Idee: Wir definieren: 2.4 Topdown Parsing. uaβ mit

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1 2.4 Topdown Parsing Idee: Benutze den Item-Kellerautomaten. Benutze die nächsten k Zeichen, um die Regeln für die Expansionen zu bestimmen ;-) Eine Grammatik heißt LL(k), falls dies immer eindeutig möglich ist. Wir definieren: Eine reduzierte Grammatik heißt dann LL(k), falls für je zwei verschiedene Regeln A α, A α P und jedeableitung S L uaβ mit u T gilt: First k (α β) First k (α β) = 430

2 2.4 Topdown Parsing Idee: Benutze den Item-Kellerautomaten. Benutze die nächsten k Zeichen, um die Regeln für die Expansionen zu bestimmen ;-) Eine Grammatik heißt LL(k), falls dies immer eindeutig möglich ist. Wir definieren: Eine reduzierte Grammatik heißt dann LL(k), falls für je zwei verschiedene Regeln A α, A α P undjedeableitung S L uaβ mit u T gilt: First k (α β) First k (α β) = 431

3 Beispiel 1: S if ( E ) S else S while ( E ) S E; E id ist LL(1),da First k (E) = {id} :-) 432

4 Beispiel 2: S if ( E ) S else S if ( E ) S while ( E ) S E; E id...ist nicht LL(k)fürjedes k >

5 Struktur des LL(k)-Parsers: δ Ausgabe M DerParsersieht einfensterderlänge k dereingabe; er realisiert im Wesentlichen den Item-Kellerautomaten; die Tabelle M[q, w] enthält die jeweils zuwählende Regel :-) 434

6 ...imbeispiel: S if ( E ) S else S 0 while ( E ) S 1 E; 2 E id 0 Zustände: Items Tabelle: if while id [ S...] [ E...] 0 435

7 Im Allgemeinen... ist die Menge der möglichen nächsten k Zeichen gegeben durch: First k (α β) = First k (α) First k (β) wobei: (1) α die rechte Seite der passenden Regel; (2) β ein möglicher rechter Kontext von A ist :-) First k (β) müssenwirdynamischakkumulieren. == Wir erweitern Items um Vorausschau-Mengen

8 EinerweitertesItemisteinPaar: [A α γ, L] (A α γ P, L T k ) Die Menge L benutzenwir,um First k (β) fürdenrechtenkontext β von A zu repräsentieren :-) Konstruktion: Zustände: Anfangszustand: Endzustand: erweiterte Items [S S, {ǫ}] [S S, {ǫ}] Übergänge: Expansionen: ([A α Bβ, L],ǫ, [A α Bβ, L] [B γ, First k (β) L ]) Shifts: ([A α aβ, L],a, [A αa β, L]) für A αaβ P 437

9 EinerweitertesItemisteinPaar: [A α γ, L] (A α γ P, L T k ) Die Menge L benutzenwir,um First k (β) fürdenrechtenkontext β von A zu repräsentieren :-) Konstruktion: Zustände: Anfangszustand: Endzustand: erweiterte Items [S S, {ǫ}] [S S, {ǫ}] Übergänge: Expansionen: ([A α Bβ, L],ǫ, [A α Bβ, L] [B γ, First k (β) L ]) Shifts: ([A α aβ, L],a, [A αa β, L]) für A αaβ P 438

10 EinerweitertesItemisteinPaar: [A α γ, L] (A α γ P, L T k ) Die Menge L benutzenwir,um First k (β) fürdenrechtenkontext β von A zu repräsentieren :-) Konstruktion: Zustände: Anfangszustand: Endzustand: erweiterte Items [S S, {ǫ}] [S S, {ǫ}] Übergänge: Expansionen: ([A α Bβ, L],ǫ, [A α Bβ, L] [B γ, First k (β) L ]) für A αbβ, B γ P Shifts: ([A α aβ, L],a, [A αa β, L]) für A αaβ P Reduce: ([A α Bβ, L] [B γ, L ],ǫ, [A αb β, L]) für A αbβ, B γ P 439

11 A 0 i 0 A 1 i 1 β 1 A 2 i 2 β 2 B i β γ Die Vorausschau-Tabelle: Wir setzen M[ [A α Bβ, L], w] = i genaudannwenn (B,i) dieregel B γ istund: w First k (γ) First k (β) L 440

