1. Formulieren Sie in der Mengensymbolik folgenden Sachverhalt für ein Elementarereignis ω.

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1 1 Stochastik 1.1 Mengenalgebra 1. Formulieren Sie in der Mengensymbolik folgenden Sachverhalt für ein Elementarereignis ω. (a) E 1 tritt ein, nicht aber E 2 (b) E 1 oder E 2 treten ein, nicht aber E 3 (c) E 1 und E 2 schließen sich gegenseitig aus 2. Es werden drei Würfel gleichzeitig geworfen. Wir betrachten die Ereignisse A: genau ein Würfel zeigt eine 1 B: mindestens ein Würfel zeigt eine 1 C: höchstens ein Würfel zeigt eine 1 D: alle Augenzahlen sind gerade E: alle Augenzahlen sind verschieden F: die Augensumme ist mindestens 16 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (A), P (B), P (C), P (D), P (E), P (F ) und P (A E). 1.2 Kombinatorik 1. Auf wieviele Arten können sich vier Erwachsene und sechs Kinder zu einem Gruppenfoto aufstellen, wenn die Kinder in der ersten Reihe und die Erwachsenen in der zweiten Reihe stehen sollen? 2. Für ein Schulfest soll aus 12 Mitgliedern der SMV ein vierköpfiger Festausschuss gebildet werden. (a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zusammensetzung des Festausschusses? (b) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zusammensetzung, wenn zwei der 12 Schüler auf keinen Fall zusammen im Ausschuss arbeiten wollen? (c) Wieviele Möglichkeiten gibt es für die Zusammensetzung, wenn zwei bestimmte Schüler nur gemeinsam im Ausschuss mitarbeiten wollen? 3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel mit einem idealen Würfel gleich im ersten Zug anfangen zu können (also mit drei Würfen einen Sechser zu erzielen)! 4. Betrachtet wird nun eine Serie von 10 Würfen mit einem idealen Würfel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, (a) genau 5 gerade und 5 ungerade Augenzahlen zu würfeln! (b) in genau drei Würfen eine der Zahlen 5 oder 6 zu würfeln! (c) mindestens 8 Sechser zu würfeln! Geben Sie alle Ergebnisse auf 3 gültige Ziffern an! 1

2 5. In der höchsten jugoslawischen Fußballliga spielen 21 Klubs. In einer Saison spielt jede Mannschaft je einmal zuhause und einmal auswärts gegen jede andere Mannschaft der Liga. (a) Mit Partizan, Roter Stern, Hajduk und OFK spielen 4 Belgrader Klubs in der Liga. Wieviele rein Belgrader Duelle finden in einer Saison statt? (b) Wieviele Spiele finden in einer Saison insgesamt statt? 6. Aus einer Urne mit 2 roten und 5 weißen Kugeln werden nacheinander drei Kugeln zufällig gezogen, ihre Farbe notiert und in die Urne zurückgelegt. Es werden folgende Ereignisse definiert: A : Es werden lauter gleichfarbige Kugeln gezogen B : Unter den drei gezogenen Kugeln befinden sich mindestens zwei rote Kugeln (a) Berechnen Sie P (A) und P (B)! (b) Drücken Sie das Ereignis A B möglichst einfach mit Worten aus und berechnen Sie dessen Wahrscheinlichkeit! 7. Ein Adventskranz wurde in diesem Dezember schon viermal korrekt angezündet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse, wenn die angezündete Kerze jeweils per Zufall bestimmt wurde. (a) Es haben bereits alle Kerzen einmal gebrannt. (b) Es wurde immer nur dieselbe Kerze angezündet. (c) Genau zwei Kerzen brannten schon. 8. Für einen Autotyp gebe es, 5 Außenfarben, 3 Polsterfarben, 3 Motoren und 6 Extras (u.a. Schiebedach und Klimaanlage). Der Kunde kann die Extras jedoch nicht frei kombinieren: Er kann nur entweder Schiebedach oder Klimaanlage einbauen lassen nicht beides gleichzeitig. Außerdem läßt sich die Klimaanlage nur mit zwei der drei Motoren kombinieren. Wie viele verschiedene Autos können zusammengestellt werden? 9. Beim LOTTO 5 aus 41 seien 41 Kugeln mit den Nummern 1 bis 41 in einer Lostrommel und es werden ohne Zurücklegen 5 davon rein zufällig herausgegriffen und wie üblich der Größe nach sortiert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, (a) dass die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 gezogen werden! (b) dass alle Gewinnzahlen durch 3 teilbar sind! (c) genau 3 Richtige zu tippen! (d) mindestens 4 Richtige zu tippen! 10. In einer Gruppe von 6 Jungen und 4 Mädchen werden 7 Theaterkarten verteilt. (a) Auf wieviele Arten können die Karten verteilt werden, wenn jeder Schüler höchstens eine Karte erhält und die Karten unterscheidbar sind? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommen alle 4 Mädchen je eine Karte, wenn die Karten rein zufällig verteilt werden und nicht unterscheidbar sind? 2

