Automaten und Formale Sprachen 4. Vorlesung

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1 Automaten und Formale Sprachen 4. Vorlesung Martin Dietzfelinger. Novemer 005 Beispiel: Endliche Sprache L = {w,...,w n }, z.b. L = {ei,eine,ue} Gesehen: Präfix-DFA. Hier: NFA e 0 u i 4 e i n e e 8 9 FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Als Taelle: ( steht für.) Potenzmengenkonstruktion: (Ohne unerreichare Zustände) q F e i n u Σ {,e,i,n,u} start {, 5, 0} {} {4} 4 5 {6} 6 {7} 7 {8} 8 {9} 9 0 {} {} {} {} 0/ e {,5,0} u i n e {,6} {4,7} e {8} {} {} {} : Fehlerzustand könnte man auch unterdrücken. Die Kanten zum Zustand sind mit allen fehlenden Buchstaen eschriftet. Isomorph (strukturell identisch) zum Präfix-DFA. {9} FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

2 Beispiel: Stringsuche Gegeen: Wortliste S = (w,...,w n ) und Datei (File) w Σ.? Kommt eines der w i in w vor, wenn ja wo? Wortliste: (ei, eine, ue) Textdatei: oeinueeineeleintaueiringt Wunschausgae eines DFA (genauer: Moore-Automat): Formalisierung als Sprache: L S := {w Σ eines der Wörter w,...,w n ist Suffix von w }. Zunächst: NFA für L S. (Dann Umau zu DFA mittels Potenzmengenkonstruktion.) Einfach im zustand Schleife mit Beschriftung Σ anringen! oeinueeineeleintaueiringt ----F----F--F-F FF FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen a..z Üerlege: e 0 u i 4 e i n e Eingaewort w erreicht Zustand in F w endet mit einem Wort aus der Liste S. e 9 Potenzmengenkonstruktion: (Ohne unerreichare Zustände) {} e {,,5,0} {,,6} i {,4,7} n {,8} e {,9} u {,} u i {,,5,0,} e {,,6,} FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

3 Gestrichelte Kanten: Beschriftet mit allen fehlenden Buchstaen. Zustände mit 4, 9, : verraten das een ageschlossene Wort in Liste S. Intermezzo: Induktive Definitionen Siehe Anhang A. im Skript FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Beispiel: Aussagenlogische Formeln (Bekannt aus Logik und Zahlen und aus Rechnerorganisation ) (A B) (A (B ( C))) (( A) (A B)) ((A B) ( (( A) ( B)))) Brauchen unendlichen Vorrat: Aussagenlogische Variale : A 0,A,A,A,... Später wird für Variale etwas eingesetzt (Wahrheitswerte). A, B, C usw.: repräsentieren Aussagen. Aussagenvariale / Aussagenlogische Variale FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

4 Definition: (Aussagenlogische Formeln alf) Aussagenlogische Formeln (alf): (i) Jede Variale A i, i N, ist eine aussagenlogische Formel (alf). (ii) (α) ϕ ist alf auch ( ϕ) ist alf. (β) ϕ und ψ sind alf auch (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ϕ ψ) sind alf. (iii) Nur die von (i) und (ii) erfassten Dinge sind alf. Zirkuläre Definition? Nein: Induktive Definition. A 0 A A A A 0 A 7 A ( A 0 ) ( A ) ( A 7 ).... (A 0 ( A 0 )) (A 0 ( A )) (( A 0 ) A ) (A 0 A ) ( (A 0 ( A ))) ( (A 0 A )) ((A 0 ( A 0 )) (A 0 ( A ))) (( (A 0 ( A ))) ( (A 0 A )))... Keine alf: A 0 A 0 (A 0 A 0 ) ( A 0 ) (A 0 A 0 A ) (A 0 A A )... FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Für Variale Wahrheitswerte einsetzen ( 0 : false und : true ): Belegung: Ordne jeder Varialen A i einen Wahrheitswert (A i ) zu. Definition: Eine Belegung ist eine Funktion : {A 0,A,A,...} {0,}. Für jedes A i ist (A i ) ein Wert 0 oder. Wenn festgelegt ist, ergit sich für jede Formel ein Wahrheitswert. (A 0 ) = 0 und (A ) = ( A 0 ) erhält Wert (A 0 ( A )) erhält Wert 0 (A 0 ( A )) und (( A 0 ) A ) erhalten Wert (A 0 A ) erhält Wert 0 Glossar: ϕ: phi, fi ψ: psi ϑ: theta FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

