Billlard mit 3 Kugeln im Rechteck-Kasten. Simulink-Simulation, mit Animation

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1 Prof. Dr. R. Kessler,FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, BillardKugeln.doc, S. /9 Homepage: Billlard mit Kugeln im Rechteck-Kasten. Simulink-Simulation, mit Animation In diesem Text wird Billard gespielt. Drei Kugeln bewegen sich in einem Rechteck-Kasten. Sie stoßen an die Wände und stoßen aufeinander. Diese Stöße sind elastisch, also ohne Energieverlust. Es werden drei verschiedene Läufe angeboten, dabei sind die Massen jeweils verschieden. Auf dem Bildschirm werden einige Informationen mitgeteilt. Die Animationen können wahlweise mehrmals abgespielt werden. Die zeitliche Rechen-Schrittweite ist variabel, also ist sie klein, wenn einer der Bälle gerade eine Reflexion erlebt. Dennoch läuft die Animation zeitlich treu ab, also so, als wäre die zeitliche Schrittweite konstant. Beim dritten Beispiel läuft die Animation nicht zeittreu ab, sondern für jeden Rechenschritt wird die gleiche Animationszeit benutzt. Dadurch erscheint die Bewegung immer dann ganz langsam, wenn gerade eine Reflexion stattfindet, weil dann die Rechenschrittweite kurz ist. Bei diesem nicht-zeittreuen Lauf werden die Rechenschritte markiert. Daran erkennt man die adaptierte Rechenschrittweite. Das wird besonders deutlich in dem gezoomten Ausschnitt, s. letztes Bild. Hinweis zur Physik: Die Kugeln wurden NICHT als rollende Kugeln modelliert, sondern als gleitende runde Scheiben. Die Rotationseffekte der wirklichen Billardkugeln sind hier also nicht berücksichtigt. Leider sind in der PDF-Form dieses Word-Textes die runden Billard-Kugeln verzerrt : statt rund teilweise eckig. Im Word-Format ist das nicht der Fall! Zum Selberspielen: Man kopiere die beiden folgenden Zeilen mit Maustechnik und füge sie in das Matlab- Commandwindow ein. Dann Eingabe Taste. Parameter nach Belieben variieren. bild=;dt=0.0;tmax=;r=0.;r=0.5;r=0.05;m=0.;m=0.05;m=0.;tpaus=e-; zeitpunktemalen =0 ;name='bil'; treu=; rbil5_; Datei BiL.MDL Billard Massen in Rechteck-Kasten, R.Kessler Juli 00 Aufruf z.b. mit RbilEinige_ Fx Fy Fx Fy x y x y t Fx Fy Fx Fy m m x y x y Fx Fy Fx Fy m x x y y Fx Fy F x y Fx Fy F x y Fx Fy F Solver: Ode5, variable-step, rel tolerance=abs tolerance =e-0

2 Prof. Dr. R. Kessler,FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, BillardKugeln.doc, S. /9 Subsystem m zur Datei BIL.MDL berechnet die Wandkrfäfte und benutzt die Relativkräfte F und F Fx Fx /m /s /s D*( (R>u) * ( R-u)+( xw - R u )*( R-u) + ( yw - Ru) * ( R-u)+( xw - R u )*( R-u) + ( yw - Ru) * ( R-u)+( xw - R u )*( R-u) + ( yw - Ru)*D*(R+R-u) / u ( u[]^ + u[]^ ) ^(/) x Fx dif y Fy y Fx Fy (R+R>u)*D*(R+R-u) / u ( u[]^ + u[]^ ) ^(/) dif x y

3 Prof. Dr. R. Kessler,FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, BillardKugeln.doc, S. /9 Fx Fy (R+R>u)*D*(R+R-u) / u ( u[]^ + u[]^ ) ^(/) dif x y bil,dt= 0.0, tmax=,r= 0.R= 0.5R= 0.05,m= 0.,m= 0.,m= treu=, RZeit=.06, Speicher= 0, DT= 0.0

4 Prof. Dr. R. Kessler,FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, BillardKugeln.doc, S. /9 bil,dt= 0.0, tmax= 6,R= 0.5R= 0.R= 0.05,m= 0.,m= 0.,m= treu=, RZeit=.68, Speicher= 60, DT= 0.0 bil,dt= 0.0, tmax= 6,R= 0.5R= 0.R= 0.05,m= 0.0,m= 0.,m= treu=, RZeit=.59, Speicher= 60, DT= 0.0