3 (c) Diese 7 Schüler (4 Mädchen und 3 Jungen) treffen sich vor dem Theater und gehen dann nacheinander durch die Türe. Auf wieviele verschiedene Arten können sie das Haus betreten, wenn die Mädchen Vortritt haben? 11. Um die Zahlen besser mit den Fingern abzählen zu können, rechnet man im Land der einarmigen Banditen nicht im 10er System sondern nur mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5. Gegenstand der Überlegung soll ein neuer vierstelliger Kilometerzähler sein. (Anzeige:0000) (a) Nach wievielen gefahrenen Kilometern zeigt der Zähler wieder 0000? (b) Wieviele verschiedene Kombinationen mit lauter verschiedenen Ziffern gibt es als Kilometerstand? (c) Wieviele Kombinationen gibt es, die nicht von einer 0 angeführt werden? 12. Elektrische Christbaumkerzen sind in Reihe geschaltet. Das bedeutet, dass eine Kerzenkette nur dann brennt, wenn lauter intakte Kerzen eingeschraubt sind. Unter einer Lieferung von Kerzen befinden sich erfahrungsgemäß 5% Ausschuss. Aus einem Karton mit 60 Kerzen werden 12 entnommen und in eine Kette montiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit brennt die Kette? 13. Für einen Autotyp gebe es, 5 Außenfarben, 3 Polsterfarben, 3 Motoren und 6 Extras (u.a. Schiebedach und Klimaanlage). Der Kunde kann die Extras jedoch nicht frei kombinieren: Er kann nur entweder Schiebedach oder Klimaanlage einbauen lassen nicht beides gleichzeitig. Außerdem läßt sich die Klimaanlage nur mit zwei der drei Motoren kombinieren. Wie viele verschiedene Autos können zusammengestellt werden? 14. Von 18 Schülern haben 2 eine präparierte Formelsammlung. Der Lehrer kontrolliert fünf Schüler. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mindestens ein Mogler erwischt? 15. In einer Klasse mit 23 Schülern haben 3 eine präparierte Formelsammlung. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mindestens ein Mogler erwischt, wenn der Lehrer 5 Formelsammlungen kontrolliert? 16. Aus einer Urne mit 2 roten, 3 schwarzen und 4 weißen Kugeln werden nacheinander drei Kugeln zufällig gezogen, jeweils ihre Farbe notiert und in die Urne zurückgelegt. Es werden folgende Ereignisse definiert: A : B : Es werden lauter gleichfarbige Kugeln gezogen Jede Farbe wird einmal gezogen Berechnen Sie P (A) und P (B)! 17. (a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, von 800 Angestellten eines Betriebes 3 in den Personalrat (Vorsitzender und 2 gleichberechtigte Vertreter) zu wählen? (b) Wieviele Möglichkeiten sind es, wenn der alte Personalratsvorsitzende auf jeden Fall wieder im Personalrat sitzen soll? 18. Für eine Modellreihe von Computern gebe es, 3 Prozessoren, 5 Versionen für die Bestückung mit Arbeitsspeicher, 3 verschiedene Festplatten und 6 Softwarepakete. Der Kunde kann die Softwarepakete jedoch nicht frei kombinieren: Er kann nur entweder MS-Office oder Lotus SmartSuite installieren lassen nicht beides gleichzeitig. Außerdem läßt sich die MS 3