5 Definition durch Induktion üer den Aufau von ϕ : Für : A {0,} und alf ϕ definiere val (ϕ) folgendermaßen: (i) val (A i ) = (A i ), für i N; (ii)(α) Ist ϕ = ( ψ), so ist val (ϕ) = { falls val (ψ) = 0 0 falls val (ψ) = Negation (γ) Ist ϕ = (ψ ϑ), so ist { 0 falls val (ψ) = val val (ϕ) = (ϑ) = 0 sonst. Disjunktion ϕ ist wahr genau dann wenn ψ oder ϑ (oder eide) wahr sind. (β) Ist ϕ = (ψ ϑ), so ist { falls val (ψ) = val val (ϕ) = (ϑ) = 0 sonst. Konjunktion ϕ ist wahr genau dann wenn ψ und ϑ wahr sind. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen (δ) Ist ϕ = (ψ ϑ), so ist () Ist ϕ = (ψ ϑ), so ist { falls val (ψ) = 0 oder val val (ϕ) = (ϑ) = 0 sonst. Implikation Wenn ϕ wahr ist, dann gilt: wenn ψ wahr ist, dann ist auch ϑ wahr. val (ϕ) = { falls val (ψ) = val (ϑ) 0 falls val (ψ) val (ϑ) Wenn ϕ wahr ist, dann gilt: ψ ist wahr genau dann wenn ϑ wahr ist. Äquivalenz FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

6 Realisierung: Wahrheitstafeln ordnen jeder Belegung (für die Varialen, die in ϕ vorkommen) und jeder Teilformel ψ von ϕ ( induktiv von innen nach außen ) den Wert val (ψ) zu. Beispiel: ϕ = ((A 0 A ) (A A )) (A 0 ) (A ) (A ) val ((A 0 A )) val ((A A )) val (ϕ) Eigentlich: Operatoren,, üerflüssig. Wertverlauf jeder elieigen Formel ϕ durch {, }-Formel ϕ darstellar: {, }-Formeln: A 0, ( A 0 ) ( ( A )) (( A ) A ) ( (( A ) ( A ))) Keine {, }-Formeln: (A ( A )) (A 0 A ) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Satz Für jede alf ϕ gilt Eigenschaft E(ϕ): Es git eine {, }-Formel ϕ derart, dass für jede Belegung gilt: val (ϕ) = val (ϕ ). ϕ ϕ. ist äquivalent (genauer: semantisch äquivalent ) zu Notation: ϕ ϕ Beispiel: Zu ϕ = (A 0 ( A )) ist ϕ = (ψ ϑ) äquivalent, wo ψ = ( (A 0 A )) und ϑ = ( (( A 0 ) ( A ))). (A 0 ) (A ) val (ϕ) val (ψ) val (ϑ) val (ϕ ) Spalten in der Wahrheitstafel für ϕ und ϕ äquivalent. sind identisch FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

