Aufbau der Lehrveranstaltung Mittwoch

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1 Aufbau der Lehrveranstaltung Mittwoch :30-9:20 Einleitung Problemstellung, Ziele, Definitionen 9:30-10:20 Hydraulische Grundlagen zur Abflussberechnung Mittwoch Einführung in das Modell HEC/RAS, Vorbereitung eines Wasserspiegellagenmodells mit einfacher Geometrie Einführung in das Modell HEC/RAS, Vorbereitung eines Wasserspiegellagenmodells mit einfacher Geometrie 10:30-11:20 Numerische Verfahren Berechnung und Interpretation der Ergebnisse 11:30-12:20 1-D Wasserspiegellagenmodellierung, Grundlagen, Datenanforderungen, verfügbare Modelle, links zu homepages Berechnung und Interpretation der Ergebnisse Mittwoch Anwendungsbeispiel Obere Drau 1-D, Anwendungsbeispiel Lafnitz 2-D Instationäre Abflussmodellierung und Kopplung mit GIS Grundlagen zur Sedimenttransportmodellierung Datenanforderungen und verfügbare Modelle, links zu homepages, Modellvergleich Anwendungsbeispiel Obere Salzach Mittwoch Modellierung von Seitenerosion und der Flussmorphologie Simulation von flachen Hangrutschungen und Feststoffbilanzen (Schwerpunkt Schwebstoffhaushalt) Anwendungsbeispiel EG Sölkspeicher 12:20-13:00 Mittagessen Mittagessen Mittagessen Mittagessen Grundlagen zur Habitatmodellierung, Datenanforderungen und verfügbare Modelle, links zu homepages 13:00-14:20 Methoden zur Ermittlung des Fließwiderstandes Räumlich gegliederte Profile und Gewässervernetzungen, Kalibrierung von Wasserspiegellagenrechnun gen 14:30-16:00 2-D, 3-D Abflussmodelle, Datenanforderungen, verfügbare Modelle, links, Vor- Nachteile Wasserspiegellagenberechnung bei unterschiedlichen Rauhigkeiten und gegliedertem Profil - Naturstrecke Simulation und Diskussion der Resultate - Vergleich Eingabe von Einbauten (Brücken, Durchlässe etc.) Modellierung und Analyse der Ergebnisse Instationäre Abflussberechung Modellaufbau Berechnung und Interpretation der Ergebnisse Fließwiderstand Der Abflussvorgang ist bestimmt durch das Gleichgewicht zwischen der Gravitationskraft (Hangabtriebskomponente) und Reibungskräften (hydraulische Rauhigkeit oder Fließwiderstand). Das Kernproblem des Fließwiderstandes, welches auch bei der Anwendung von mathematischen Modellen bestehen bleibt, ist die Ermittlung eines entsprechenden Rauhigkeitskoeffizienten, der alle Komponenten des Fließwiderstandes erfasst. 1

2 Fließwiderstand-Komponenten Fließwiderstand = Kornrauhigkeit, Formrauhigkeit, Interaktionsvorgänge in gegliederten Gerinnequerschnitten Kornrauhigkeit Kornrauhigkeit: durch Oberflächenreibung an Gerinnewandung verursacht, weitgehend korrelierbar mit repräsentativer Länge des Rauhigkeitselements absolute Rauhigkeit : lineares Maß d s für die Höhe des Rauhigkeitselementes relative Rauhigkeit : Quotient R/d s einer charakt. Querschnittsgröße zum Absolutmaß des Rauhigkeitselements 2