12 ([A 0 α 1 A 1 β 1, L 1 ], uv) ([A 0 α 1 A 1 β 1, L 1 ]...[A m 1 α m A m β m, L m ], v) (1) α 1...α m u (2) A m β m...β 1 v (3) L m = First k (β m 1 )... First k (β 1 ) L 1 ([A 0 α 1 A 1 β 1, L 1 ], ǫ)... giltgenaudannwenn: A 0 i 0 A 1 i 1 β 1 A 2 i 2 β 2 A m i m β m γ 441

13 Satz Die reduzierte kontextfreie Grammatik G ist LL(k) genau dann wenn die k-vorausschau-tabelle für alle benötigten erweiterten Items wohl-definiert ist. Diskussion: Der erweiterte Item-Kellerautomat zusammen mit einer k-vorausschau-tabelle erlaubt die deterministische Rekonstruktion einer Links-Ableitung :-) Die Anzahl der Vorausschau-Mengen L kann sehr groß sein :-(

14 Beispiel: S ǫ asb Die Übergänge des erweiterten Item-Kellerautomat (k = 1): 0 [S S, {ǫ}] ǫ [S S, {ǫ}] [S, {ǫ}] 1 [S S, {ǫ}] ǫ [S S, {ǫ}] [S asb, {ǫ}] 2 [S asb, {ǫ}] a [S a Sb, {ǫ}] [S asb, {b}] a [S a Sb, {b}] 3 [S a Sb, {ǫ}] ǫ [S a Sb, {ǫ}] [S, {b}] [S a Sb, {b}] ǫ [S a Sb, {b}] [S, {b}] 4 [S a Sb.{ǫ}] ǫ [S a Sb.{ǫ}] [S asb, {b}] [S a Sb.{b}] ǫ [S a Sb.{b}] [S asb, {b}] 5 [S a Sb, {ǫ}] [S, {b}] ǫ [S as b, {ǫ}] [S a Sb, {b}] [S, {b}] ǫ [S as b, {b}]

15 [S a Sb, {ǫ}] [S asb, {b}] ǫ [S as b, {ǫ}] [S a Sb, {b}] [S asb, {b}] ǫ [S as b, {b}] 7 [S as b, {ǫ}] b [S asb, {ǫ}] [S as b, {b}] b [S asb, {b}] 8 [S S, {ǫ}] [S, {ǫ}] ǫ [S S, {ǫ}] 9 [S S, {ǫ}] [S asb, {ǫ}] ǫ [S S, {ǫ}] Die Vorausschau-Tabelle: ǫ a b [S S, {ǫ}] 0 1 [S a Sb, {ǫ}] 1 0 [S a Sb, {b}]

16 Beobachtung: Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen deritemsab!!! Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-) Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k)... Wirdefinieren: Follow k (A) = {First k (β) S L uaβ}. Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A α, A α P : First k (α) Follow k (A) First k (α ) Follow k (A) = 445

17 Beobachtung: Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen deritemsab!!! Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-) Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k)... Wirdefinieren: Follow k (A) = {First k (β) S L uaβ}. Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A α, A α P : First k (α) Follow k (A) First k (α ) Follow k (A) = 446

18 Beobachtung: Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen deritemsab!!! Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-) Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k)... Wirdefinieren: Follow k (A) = {First k (β) S L uaβ}. Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A α, A α P : First k (α) Follow k (A) First k (α ) Follow k (A) = 447

19 ...imbeispiel: S ǫ asb Follow 1 (S) = {ǫ,b} First 1 (ǫ) Follow 1 (S) = {ǫ} {ǫ,b} = {ǫ,b} First 1 (asb) Follow 1 (S) = {a} {ǫ,b} = {a} Wir schließen: Die Grammatik ist in der Tat stark LL(1) :-) 448

20 Ist G eine starke LL(k)-Grammatik, können wir die Vorausschau-Tabelle statt mit(erweiterten) Items mit Nichtterminalen indizieren :-) Wir setzen M[B, w] = i genau dannwenn (B,i) dieregel B γ und: w First k (γ) Follow k (B). ist...imbeispiel: S ǫ asb ǫ a b S Satz Jede starke LL(k)-Grammatik ist auch LL(k) :-) Jede LL(1)-Grammatik ist bereits stark LL(1) :-)) 449

21 Ist G eine starke LL(k)-Grammatik, können wir die Vorausschau-Tabelle statt mit(erweiterten) Items mit Nichtterminalen indizieren :-) Wir setzen M[B, w] = i genau dannwenn (B,i) dieregel B γ und: w First k (γ) Follow k (B). ist...imbeispiel: S ǫ asb ǫ a b S Satz Jede starke LL(k)-Grammatik ist auch LL(k) :-) Jede LL(1)-Grammatik ist bereits stark LL(1) :-)) 450

