Wilhelm Rust. Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen

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1 Wilhelm Rust Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen

2 Aus dem Programm Maschinenelemente Entwickeln, Konstruieren, Berechnen von H. Theumert und B. Fleischer Leichtbau-Konstruktion von B. Klein FEM von B. Klein Konstruieren, Gestalten, Entwerfen von U. Kurz, H. Hintzen und H. Laufenberg Roloff/Matek Maschinenelemente von H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek Roloff/Matek Maschinenelemente Aufgabensammlung von H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung von H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek Roloff/Matek Bauteilkatalog von H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek

3 Wilhelm Rust Nichtlineare Finite-Elemente- Berechnungen Kontakt, Geometrie, Material 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 210 Abbildungen STUDIUM

4 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr.-Ing. Wilhelm Rust ist an der Fachhochschule Hannover für den Masterstudiengang Maschinenbau-Entwicklung verantwortlich und lehrt Simulationsverfahren im Maschinenbau. 1. Auflage , überarbeitete und erweiterte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Thomas Zipsner Ellen Klabunde Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN

5 Vorwort Dieses Buch ist ein Lehrbuch, das einführend die Theorie der nichtlinearen Finite-Elemente- Methoden (FEM) in den Teilbereichen geometrische Nichtlinearität, nichtlineares Materialverhalten und Kontakt behandelt. Ist es schon nicht möglich, die gesamte FEM der linearen Mechanik der Tragwerke (in Anlehnung an die Bedeutung des Wortstammes Struktur in einigen Fremdsprachen auch im Deutschen Strukturmechanik genannt) in einem Buch zu beschreiben, so gilt dies für nichtlineare FEM erst recht, bedeutet nichtlinear doch keine spezielle Eigenschaft, sondern das Fehlen einer solchen, die aber die Lehre in der Technischen Mechanik aus gutem Grund dominiert. Bei Erfolg dieses Buches wird der Leser sich bereit fühlen, nun weiterführende Literatur aufzuarbeiten. Bewusst wurde eine detaillierte Herleitung der verwendeten Formeln vorgenommen, damit die Lernenden alsbald in der Lage sind, die dargestellten Zusammenhänge in Programme umzusetzen, aber auch Gleichungen für verwandte physikalische Effekte aufzustellen. Das Buch richtet sich in erster Linie an Studierende, die Master-Niveau anstreben. Aber auch für den FEM-Anwender sollten sich hier nützliche Erkenntnisse ergeben. Während in der linearen FEM, wenn nicht gerade eine Verschieblichkeit vorliegt, stets ein Ergebnis erzielt wird die Richtigkeit sei hier nicht diskutiert, wird insbesondere für den unbedarften Nutzer eine nichtlineare Berechnung öfter in Nichtkonvergenz und damit ohne Gleichgewichtslösung enden. Dann ist es gut zu wissen, was die Ursachen dafür sein können. Hier werden besonders die Kapitel über Stabilität und über Konvergenzerzielung im Kontakt empfohlen. Es sollte aber auch beachtet werden, dass der Erfolg einer nichtlinearen Berechnung davon abhängt, dass die Eingabedaten einigermaßen der Wirklichkeit entsprechen, weil eine Überlastung des Systems nicht erst im Nachhinein bei der Ergebnisauswertung festgestellt wird, sondern sich schon im Konvergenzverhalten niederschlägt. Noch eine Notwendigkeit ergibt sich für den Anwender, die vielleicht sogar an erster Stelle steht und der hier in Ausschnitten entsprochen werden soll: Die marktgängigen FEM- Programme bieten eine Vielzahl von Optionen, die für eine erfolgreiche Aufgabenbewältigung hilfreich sind. Ihre Beschreibungen sind gewöhnlich für Nutzer mit Theoriekenntnissen formuliert. Die Beispielergebnisse sind nahezu sämtlich mit dem Programmsystem ANSYS erzielt worden, andere bekannte FE-Programme verwenden aber ähnliche Konzepte, sodass die Erkenntnisse übertragbar sind. Vorausgesetzt wird, dass man grundsätzlich weiß, wie Finite Elemente formuliert werden, jedenfalls im Linearen. Dazu gibt es zahlreiche Literatur und oft entsprechende Lehrveranstaltungen im Ingenieurstudium. Dieses Buch ist ein Lehrbuch. Das Wissen hat sich der Autor über viele Jahre aufgebaut. Vieles ist in der Fachwelt Allgemeingut. Daher wird hier im Wesentlichen nur auf weiterführende Literatur verwiesen, jedoch nicht auf die Ursprünge der hier dargestellten Theorien und Algorithmen. Schließlich wird der Lehrbuchcharakter und die Herkunft aus Vorlesungsskripten auch daran deutlich, dass allgemeine Problemstellungen und Verfahren zu ihrer Lösung zunächst exemplarisch erarbeitet werden, und zwar meist bei ihrem ersten Auftreten.

