Seminar Theoretische Informatik

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1 Seminar Theoretische Informatik Themen Sommersemester Minimierung endlicher Automaten [BBCF], S Zustandskomplexität von endlichen Automaten Es wird untersucht, wie sich die Anzahl der Zustände von endlichen Automaten bei Operationen wie z.b. der Konkatenation ändert. [Yu], S Abgeschlossenheit von kontextfreien Sprachen u.a. unter Substitution, inversem Homomorphismus und Schnitt mit regulären Sprachen [HMU] S , auch [HU] S Unentscheidbare Probleme bei kontextfreien Sprachen (Anwendungen des Postschen Korrespondenzproblems) [HMU] S , [HU] S , auch [AB] S Schwierige Instanzen des Postschen Korrespondenzproblems Es werden Methoden betrachtet, um eine Instanz des PCP als unlösbar nachzuweisen bzw. um eine kürzeste Lösung für eine Instanz zu finden. [Zh] 6. Deterministische kontextfreie Sprachen Deterministische kontextfreie Sprachen sind Sprachen, die durch einen deterministischen Kellerautomaten erkannt werden können. [HU] S Einführung in Codes Ein Code ist eine Menge von Wörtern, mit der Eigenschaft, dass jedes daraus zusammengesetzte Wort eindeutig in seine Bestandteile zerlegt werden kann. Themen: Definition, maximale Codes, Test auf Codes [BBR] S Primitiv-rekursive und μ rekursive Funktionen und Loop-, While- und Goto-Programme, Ackermannfunktion [MM] S , auch [Ho] S

2 9. Das Lambda-Kalkül von Church Church hat Ergebnisse zur Unentscheidbarkeit vor Turing bewiesen. Hierfür hat er das Lambda-Kalkül verwendet, bei dem Funktionen jeder Abstraktionsstufe interagieren können. [MM] S Alternative Berechnungsmodelle Das Standardmodell zur Modellierung von Berechnung ist die Turingmaschine. Daneben gibt es aber weitere Modelle, z.b. Zählermaschinen, Tag-Systeme, das Spiel des Lebens. [MM] S, Der Rekursionssatz Der Rekursionssatz beschäftigt sich mit der Frage der Selbstreferenz. [S] S , S Entscheidbarkeit von logischen Theorien Insbesondere wird hier Gödels berühmter Unvollständigkeitssatz bewiesen. [S] S Eine Definition von Information [S] S Die Frage P=NP Es gibt verschiedene Ansätze, um sich der Frage P=NP zu nähern. Einer versucht, Komplexitätsklassen in P zu definieren. Der andere sucht nach Problemen, die nicht in P liegen, aber auch nicht NPvollständig sind. [MM], S NP-Vollständigkeit des Hamiltonpfad-Problems und von SUBSET-SUM [S] S Die Sprachklassen L und NL L ist die Klasse aller Sprachen, die mit einer deterministischen Turingmaschine in logarithmischem Platz entscheidbar sind. NL ist die Klasse aller Sprachen, die mit einer nichtdeterministischen Turingmaschine in logarithmischem Platz entscheidbar sind. [S] S Schaltkreiskomplexität Es wird untersucht, wie groß Schaltkreise sind, die ein bestimmtes Problem entscheiden. [S], S Probabilistische Algorithmen Probabilistische Algorithmen sind Algorithmen, bei den Zufallszahlen eingesetzt werden, um ein richtiges Ergebnis mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

3 [S], S Fingerabdrücke, Hashfunktionen und Eindeutigkeit Hashfunktionen können verwendet werden, um Fingerabdrücke zu erzeugen. Außerdem können mit ihrer Hilfe aus Problemen, die viele Lösungen haben, Probleme gemacht werden, die eine eindeutige Lösung haben. [MM], S , auch [MR] S Interaktive Beweissysteme Bei einem interaktiven Beweissystem versucht der "Beweiser", einen "Verifizierer" von der Wahrheit einer Aussage zu überzeugen. [S] S Ein Approximationsalgorithmus für das Mengenüberdeckungsproblem Bei dem Mengenüberdeckungsproblem (set cover), das NP-vollständig ist, muss man aus gegebenen Teilmengen einer Gesamtmenge eine Auswahl treffen, so dass die Vereinigung der ausgewählten Mengen die Gesamtmenge ergibt. Diese Auswahl soll minimale Kosten haben. [V], S Ein Approximationsalgorithmus für das Problem des Handlungsreisenden Bei dem Problem des Handlungsreisenden (traveling salesman), das NP-vollständig ist, muss man in einem ungerichteten, gewichteten Graphen einen möglichst kurzen Zyklus finden, der jeden Knoten genau einmal besucht. [V], S Bestimmung des kürzesten Oberwortes Gegeben seien n Wörter. Gesucht ist das kürzeste Wort (Oberwort), das alle n Wörter als Teilwort hat. Das Problem ist NP-vollständig. Im Vortrag werden Approximationsalgorithmen untersucht. [V], S Ein Approximationsalgorithmus für das Behälterproblem Bei dem Behälterproblem (bin packing), das NP-vollständig ist, muss man n Objekte, die verschiedene Größen haben, so auf k Behälter mit einheitlicher Größe verteilen, dass kein Behälter überfüllt ist. [V], S Ein Approximationsalgorithmus für SUBSET-SUM Es wird ein Polynomialzeitalgorithmus zur Annäherung der besten Lösung von SUBSET-SUM vorgestellt und analysiert.

