Experiment: Chladnische Klangfiguren

Transkript

1 Vorlesung Physik III WS 212/213 xperiment: Chladnische Klangfiguren Grundmode: Darstellung mit Kochsalz Quadratische geschwärzte Messingplatte Kantenlänge 17,5 cm, mittig eingespannt. Randbedingung: Mitte bleibt ortsfest u(x,y) = Ränder nicht ortsfest, offene Randbedingung Anregung mit Bass-Bogen Frequenzabschätzung. Ordnung: Abmessung ~ halbe Wellenlänge =.2 m Schallgeschwindigkeit c ~ 1 m/s Frequenz f c / 25Hz

2 Vorlesung Physik III WS 212/ Obermode weitere Obermode

3 Vorlesung Physik III WS 212/213 xperiment: Membranschwingung / kreisförmige Membran / Trommel u k r cos ( r, ) J n n, m n nm 1. Obermode monopolartig (keine Winkelabhängigkeit) Anregung durch Lautsprecher unter der Membran. In Resonanz entstehen die Membranschwingungen. Die Art der Anregung (Lage des Lautsprechers bezüglich der Membran) ist für die ntstehung bestimmter Moden entscheidend. Randbedingung: Membran ist am Rand eingespannt.

4 Vorlesung Physik III WS 212/213 Die Besselfunktionen bestimmen die Radialabhängigkeit J ( x) J 1 ( x) u n ( r,, m n nm cos ) J k r n x Die Ordnung der Besselfunktion wird durch die Winkelabhängigkeit festgelegt (Parameter n). Bei fest eingespannten Rändern (Randbedingung) bestimmen die Nullstellen der Besselfunktion die radiale Wellenzahl k nm.

5 Vorlesung Physik III WS 212/213 weitere Moden: u k r cos ( r, ) J n n, m n nm Anregung bei dipolartigen Moden

6 Vorlesung Physik III WS 212/213 Kurze Wiederholung lektrodynamik / Maxwellgleichungen Integrale Form Differentielle Form (1) (2) (3) (4) A(V) A(V) S ( A) S ( A) da B da ds B ds 1 t A( S ) V ( A) A( S ) dv B da j t da B B div divb rot rotb t B j t Wir beschränken uns auf die Betrachtung im Vakuum.

7 Vorlesung Physik III WS 212/213 Zusammenfassung der Maxwellgleichungen: Die 1. Maxwellsche Gleichung A(V) r Anmerkungen: da 1 r dv V ( A) Carl Friedrich Gauß James Clerk Maxwell Kurzversion: Die elektrischen Ladungen sind die Quellen und Senken des elektrostatischen Feldes, Diese -Feldlinien haben einen Anfang und ein nde, können daher nicht wirbelförmig sein. In Worten: Der elektrische Fluss durch eine beliebig geformte geschlossene Oberfläche A, ist durch die umschlossene Ladung Q bestimmt, unabhängig vom Ort der Ladungen innerhalb des so definierten Volumens V(A). Ist die Ladung bzw. die Ladungsverteilung bekannt, so kann das elektrostatische Feld berechnet werden. Die 1. Maxwellgleichung ist auch unter dem Namen Gaußscher Satz der lektrostatik bekannt. Q

8 Vorlesung Physik III WS 212/213 Zur rinnerung: V Q Q da lektrischer Fluss durch eine nicht notwendigerweise geschlossene Fläche A da nur in diesem Fall ist der Fluss mit der im Volumen enthaltenen Ladung Q direkt verknüpft: Q 1 lektrischer Fluss durch eine geschlossene Fläche A (Oberfläche des Volumens V) A(V) r da Bei verschmierter Ladung muss die Gesamtladung Q aus dem Volumenintegral über die Ladungsdichte ermittelt werden 1 A r dv Q V ( A) Q 3 Q ges Q 2 Q n n Q i1 i

9 Vorlesung Physik III WS 212/213 Die 1. Maxwellsche Gleichung in differentieller (lokaler) Form A(V) A(V) Anmerkungen: r da div( r) 1 ( r) r Carl Friedrich Gauß Kurzversion: Die Quellstärke des elektrostatischen Feldes (die Divergenz) an einem Ort hängt nur von der dort existierenden Ladungsdichte ab. Ist ein lokaler Zusammenhang und deshalb für Berechnungen besser geeignet. dv Q V ( A) r da divr dv r V ( A) 1 V ( A) dv A(V) r da Gauß-Integralsatz V ( A) div r dv

10 Vorlesung Physik III WS 212/213 Die 2. Maxwellsche Gleichung Anmerkungen: A(V) BdA James Clerk Maxwell Kurzversion: s gibt keine Quellen oder Senken des magnetischen Feldes. Die magnetischen Feldlinien können daher weder Anfang noch nde haben, müssen also wirbelförmig sein. In Worten: Der magnetische Fluss durch eine beliebig geformte geschlossene Oberfläche A verschwindet. Magnetische Ladungen (Monopole) existieren nicht. Die obige gleiche gilt generell sowohl in der Magnetostatik, als auch in der lektrodynamik.