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6 Prof. Dr. R. Kessler,FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, BillardKugeln.doc, S. 6/9 ***************************************************************************************** % Datei Rbileinige_.m wie rbileinige.m % aber if treu<0 Punkte zeichnen, mit rbil5_ % R. Kessler, Juli 00 % Zusätzlich mit "Rahmen" und mit treu % % Einige "Billard-Spiele" aufrufen disp(' Beispiel wird berechnet: Alle drei Massen sind gleich schwer'); clear; bild=; if bild ==, bil;end; % Simulink-Schaltung rbil.mdl auf Bildschirm dt=0.0; %dt=0.; tmax=;r=0.;r=0.5;r=0.05;m=0.;m=0.;m=0.;tpaus=e-6; zeitpunktemalen =0 ; name='bil'; % Simulink-Schaltung treu=; rbil5_; clear; disp('beispiel wird berechnet: Masse m(blau) ist leicht, drum m schnell'); bild=; dt=0.0; %dt=0.; tmax=6;tpaus=e-6; R=0.5;R=0.;R=0.05;m=0.;m=0.;m=0.0; zeitpunktemalen =0 ; name='bil'; % Simulink-Schaltung treu=; rbil5_; clear; disp('beispiel wird berechnet: Masse m(schwarz) ist leicht, drum m schnell'); bild=; dt=0.0; %dt=0.; tmax=6;tpaus=e-6; R=0.5;R=0.;R=0.05;m=0.0;m=0.;m=0.; zeitpunktemalen =0 ; name='bil'; % Simulink-Schaltung treu=; rbil5_; disp(' Nochmal Beispiel wird berechnet: Alle drei Massen sind gleich schwer'); disp('ungeschickter Aufruf: wie Rechenschrittweite, drum Animation NICHT "zeit-treu"'); clear; bild=; %.8.0 dt=0.0; %dt=0.; tmax=;r=0.;r=0.5;r=0.05;m=0.;m=0.;m=0.;tpaus=e-6; zeitpunktemalen =0 ; sollich=input(' soll ich das berechnen? ja=,nein=0 '); if sollich >0 disp(' Habe gewarnt: ungeschickter Aufruf: wie Rechenschrittweite, drum Animation NICHT "zeit-treu"'); name='bil'; % Simulink-Schaltung treu=-; rbil5_; end; % Ende RbilEinige_.m

7 Prof. Dr. R. Kessler,FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, BillardKugeln.doc, S. 7/9 ************************************************************************** % Datei rbil5_.m wie rbil5.m, aber if treu<0 Punkte malen, s.plot % Datei rbil5.m Kessler aus rbil50.m.7.00 % wahlweise treu oder nicht treu: % if treu >0 sim(name,[0:dt:tmax]);else sim(name,[0,tmax]); end; % mit anderem Aufruf: % sim(name,[0:dt:tmax]); % Vorschlag H. Hoffmann.7.00 % % zum laufen lassen Simulink-Modell bil.mdl Billard Kugeln % mit Vertäglichkeits-Test % mit nochmal Animation % Aufruf Beispiele: sie werden von Matlab-Datei RbilEinige aufgerufen % %clear;bild=;dt=0.0;treu=;tmax=6;r=0.;r=0.5;r=0.05;m=0.;m=0.;m =0.;tpaus=e-6;name='bil';rbil5; format compact; tic D=5e; xw=;yw=; % Startbedingungen; xs=0.; ys=0.; vxs=-.; xs=0.7; ys=0.5; vxs=.5; s=0.; s=0.8; vs=.0; vys=.5; vys=.8; vs=0.8; % Vertäglichkeits-Bedingungen der Startwerte: % Relativer Abstand der Massen: dif=((xs-xs)^ + (ys-ys)^)^(/)-(r+r) ; dif=((xs-s)^ + (ys-s)^)^(/)-(r+r); dif=((xs-s)^ + (ys-s)^)^(/)-(r+r); if dif <0 error(['dif <0 : ',numstr(dif)]); end; if dif <0 error(['dif <0 : ',numstr(dif)]); end; if dif <0 error(['dif <0 : ',numstr(dif)]); end; % Wandnähe: if ((xw-xs)<r) + (xs < R)+ ((yw-ys)<r) + (ys < R),error('R zu groß'),end; if ((xw-xs)<r) + (xs < R)+ ((yw-ys)<r) + (ys < R),error('R zu groß'),end; if ((xw-s)<r) + (s < R)+ ((yw-s)<r) + (s < R),error('R zu groß'),end; % Neue Art des Aufrufs: tic; % Stoppuhr startet DT=0.0; if treu >0 sim(name,[0:dt:tmax]);else sim(name,[0,tmax]); end; % sim(name,[0:dt:tmax]); % Es wird mit variabler Schritweite gerechnet, aber % die Ausgabepunkt werden mit konstanten Zeitschritten dt geliefert. Hier % wichtig für die "Animation", s.u. % RZeit=toc; % Rechenzeit E=length(x);figure(bild);hold off; tite=[name, ',dt= ',numstr(dt),', tmax= ',numstr(tmax),',r= ',numstr(r),... 'R= ',numstr(r),'r= ',numstr(r),',m= ',numstr(m),... ',m= ',numstr(m), ',m= ',numstr(m)]; % Erkenntnisse zur Genauigkeit: % wichtigster Einfluß sind die relative und absolute Toleranz, % viel weniger die Schrittweite dt (=maximal step size)