4 [CLR], S Der Algorithmus von Ford-Fulkerson Der Algorithmus von Ford-Fulkerson bestimmt den maximalen Fluss in einem gerichteten Graphen. Jede Kante des Graphen hat eine bestimmte Kapazität, die den Fluss über diese Kante begrenzt. Der Algorithmus bestimmt den maximalen Fluss, der von einem Quellknoten zu einem Zielknoten erreicht werden kann. [CLR], S Schnelle Suche in Texten Es werden verschiedene Algorithmen für die schnelle Textsuche (String Matching) betrachtet, z.b. die Algorithmen von Rabin-Karp oder Boyer-Moore. [CLR], S Bestimmung der konvexen Hülle Die Algorithmen von Graham und von Jarvis zur Bestimmung der konvexen Hülle werden vorgestellt und ihre Laufzeit analysiert. [CLR], S Sortiernetze Sortiernetze sind Vergleichsnetze, die ihre Eingabe sortieren. Vergleichsnetze sind ein Berechnungsmodell, das auf Bausteinen basiert, die nur zwei Werte vergleichen können (Vergleicher). Ein Vergleichsnetz kann mehrere Vergleiche parallel durchführen. Es werden Sortiernetze konstruiert und ihre Laufzeit analysiert. [CLR], S Treaps Ein Treap ist eine Datenstruktur, die eine Mischung aus Baum (tree) und Heap darstellt. Zufällige Treaps haben für alle wichtigen Operationen (find, insert,delete) eine erwartete logarithmische Laufzeit. [MR], S , auch [AS] 31. Skiplisten Ein Skipliste ist eine Datenstruktur, die sich zur besonders schnellen Suche von Elementen aus einer total geordneten Menge eignet. Skiplisten verwenden das Zufallsprinzip zur Beschleunigung der

5 Operationen. Alle wichtigen Operationen (find, insert,delete) haben eine erwartete logarithmische Laufzeit. Skiplisten werden u.a. von redis verwendet. [MR], S Hashtabellen Hier werden Hashtabellen untersucht, die mit Zufallsvariablen arbeiten. Dadurch wird eine erwartetete Laufzeit von O(1) für das Suchen und Aktualisieren eines Eintrages erreicht. [MR], S Algorithmen für Parallelrechner Das Berechnungsmodell der PRAM (parallel random-access machine) wird definiert. Es werden verschiedene Algorithmen vorgestellt und ihre Laufzeit analysiert. [CLR], S Literatur [AB] Asteroth, Baier: Theoretische Informatik, Pearson Studium, [AS] Aragon, Seidel: Randomized Search Trees, [BBCF] Berstel, Boasson, Carton, Fagnot: Minimization of automata, [BBR] Berstel, Perrin, Reutenauer: Codes and Automata, Cambridge University Press [CLR] Cormen, Leiserson, Rivest: Introduction to Algorithms, The MIT Press [Ho] Hoffmann, Dirk: Theoretische Informatik, Hanser, [HU] Hopcroft, Ullman: Ullman: Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie, Addison-Wesley, 1994 (alte Ausgabe). [HMU] Hopcroft, Motwani, Ullman: Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie, Pearson Studium, [MM] Moore, Christopher; Mertens, Stefan: The Nature of Computation, Oxford University Press [MR] Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar: Randomized Algorithms, Cambridge University Press [S] Sipser: Introduction to the Theory of Computation, Second Edition, Thomson [V] Vazirani, Vijay: Approximation Algorithms, Springer [Yu] Yu, Sheng: Regular Languages, [Zh] Zhao: Solving and Creating Difficult Instances of Post s Correspondence Problem,