11 Vorlesung Physik III WS 212/213 Zur rinnerung: B da Oberfläche A Magnetischer Fluss durch eine nicht notwendigerweise geschlossene Fläche A BdA M Magnetischer Fluss durch eine geschlossene Fläche A (Oberfläche des Volumens V) Dies gilt generell, unabhängig davon, ob sich die magnetischen Momente, die kleinste inheit des Magnetismus, innerhalb oder außerhalb des Volumens befinden. A B A M A(V) r d

12 Vorlesung Physik III WS 212/213 Die 2. Maxwellsche Gleichung in differentieller (lokaler) Form A(V) Anmerkungen: B A B M A(V) divb( r) r d r da divb( r) dv V ( A) A(V) Carl Friedrich Gauß r Kurzversion: Die Quellstärke des magnetischen Feldes (die Divergenz) verschwindet an jedem Ort. Magnetfelder sind Wirbelfelder. B da Gauß-Integralsatz V ( A) divb( r ) dv

13 Vorlesung Physik III WS 212/213 Die 3. Maxwellsche Gleichung ds t S ( A) A( S ) B da James Clerk Maxwell Anmerkungen: Kurzversion: Zeitlich veränderliche Magnetfelder und/oder magnetische Flüsse erzeugen wirbelförmige elektrische Felder In Worten: in zeitlich sich ändernder magnetischer Fluss durch eine beliebige Fläche erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld Dies ist das so genannte Faradaysche Induktionsgesetz lektrische Felder können also nicht nur durch Ladungen, sondern auch durch Induktion erzeugt werden. Die igenschaften dieser Wirbelfelder sind vollständig anders als die elektrischen Felder in der lektrostatik Das Minuszeichen entspricht der Lenzschen Regel. Michael Faraday ( )

14 Vorlesung Physik III WS 212/213 Zur rinnerung: U(t) B (t) da (t) Die Fläche A definiert eine Randkurve S. Das geschlossene Wegintegral über das elektrische Wirbelfeld ergibt direkt die Induktionsspannung, die auch mehrfach (etwa durch mehr als eine Windung) abgegriffen werden kann: U ind n S ( A) ds Magnetischer Fluss durch eine Fläche A dr BdA M A Ändert sich der magnetische Fluss zeitlich, entweder, weil B sich ändert, oder die Fläche A oder beides, so gilt: S ( A) n t ds M t A( S ) BdA Bt () t M

15 Vorlesung Physik III WS 212/213 Die 3. Maxwellsche Gleichung in differentieller (lokaler) Form ds Anmerkungen: t S ( A) A( S ) B da r ds rotr da B George G. Stokes Kurzversion: Die Wirbelstärke des elektrischen Feldes ist an jedem Ort durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben. t S ( A) A( S ) A( S ) rot r t B Stokes-Integralsatz Im stationären Fall gibt es keine zeitlichen Änderungen. Die Wirbelstärke ist dann Null. s gibt in diesem Fall keine Wirbel- sondern nur Quellenfelder. r da r r ds rot S ( A) A( S ) da

16 Vorlesung Physik III WS 212/213 Die 4. Maxwellsche Gleichung S ( A) Bds Anmerkungen: A( S ) j t da André-Marie Ampère James Clerk Maxwell Kurzversion: Ströme, aber auch zeitlich sich ändernde elektrische Felder erzeugen wirbelförmige Magnetfelder. In Worten: Sowohl der Fluss einer Stromdichte j als auch die zeitliche Änderung eines elektrischen Flusses erzeugen eine magnetisches Wirbelfeld. In der Magnetostatik können Magnetfelder nur durch Ströme erzeugt werden. Sowohl die durch Ströme, als auch die durch eine zeitliche Änderung des elektrischen Flusses hervorgerufenen Magnetfelder sind Wirbelfelder. Der erste Term auf der rechten Seite bezieht sich auf den Strom, der zweite Term auf den Verschiebungsstrom, dieser ist über die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses definiert.