4 Encarta nur mit zwei Festplatten kombinieren. Wie viele verschiedene Rechner können zusammengestellt werden? 1.3 Bernoulliexperimente und Bernoulliketten 1. In einer Firma werden Kugelschreiber in Packungen zu 20 Stück produziert. Der Defekt eines Kugelschreibers kann zwei Gründe haben: defekte Mechanik (Mangel M 1 ) bzw. defekte Mine (Mangel M 2 ). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kugelschreiber defekt ist, beträgt 0,088. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von M 1 ist 0,05 und die für das Auftreten beider Mängel gleichzeitig ist 0,002. (a) Untersuchen Sie, ob die beiden Mängel unabhängig voneinander auftreten! (b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung bei genau 3 Kugelschreibern M 1 auftritt. (c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung bei mehr als 3 Kugelschreibern M 1 auftritt. 2. Ein Händler untersucht Kugelschreiber, die in 20er Packungen geliefert werden. Aus jeder Packung nimmt er zwei Kugelschreiber ohne Zurücklegen heraus und prüft sie. Eine untersuchte Packung enthalte 4 defekte Kugelschreiber. Fertigen Sie ein Baumdiagramm für diesen Test und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller auftretenden Elementarereignisse. 3. In einer Großstadt wurde zu Zeiten des Berufsverkehrs die Pünktlichkeit von öffentlichen Verkehrsmitteln untersucht. Umfangreiche Beobachtungen haben ergeben, dass an der Haltestelle Blumenstraße 60% aller Busse unabhängig voneinander pünktlich abfahren. An dieser Haltestelle werden nun drei zufällig ausgewählte, aufeinanderfolgende Busse in bezug auf Pünktlichkeit beobachtet. Veranschaulichen Sie für diese drei Busse alle Möglichkeiten des Pünktlichkeitsverhaltens in einem Baumdiagramm und ermitteln Sie für dieses Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten aller denkbaren Elementarereignisse. 4. In einer Großstadt wurde zu Zeiten des Berufsverkehrs die Pünktlichkeit von öffentlichen Verkehrsmitteln untersucht. Umfangreiche Beobachtungen haben ergeben, dass an der Haltestelle Blumenstraße 60% aller Busse unabhängig voneinander pünktlich abfahren. (a) An dieser Haltestelle werden nun drei zufällig ausgewählte, aufeinanderfolgende Busse in bezug auf Pünktlichkeit beobachtet. Veranschaulichen Sie für diese drei Busse alle Möglichkeiten des Pünktlichkeitsverhaltens in einem Baumdiagramm und ermitteln Sie für dieses Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten aller denkbaren Elementarereignisse. (b) Nun werden an dieser Haltestelle zehn zufällig ausgewählte, aufeinanderfolgende Busse in bezug auf Pünktlichkeit beobachtet. Berechnen Sie jeweils auf drei Stellen nach dem Komma gerundet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den zehn Bussen i. genau zwei aufeinanderfolgende Busse ii. genau zwei Busse 4

5 iii. höchstens zwei Busse nicht pünktlich abfahren. 5. Eine Firma stellt Kugelschreiber her. Sie werden in Packungen zu je 20 Stück geliefert. Ein Händler prüft aus jeder Packung nacheinander 2 Kugelschreiber (ohne Zurücklegen). Er nimmt die Packung genau dann an, wenn beide Kugelschreiber in Ordnung sind. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (3 Nachkommastellen) wird der Händler eine Packung jeweils annehmen, wenn sie genau 2, 4 oder 6 defekte Kugelschreiber enthält? Zeichnen Sie dazu jeweils ein Baumdiagramm und nehmen Sie kurz Stellung zur Brauchbarkeit dieser Prüfung! (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden alle 10 Packungen einer Lieferung angenommen, wenn jede von ihnen genau 4 defekte Kugelschreiber enthält? 1.4 Statistische Unabhängigkeit 1. Die Verkehrsbetriebe der Stadt verfügen über 60 Busse, von denen 45 vom Fabrikat A, der Rest vom Fabrikat B sind. Genau 42 Busse sind rot lackiert, davon entfallen 36 auf das Fabrikat A. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse E 1 : E 2 : Ein zufällig ausgewählter Bus ist vom Fabrikat A Ein zufällig ausgewählter Bus ist nicht rot für die betrachteten 60 Busse stochastisch abhängig sind. 2. Der Defekt eines Kugelschreibers (vgl. Aufgabe von oben) kann zwei Gründe haben: defekte Mechanik (1. Mangel) bzw. defekte Mine (2. Mangel). Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kugelschreiber defekt ist, beträgt 0,088. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des 1. Mangels ist 0,05 und die für das Auftreten beider Mängel gleichzeitig ist 0,002. Untersuchen Sie, ob die beiden Mängel unabhängig voneinander auftreten! 1.5 Statistik 1. Aus einer Urne, in der sich 4 schwarze und 5 rote Kugeln befinden, wird ohne Zurücklegen so lange je eine Kugel gezogen, bis eine rote erscheint. Die Anzahl der dazu benötigten Züge sei X. Berechnen Sie E(X) und σ! 2. Es sind 6 Kugeln willkürlich auf 4 Urnen verteilt worden. Die Zufallsgröße X soll die Zahl der leeren Urnen beschreiben. Berechnen Sie E(X) und σ! 3. Bei einer Übung zur Analysis ergab sich die Notenverteilung Note Anzahl Berechnen Sie Mittelwert und Streuung! 4. Jemand wird zu folgendem Spiel überredet: Aus einer Schachtel, in der 3 rote und 5 grüne Kugeln liegen, werden mit einem Griff 5 Kugeln zufällig entnommen. Wenn der Spieler mindestens 2 rote Kugeln zieht, gewinnt er 2DM, sonst verliert er 1DM. Beurteilen Sie die Gewinnchancen. 5