7 Beweis des Satzes: Durch Induktion üer den Aufau von ϕ (i) I.A.: ϕ = A i : wir wählen ϕ = ϕ. (ii) I.S.: (α) ϕ = ( ψ) nach I.V. git es {, }-Formel ψ mit ϕ ϕ. Wähle ϕ = ( ψ ). (β) ϕ = (ψ ϑ) oder ϕ = (ψ ϑ) oder ϕ = (ψ ϑ) oder ϕ = (ψ ϑ) nach I.V. git es {, }-Formeln ψ und ϑ mit ψ ψ und ϑ ϑ. Wähle ϕ wie folgt: Fall ϕ = (ψ ϑ) : ϕ = (ψ ϑ ) Fall ϕ = (ψ ϑ) : ϕ = ( (( ψ ) ( ϑ ))) Fall ϕ = (ψ ϑ) : ϕ = ( (ψ ( ϑ ))) Fall ϕ = (ψ ϑ) : ϕ = (( (ψ ( ϑ ))) ( (ϑ ( ψ )))). Für elieige u, v {0, } gilt: u v = u v max{u, v} = ( u) ( v) max{( u),v} = (u ( v)) u v + ( u) ( v) = ( u ( v)) Daher: ϕ ϕ in jedem der Fälle. ( v ( u)) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Haen durch Induktion üer den Aufau von ϕ einen Satz für alle aussagenlogischen Formeln ϕ gilt... ewiesen; eine Funktion ϕ ϕ definiert. Beispiel: Korrekte Klammerausdrücke Klammerausdrücke sind extrem wichtig: (Rechner-)Arithmetik: geklammerte Ausdrücke wie ((+4)/(-))*5 Pascal: egin-end-konstruktionen C, C++, Java: {-}-Strukturen Lisp, Scheme: (-)-Strukturen XML: <name> - </name> - Strukturen Alle Nicht-Klammern weglassen, alle Klammertypen identifizieren korrekt geklammerte Ausdrücke FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

8 Korrekte Klammerausdrücke: ( ) ( )(()) ((())) ( )()(( )( )) Nicht: ) )() (( ))) (( ))( (( )))( Umschreien: ( 0 und ) Korrekte Klammerausdrücke: Induktive Definition der Menge kka (Sprache üer Σ = {0,} ): (i) ist in kka; (ii) Falls w,w in kka sind, dann ist auch 0w w in kka; (iii) Sonst ist nichts in kka Nicht: FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Satz Für jedes w kka gilt w 0 = w. Beweis durch Induktion üer den Aufau von w: I.A.: 0 = 0 =. I.V.: Behauptung wahr für w,w kka. I.S.: Betrachte w = 0w w. Dann: w 0 = + w 0 + w 0 I.V. = + w + w = w, wie gewünscht. Satz Für jedes w kka gilt : wenn u Präfix von w ist, dann ist u 0 u. (Wenn man w von links nach rechts liest, hat man stets mindestens so viele öffnende wie schließende Klammern gesehen.) Beweis durch Induktion üer den Aufau von w : Üung. Umkehrung gilt: Wenn w 0 = w und jedes Präfix u von w erfüllt u 0 u, dann ist w kka. (Nicht-rekursive Charakterisierung der Elemente von kka.) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

9 Für korrekte Klammerausdrücke w definieren wir durch Induktion üer die Struktur von w die Schachtelungstiefe d(w). (Beispiel: d(0) =, d(00000) =. Idee wird deutlicher, wenn man die Wörter in der Schreiweise ( ) und ((()( ))()) ansieht.) Definition (i) d() = 0; (ii) d(0w w ) = max{ + d(w ),d(w )}. Nun Aussagen per Induktion eweisen, z.b.: Muster für induktive Definitionen: (i) Basisojekte; (ii) Vorschriften, wie aus gegeenen Ojekten neue, zusammengesetzte Ojekte zu gewinnen sind; (iii) die Einschränkung: nur die durch (i) und (ii) gelieferten Ojekte sind gemeint. In Anwendungen wird (iii) oft nicht geschrieen, da es als selstverständlich gilt. d(w) = max{ v 0 v : v Präfix von w}, für w kka. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Definition von Funktionen üer den Aufau der induktiv definierten Ojekte Beispiel: val (ϕ) und ϕ ei Formeln, Schachtelungstiefe d(w) ei kka. Beweis durch Induktion üer den Aufau der induktiv definierten Ojekte Beispiele: Existenz einer äquivalenten {, }-Formel ϕ ; Präfixeigenschaft ei korrekten Klammerausdrücken. Für Interessierte: Mathematischer Hintergrund für induktive Definitionen im Skript, Seiten 6 0. Zurück zum regulären Text: Skript Seite 4.. Reguläre Ausdrücke Neue Art, Sprachen zu spezifizieren. Induktive Konstruktion. Basis für Lex (lexikographische Analyse): Zergliederung von Programmtexten in Elementarausteine (Zahldarstellungen, Operatoren, Identifier, Schlüsselwörter, usw.) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

