B-Bäume, speziell (2,4)-Bäume / Externe Suche: BBaum- Varianten 5.7 (Rot-Schwarz-Bäume) 5.8 Streuspeicherverfahren (Hash-Verfahren)

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1 Übersicht Effiziente Repräsentation von Mengen und Relationen.... B-Bäume, speziell (,)-Bäume / Externe Suche: BBaum- Varianten.7 (Rot-Schwarz-Bäume).8 Streuspeicherverfahren (Hash-Verfahren). Weitere Anwendungen von Bäumen: Binäre Heaps. Suffixbäume, effiziente Suche von Zeichenketten 7. Graphen 7. Begriffe 7. Implementierungsalternativen 7. Graphalgorithmen: Tiefen- / Breitensuche, Kürzeste Wege, Spannende Bäume, Topologische Ordnung,... hs / fub alp--graph- 7.0 Einführung Anwendungsbeispiel "Routenplaner" Anwendung hs / fub alp--graph-

2 Routenplaner Graph Modellierung mit Graphen: Ampelschaltung D E G C F B A E F B A "Konfliktgraph" Suche Färbung mit minimaler Anzahl von Farben so, dass Nachbarn nie gleichfarbig. G D hs / fub alp--graph- C

3 Modellierung mit Graphen Semantik der Kanten problemabhängig a Entfernung a in Konflikt zu b a vor b Kapazität a wartet auf b... Anwendungen -> Modellieren -> Algorithmen im Modell -> Anwendungen b hs / fub alp--graph- 7 Graphen 7. Terminologie (teilweise Wiederholung, siehe alp--tree- und Cormen et al.) G = (V, E) V: Knotenmenge (vertices, nodes) E: Kantenmenge V X V (edges) Gerichteter Graph Kanten besitzen Richtung oder E { {x,y x,y V Ungerichteter Graph Schreibweise für Kanten meist gleich: (x,y) Gerichtet / ungerichtet geht aus dem Kontext hervor Weg (Pfad) der Länge n von a nach b: (x 0,x,...x n-,x n ) = (a -> b) x i V, x 0 = a, x n =b (für ungerichtete auch Schreibweise (a b)) Zyklus: Weg von Knoten x nach x in gerichteten Graphen Zyklen der Länge möglich: (a->a) hs / fub alp--graph-

4 Graphen Begriffe... Zyklenfrei (kreisfrei): es gibt keine Zyklen a c b zykelfrei! G zusammenhängend: G ungerichtet und für alle a,b V gibt es Weg von a nach b. G gerichtet, stark zusammenhängend: für alle a, b V gibt es Weg von a nach b und von b nach a Spezialfall: gerichteter, zyklenfreier Graph DAG (directed acyclic graph) hs / fub alp--graph- 7 Graphen Begriffe Wald (forest): azyklischer, ungerichteter Graph zur Erinnerung: freier Baum :azyklischer, ungerichteter und zusammenhängender Graph hs / fub alp--graph- 8

5 Graphen Begriffe... G' = (V', E') Teilgraph von G = (V,E), wenn V' V und E' E, von V' induzierter Teilgraph (V', E') mit E' = { (x,y) x e V' und y e V' Meist ist mit "Teilgraph" der induzierte Teilgraph gemeint. Zusammenhangskomponente (V',E') des ungerichteten Graphen G = (V,E): (Induzierter) Teilgraph von ungerichtetem Graph, der zusammenhängend ist. Starke Zusammenhangskomponente (V', E') des gerichteten Graphen (V,E): ein (von V' induzierter) stark zusammenhängender Graph. hs / fub alp--graph- 9 Graphen Begriffe... Spannender Baum G' = (V, E') des ungerichteten Graphen G = (V, E) E' : kleinste Teilmenge von E so dass: es gibt Weg (a -> b) in G => es gibt (ggf. anderen ) Weg (a -> b) in G' A Z A Z hs / fub alp--graph- 0

6 Graphen Begriffe... Ungerichteter Graph heißt bipartite, wenn V sich in zwei disjunkte Teilmengen V', V'' zerlegen lässt, so dass gilt: (x,y) E => x V' und y V'' oder x V'' und y V'. V' V'' Ungerichteter Graph heißt zweifach zusammenhängend (-zusammenhängend, biconnected), wenn V nach Entfernen einer Kante immer noch zusammenhängend ist. hs / fub alp--graph- Beispiel: Zusammenhang in Graphen schnipp ökonomischer und redundant! hs / fub alp--graph-

7 Graphen Begriffe... Grad eines Knotens a (in ungerichteten Graphen): Anzahl der "mit a inzidenten Kanten" (der Kanten, deren einer Endpunkt a ist) Innengrad (in-degree) eines Knotens a in gerichtetem Graph: in-degree(x) = {x es gibt y e V (y,x) e E (Anzahl der Kanten, die x verlassen.) Außengrad (out-degree) eines gerichteten Graphen: out-degree(x) = {x es gibt y e V (x,y) e E (Anzahl Kanten, die in x hineinführen.) hs / fub alp--graph- Graphen Gewichtete Graphen... besitzen eine Kantenmarkierung w: V -> Num (Num oft ganze oder reele Zahlen) Kantengewicht kann z.b. Entfernung, Leitungskapazität, Zeitdauer,... ausdrücken. A Z hs / fub alp--graph- 7