3 Kornrauhigkeit relative Rauhigkeit beschreibt Rauhigkeitsverhalten besser bei konstanter Größe: Fließwiderstand abhängig von Abflusstiefe: bei zunehmender Wassertiefe nimmt Rauhigkeitseinfluss ab und umgekehrt. Formrauhigkeit wird durch Unregelmäßigkeiten der Gerinnewandung hervorgerufen. Ursachen: - Sohlenformen (Dünen, Bänke) verursachen leeseitig Erweiterungsverluste, sie können auch Fließwechsel sowie einen pendelnden Talweg hevorrufen. Ihr Einfluß nimmt mit sinkendem Wasserspiegel zu und ist bei hohen Abflüssen gering. Diese Erfahrungen machte JÄGGI (1983) bei seinen Laborversuchen bezüglich des Auftretens alternierender Bänke sowie bei Naturmessungen am Rhein. Zu ähnlichen Erkenntnissen sind auch PARKER & PETERSON (1980) gelangt 3

4 Formrauhigkeit Kornrauhigkeitskoeffizient C G und Gesamtrauhigkeitskoeffizient C als Funktion von R = h/d 50 an einem Abschnitt am Oldman River. Die Punkte beziehen sich auf die Bedingungen bei folgenden Abflüssen in absteigender Reihenfolge der Werte R: Bordvoll, HQ 5, HQ 2, MQ und Abflußmenge an einem willkürlichen Tag. Die Differenz zwischen C und C G entspricht den Formverlusten infolge von Bänken. Nach KELLERHALS, aus PARKER & PETERSON (1980). Bei höheren Abflüssen haben Bänke nur noch einen geringen Einfluß auf den Fließwiderstand, dafür tritt aber Geschiebetrieb auf. - Geschiebetransport erhöht - auch bei ebenem Bett - die Rauhigkeit der Gerinnesohle, da das Sohlmaterial aus seinem dachziegelartigen Verband herausgelöst wird und dadurch der Strömung größere Angriffsfläche bietet. Ebenso verursacht Schwebstofftransport Energieverluste. - Unregelmäßige Gerinnegeometrie ruft einerseits ungleichförmigen Abfluß mit Expansions- und Kontraktionsverlusten andererseits Verzweigungsverlusten sowie Energiedissipation infolge Spiralströmung in gewundenen Fließstrecken hervor. - An einzelnstehenden künstlichen oder natürlichen Hindernissen treten lokale Energieverluste auf. 4

5 Natürliche Fließgewässer sind zudem charakterisiert durch eine große Vielfalt an Formen, die auch von Dynamik geprägt sind. Gegliederte Profilgeometrie sowie Pflanzenbewuchs, der ebenfalls zur Profilgliederung beiträgt, beeinflussen den Fließwiderstand sowohl durch die von ihnen hervorgerufenen Rauheit als auch durch die stattfindenden Austauschvorgänge zwischen Zonen unterschiedlicher Abflußbedingungen. Grundkonzepte der Fließgesetze Universelles Fließgesetz Für das universelle Fließgesetz wurde Anleihe in der Rohrhydraulik genommen. Es beruht auf der Kombination der Formel von DARCY-WEISBACH v = 8* g * λ R* I und der Bestimmung des Widerstandsbeiwerts nach COLEBROOK-WHITE = C λ k S * log + C 2 * R 1 C * Re* λ mit den Formbeiwerten C 1, C 2 und C 3 und der äquivalenten Sandrauhigkeit k s. Zudem gilt: λ = λ Re, k s R,Querschnittsform,Rauheitsstruktur 5