10 Induktive Konstruktion von Sprachen: (i) Basisojekte: triviale Sprachen, {}, {a}, für a Σ; (ii) Regeln zum Bauen neuer Sprachen Konkatenation: L,L L L = L L = {w w w L,w L } Vereinigung: L,L L L = {w w L w L } Kleene-Aschluss : L L = {w...w s s 0,w,...,w s L} Definition Σ sei Alphaet; {, }, { (, ), +, } und Σ disjunkt. Die Menge der regulären Ausdrücke (üer Σ) (ra oder rega oder rega Σ ) wird induktiv definiert wie folgt: (i) und sind ra üer Σ. Achtung:, werden hier als Symole enutzt. (i ) a Σ a ra üer Σ. (ii) Wenn r ra üer Σ, dann ist auch (r ) ra üer Σ. Wenn r und r ra üer Σ, dann sind auch (r r ) und (r + r ) ra üer Σ. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen (iii) Nur die durch diese Regeln erzeugaren Wörter sind reguläre Ausdrücke üer Σ. Regulärer Ausdruck : Regulärer Ausdruck üer irgendeinem Alphaet Σ. Beispiele für reguläre Ausdrücke: Σ = {a,,c,d}: ((((a)a)) + ((((a))) )) Σ = {0,}: (((0 + ) )) (((0 )( ))(0 )) (((a)((a +) ))(a)) Intuition: Reguläre Ausdrücke stellen Wortformate dar. Wenn r ra üer Σ, dann soll L(r) die Menge aller der Wörter sein, die zum durch r eschrieenen Wortformat passt. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

11 Definition Jedem ra r wird eine Sprache L(r) Σ zugeordnet: Durch Induktion üer den Aufau von regulären Ausdrücken. (i) L( ) := ; L() := {}; L(a) := {a}, für a Σ. (ii) L((r )) := L(r) ; L((r r )) := L(r )L(r ); L((r + r )) := L(r ) L(r ). Definition ra r und r heißen äquivalent (Notation: r r ) : L(r) = L(r ). Werden sehen: Die Menge {L(r) r ra üer Σ} ist genau die Menge der regulären Sprachen üer Σ. (Definition üer DFA!) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Beispiele: L((0)) = L(0)L() = {0}{} = {0} L((0) ) = L((0)) = {0} = {, 0,00,000,...} L((0) + (0) ) = L((0) ) L((0 )) = {, 0,0,00,00,...} L((0) (0) ) =... = {(0) i (0) j i 0,j 0}. L((a+ +z+a+ +Z)(0+ +9+a+ +z+a+ +Z) ) ist die Menge der Pascal-Bezeichner. L((0 + ) ) = {0,} ; L((0 + ) ) = L(0 ), also (0 + ) 0. Klammern sparen: Äußere Klammern weglassen: (0 + ) statt ((0 + ) ). Da (L L )L = L (L L ) und (L L ) L = L (L L ), lässt man Klammern ei Operatoren auf gleicher Eene weg: (0+++) statt ((0+)+(+)) oder (0+(+(+))) Da L L = L L, kann man in +-Ausdrücken auch die Reihenfolge ändern. Präferenzregeln: indet stärker als (Konkatenation, nicht geschrieen) indet stärker als +. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

