Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday Skript:

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1 PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, Halliday Skript: Übungsblätter und Lösungen: Januar 2005 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Klausur Datum und Uhrzeit , 10:00-12:00 Ort Hörsaal H2 Hilfsmittel 6 Seiten A4 (3 Blätter) handgeschrieben mit eigener Hand Tutorium am , Ort und Zeit sind Verhandlungssache Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Leiterschleife bewegt Induktion eines Stromes in einer in einem inhomogenen Magnetfeld bewegten Leiterschlaufe. Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Stabmagnet und Spule Vergleich eines Stabmagneten mit einer Spule. Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Vorzeichen des Magnetfeldes und der induzierten Spannung beim Einund Ausschalten. Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Induzierte Spannung Induzierte Spannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Selbstinduktion Selbstinduktion Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Magnetischer Fluss φ B = B d A (1) magnetischer Fluss durch die Fläche A A U EMK = dφ B dt = d dt A(S) B d A (2) Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 Die Induktionsspannung und der Strom, den sie bewirkt, sind stets so gerichtet, dass sie der Ursache entgegenwirken. Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Wirbelströme Wirbelströme in Metallen Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 Faradaysches Gesetz, Induktionsgesetz E d s = d dt B d a (3) S A(S) rot E = B t (4) Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 Transformator Zwei gekoppelte Stromkreise Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Der magnetische Fluss am Punkt P 2 hängt sowohl vom Strom I 2 wie auch vom Strom I 1 ab: φ B (P 2 ) = L 2 I 2 + M 12 I 1 (5) Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt P 1 von beiden Strömen ab φ B (P 1 ) = L 1 I 1 + M 21 I 2 (6) Neben der Selbstinduktivität L i müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten M ij berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten hängt auch bei den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie ab. Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Symbolische Darstellung eines Transformators Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Die Gegeninduktivität ist M 21 = φ B 1 I 2 = µ 0 n 1 n 2 l(πr 2 1) = M 12 (7) Diese Beziehung, die an einem Spezialfall gezeigt wurde, gilt auch allgemein (ohne Beweis). Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 Schematischer Aufbau eines Transformators Für Spannungen U 2 = N 2 N 1 U 1 (8) N 2 /N 1 heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators. Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Wird der Ausgang des Transformators mit R belastet, fliesst der Strom I 2, der zu U 2 in Phase ist. I 2 erzeugt einen magnetischen Fluss φ B N 2I 2, der den ursprünglichen Fluss φ B durch die Spule 2 schwächt. Da durch beide Spulen der gleiche magnetische Fluss fliesst, muss auch der Fluss durch die erste Spule geschwächt werden. Da die Spannung durch die Spannungsquelle U vorgegeben ist, muss der Strom I 1 auf der Primärseite zusätzlich fliessen, so dass φ B N 1I 1 gilt. I 2 = N 1 N 2 I 1 (9) Wenn wir die Effektivwerte betrachten haben wir damit [ U 2 I 2 = N ] [ 2 U 1 N ] 1 I 1 = U 1 I 1 (10) N 1 N 2 sofern man Verluste vernachlässigt. Ideale Transformatoren übertragen also verlustfrei Leistung. Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 Kirchhoffsche Gesetze Kirchhoffsche Gesetze: links die Maschenregel, rechts die Knotenregel. Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 U k = U j (11) k Quellen j Verbraucher I k = 0 (12) k eines Knotens Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 Wechselstromkreise und Impedanzen Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen Universität Ulm, Experimentelle Physik 20

22 Rechnen mit komplexen Impedanzen U(t) = Ûeiωt Ableitung I(t) = Îeiωt U(t) t = iωûeiωt Universität Ulm, Experimentelle Physik 21

23 unbestimmtes Integral, Stammfunktion U(t)dt = 1 iωûeiωt Ohmsches Gesetz U(t) = R I(t) Universität Ulm, Experimentelle Physik 22

24 Kapazität C Kondensator mit Wechselspannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 23

25 U(t) t = 1 C I(t) mit X C = 1 iωc iωûeiωt = 1 CÎeiωt Ûe iωt = 1 iωcîeiωt U(t) = 1 iωc I(t) Û = 1 iωcî U(t) = X C I(t) Universität Ulm, Experimentelle Physik 24

26 Induktivität L Spule mit Wechselspannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 25

27 U(t) Selbstinduktion = L I(t) t wir haben: U Selbstinduktion = U angelegt. Dann ist U(t) = L I(t) t Ûe iωt = iωlîeiωt U(t) = iωli(t) Û = iωlî mit X L = iωl U(t) = X L I(t) Universität Ulm, Experimentelle Physik 26

28 Schwingkreis Schwingkreis Universität Ulm, Experimentelle Physik 27

29 L di dt + Q C = 0 Die Resonanzfrequenz ist iωli + 1 iωc I = 0 ω 2 = 1 LC Universität Ulm, Experimentelle Physik 28

30 Schwingkreis mit Widerstand Schwingkreis mit Widerstand Universität Ulm, Experimentelle Physik 29

31 L di dt + R I + Q C = 0 iωl I + R I + I iωc = 0 ω 2 iω R L 1 LC = 0 Universität Ulm, Experimentelle Physik 30

32 ω = ir L ± R2 L LC 2 = i R 2L ± R2 4L LC Universität Ulm, Experimentelle Physik 31