22 Beweis: Sei G stark LL(k). Betrachteeine Ableitung S L uaβ undregeln A α, A α P. Dann haben wir: First k (α β) First k (α β) = First k (α) First k (β) First k (α ) First k (β) First k (α) Follow k (A) First k (α ) Follow k (A) = Folglich ist G auch LL(k) :-) 451

23 Sei G LL(1). BetrachtezweiverschiedeneRegeln A α, A α P. Fall1: ǫ First 1 (α) First 1 (α ). Dann kann G nicht LL(1) sein :-) 452

24 Sei G LL(1). BetrachtezweiverschiedeneRegeln A α, A α P. Fall1: ǫ First 1 (α) First 1 (α ). Dann kann G nicht LL(1) sein :-) Fall2: ǫ First 1 (α) First 1 (α ). Sei S LuAβ.Da G LL(1)ist,gilt: First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) Follow 1 (A) = First 1 (α) First 1 (α ) = First 1 (α) First 1 (β) First 1 (α ) First 1 (β) = 453

25 Fall3: ǫ First 1 (α) und ǫ First 1 (α ). Dann gilt: First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) Follow 1 (A) = First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) = First 1 (α) ( {First 1 (β) S L uaβ}) First 1(α ) = ( {First 1 (α) First 1 (β) S L uaβ}) First 1(α ) = {First 1 (α) First 1 (β) First 1 (α ) S L uaβ} = { S L uaβ} = Fall4: ǫ First 1 (α) und ǫ First 1 (α ) : analog :-) 454

26 Fall3: ǫ First 1 (α) und ǫ First 1 (α ). Dann gilt: First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) Follow 1 (A) = First 1 (α) Follow 1 (A) First 1 (α ) = First 1 (α) ( {First 1 (β) S L uaβ}) First 1(α ) = ( {First 1 (α) First 1 (β) S L uaβ}) First 1(α ) = {First 1 (α) First 1 (β) First 1 (α ) S L uaβ} = { S L uaβ} = Fall4: ǫ First 1 (α) und ǫ First 1 (α ) : analog :-) 455

27 Beispiel: S aaaa 0 baba 1 A b 0 ǫ 1 Offenbar ist die Grammatik LL(2) :-) Andererseits gilt: First 2 (b) Follow 2 (A) First 2 (ǫ) Follow 2 (A) = {b} {aa, ba} {ǫ} {aa, ba} = {ba, bb} {aa, ba} = Folglich ist die Grammatik nicht stark LL(2) :-( Wir schließen: Für k > 1 ist nicht jede LL(k)-Grammatik automatisch stark LL(k). Zu jeder LL(k)-Grammatik kann jedoch eine äquivalente starke LL(k)-Grammatik konstruiert werden RR Übung! 456

28 Beispiel: S aaaa 0 baba 1 A b 0 ǫ 1 Offenbar ist die Grammatik LL(2) :-) Andererseits gilt: First 2 (b) Follow 2 (A) First 2 (ǫ) Follow 2 (A) = {b} {aa, ba} {ǫ} {aa, ba} = {ba, bb} {aa, ba} = Folglich ist die Grammatik nicht stark LL(2) :-( Wir schließen: Für k > 1 ist nicht jede LL(k)-Grammatik automatisch stark LL(k). Zu jeder LL(k)-Grammatik kann jedoch eine äquivalente starke LL(k)-Grammatik konstruiert werden == Übung! 457

29 Berechnung von Follow k (B) : S i 0 A 1 i 1 β 1 A 2 i 2 β 2 A i m β m α B Follow k (B) Follow k (A) 458

30 Berechnung von Follow k (B) : Idee: Wir stellen ein Ungleichungssystem auf :-) ǫ ist ein möglicher rechter Kontext von S :-) Mögliche rechte Kontexte der linken Seite einer Regel propagieren wir ans Ende jeder rechten Seite......imBeispiel: S ǫ asb Follow k (S) Follow k (S) {ǫ} {b} Follow k (S) 459

31 Allgemein: Follow k (S) {ǫ} Follow k (B) First k (X 1 )... First k (X m ) Follow k (A) für A αbx 1...X m P Diskussion: Man überzeugt sich, dass die kleinste Lösung dieses Ungleichungssystems tatsächlichdiemengen Follow k (B) liefert :-) Die Größe der auftretenden Mengen steigt mit k rapide :-( InpraktischenSystemenwirddarummeistnur derfall k = 1 implementiert