6 Im universellen Fließgesetz finden die ersten beiden Bedingungen Berücksichtigung: Der Fließwiderstand ist bei hydraulisch glattem Verhalten lediglich abhängig vom Zähigkeitseinfluß und das Glied k s /(C 2 *R) entfällt. Im hydraulisch rauhen Bereich beeinflußt nur die relative Rauhigkeit den Fließwiderstand und das letzte Glied wird vernachlässigt. Im Übergangsbereich ist der Fließwiderstand sowohl von der relativen Rauhigkeit als auch von der Zähigkeit abhängig. Für Kreisrohre sind auch die beiden letzten Einflüsse eindeutig erfaßt: Die Querschnittsform ist durch den hydraulischen Radius R = D/4 exakt definiert und Rauheitsstrukturen sind vernachlässigbar. Ähnliches gilt auch für sehr breite offene Gerinne, welche mit R = h eindeutig bestimmt sind; allerdings ist hier gegebenenfalls die Rauheitsstruktur zusätzlich zu berücksichtigen. Für alle übrigen Gerinnequerschnitte ist der Einfluß der Querschnittsform auf den Fließwiderstand durch Variation der Koeffizienten C 1, C 2 und C 3 zu berücksichtigen; d.h., die Koeffizienten müssen strenggenommen für jede Querschnittsform gesondert ermittelt werden. Vorschläge diverser Autoren sind nachfolgend zu finden. 6

7 GerinnegeometrieAutor C 1 C 2 C 3 Druckrohr Colebrook-White 2,0 14,83 2,52 breites Gerinne Keulegan (1938) 2,03 11,09 3,41 breites Gerinne Rouse (1946 ) 2,03 10,95 1,70 breites Gerinne Thijsse (1949) 2,03 12,2 3,033 breites Gerinne Henderson (1966) 2,0 12,0 2,5 breites Gerinne Reinius (1961) 2,0 12,4 3,4 Rechteckgerinne Reinius (1961) 2,0 14,4 2,9 Breite/Tiefe = 4 Rechteckgerinne Reinius (1961) 2,0 14,8 2,8 7

8 Das universelle Fließgesetz findet trotz der bestehenden Unsicherheiten immer häufigere Anwendung in der Gerinnehydraulik. Gründe hiefür sind (DVWK, 1991): - Es ist physikalisch besser begründet: Sowohl der Einfluß der Viskosität als auch jener der Wandreibung finden Berücksichtigung. - Es handelt sich um ein analytisches Verfahren, welches eine Aufgliederung nach Einzelphänomenen ermöglicht. Das universelle Fließgesetz wird daher auch zur Quantifizierung der Wirkung von durchströmtem Vorlandbewuchs und Interaktionsflächen herangezogen. - Die Formel ist entwicklungsfähig; neue Verfahren zur Berechnung des Fließwiderstandes können einfach als Zusatzmodule eingesetzt werden. 8

9 Im Vergleich mit Potenzformeln ist die Anwendung des universellen Fließgesetzes wesentlich aufwendiger sowohl hinsichtlich der Bestimmung der Berechnungsparameter im Feld als auch hinsichtlich der Rechenprozedur. Potenzformeln Die Potenzformeln haben in der Gerinnehydraulik eine deutlich längere Tradition; dementsprechend umfangreich sind auch die Erfahrungen insbesondere hinsichtlich des Rauhigkeitskoeffizienten. Die Formeln wurden empirisch gefunden und sind von ihrer Grundstruktur her einfach in der Anwendung 2 1 v = kst * R 3 * I 2 k St = 6 a d s 9

10 Potenzformeln Die Potenzformeln haben in der Gerinnehydraulik eine deutlich längere Tradition; dementsprechend umfangreich sind auch die Erfahrungen insbesondere hinsichtlich des Rauhigkeitskoeffizienten. Die Formeln wurden empirisch gefunden und sind von ihrer Grundstruktur her einfach in der Anwendung 2 1 v = kst * R 3 * I 2 k St = 6 a d s Potenzformeln Der Kehrwert des STRICKLER-Beiwertes ist im englischsprachigen Bereich als MANNING-Wert gebräuchlich: n= 1/ k St STRICKLER hat a = 21,1 d s wird häufig d 90 der Unterschicht eingesetzt MEYER-PETER/MÜLLER a = 26 und d s =d 90 Z I JÄGGI a= ( 25 g ) ( ) Z Z e , 05,,, ), * /, * *ln(, * )/ * Einfluß der Abflußtiefe auf die Rauhigkeitswirkung durch das relative Rauhigkeitsmaß Z = h/ d s mit d s =d 90, berücksichtigt 10