33 Schwingkreis mit Widerstand, an Spannungsquelle + + U(t) - C L R Schwingkreis mit Widerstand an Spannungsquelle Universität Ulm, Experimentelle Physik 32

34 U(t) = Ûeiωt = iωl I + R I + I iωc Ûe iωt = iωl Îeiωt + R Îeiωt + Îeiωt iωc Y = 1 X = Î Û = 1 iωl + R + 1 iωc Universität Ulm, Experimentelle Physik 33

35 Y = iωc ω 2 CL + iωrc + 1 = iω L 1 CL ω2 + iω R L mit ω 0 = 1/(CL) Y = iω ω 0 C ω 2 0 ω2 + iω R L Universität Ulm, Experimentelle Physik 34

36 Elektromotoren Prinzipbild eines Elektromotors Universität Ulm, Experimentelle Physik 35

37 Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor MN(x) MH(x) M Kennlinien ω Universität Ulm, Experimentelle Physik 36

38 Betatron Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem zeitabhängigen B-Feld nach rot E = B/ t auch ein zeitabhängiges E-Feld existiert. Induktionsgesetz! Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die Wideroe-Bedingung B(t) = 2 B(t) (13) Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe erreicht werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 37

39 Universität Ulm, Experimentelle Physik 38

40 Skin-Effekt Gleichstrom homogene Stromverteilung radial zunehmende Magnetfeld Zeitlich ändernder Strom Induktionsgesetz Berechnung des Skin-Effektes radial zunehmende Stromdichte Universität Ulm, Experimentelle Physik 39

41 Energie im Magnetfeld Wechselstrom Leistung des Stromes ist positiv und negativ Integral über Leistung Energie Berechnung der Energie im Magnetfeld E L = L 2 I2 w B = B2 2µ 0 Universität Ulm, Experimentelle Physik 40

42 Kugeln im inhomogenen Magnetfeld Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 41

43 Materie im Magnetfeld diamagnetisches Verhalten Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld herausgedrückt. paramagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen. ferromagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen, aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen. Zudem zeigen diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 42

44 Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 43

45 Materie im inhomogenen Magnetfeld: wie wenn die Materie aus Kreisströmen bestände Diamagnetismus: Kreiströme antiparallel Paramagnetismus: Kreisströme parallel Ferromagnetismus: Kreisströme parallel Universität Ulm, Experimentelle Physik 44

46 Satz von Larmor Illustration zum Satz von Larmor Universität Ulm, Experimentelle Physik 45

47 Atomarer Kreisstrom I = e v Magnetisches Moment 2πr (14) m = πr 2 I = 1 2 e v r (15) Wirkung eines äusseren Magnetfeldes: Reaktion eines einzelnen Atoms auf ein von null anwachsendes äusseres Feld Universität Ulm, Experimentelle Physik 46

48 Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 47

49 Wachsendes Magnetfeld tangentiales elektrisches Feld das Magnetfeld: B, Betrag: B die Geschwindigkeit: v, Betrag: v die Zentripetalkraft: F 0, Betrag: F 0 das induzierte elektrische Feld: E, Betrag: E Universität Ulm, Experimentelle Physik 48

50 S(r) E d r = 2π r E(t) = φ B t = πr 2 d B(t) dt = πr 2 db(t) dt (16). Der gesamte Geschwindigkeitszuwachs des Elektrons ist wenn B das Feld im Endzustand ist. v = e r 2m e B (17) Der Betrag der Geschwindigkeit hat also zugenommen. Nun bewirkt das äussere B-Feld die Lorentzkraft F L = e ( v) ( B) (18) Universität Ulm, Experimentelle Physik 49

51 die, nach der rechten Hand-Regel zum Kreiszentrum zeigt. Die Zentripetalkraft ist im Endzustand durch ( v + v)2 F = m r (19) Da v v ist, können wir nach Taylor entwickeln F m e ( v 2 2v v ) (20) r = F 0 + F L Die Lorentz-Kraft bewirkt also, dass die Elektronenbahnen für kleine Geschwindigkeitsänderungen sich nicht ändern. Universität Ulm, Experimentelle Physik 50

52 Die Larmorwinkelgeschwindigkeit ist Ω v r = e B 2m e (21) und vektoriell geschrieben Universität Ulm, Experimentelle Physik 51

53 Larmorwinkelgeschwindigkeit Ω = e 2m e B (22) In einem mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden System sind die Elektronenbahnen im Atom unverändert. Universität Ulm, Experimentelle Physik 52