6 VI Vorwort Dieses Werk entstand aus Skripten zu Vorlesungen, die der Verfasser an seiner Fachhochschule Hannover sowie an der FH Lausitz und an der European School of Computer Aided Engineering Technology (ESoCAET) im Rahmen von Masterstudiengängen hielt und hält. Die Wurzeln liegen allerdings schon in den Schulungs- und Entwicklungsaufgaben des Autors während seiner langjährigen Tätigkeit bei der CADFEM GmbH. An dieser Stelle herzlichen Dank für die lehrreiche Zeit. Dank auch an den Chef, Dr.-Ing. Günter Müller, für die unkomplizierte Behandlung möglicher urheberrechtlicher Fragen. Seine ersten Sporen auf dem Gebiet der Finite-Elemente-Methode auch damals schon mit einem gewissen Anteil Nichtlinearität verdiente sich der Verfasser am Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik der Universität Hannover unter der Leitung von Prof. Dr.- Ing. Erwin Stein, der die Begeisterung erst für die Mechanik, dann für die FEM weckte. Auch hierfür ein Dankeschön. Die zweite Auflage wurde noch einmal durchgesehen, wo nötig korrigiert, grafisch verbessert und an einigen Stellen ergänzt. Dank gilt Frau Ellen Klabunde und Herrn Thomas Zipsner vom Lektorat Maschinenbau des Vieweg+Teubner-Verlages für die Betreuung bei der erstmaligen Fertigstellung des Werkes und jetzt auch bei der zweiten Auflage. Langenhagen, im April 2011 Wilhelm Rust

7 Inhaltsverzeichnis Bezeichnungsweise... XII 1 Lösung der nichtlinearen Gleichungen Newton-Raphson-Verfahren Andere Lösungsverfahren Schrittweitensteuerung Eindimensionale Minimum-Suche (line search) Konvergenzkriterien... 6 Hauptabschnitt I: Geometrische Nichtlinearitäten 2 Geometrisch nichtlineares Verhalten Grundbegriffe der geometrischen Nichtlinearitäten... 8 Theorie 2. Ordnung, Gleichgewicht am verformten System Motivation und FE-Umsetzung Warum Theorie 2. Ordnung? Lineares Beulen Korrekte Spannungsversteifungs-Matrix für den Balken Große Drehungen (Rotationen) Geeignetes Dehnungsmaß: Green-Lagrange-Dehnungen Das Prinzip der virtuellen Arbeiten bei geometrisch nichtlinearen Problemstellungen Lösung der nichtlinearen Gleichungen mit dem Newton-Raphson- Verfahren Testproblem Zweibock Mitdrehende Formulierung (Co-rotational formulation) Große Dehnungen Eindimensionale Betrachtungen Zugehörige Spannungen Übergang ins Zwei- und Dreidimensionale Hencky-Dehnungen in Symbolen der Kontinuumsmechanik Klassische Updated-Lagrange-Formulierung Logarithmische Dehnungen und mitdrehende Formulierung Stabilitätsprobleme Phänomene Bedingungen für kritische Punkte, Indifferenzkriterium Allgemeines Formulierungen der Instabilitätsbedingung Modalanalyse (Eigenfrequenzanalyse) und Stabilitätsprobleme Direkte Identifikation kritischer Punkte durch ein erweitertes System Bedeutung des Eigenvektors Imperfektionen... 78