8 Anwendung von Graphen Graphen zur Modellierung Straßentopologie: Finde den kürzesten Weg von a nach b. Vernetzung: finde eine möglichst billiges Netz (einen zusammenhängenden Graphen mit möglichst wenigen(?) Kanten) Spiele: Labyrinth etc. Netzplan von Aktivitäten.... und viele mehr. hs / fub alp--graph- Anwendung von Graphen... in der Informatik Speicherbereinigung (garbage collection) Verklemmungsauflösung Verklemmung (deadlock): - n > unabhängige Akteure a, b, c,.. ("Prozesse", "Threads") benötigen knappe Betriebsmittel X, Y, Z...(Speicher, Daten, CPU...). - Betriebsmittel werden exklusiv belegt. -.. werden freigegeben, wenn nicht mehr benötigt, aber nicht eher - Prozesse warten auf Betriebsmittel, wenn (noch) nicht frei. - es gibt eine zyklische Wartesituation. hs / fub alp--graph- 8

9 Anwendung: Auflösung von Verklemmungen Erkennung von Verklemmung: Zyklus in Wartegraph finden a d b zum Beispiel: - d benötigt die von c benutzte Datei X - c wartet auf das Freigabe einer gemeinsam mit b genutzten Warteschlange. - b wartet auf die von d exklusiv geöffnete Protokolldatei. oft kein Programmierfehler, sondern Situation, die dynamisch entstehen kann. systematische Behandlung in ALP Nichtsequentielle Programmierung c hs / fub alp--graph- 7 Graphen Typische Algorithmen alle Knoten durchlaufen. - Breitensuche ("erst alle Nachbarn") - Tiefensuche ("Pfad so lange wie möglich verlängern") Weg von a nach b finden (evtl. kürzesten). Alle kürzesten Wege von a zu beliebigem anderen Knoten. Zyklen finden. Minimalen spannenden Baum finden. d.i. ein Graph, der keine "überflüssigen" Kanten enthält und minimale Summe der Kantengwichte hat. Maximaler Fluss (z.b. Verkehrsfluss) zwischen Knoten. Laufzeit? abhängig von... Implementierung Teils nur für gerichtete Graphen wohldefiniert. hs / fub alp--graph- 8 9

10 Graphen 7. Implementierungsvarianten Ungewöhnliche Implementierung: Externspeicherrelationen intern entspräche das einer "Kantenliste". R = { (x,y,w) (x,y) V(G) mit Kantengewicht w S T w x y "Finde alle Pfade der Länge mit Anfangspunkt x und Kantengewichten w, w' < " Mit "Zugriffspfad" für Attribut S - z.b. Hash oder B-Baum, S als Schlüssel lässt sich das selbst für sehr große Graphen effizient realisieren. Bsp: Positionierungssysteme mit Straßentopologie hs / fub alp--graph- 9 Graph-Implementierung Adjazenzliste a x b a c c public class Graph { class Edge {// only destination req.... private Hashtable nodelabels; private Vector nodes;... x c b x y b y a oft verwendete interne Graphrepräsentation x y c hs / fub alp--graph- 0 0

11 Graph-Implementierung Adjazenzmatrix int V = 00; // 00 Knoten boolean a[][] = new boolean [V][V]; a[i][j] = genau dann wenn es Kante von i nach j gibt Ungerichteter Graph: Diagonalmatrix reicht wegen Symmetrie b a b c x y a a b c 0 0 x x y y c hs / fub alp--graph- Graphimplementierung Objektorientiert als Geflecht interface Vertex { // Constructor creates a node void setlabel(object n); // labels node Object getlabel(); // label of node void connect(vertex v); // creates edge to node v Iterator findneighbours(); // return Iterator on Neighbors Set reachable(); // delivers all reachable nodes... hs / fub alp--graph-

12 Graphimplementierung... als Geflecht von Knoten public class VertexLkd implements Vertex { public VertexLkd () { name = null; // name = key public VertexLkd (Object n) { name = n; // data fields public final Object name; protected Set edges = new LinkedList(); // assumed that LinkedList implements iterator // operations public void connect (Vertex v) { edges.addelement (v); public Object getlabel() {return name; public Iterator findneighbours() {return edges.iterator(); public Set reachable() {... hs / fub alp--graph- Graphimplementierung... oder als Adjazenzliste mit Knoten-Hashtabelle public class Graph { protected java.util.hashtable ht = new HashTable(); public addvertex (Object name) { ht.put(name, new VertexLkd(name); public boolean connected(object name,object name) throws NotFoundException { return ((Vertex)ht.get(name)).connected( ht.get(name)); public void traversedfs(){...// uses findneighbours... public void traversbfs() {... // more algorithms on graphs... hs / fub alp--graph-