54 Diamagnetismus Berechnung des Diamagnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 53

55 Diamagnetisches Atom m A = j m j = 0 (23) B-Feld eingeschalten kugelsymmetrische Ladungsverteilung präzediert mit Larmorfrequenz von null verschiedenes magnetisches Moment m A, das zum Diamagnetismus führt. ρ el = Ze (4/3)πR 3 (24) wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 54

56 Ein einzelner Kreisstrom Rotation mit Ω = e 2m B (25) Universität Ulm, Experimentelle Physik 55

57 δi = ρ el r dr dϕ v(r, ϕ) (26) v(r, ϕ) = Ω r sin ϕ (27) Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment m A entgegengesetzt zu Ω und entgegengesetzt zu B, hier also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische Moment ist δm A (r, ϕ) = Fläche Strom = πr 2 sin 2 ϕ δi (28) oder δm A (r, ϕ) = πr 2 sin 2 ϕ ρ el r dr dϕ v(r, ϕ) (29) = πr 4 sin 3 ϕ ρ el Ω dr dϕ Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Inte- Universität Ulm, Experimentelle Physik 56

58 gration über r und ϕ Er ist m A = R π δm A (r, ϕ)drdϕ (30) 0 0 = Z e2 B R 2 10m e Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment m A = Z e2 R 2 10m e B (31) Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt. Universität Ulm, Experimentelle Physik 57

59 Magnetisierung Atomare Kreisströme Universität Ulm, Experimentelle Physik 58

60 Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere magnetische Moment pro Volumeneinheit M( R) = V m A i V (32) m A1 : magnetisches Moment eines Atoms oder einer Atomgruppe. Homogen magnetisiert M( r) unabhängig vom Probenort. Der Oberflächenstromdichte ist gleich der Magnetisierung. j = m a n = M (33) Universität Ulm, Experimentelle Physik 59

61 Elektronenspin Elektronenspin Universität Ulm, Experimentelle Physik 60

62 Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem Drehimpuls s (Spin) herrührt. Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes magnetisches Moment m s. Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse einen festen Betragswert s z = 1 h 22π hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch = 1 2 h (34) h = Js (35) oder h Js Universität Ulm, Experimentelle Physik 61

63 ist. Nach der Quantenmechanik gilt m s = e s (36) m Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre m s = (1/2) e m s. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons ist m s,z = e 1 m 2 h 1µ B = A m 2 (37) auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton. Universität Ulm, Experimentelle Physik 62

64 Paramagnetismus Curie-Gesetz Universität Ulm, Experimentelle Physik 63

65 Ferromagnetismus Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis. Universität Ulm, Experimentelle Physik 64

66 Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis A db(t) dt Q(t) C = R I 2(t) (38) Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche Ableitung der Ladung. A R db(t) dt = Q(t) RC + dq(t) dt (39) Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I 1 (t), der die Frequenz ω hat. Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass dq(t)/dt ωq(t) ist. Wenn 1/RC ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt Q(t) = const B(t) (40) Universität Ulm, Experimentelle Physik 65

67 und damit für die Spannung am Kondensator U C (t) = Q(t)/C B(t) (41) Der Ausgangsstrom selber erzeugt das anregende Feld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 66

68 Hysteresekurve eines Ferromagneten Universität Ulm, Experimentelle Physik 67

69 Ferromagnetische Domänen Universität Ulm, Experimentelle Physik 68

70 B ext 0 B ext B ext M Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld Universität Ulm, Experimentelle Physik 69

71 Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse. Universität Ulm, Experimentelle Physik 70

72 Löschen des remanenten Magnetismus Universität Ulm, Experimentelle Physik 71

73 Maxwellgleichungen Bis jetzt kennen wir die folgenden Gleichungen um die elektrischen Phänomene zu beschreiben: Gausssches Gesetz div E = ρ el ɛ 0 I Induktionsgesetz rot E = B t II Quellenfreiheit div B = 0 III Durchflutungsgesetz rot B = µ 0 i IV Zusätzlich zu den obigen Gleichungen muss die Kontinuitätsgleichung für Ladungen gelten div i = ρ el t (42) Universität Ulm, Experimentelle Physik 72

74 Maxwell-Gleichungen div E = 1 ɛ 0 ρ el I (43) rot E = B t II div B = 0 III rot B ( ) = µ 0 E i + ɛ 0 t IV Zusammen mit dem Kraftgesetz F = q E + q V B (44) hat man eine vollständige Charakterisierung der Elektrodynamik. Universität Ulm, Experimentelle Physik 73

75 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom, der eingeführt wurde um die Maxwellgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu, dass man aus den Maxwellgleichungen elektromagnetische Wellen vorhersagen kann. Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der Galilei- Transformation. Diese Beobachtung war ein wichtiger Meilenstein auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie. Universität Ulm, Experimentelle Physik 74

76 ɛ 0 E d a = ρ el ( r)dv I (45) A(V ) E d s = V d dt B d a II S A(S) B d a = 0 III A(V ) S B d s = A(S) ( µ 0 i + ɛ ) E 0 t d a IV Universität Ulm, Experimentelle Physik 75