12 Beispiel: entspricht oder ( ( + )0 ) (((((0( ))((00)( )))0) + (( + )((0 )( )))) ) ((((( + )(0 ))( )) + ((0( ))((00)(( )0)))) ). Akürzung: r + für (r )r. (Passt, weil (L(r)) + = L(r) L(r) = L(r )L(r) = L((r )r) = L(r + ). ) Äquivalenzen r r r r r r + + r r (r + ) r (r + ) + r r + r r (r )(r ) r (r ) r. Beweis: Betrachte die Sprachen! (Beispiel: Üung.) FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Satz (Zentral) Äquivalenz von reg. Ausdrücken und DFAs/NFAs Wenn L = L(r) für einen regulären Ausdruck r, dann ist L regulär (d.h. es git einen DFA M mit L = L M ). Wenn L = L M für einen NFA M, dann git es einen regulären Ausdruck r M mit L M = L(r M ). Beweis nach folgendem Schema: DFA NFA reg.a. -NFA NFA DFA Satz.. M NFA es git einen regulären Ausdruck r M mit L M = L(r M ). Beweis: Durch Konstruktion. Gegeen: NFA M = (Q,Σ,q 0,F, δ),,,,,,,, 0 O.B.d.A.: Q = {0,,...,s }, q 0 = 0. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

13 Knoten in G M heißen 0,,...,s Definiere viele Sprachen: Für 0 i,j < s und 0 k s: L(i,j, k) ist die Menge aller Wörter m Σ, die folgendes erfüllen: Weg in G M von i nach j mit Kanteneschriftung,..., m und so dass unterwegs nur Knoten in {0,,..., k } esucht werden. i... m- m j nur Zustände in {0,...,k-} Sprachen L(i,j, k) werden rekursiv (üer k) eschrieen. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen i j L(i,j,0) = {a Σ j δ(i, a)} = Menge der Buchstaen an Kanten i j Rekursionsformel: L(i,j, k + ) = L(i,j, k) L(i,k, k)l(k, k,k) L(k, j,k), für 0 i,j < s,0 k < s. r i,j,0 := a + + a s + wo L(i,j,0) = {a,...,a s } Σ, i j. L(i,i,0) = {a Σ i δ(i,a)} {} = {} Menge der Buchstaen an Kanten i r i,i,0 := a + + a s +, wo L(i,i,0) = {a,...,a s } {}. Denn: Von i nach j in {0,,...,k} heißt: Von i nach j in {0,,...,k } oder von i nach k in {0,,...,k }, dann 0-, -, oder mehrmals von k nach k in {0,,...,k }, dann von k nach j in {0,,...,k }. r i,j,k+ := r i,j,k + r i,k,k (r k,k,k )r k,j,k, für 0 i, j < s,0 k < s. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

14 Dann: L(i,j, k) = L(r i,j,k ), für 0 i, j < s,0 k s. Klar: L M = L(0,j,s). j F Also: r M := r 0,j,s + + r 0,j F,s, wo F = {j,...,j F } Q erfüllt L(r M ) = L M. Beispiel: Gesucht: reg.a. für den NFA 0 0 FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen k = 0 : r 0,0,0 = 0 + ; r 0,,0 = ; r,0,0 = ; r,,0 = + ; k = : r 0,0, = r 0,0,0 + r 0,0,0 (r0,0,0)r 0,0,0 = (0 + ) + (0 + )(0 + ) (0 + ) 0 ; r 0,, = r 0,,0 + r 0,0,0 (r0,0,0)r 0,,0 = + (0 + )(0 + ) 0 ; r,0, = r,0,0 +r,0,0 (r0,0,0)r 0,0,0 = + (0+) (0+) ; r,, = r,,0 + r,0,0 (r0,0,0)r 0,,0 = ( + ) + (0 + ) ( + ). k = : r 0,0, = r 0,0, +r 0,, (r,,)r,0, = 0 +0 (+) 0 ; r 0,, = r 0,, + r 0,, (r,,)r,, = ( + ) ( + ) 0 + ; r,0, = ; r,, = r,, + r,, (r,,)r,, = ( + ) + ( + )( + ) ( + ). Gesamt: r M = r 0,0, + r 0,, = FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