11 Grenzen der Stricklerformel -Der Zähigkeitseinfluß bleibt unberücksichtigt, deshalb nur gültig im hydraulisch rauhen Bereich - Der Zusammenhang zwischen Rauheitswirkung und Abflußtiefe (relative Rauhigkeit) ist nicht berücksichtigt, daher gültig nur für mittlere relative Rauhigkeiten. - Strickler-Beiwerte k St sind nicht dimensionslos, deshalb nur gültig für Gerinnegrößen, für die k St ermittelt wurde. - Die Querschnittsform ist durch den hydraulischen Radius nicht eindeutig definiert, daher unberücksichtigt, daher nur gültig für Formen des Gerinnequerschnitts, für die k St ermittelt - Einfluß unterschiedlicher Rauheit und Gliederung des Gerinnequerschnitts sowie Einfluß des Sedimenttransports und veränderliche Sohlenformen bei beweglicher Sohle finden keine Berücksichtigung. Ansätze von Limerinos, Jarrett Limerinos Für Bettmaterial von feinem Kies bis zur Größe von Steinen 16 / 1 0, 0926 * R n = = k R St 116, + 2, 0*log( ) d Jarrett Für Flüsse mit Sohlgefälle von 0,002 bis 0,04 84 n= 039, * I * R 038, 016, 11

12 Hydraulischer Leitwert K universelles Fließgesetz als auch die Potenzformeln sind einheitlich darstellbar in der Form Q= K* I Der hydraulische Leitwert K, angegeben für einen bestimmten Wasserstand, entspricht dem Durchfluß im Querprofil bei einem Energieliniengefälle von I =1. Voraussetzung für diese Vorgangsweise ist die Gültigkeit des quadratischen Widerstandsgesetzes. Der hydraulische Leitwert muß vom Energieliniengefälle unabhängig sein. Dies gilt nur bei hydraulisch rauher Strömung, aber nicht bei hydraulisch glatter Strömung sowie im Übergangsbereich, wo die Reynolds-Zahl den Fließwiderstand mitbestimmt Hydraulischer Leitwert K Für die einzelnen Fließgesetze folgt: Gauckler-Manning-Strickler universelles Fließgesetz λ Über den hydraulischen Leitwert können die verschiedenen Fließgesetze miteinander in Beziehung gebracht werden und auch unterschiedlich ermittelte Widerstandsbeiwerte ineinander umgerechnet werden: K = k * R 23 / * A 6 1 λ = k R St * 8* g Durch diese Form der Umrechnung kann ein Rauhigkeitsbeiwert k St bestimmt werden in dem die Größe des Rauhigkeitselements mit einer Querschnittsgröße in Relation gesetzt wird (relative Rauhigkeit). K St g R A = 8* * * g kst = 1 8 * * 6 R λ 12