8 Prof. Dr. R. Kessler,FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, BillardKugeln.doc, S. 8/9 % Drum sinnvoll: dt grob (z.b.dt=0.), aber relat tol=absoltol=e-0 figure(bild); clf; % Bild löschen hold on; % neu in rbil5_.m if treu <0 Rechenpunkte Punkte malen if treu>0 plot(x,y,'k',x,y,'r',,,'b',... x(),y(),'ok',x(),y(),'or',(),(),'ob',... x(e),y(e),'+k',x(e),y(e),'+r',(e),(e),'+b'); else plot(x,y,'k',x,y,'.k', x,y,'r',x,y,'.r',...,,'b',,,'.b',... x(),y(),'ok',x(),y(),'or',(),(),'ob',... x(e),y(e),'+k',x(e),y(e),'+r',(e),(e),'+b'); end; % zusätzlich den "Rahmen" der Mittelpunkte zeichnen: Rahx=[R,xW-R,xW-R,R,R]; Rahy=[R,R,yW-R,yW-R,R]; Rahx=[R,xW-R,xW-R,R,R]; Rahy=[R,R,yW-R,yW-R,R]; Rahx=[R,xW-R,xW-R,R,R]; Rahy=[R,R,yW-R,yW-R,R]; plot(rahx,rahy,':k',rahx,rahy,':r',rahx,rahy,':b' ); grid on ; % Mit Markierung der Startpunkte o und Endpunkte + title(tite); % axis equal; % neu Mo , Idee von H. Hoffmann,--> OK axis([0,xw, 0, yw]); axis equal; % für Animation: N=length(x); rfak=600; rfak=500; % neu xlabel(['treu= ',numstr(treu),', RZeit=',numstr(RZeit),... ', Speicher= ',numstr(n),', DT= ',numstr(dt)]); Rg=R* rfak; Rg=R* rfak; Rg=R* rfak; % Z.B.rfak=600 Pkt = line(... 'color','k',... 'Marker','o',... 'LineWidth', Rg,... 'erase','xor',... 'xdata',[x(), x()],'ydata',[x(),x()]); Pkt = line(... 'color','r',... 'Marker','o',... 'LineWidth', Rg,... 'erase','xor',... 'xdata',[x(), x()],'ydata',[y(),y()]); Pkt = line(... 'color','b',... 'Marker','o',... 'LineWidth', Rg,... 'erase','xor',... 'xdata',[(), ()],'ydata',[(),()]); % Jetzt Animation: nochmal=; while nochmal >0 figure(bild); for n=: length(x); %pause(0.00);

9 Prof. Dr. R. Kessler,FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, BillardKugeln.doc, S. 9/9 pause(tpaus); set(pkt, 'Xdata',[x(n),x(n)],'Ydata',[y(n),y(n)]); set(pkt, 'Xdata',[x(n),x(n)],'Ydata',[y(n),y(n)]); set(pkt, 'Xdata',[(n),(n)],'Ydata',[(n),(n)]); drawnow; % Es funxioniert auch OHNE drawnow end; nochmal=input(' nochmal Animation? ja=,nein=0 '); end; % while nochmal hold off; % Für das nächste Bild % Ende Datei Rbil5.m