15 .. Umgekehrt: Gegeen reg.a. r, finde äquivalenten NFA M r. Interessant für die Anwendungen! (Spezifikation einer Sprache durch reg.a. ist equem.) Hilfsmittel: -NFAs. Beispiel: -NFA für L( + ) 0 Definition Ein NFA mit -Üergängen (kurz: -NFA): Graphische Darstellung: wie vorher, aer -Kanten erlaut: q q Interpretation: Verläuft eine -Kante von q nach q, dann kann M, ohne ein Zeichen zu lesen, von q nach q gehen. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Definition Formal: M = (Q,Σ,q 0,F, δ), wo Q,Σ,q 0,F wie ei NFA s sind, / Σ, und δ : Q (Σ {}) P(Q). 0 Akzeptierende Rechnung für L M : 0 w = m wird von M akzeptiert, wenn es in G M einen Weg von q 0 zu einem p F git, dessen Kanten, von s agesehen, mit,..., m eschriftet sind. L M := {w Σ M akzeptiert w}. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

16 .. Satz L = L M für einen -NFA M L = L M für einen NFA M (also L regulär). Beweis: Konstruktion. -Wege kurzschließen. Beispiel: 0 0 FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Genauer: In G M Weg von q nach p, mit,...,,a eschriftet in G M direkte a-kante von q nach p. In G M existiert reiner -Weg von q nach p mit p F in M ist q akzeptierend. Satz r regulärer Ausdruck üer Σ es existiert -NFA M r mit L(r) = L Mr. Beweis durch Induktion üer den Aufau von r. (Gleichzeitig Konstruktion des -NFA M r ) Wir zeigen: Es git einen -NFA M r = (Q,Σ,q 0, {q f },δ), mit q 0 q f, der L(r) = L Mr erfüllt. Genau ein akzeptierender Zustand! Schema: FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

17 . M: (i) Induktionsanfang q q G M r = : G M hat keine Kante M O : 0 r = : G M hat -Kante M : 0 r = a: G Ma hat a-kante M : a a FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen (ii) Induktionsschritt Fälle r = (r + r ): Aus M r, M r aue M r : r = (r r ): Aus M r, M r aue M r : M r + r : M r M : r r M M r r G Mr GM G M r r M r G Mr FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

18 r = (r ): Aus M r aue M r : M (r *): Bemerkung r hat l Symole aus {} {a a Σ} { } {+,, } G Mr hat l Knoten und 4l Kanten. Beweis: Durch (Wertverlaufs-)Induktion üer l. M r G Mr Konstruktion von M r aus r ist in Zeit O( r ) möglich. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen Beispiel: liefert: Satz L Σ ist regulär (d.h. hat einen DFA) L = L(r) für einen regulären Ausdruck r. 0 e 0 Beweis: 4 Konstruktionen ) DFA NFA : trivial ) NFA ra : große induktive Konstruktion, mit L(i,j, k) und r i,j,k, k = 0,,..., Q Größe explodiert Knotenzahl: # (Symole in 0 + 0) = = 4. ) ra -NFA : Konstruktion per Induktion üer den Aufau von ra Größe gutartig FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen

19 4) -NFA NFA : -Wege üerrücken 5) NFA DFA : Potenzmengenkonstruktion Bis nächste Woche: Skript Seiten 09 6 und Definitionen lernen, Beispiele ansehen, Fragen vorereiten. Üungsaufgaen vorereiten. FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen FG KTuEA, TU Ilmenau Automaten und Formale Sprachen