: 1 λsz.s(z) 2 λsz.s(s(z)) 3 λsz.s(s(s(z)))... D. Rösner PGP D. Rösner PGP

7 Rechnen mit dem Rechnen mit dem die Nachfolger-Funktion lässt sich durch folgenden Kombinator darstellen: S λwyx.y(wyx) Bemerkung: als Kombinatoren werden λ-ausdrücke ohne freie Variable bezeichnet Frage: Was ergibt die Anwendung von S auf 0, 1,...? die Addition zweier Zahlen m und n wird zurückgeführt auf die m-fach wiederholte Anwendung der Nachfolger-Funktion auf die Zahl n Beispiel: wird berechnet durch die Reduktion von (λsz.s(s(z)))(λwyx.y(wyx))(λuv.u(u(u(v)))) D. Rösner PGP D. Rösner PGP Rechnen mit dem Rechnen mit dem die Multiplikation zweier Zahlen m und n wird realisiert durch die Anwendung der Funktion λxyz.x(yz) auf die Zahlen m und n Beispiel: 2 2 wird berechnet durch die Reduktion von (λxyz.x(yz))2 2 Beispiel: 2 2 wird berechnet durch die Reduktion (hier in Normalordnung) von (λxyz.x(yz))2 2 β λz.2 (2 z) Def.2 λz.(λst.s(s t))(2 z) β λz.λt.(2 z)(2 z t) Def.2 λz.λt.((λuv.u(u v))z)(2 z t) β λz.λt.(λv.z(z v))(2 z t)... D. Rösner PGP D. Rösner PGP

8 Rechnen mit dem Rechnen mit dem Beispiel: cont.... β λz.λt.z(z (2 z t))) Def.2 λz.λt.z(z ((λuv.u(u v)) z t)) β λz.λt.z(z ((λv.z (z v)) t)) β λz.λt.z(z (z (z t))) Def.4 4 auch die booleschen Werte T und F werden durch Funktionen repräsentiert T λxy.x F λxy.y als Funktionen werden die beiden Wahrheitswerte auch als select_first bzw. select_second bezeichnet, [Sco00] D. Rösner PGP D. Rösner PGP Rechnen mit dem Rechnen mit dem die logischen Verknüpfungen lassen sich dann wie folgt definieren: λxy.xy(λuv.v) λxy.xyf λxy.x(λuv.u)y λxy.xty Negation eines Arguments ergibt sich mit λx.x(λuv.v)(λab.a) λx.xft Negation angewendet auf T ergibt T λx.x(λuv.v)(λab.a) (λcd.c) reduzierbar zu: D. Rösner PGP D. Rösner PGP

9 Rechnen mit dem Rechnen mit dem Paare (a, b) lassen sich als Funktion wie folgt darstellen: λz.zab die Selektion des ersten bzw. zweiten Elements des Paares erfolgt dann durch Anwendung dieser Funktion auf T bzw. F (λz.zab)t =... (λz.zab)f =... mit Paaren lassen sich weitere nützliche Funktionen definieren Beispiel: Vorgängerfunktion (engl. predecessor) Grundidee: kreiere Paare der Form (n, n 1) und selektiere das zweite Element Umsetzung: die folgende Funktion ordnet einem Paar (n, n 1) das Paar (n + 1, n) zu: Φ (λpz.z(s(pt))(pt)) D. Rösner PGP D. Rösner PGP Rechnen mit dem Rechnen mit dem die Vorgängerfunktion P gewinnen wir dann mit folgendem Vorgehen: wende Φ n-mal auf das Paar λz.z00 an und selektiere dann das zweite Element des entstandenen Paares im λ-kalkül: P λn.nφ(λz.z00)f eine bedingte Verzweigung lässt sich als Funktion wie folgt darstellen: if λc.λt.λe.cte D. Rösner PGP D. Rösner PGP

10 Rechnen mit dem Literatur: I das erstaunlichste Ergebnis über den λ-kalkül ist die Darstellbarkeit rekursiver Funktionen eine zentrale Rolle dabei spielt der Operator Y, definiert durch: Y λh.(λx.h(xx))(λx.h(xx)) eine besonders detaillierte Herleitung von Y liefert [Gab01] Chris Barker. Lambda Tutorial, interactive tutorial. cb125/lambda/. Henk Barendregt and Erik Barendsen. Introduction to Lambda Calculus, revised; Kostas Chatzikokolakis. LCI - A lambda calculus interpreter, an open source interpreter. D. Rösner PGP D. Rösner PGP Literatur: II Literatur: III Richard P. Gabriel. The Why of Y, Achim Jung. A short introduction to the Lambda Calculus, axj/pub/papers/lambdacalculus.pdf. Raul Rojas. A Tutorial Introduction to the Lambda Calculus, 1997/1998. tutorial notes; Michael Lee Scott. Programming Language Pragmatics. Academic Press, San Diego, CA, USA, ISBN D. Rösner PGP D. Rösner PGP