17 Vorlesung Physik III WS 212/213 Zur rinnerung: j da Fluss der Stromdichte durch eine Fläche A: j da j A Der Fluss entspricht dem Strom I durch die Fläche. Man muss beachten, dass aufgrund des Skalarproduktes nur der senkrechte Anteil zum Integral beiträgt. I Zeitliche Änderung des elektrischen Flusses Q (Verschiebungsstrom I V ) d dt insgesamt: S ( A) d da dt Bds A( S ) A j t I V da B t, j B

18 Vorlesung Physik III WS 212/213 Die 4. Maxwellsche Gleichung in differentieller (lokaler) Form S ( A) Bds A( S ) j t da George G. Stokes S ( A) Bds A( S ) rotb da A( S ) j t da Anmerkungen: rotb j t Kurzversion: Die Wirbelstärke des magnetischen Feldes ist an jedem Ort durch die Stromdichte j und die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes (Verschiebunsstromdichte j v ) gegeben. Bds Stokes-Integralsatz S ( A) A( S ) rotb da

19 Vorlesung Physik III WS 212/ B

20 Vorlesung Physik III WS 212/213...freie M-Welle v v c k Wellenzahlvektor zeigt in Ausbreitungsrichtung

21 Radar Licht Vorlesung Physik III WS 212/213...Licht nm 4 Frequenz sichtbares Licht [Hz] v Langwelle Mittel- UKW & Kurz- und welle Fernsehen Mikrowellen Infrarotstrahlung Ultraviolettstrahlung Röntgenstrahlung Gammastrahlung Wellenlänge [ m]

22 Vorlesung Physik III WS 212/213 Geführte lektromagnetische Wellen auf Kabeln, Leitern, Oberflächen, Hohl- und Koaxialleitern 5W-Koaxial-Kabel Rechteck-Hohlleiter Leitungsverzweigung Bsp.: DLTA 5 kw 5 MHz 5W-Koaxial-Leitungen auch hohe Leistungen Bsp.: DLTA 42 MW 3 GHz gepulst

23 Vorlesung Physik III WS 212/213 Geführte lektromagnetische Wellen...Lösung insperren, Anketten Freiheit nehmen Disziplinieren Verbiegen, Formen 23

24 Vorlesung Physik III WS 212/213 Geführte elektromagnetische Wellen r Zylinder- Hohlleiter z Aufgabe: Wollen M-Welle sich entlang der z-richtung ausbreiten lassen. Nach welchen Regeln erfolgt die Ausbreitung? Wie sehen die Felder aus. Was gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit? Wir wollen anhand der Grundgleichungen (Maxwell) die wesentlichen Aspekte herausarbeiten (im wesentlichen nach J.D. Jackson, lektrodynamik). Wir rechnen z.b. in Zylinderkoordinaten, der Querschnitt kann jedoch im Prinzip beliebig sein, aber homogen entlang z.

25 Vorlesung Physik III WS 212/213 Wir starten mit einer harmonischen i t Zeitabhängigkeit e. Die Maxwellgleichungen ohne Quellterme j und lauten in einem homogenen Medium dann: ib B B i Daraus folgt sofort die Wellengleichung 2 B Da wir Ausbreitung entlang z annehmen, schreiben wir die Felder wie folgt z r,, z, t r, exp ik z it B r,, z, t B r, exp ikzz it und erhalten mit 2 2 t kz 2 B z t 2 Auch die Felder spalten wir in einen longitudinalen und einen transversalen Teil auf, z.b. für das elektrische Feld z t zez ez ez Der wesentliche Schritt besteht nun darin, das Verhalten der Transversalfelder durch die longitudinalen Feldanteile z und B z zu beschreiben. Das erfordert etwas Geschick in der Vektoralgebra. Die Schritte seien hier ausgelassen, da für das Verständnis unwesentlich.

26 Vorlesung Physik III WS 212/213 Wir erhalten: z t z z t t z Bt i e z t t B z z t t z z t t z t t ie B e ib e B i B t t z B z z z Die Transversalfelder können dann aus den longitudinalen Feldkomponenten bestimmt werden. i k e B 2 2 kz t z t z z t z i B k B e 2 2 kz t z t z z t z Das Plus -Zeichen steht für eine vorlaufende Welle, das Minus -Zeichen für eine rücklaufende Welle. Nehmen wir nun eine ideal leitende Wand an, so bleiben die Felder auf den Innenraum beschränkt (bei endlicher Leitfähigkeit dringen die Felder nach Maßgabe der Skintiefe ein). Auf der Innenseite der Wand existieren aber Stromdichten und Ladungsdichten und die entsprechenden Felder.