13 Quantifizierung der Rauhigkeit Drei Möglichkeiten für die Bestimmung der Rauhigkeitskoeffizienten stehen zur Verfügung: Erfahrungswerte aus der Literatur Messungen in der Natur analytische Ansätze zur Beschreibung der Wirkung einzelner Komponenten des Fließwiderstandes und deren Überlagerung Querschnittsbereich Min. Norm Max. 1. Hauptabflussquerschnitt a. gerade, gering strukturiert, keine Kolke b. wie a., jedoch höherer Grobsteinanteil und / oder Verkrautung c. gewunden, gering strukturiert, einige Kolke und Furte d. wie c., jedoch höherer Grobsteinanteil und / oder Verkrautung e. wie d., geringere Wassertiefen, mehr unwirksame Abflussbereiche f. wie d., jedoch sehr hoher Grobsteinanteil g. sehr langsam fließende Bereiche, verkrautet, tiefe Kolke h. sehr starke Verkrautung, Kolke, Flutmulden mit dichtem Bewuchs Vorländer a. Wiese a1. kurzes Gras a2. hohes Gras b. landwirtschaftlich genutzte Flächen b1. keine Feldfrucht b2. reifes Getreide (Reihensaat) b3. reifes Getreide (flächig) b4. Mais c. Gebüsch c1. vereinzelt, starke Krautschicht c2. Gebüsch geringer Dichte, im Winter c.3 Gebüsch geringer Dichte, im Sommer c4. Gebüsch mittlerer bis hoher Dichte, im Winter c5. Gebüsch mittlerer bis hoher Dichte, im Sommer d. Bäume d1. Kahlschlag d2. Kahlschlag mit starkem Wurzelaustrieb d3. dichter Wald, wenig umgestürzte Bäume d4. wie d3., jedoch Abfluss bis in Asthöhe d5, dichte Weiden, Sommer, gerade Gebirgsflüsse, kein Bewuchs im Abflussquerschnitt, steile Böschungen, mit Uferbewuchs a. Sohle: Kies, Steine, einige Blöcke b. Sohle: Steine mit großen Blöcken

14 Messungen in der Natur Messungen in der Natur Die zweite Möglichkeit der Bestimmung des Rauhigkeitskoeffizienten besteht darin, in der Natur eine Abflußmengenkurve zu messen, indem bei unterschiedlichen Wasserständen Geschwindigkeitsprofile gemessen werden, aus denen bei Kenntnis der geometrischen Verhältnisse ein Durchfluß ermittelt werden kann. Die bekannte Wasserspiegellage für gemessene Abflüsse ermöglicht unter Annahme stationärer Fließbedingungen durch Umformung der Fließgesetze bzw. die Rückrechnung der entsprechenden Rauhigkeitskoeffizienten. Diese Möglichkeit wird auch zur Kalibrierung mathematischer Modelle herangezogen 14

15 Messungen in der Natur Kornrauhigkeit Analytische Ansätze Zur Berücksichtigung der Kornreibung von Kiesbettflüssen muß in beiden Fließgesetzen ein lineares Rauhigkeitsmaß k s bzw. d s eingesetzt werden. Die Angaben in der Literatur über die Wahl dieser Größe aus der Kornverteilungskurve weisen eine große Bandbreite auf, insbesondere für den Ansatz von STRICKLER. Gebräuchliche Werte für d s sind neben d 90 auch d 65, 2*d 90 oder 3,5*d 84 (JÄGGI 1983). Bei der Wahl des 'maßgebenden Korndurchmessers' muß beachtet werden, daß d s weniger ein Maß für die aktuelle Rauhigkeitshöhe, als vielmehr ein Maß für den Effekt der Rauhigkeit auf die Strömung darstellt (BATHURST 1982). 15

16 Fließwiderstand durch Bewuchs Drei Bewuchsarten sind nach DVWK (1991) grundsätzlich zu unterscheiden: - Kleinbewuchs: Die Vegetationshöhe ist im Vergleich zur Wassertiefe sehr klein, sodass solche Vegetation als Wandrauhigkeit angesehen werden kann. - Mittelbewuchs: Die Vegetationshöhe liegt in der Größenordnung der Wassertiefe. Diese Vegetation wird sowohl durch- als auch überströmt. Überwiegt Überströmen, so wird das Widerstandsverhalten mittels entsprechend groß gewählten absoluten Rauhigkeitsmaßes berücksichtigt, andernfalls wie bei Großbewuchs. - Großbewuchs: Die Bewuchshöhe ist mindestens so groß wie die Abflußtiefe und der Bewuchs wird lediglich durchströmt. Großbewuchs Zur Charakterisierung des Großbewuchses dienen: a x Abstand der Bewuchselemente in Fließrichtung a y Abstand der Bewuchselemente quer zu Fließrichtung d py Durchmesser der Bewuchselemente quer zur Fließrichtung. Bei Abweichung des Bewuchses von der Kreiszylinderform ist ein äquivalenter Durchmesser einzuführen 16