6 5. In einer Süßwarenfabrik werden Schokoladeneier mit einem Sollwert der Masse von 40 g hergestellt. Bedingt durch eine fehlerhafte Einstellung der Maschine während des Produktionsvorgangs ergibt sich für die auf volle Gramm gerundete (tatsächliche) Masse der 100 Eier einer Palette folgende Häufigkeitsverteilung: Masse in g Anzahl Aus dieser Palette werden Eier zufällig entnommen. Die Zufallsgröße X gibt die Masse in Gramm an. (a) Stellen Sie die Verteilungsfunktion F in Form einer Wertetabelle auf! (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Masse eine zufällig ausgewählten Eies unter dem Sollwert von 40 g liegt! (c) Bestimmen Sie Durchschnittsmasse und Standardabweichung der 100 Eier. (d) Um wieviel Prozent weicht die Durchschnittsmasse vom Sollwert ab? (e) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Masse eines zufällig ausgewählten Eies innerhalb der einfachen σ-umgebung des Mittelwertes liegt! 6. Aus einer Urne, in der sich 4 schwarze und 5 rote Kugeln befinden, wird ohne Zurücklegen so lange je eine Kugel gezogen, bis eine rote erscheint. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der dazu benötigten Züge. Berechnen Sie E(X) und σ! 7. Das Glücksspiel Werfen zweier verschiedenfarbiger idealer Würfel soll untersucht werden. Es gelten folgende Vereinbarungen: Zeigen die beiden Würfel gleiche Augenzahl, so wird nichts ausbezahlt. Andernfalls legt die kleinere der beiden Augenzahlen die Auszahlung in DM fest. Die Zufallsgröße X gibt den bei einem Spiel auszuzahlenden Betrag in DM an. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße X (Wertetabelle) und zeichnen Sie den Graphen der Funktion! (b) Geben Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X an (Wertetabelle) und zeichnen Sie den Graphen der Funktion! Der Spieler zahlt 2 DM Einsatz pro Spiel an die Bank. (b) Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn bzw. Verlust des Spielers! (c) Zeigen Sie, dass der Spieler bei einem Spiel mit der Wahrscheinlichkeit 1 einen Gewinn 3 erzielt! (d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler bei sechs Spielen mindestens fünfmal gewinnt! (e) Ermitteln Sie, wie oft der Spieler bei sechs Spielen voraussichtlich gewinnt! (f) Die Würfel werden nun 200mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man damit rechnen, dass die Anzahl der Gewinne innerhalb der einfachen σ-umgebung des Mittelwertes liegt? 6

7 8. Ein Pentagon-Dodekaeder ist ein Würfel mit 12 gleichgroßen und regelmäßigen Fünfecken als Seitenflächen. Auf drei Seitenflächen eines solchen Würfels befindet sich eine 1, auf zwei eine 2 und auf einer eine 4. Die restlichen Seitenflächen tragen eine 0. Ein Spielbetreiber verlangt pro Spiel (einmaliges Werfen dieses Körpers) 1 Euro Einsatz. Ausgezahlt wird die erzielte Augenzahl in Euro. (a) Die Zufallsgröße X ist der Gewinn eines Spielers pro Spiel. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion zur Zufallsgröße X in Tabellenform an und berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn des Spielers in Euro. Interpretieren Sie das Ergebnis kurz. (b) Zeigen Sie, dass ein Spieler mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,25 gewinnt und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für i. 3 Gewinne in 3 Spielen. ii. mindestens 8 Gewinne in 10 Spielen. iii. mindestens 6 Niederlagen in 10 Spielen. 2 Hypothesentests 1. Ein Pentagon-Dodekaeder ist ein Würfel mit 12 gleichgroßen und regelmäßigen Fünfecken als Seitenflächen. Auf drei Seitenflächen eines solchen Würfels befindet sich eine 1, auf zwei eine 2 und auf einer eine 4. Die restlichen Seitenflächen tragen eine 0. Ein Spielbetreiber verlangt pro Spiel (einmaliges Werfen dieses Körpers) 1 Euro Einsatz. Ausgezahlt wird die erzielte Augenzahl in Euro. (a) Zeigen Sie, dass ein Spieler mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,25 gewinnt. (b) Klein Mario hat nach einer Weile den Verdacht, dass die Spieler zu selten gewinnen. Entwickeln Sie einen Test auf der Grundlage von 100 Würfen und dem Signifikanzniveau von 1%, um diese Hypothese zu bestätigen. Geben Sie dazu Nullhypothese, Gegenhypothese, Testgröße und Entscheidungsregel an. (c) Marios Papa möchte den Test aus finanziellen Gründen lieber nur auf der Grundlage von 10 Spielen (aber mit derselben Irrtumswahrscheinlichkeit) durchführen. Nehmen Sie zu diesem Versuch Stellung und begründen Sie Ihre Meinung durch mathematische Fakten. (Bitte keine Aufsätze!!!) 7