Die Fluchtgeschwindigkeit einer kleinen Masse aus dem Schwerefeld einer großen Masse

Transkript

1 JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit in klinn Mass aus dm Shwfld in goßn Mass Inhalt. Einlitung Di Engitilung zwishn goß und klin Mass Di Fluhtgshwindigkit im klassishn Potntial (Nwtonsh Lösung) Rlatiistish Glihungn bi nihtlatiistishn Gshwindigkitn Di kompltt latiistish Btahtung d Fluhtgshwindigkit Litatu Zusammnfassung In dis Shift wid btahtt mit wlh Gshwindigkit sih in klin Mass m K on in goßn Mass m G bi d Entfnung wg bwgn muß, um das Gaitationsfld d goßn Mass zu lassn. Wnn man di latiistishn Glihungn im nihtlatiistishn Bih tstt, muß auh wid di klassish Nwtonsh Lösung dabi hauskommn. Auh dis Tst wid zu Übpüfung d Plausibilität hi gmaht. JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit

2 . Einlitung In dis Shift wid btahtt mit wlh Gshwindigkit sih in klin Mass m K on in goßn Mass m G bi d Entfnung wg bwgn muß, um das Gaitationsfld d goßn Mass zu lassn. Di Fluhtgshwindigkit in klinn Mass aus dm Gaitationsfld in goßn Mass ist in Maß dafü, wi il Engi di klin Mass bim fin Fall aus dm Unndlihn auf di goß Mass aufnimmt. Di Fluhtgshwindigkit ist btagsglih d Fallgshwindigkit, nu di Rihtung ist ntggngstzt. Fall- und Fluhtgshwindigkit sind unabhängig on d Göß und d Stuktu d klinn Mass. Ein Hamm und in Fd falln im luftln Raum glih shnll. und si habn auh di glih Fluhtgshwindigkit. Fall- und Fluhtgshwindigkit sind in Maß fü das Gaitationspotntial wlhs auf di klin Mass wikt. Das Gaitationspotntial ist di Fähigkit in Mass, aus ihm Gaitationsfld Engi zu zugn. Da s kin unndlihn Engin im ndlihn Raum gibt, kann s auh kin unndlih goßn Gaitationspotntial gbn. Dis Fallgshwindigkit kann dah ni di Lihtgshwindigkit ihn od übshitn, dnn dann wüd di fallnd Mass unndlih il Engi aufnhmn. Und unndlih il Engi gibt s niht in inm ndlihn Raum. Und so kann auh di Fluhtgshwindigkit ni di Lihtgshwindigkit ihn. Es gibt kin unndlih goßn Gaitationspotntial auh niht an xtmn Masskonzntationn (hmals Shwaz Löh). Wi man di Singulaitätn an xtmn Masskonzntationn in d Rlatiitätsthoi midn kann ist in [] daglgt. Auf dis Dalgung d Rlatiitätsthoi ohn Eignishoizont bziht sih dis Shift. Di Fluhtgshwindigkit ist di Gshwindigkit, bi d di kintish Engi ins Köps ausiht, um di potntill Engi zu Entfnung ds Köps aus dm Shwfld in JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit

3 Mass zu übwindn. Man kann di Fluhtgshwindigkit also aushnn, in dm man dis bidn Engin glihstzt. Und gnau auf dis Wis wid in dis Shift di Fluhtgshwindigkit mittlt. Di Gundignshaftn in Mass sind di Täghit, di Shw und d Engighalt. Fü uns bsonds wihtig ist di Shw. Ein goß Mass und in klin Mass zihn sih nah d Glihung : (.) F = G m K m G an. Dabi ist F di anzihnd Kaft, G ist di Gaitationskonstant, m K ist di klin Mass, m G ist di goß Mass und ist di Entfnung zwishn dn Masszntn d goßn und d klinn Mass. Dis Glihung (.) ist Gundlag dis ganzn Btahtung.. Di Engitilung zwishn goß und klin Mass Di Umkhung d Fluht in klinn Mass aus dm Gaitationsfld in goßn Mass ist d fi Fall d klinn Mass in das Gaitationsfld d goßn Mass. Oft wid so gtan, als ob di Engi, di bim fin Fall fi wid, und in Bwgungsngi umgstzt wid, ausshlißlih bi d klinn Mass landt. Im Wsntlihn ist das auh so, ab niht ausshlißlih. Wil das im nähstn Kapitln sh wihtig wid, möht ih das noh in wnig bgündn. Ein physikalishs Gstz, was bi Bwgungsändungn ganz wsntlih ist, ist das Impulshaltungsgstz. Fü inn anfänglih zu dn bidn Massn uhndn Bobaht gilt : (.) m K K + m G G = 0 Dabi sind K und G di Gshwindigkitskton d bidn Massn m K und m G und si sind auh bid 0 da di bidn Massn ja uhn solln. Wnn nun duh in Kaft zwishn m K und m G di JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 3