8 VIII Inhaltsverzeichnis Imperfektion durch Kräfte Imperfektion durch geometrische Vorgaben Imperfektion durch eine lineare Beulanalyse Begleitende Eigenwert-Analyse Imperfektionsempfindlichkeit Größe der Imperfektion Lastinkrementierung in einer nichtlinearen Berechnung Kraftsteuerung Einfache Verschiebungssteuerung Verschiebungssteuerung mit Kraftgrößen Bogenlängenverfahren (arc-length method) Suche senkrecht zur letzten Sekante Modellproblem Suche senkrecht zur ersten Tangente Suche senkrecht zur aktuellen Tangente Suche auf einem Kreis bzw. einer Hyperkugel Anfangswerte und Bogenlänge Lösung des erweiterten Systems Hauptabschnitt II: Nichtlineares Materialverhalten 5 Grundzüge der Materialmodelle Repräsentative eindimensionale Grundelemente Elastizität (Hooke-Element) Plastizität (St.-Venant-Element) Zeitabhängiges Verhalten (Newton-Element) Aus Grundelementen zusammengesetzte Modelle Elasto-Plastizität (Prandtl-Element) Maxwell-Element für Kriechen Kelvin-Voigt-Element für Visko-Elastizität Erweitertes Viskoelastizitätsmodell Bingham-Modell als Beispiel für Visko-Plastizität Burghers-Modell Tensor- und Vektorschreibweise, Tensor- und Ingenieurnotation Aufspaltung und Darstellung räumlicher Spannungszustände Hauptspannungen Kugeltensor und Deviator Hauptspannungsraum Berücksichtigung des Materialverhaltens in der FEM Theorie und Numerik der linearen Visko-Elastizität Grundformeln für den eindimensionalen Fall Einführung von Zeitschritten Numerik Werkstofftangente Algorithmus

9 Inhaltsverzeichnis IX 6.6 Mehrdimensionaler Fall Spannungsberechnung Werkstofftangente Algorithmus Temperaturabhängigkeit Grundlagen thermo-rheologisch einfacher Materialien, Pseudo-Zeit Zeitintegration Shift-Funktionen Spannungen Tangente Algorithmus Ebener Spannungs- und Verzerrungszustand Ebener Verzerrungszustand Ebener Spannungszustand Beispielrechnungen Zu Kapitel Zu Kapitel Zu Kapitel Theorie und Numerik des Kriechens Grundsätzliches Zeitintegration beim Kriechen Differenzenquotienten Kriechbeispiel Explizite Zeitintegration Variabler Zeitschritt Implizite Zeitintegration Zusammenfassung Kriechbeispiel Zusammenwirken mit anderen Materialnichtlinearitäten Konsistente Tangente für implizites Kriechen Herleitung Beispiele Allgemeine Form für lokale und globale Iteration Theorie und Numerik der Elasto-Plastizität Grundbegriffe eindimensionalen Verhaltens Bausteine einer mehrdimensionalen Elasto-Plastizitätstheorie Fließregeln Klassische Fließbedingungen Gestaltänderungsenergie-Hypothese (nach von Mises) Schubspannungs-Hypothese (Tresca) Mohr-Coulomb-Bedingung Drucker-Prager-Bedingung Verfestigungsregeln Einachsige Spannungs-Dehnungs-Beziehungen Mehrdimensionales Verfestigungsverhalten Erfüllung der Stoffgleichungen in der FEM, lokale Iteration