17 Großbewuchs Die Bewuchsparameter ax, ay und dp sind im Feld zu bestimmen: Zunächst werden rein visuell Abschnitte mit unterschiedlicher Bewuchsstruktur festgestellt und im Lageplan eingetragen. Daraufhin werden innerhalb homogener Abschnitte Probeflächen abgegrenzt (Seitenlänge 10 m bis 20 m für Baumbestand und ca. 2 m für Sträucher und 50 m bis 100 m Abstand untereinander je nach Homogenität des Bewuchses). Großbewuchs Vier Bewuchsstrukturen können unterschieden werden: - nur Bäume oder nur Sträucher - Bäume und/oder Sträucher einzelstehend oder in Gruppen - Bäume und Sträucher gemischt - einreihige Gehölzstreifen Die Bewuchsparameter sind die erforderlichen Meßwerte aus der Natur zur Bestimmung eines Widerstandsbeiwerts. λ Pf Hiefür existieren verschiedene Rechenansätze, die in der Literatur ausführlich beschrieben sind (z.b. Verfahren nach PASCHE oder MERTENS in DVWK, 1991). 17

18 Fließwiderstand durch Formr. Die Wirkung der verschiedenen Komponenten der Formrauhigkeit wird von vielen Autoren qualitativ beschrieben und es existiert auch eine Vielzahl von Berechnungsansätzen für Sandbettflüsse. In Kiesbettflüssen, wie sie in unseren Gebieten vorherrschen, muss - analog zur Rohrhydraulik - auf das Konzept zurückgegriffen werden, die Verlusthöhe h v infolge Formrauhigkeit proportional der Geschwindigkeitshöhe mit dem Verlustbeiwert ξ als Proportionalitätsfaktor zu bestimmen: v 2 hvi, =ξi* 2 * g Formrauhigkeit Das Problem liegt hiebei in der mangelnden Erfahrung mit den Verlustbeiwerten ξ. Das grundlegende Prinzip beruht auf der linearen Aufteilung hydraulischer Parameter in einen Korn- und einen Formanteil. Somit gilt z.b. für das Energieliniengefälle I = I + I I' berücksichtigt den Anteil der Kornrauhigkeit, I'' den Anteil der Formrauhigkeit. Dieses Konzept geht auf EINSTEIN zurück. Die Erweiterungsverluste hinter Bänken können in Form von BORDA-CARNOT'schen Stoßverlusten berücksichtigt werden: v h v v = ξ E * α * α 2 * 2 * g 2 * g

19 Formrauhigkeit Bezogen auf die Banklänge l B ergibt sich ein zugehöriges Energieliniengefälle, mit Hilfe dessen durch Umformung von ein entsprechender Widerstandsbeiwert λ'' berechnet werden kann. Der gesamte Widerstandsbeiwert λ berechnet sich nach mit λ = λ + λ Bei großen Abflüssen tritt Formwiderstand infolge Geschiebetransport in den Vordergrund. Bisher wurden für Kiesbettflüsse noch keine nennenswerten Ansätze entwickelt. Diese Komponente des Widerstandes könnte durch das Ansetzen eines größeren maßgeblichen Korndurchmessers bei der Ermittlung des Widerstandsbewertes λ bzw. k St Berücksichtigung finden. RAUDKIVI (1990) schätzt z.b. die Rauhigkeit in einem ebenen Übergangsbett auf 6*d50 Formrauhigkeit Die Verlusthöhe in Krümmungen sowie durch Gerinneverzweigungen und -vereinigungen kann näherungsweise ebenfalls bestimmt werden. Entsprechende Annahmen für Verlustbeiwerte sind z.b. in NAUDASCHER (1992) oder GARBRECHT (1961) zu finden 19

