Analyse extremer Ereignisse unter dem Einfluss von Langzeitkorrelationen

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Käte Simen
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1 Das BMBF-Vorhaben Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen Analyse extremer Ereignisse unter dem Einfluss von Langzeitkorrelationen Jan F. Eichner Armin Bunde, Jan W. Kantelhardt und Shlomo Havlin München, Bayerisches Landesamt für Wasserwirtschaft Norwegisches Waldforschungsinstitut

Langzeitkorrelationen Jan F. Eichner Armin Bunde, Jan W.

2 1. Teil: Statistik der Wiederkehrintervalle A) Bestimmung von Wiederkehrzeiten r zu gegebenen Schwellenwerten q x i Gauss-verteilt mit Mittelwert 0 und Varianz 1 Wiederkehrperiode R q = mittlere Wiederkehrzeit zu gegebener Schwelle q

Gauss-verteilt mit Mittelwert 0 und Varianz 1

3 B) Verteilung der Wiederkehrzeiten r unkorreliert: langzeitkorreliert: (Poisson-verteilt) (gestreckt exp., 0 < < 1)

4 Vergleich: P q (r) simulierter Systeme und rekonstruierter Daten gemittelt über q-bereiche mit R q zwischen 15 und 161 leere Symbole: Resultate für die gemischten Reihen (Poisson) durchgezogene Linie: Fit der gestreckt exponentiellen Funktion = 0.5 = 0.3 = 0.1 deutliche Abweichung von Poisson-Verteilung! Sacramento (rekonst. Abfluß) = 0.8 Baffin Island (rekonst. Temp.) = 0.55 New Mexico (rekonst. Nieders.) = 0.4 Nil (histor. Wasserstand) = 0.3 Nördl. Hem. (rekonst. Temp.) = 0.1

Funktion = 0.5 = 0.3 = 0.1 deutliche Abweichung von Poisson-Verteilung! Sacramento (rekonst. Abfluß) = 0.

5 C) Autokorrelationsfunktion der r-werte Die Reihe der Wiederkehrzeiten ist langzeitkorreliert mit dem selben Korrelationsexponent wie die x-werte!!

6 D) Korrelationen beeinflussen bedingte Wiederkehrperioden (bedingt heißt, es werden nur die r-werte berücksichtigt, die in der Reihe der r-werte unmittelbar auf ein gegebenes r 0 folgen) r 0 -bedingte Wiederkehrzeiten: Bedingte Wiederkehrperiode R q,r 0 = Mittelwert der Wiederkehrzeiten, die direkt auf ein festes r 0 folgen Auf kleine r folgen eher kleine r, auf große r folgen eher große r! Clustern extremer Ereignisse

Wiederkehrzeiten: Bedingte Wiederkehrperiode R q,r 0 = Mittelwert der Wiederkehrzeiten, die direkt auf

7 Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung P q (r r 0 ) P q (r r 0 ) verhält sich ähnlich wie P q (r) und zeigt auch einen gestreckt exponentiellen Verlauf Zu gegebenem r 0 folgt mit erhöhter Wahrscheinlichkeit wieder ein r-wert der Größe r 0

gestreckt exponentiellen Verlauf Zu gegebenem r 0 folgt mit

8 E) Bedingte verbleibende Zeit bis zum nächsten Extremereignis... ist die Zeit, die es im Mittel dauert, bis das nächste Extremereignis eintritt, wenn in der vorangegangenen Dauer x noch kein Extremereignis eingetreten war und die Wiederkehrzeit zwischen den letzten beiden Extrema r 0 beträgt.

eintritt, wenn in der vorangegangenen Dauer x noch kein Extremereignis

9 Bedingte verbleibende Zeit bis zum nächsten Extremereignis (simulierte Daten, = 0.4) Verlauf der numerischen -Kurven als Funktion von r 0 /Rq bzw. x/r q : x/r q = 0, 1/4, 1, 4 r 0 /R q = 8 r 0 -Mittel (4 q-werte) r 0 /R q = 1/8 (Anm.: Für x = 0 entspricht q (x r 0 ) der bedingten Wiederkehrperiode R q,r 0 ) Korrelationseffekte: A) Je länger die Wiederkehrzeit zwischen den unmittelbar vorangegangenen Ereignissen ist, um so länger dauert es bis zum nächsten Ereignis. B) Je länger die Ruhephase zum zurückliegenden Ereignis ist, um so länger dauert es bis zum nächsten Ereignis.

x/r q : x/r q = 0, 1/4, 1, 4 r 0 /R q = 8 r 0 -Mittel (4 q-werte) r 0 /R q = 1/8 (Anm.

10 2. Teil: Statistik der Maximalwerte A) Bestimmung von Jahresmaxima aus Tageswerten

11 Lage der Maxima-Verteilung in der Verteilung der x-werte

12 B) Normierte Verteilungen der m-werte

13 C) Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines m-wertes größer als m'

14 W(m>m') für verschiedene m'-werte

15 D) Normierte bedingte Verteilungen der m-werte (bedingt heißt, es werden nur diejenigen m-werte berücksichtigt, die in der Reihe der m-werte unmittelbar auf ein vorgegebenes m* folgen)

16 E) Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines m-wertes größer als m' unmittelbar nach einem m-wert der Größe m*

17 W(m>m' m*) für verschiedene m' Werte als Funktion von m*

18 Fin

19 Bedingte verbleibende Zeit bis zum nächsten Extremereignis (hist. und rekonstr. Daten) Zur Verbesserung der Statistik wurden die Bedingungen r 0 in zwei Kategorien zusammengefaßt und neue +/- bestimmt: q + (x) = q (x r 0 > median[r]) q - (x) = q (x r 0 < median[r]) (Symbole repräsentieren die hist. und rekonstr. Reihen von vorhin. Offene Symbole zeigen Resultate für gemischte Reihen. Durchgezogene und gestrichene Linien sind num. Kurven.) Korrelationseffekt: je stärker die Korrelationen ausgeprägt sind, um so deutlicher wird der Unterschied zwischen den -Zeiten.

> median[r]) q - (x) = q (x r 0 < median[r]) (Symbole repräsentieren die hist. und rekonstr. Reihen von vorhin.

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