10 X Inhaltsverzeichnis Allgemeine Darstellung Beispiel lineare Verfestigung Konsistente Tangente Allgemeine Darstellung Beispiel lineare Verfestigung Beispielprogrammierung in USERPL von ANSYS Modelle für kinematische Verfestigung Besseling-Modell (Overlay-Modell) Armstrong-Frederik- bzw. Chaboche-Modell Einspielen (Shakedown) und Ratcheting Begriffe Melan-Theorem Struktur-Ratcheting Material-Ratcheting Thermisches Ratcheting Numerisches Ratcheting bei Temperaturzyklen Hauptabschnitt III: Kontakt 9 Kontaktberechungen: Einführung, Kinematik Was bedeutet Kontakt? Modellierung von Kontakt Punkt-zu-Punkt- bzw. Knoten-zu-Knoten-Kontakt Knoten-zu-Oberfläche-Kontakt Punkt-zu-Oberfläche-Kontakt Oberfläche-zu-Oberfläche-Kontakt Kontakt-Kinematik Erfüllung der Kontaktbedingung Direkte Einführung der Nebenbedingung Penalty-Methode Lagrange-Multiplikator-Methode Finite-Elemente-Testproblem Direkte Einführung der Nebenbedingung in das Gleichungssystem Penalty-Verfahren Methode der Lagrange schen Multiplikatoren Perturbed-Lagrange-Methode Augmented-Lagrange-Verfahren Überbestimmtheit durch Kontakt (Overconstraining) Reibung Aspekte der Kontaktmodellierung Knoten-zu-Oberfläche-Kontakt Punkt-zu-Oberfläche-Kontakt Integrationspunkt-Kontakt Knoten als Integrationspunkte Konvergenz-Erzielung

11 Inhaltsverzeichnis XI Penalty-Verfahren Lagrange-Verfahren und direkte Einbringung Geeignete Vernetzung und Lastaufbringung Systemmatrizen Kontaktfeststellung Suchstrategien Bucket Sort Pinball-Algorithmus Topologie-Suche Auswahl von Master- und Slave-Seite Nahbereichs-Kontaktberechnungen Ebene Flächen Pseudoelement-Algorithmus Normalensuche Konkave Knicke und Ecken Kontakt mit Schalen- und Balkenelementen Dickenberücksichtigung Momente aus Exzentrizitäten Literaturhinweise Stichwortverzeichnis

12 Bezeichnungsweise Formelzeichen sind mindestens bei ihrem ersten Auftreten im Text erklärt. M Matrizen werden im Fettdruck und mit Großbuchstaben wiedergegeben, v Vektoren, Zeilen- und Spaltenmatrizen im Fettdruck und klein geschrieben, es sei denn, es ist für eine bestimmte Größe etwas Anderes üblich. 0 bezeichnet einen Nullvektor oder eine Nullmatrix, I eine Einheitsmatrix (...) deutet auf eine Veränderung, einen Zuwachs hin, a ~ eine Tilde über einer Variablen auf eine Näherung, a ein Querstrich auf eine eingeprägte (vorgegebene) Größe, â ein Dach (circonflexe) auf eine Größe, die einem Finite-Element-Knoten zugeordnet ist, a * ein Stern auf eine abgewandelte, verbesserte oder ersatzweise verwendete Größe. FE ist die Abkürzung für Finite Elemente, FEM für Finite-Elemente-Methode, KoS für Koordinatensystem, Gl. für Gleichung, Gls. für Gleichungssystem, Dgl. für Differenzialgleichung, Abb. für Abbildung, Alg. für Algorithmus, Tab. für Tabelle, Kap. für Kapitel und 1d, 2d, 3d für ein-, zwei-, dreidimensional bzw. das Ein-, Zwei-, Dreidimensionale. [...] verweist auf das Literaturverzeichnis