20 Energieverluste durch Einbauten Einbauten verschiedenster Art haben Einfluß auf die Energielinie. Brücken z.b. verursachen neben den bereits erwähnten Kontraktions- und Expansionsverlusten gegebenenfalls auch durch Pfeiler Energieverluste, die wiederum von der Pfeilerquerschnittsform, vom Verbauunggrad und den Fließbedingungen im unverbauten Querschnitt abhängen. Ebenso darf der Einfliuß von Buhnen, Durchlässen, Überfällen, usw. nicht vernachlässigt werden. Solche Einbauten sind im konkreten Fall in Form einer lokalen Verlusthöhe zu berücksichtigen Querschnitte mit untersch. Rauh. Sind innerhalb eines Querschnitts benetzte Längen unterschiedlicher Rauhigkeit (z.b. Sohle und Ufer) vorhanden, so wird zunächst für jeden Teilbereich der Widerstandsbeiwert λ bzw. der Rauhigkeitsbeiwert nach STRICKLER k St ermittelt. Unter der Voraussetzung eines kompakten Fließquerschnitts und der Annahme gleicher mittlerer Geschwindigkeiten für die einzelnen Querschnittsteile kann nach EINSTEIN und HORTON ein äquivalenter Abflußbeiwert bestimmt werden, für die STRICKLER-Formel mit k St = l u n,, i= 1 32 / ( lui / ksti ) 23 / UNIV. FLIEßGESETZ n ( λ * l, ) i u i i λ = = 1 l u 20

21 Querschnitte mit untersch. Rauh. BATHURST, J. C. "Theoretical Aspects of Flow Resistance". Gravel-bed Rivers. Hg. R. D. Hey, J. C. Bathurst & C. R. Thorne. Chichester: John Wiley Literatur & Sons, CHANG, H. H. Fluvial Processes in River Engineering. New York: John Wiley & Sons, DVWK, Hg. Hydraulische Berechnung von Fließgewässern. Merkblätter zur Wasserwirt-schaft 220. Hamburg und Berlin: Paul Parey, EXENBERGER, Th. Möglichkeiten des Flußbaus zur Steuerung des Geschiebetransports bei Erosionstendenzen. Diplomarbeit am Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiven Wasserbau an der Universität für Bodenkultur. Wien, GARBRECHT, G. "Abflußberechnungen für Flüsse und Kanäle". Die Wasserwirtschaft 51 (1961): 40-45, HABERSACK, H. Programmpaket HEC - Praktische Anwendung. Konstruktiver Wasserbau / Landschaftswasserbau Bd. 17: "Mathematische Modelle offener Gerinne". Hg. H. Drobir et al. an der TU Wien. Wien, HEC-RAS Hydraulic Reference Manual. Hg. Hydrologic Engineering Center, U.S. Army Corps of Engineers. Davis, HENGL, M. Natürliche Gerinne und eindimensionale Abflußmodelle. Konstruktiver Wasserbau / Landschaftswasserbau Bd. 17: "Mahtematische Modelle offener Gerinne". Hg. H. Drobir et al. an der TU Wien. Wien, JÄGGI, M. Alternierende Kiesbänke: Untersuchungen über ihr Auftreten, den Zusammen-hang mit der Bildung von Sohlenformen im allgemeinen, sowie ihre Auswirkungen auf Ufererosion und Fliesswiderstand. Hg. D. Vischer. Mitteilungen der VAW an der ETH Zürich 62. Zürich, NAUDASCHER, E. Hydraulik der Gerinne und Gerinnebauwerke. 2., verb. Aufl. Wien: Springer, PARKER, G. & PETERSON, A. W. "Bar Resistance of Gravel-Bed Streams". Journal of the Hydraulics Division. Hg. ASCE. Vol. 106, No. HY10 (1980): YEN, B. Ch. Hydraulic Resistance in Open Channels. Channel Flow Resistance: Centennial of Manning s Formula. Hg. B. Ch. Yen. University of Virginia and University of Illinois,