Faltung (Konvolution)

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1 Definition Faltung (Konvolution) Faltung für Funktionen auf Rn Die Faltung zweier Funktionen ist definiert durch Faltungstheorem Mittels der Fouriertransformierten Faltungstheorem Mittels Fouriertransformierten Um die Definition möglichst allgemein zu halten, schränkt mander den Raum der zulässigen Funktionen zunächst ein und fordert stattdessen, dass das Integral für fast alle Werte von wohldefiniert ist. Im Fall, also integrierbare Funktionen, deren uneigentliches Betragsintegral endlichihrer ist,fourier kann kann man die Faltung zweier Funktionen als Produkt zeigen, dass diese Voraussetzung immer erfüllt ist.[1] Also kann lässtman sichdie die Faltung alsfunktionen Produkt auf auffassen Faltung zweier als Produkt ihrer Fourier Faltungstheorem Mittels der Fouriertransformierten Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation. Die Faltung periodischer Funktionen Für periodische Funktionen und Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation. Di einer reellen Variablen mit Periode definiert man die Faltung als Dabei ist das punktweise Produkt der beiden Funktionen,, an jeder. Dabei iststelle das punktweise Produkt der beiden Funktionen, an jeder Stelle. wobei sich die Integration über ein beliebiges Intervall Spiegelungsoperator mit Periodenlänge erstreckt. Es ist wiederum

2 Kristallstruktur: Konvolution von Gitter und Basis F krist % % %% % % iqrj iqrn Q) = f j ( Q) e e rj Rn $!#!"! $!#!" ( å å Struk.faktor EinheitszelleGittersumme Als Folge des Konvolutionstheorems: Form- und Strukturfaktor

3 Diskrete Fourier-Transformierte Leistungsspektrum der Raumfrequenzen von Mona Lisa ' :. Rücktransformierte Bilder nach Entfernung der hohen bzw. tiefen Raumfrequenzen. (d) Quelle: Hecht

4 Überlagerung von Wellen keine Dispersion: k ω = k $

5 Überlagerung von Wellen lineare Dispersion: k ω = ω c

6 Überlagerung von Wellen lineare Dispersion: k ω = ω c

7 Überlagerung von Wellen quadratische Dispersion: k ω = ω ' a

8 Dispersion von Gläsern n(λ) A + B λ ' Chauchy- Gleichung

9 Gruppendispersion in Glasfasern Bei speziellen Wellenlängen verwindet die Gruppendispersion Hier Ausbreitung über weite Strecken mit wenig Verbreiterung/Informationsverlust 13 W.Zinth Physik LMU

10 Gruppendispersion in Glasfasern 1. Spezielle Glasfasern und Übertragungswellenlängen λ 0 mit besonders kleinen d 2 k Werten der Gruppen-Dispersion k" = dω 2 2. Kombinationen (Glasfasern oder Aufbauten) mit positiven und negativen Werten von k''. Zusätzlich wichtig: geringe Verluste Dämpfung [db/km] 2 1 1/! Wellenlänge [nm] 12 W.Zinth Physik LMU

11 Physik Nobel Preis 2018 The Nobel Prize in Physics 2018 was awarded "for groundbreaking inventions in the field of laser physics" with one half to Arthur Ashkin "for the optical tweezers and their application to biological systems", the other half jointly to Gérard Mourou and Donna Strickland "for their method of generating high-intensity, ultra-short optical pulses." Tools made of light

12 Physik Nobel Preis 2018 petawatt laser terawatt laser The history of pulsed laser technology in terms of peak intensity. The invention of the CPA technique for optical pulses by Strickland and Mourou in 1985 dramatically changed laser power.

13 A chirped pulse Chirped optical pulse, with the electric field plotted against time. The chirp of the pulse is the time dependence of its instantaneous frequency. The pulse is up-chirped, which means that the frequency increases with time.

14 Chirped pulse amplification (CPA) The chirp is illustrated with colours. Initially the gain medium (amplifier) was Nd:glass, whereas today, another common gain medium is Ti:sapphire.