13 7. Graphalgorithmen 7.. Knotentraversierung: Tiefensuche Ziel: alle Knoten systematisch durchlaufen zwei Basisalgorithmen: " Breitensuche: erst die Nachbarn des Startknotens, dann rekursiv die Nachbarn der Nachbarn" " Tiefensuche: verfolge Pfad so lange. bis ein schon durchlaufener Knoten getroffen wird, dann Backtrack" Breitensuche Schwierigkeit: Organisation der schon durchlaufenden Knoten. hs / fub alp--graph- Graphalgorithmen: Tiefensuche ("depth first search") Prinzip: verlängere aktuellen Pfad bis keine Verlängerung mehr möglich. Backtrack zum letzten Knoten, der Alternative (ausgehende Kante, die noch nicht durchlaufen wurde) hat. gray black -, -,, -,,, -,,,, -,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -,,,,, I VII V IV hs / fub alp--graph- II VI III Backtrack-Implementierung am einfachsten implizit mit Rekursionsstapel (stack)

14 Graphalgorithmen: Tiefensuche Baumdarstellung (Beispiel) II I VIII IV III VI Jede Kante einmal durchlaufen V VII hs / fub alp--graph- 7 Tiefensuche void dfsvisitnode(node s) { s.colour = grey; for all x=nachfolger(s) { if(x.colour = white) { x.previous = s; x.colour = gray; x.dosomething; dfsvisitnode(s); x.colour = black; Modifiziertes Beispiel: III IV II Falsch: Nur korrekt, wenn Graph stark zusammenhängend! s= : Nur,,, werden traversiert. Allgemein entsteht Wald von Bäumen. I hs / fub alp--graph- 8

15 Tiefensuche void dfs( ) { // requires: all nodes white for all nodes s if (s.color = white) dfsvisitnode(s); Beispiel: Reihenfolge s=,,,,, III IV (i) II I V VI (ii) V VI (iîi) III IV II II III IV VII I hs / fub alp--graph- 9 I VIII Laufzeit Tiefensuche Laufzeit Adjazenzlisten-Repräsentation for all nodes s if (s.color = white) dfsvisitnode(s) O(V) Aufrufe for all x=nachfolger(s) { if(x.colour = white) { x.previous = s; x.colour = gray; x.dosomething; dfsvisitnode(s); O( Nachfolger(s) Insgesamt: O(V) + Σ Nachfolger(s) = O(V+E) s V hs / fub alp--graph- 0

16 Graphalgorithmen: Breitensuche Annahme: ungerichteter zusammenhängender Baum Queue q; void bfs (Node s); s.colour=grey; wliste.enqueue(s); while (!wliste.empty()) { x = q.dequeue(); for each nachfolger(x) { if (x.colour = white) { x.colour = gray; dosomethingwith(x); q.enqueue(x); u.colour = black; q.enqueue(u); x q black - -, -,,,,,,,,,,,, - -,,,, - -,,,,, 7.. Breitensuche Ergänzung: für jeden Knoten x ist der Vorgänger (Nachbarknoten), y von dem x zum erstenmal (x.color = white) erreicht wurde, eindeutig.... if (x.colour = white) { x.previous = u; x.colour = gray; dosomethingwith(x); q.enqueue(x); Es gilt: Weg von s nach x ist (kanten-)minimal denn alle Knoten der Entfernung i vom Startknoten x werden vor denen der Entfernung i + besucht. hs / fub alp--graph-

17 Baumdarstellung von Graphsuchproblemen Alle Kanten markieren, die zu weißen (noch nicht besuchten) Knoten führen -> spannender Baum hs / fub alp--graph- Breitensuche und Spannender Baum Spannender Baum S(G)von G: Kanten so entfernen, dass b von a in S erreichbar gdw in G erreichbar und S hat minimale Kantenzahl Verfahren liefert spannenden Baum: ungerichtet: klar, Wurzelpfad von Knoten bis zur Wurzel verfolgen und von der Wurzel bis zum Zielknoten. gerichtet: nur wenn stark zusammenhängend. Frage: Minimal bei Kantengewicht w(k)!= für alle Kanten k? Sicher nicht! hs / fub alp--graph- 7

18 Laufzeit Breitensuche Laufzeit: Adjazenzlisten-Repräsenation while (!wliste.empty()) { x = q.dequeue(); for each nachfolger(x) {... Jeder Knoten wird nur einmal auf Warteliste gesetzt : O(V)... und nur einmal entfernt. Dabei Traversierung aller Nachfolger => Adjazenzliste wird nur einmal traversiert => insgesamt O(E) Operationen auf Kanten Laufzeit: O(E + V) mit E, V sind hier jeweils die Anzahlen E, V gemeint hs / fub alp--graph- 8