4 klin Mass m K bwgt wid, dann wid auh m G in ntggngstzt Rihtung bwgt, damit d Gsamtimpuls 0 blibt. Es gilt also fü dn uhndn Bobaht : (.) m K K = - m G G Uns intssin nu di Btäg d Gshwindigkitn. dshalb kann man infahn. Man läßt das Minuszihn und das Vktoknnzihn wg und hält : (.3) m K K = m G G = p p ist d Btag ds Impulss, und d ist fü bid Massn glih. Das kann man auh als Popotion shibn und hält : (.4) K G = m G mk Di kintish Engi d Mass ist : (.5) E KIN = m = p Di kintish Engi d klinn und d goßn Mass ist : (.6) E KIN_K = p K = p m G mk G (.7) E KIN_G = p G D Impuls p ist fü bid Massn m G und m K btagsglih. Ab duh di göß Gshwindigkit ist di kintish Engi d klinn Mass um dn Fakto m G mk göß als di kintish Engi d goßn Mass. Es wid also bim Zusammnfalln in klinn und in goßn Mass fast all kintish Engi in di klin Mass tanspotit. Ebnso kann man natülih sagn, bi d Entfnung d klinn Mass on d goßn Mass wid fast nu kintish Engi d klinn Mass aufgbauht. Das ist sh wihtig fü di folgndn Kapitl. JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 4

5 3. Di Fluhtgshwindigkit im klassishn Potntial (Nwtonsh Lösung) Di potntill Engi ist di Fähigkit, aus d Gaitationskaft (Gaitationsfld) in Mass Engi zu gwinnn. Dis Engi wid umgstzt, wnn man in klin Mass m K im Gaitationsfld in goßn Mass m G zu goßn Mass hin od on d goßn Mass wg bwgt. Di Engi ist : (3.) E = F (Engi = Kaft Wg) In dis Glihung stzt man di Glihung (.) in und hält : (3.) E = G m m Glihung (3.) muß man als Intgal fomulin, um si allgmin zu lösn. Man hält : (3.3) de = G m K m Di Lösung d Intgal lautt : (3.4) E = onst - G m K m Fü di Intgationskonstant kann man als sinnolln Wt m K instztn und man hält als potntill Engi : (3.5) E = m K - G m K m Das Minuszihn o dm htn Tm bdutt, daß di potntill Engi bi d Annähung abnimmt. Uns intssit di Engiändung on unndlih Entfnung bis zum Radius. Dafü muß man (3.6) E = E(unndlih) - E() subtahin. Dabi fällt m K haus, s ist in E(unndlih) und in E() nthaltn. D ht Tm fü =unndlih gibt sih null und daon muß man Glihung (3.4) ht Til fü dn Endwt abzihn. Damit gibt sih fü di Engidiffnz om Unndlihn bis zum Abstand : JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 5 G d G G

6 (3.7) E = G m K m D Shwazshild-Radius ist dfinit als : (3.8) = G m Das muß man minimal umstlln und man hält : (3.9) G RS = G m In d Glihung (3.7) kann man fü G m G dn linkn Til d Glihung (3.9) instzn. ist natülih d Shwazshild-Radius d goßn Mass. Dann hält man : (3.0) E = G m K Das ist di potntill Engi di zu Entfnung d klinn Mass aus dm Gaitationsfld om Abstand bis ins unndlih notwndig ist. Dis potntill Engi stzt man mit d notwndign kintishn Engi glih und hält : (3.) m K = G m K m k und / sind auf bidn Sitn d Glihung. Man kann mit multiplizin und duh m k diidin und hält : (3.) = RS Jtzt muß man nu noh di Wuzl zihn und man hält als Fluhtgshwindigkit : (3.3) = Dis Glihung (3.3) fü di Fluhtgshwindigkit mag ungwöhnlih shinn, ab si stimmt fü all klassishn (nihtlatiistishn) Objkt. Ih find dis Glihung (3.3) fü di klassish Fluhtgshwindigkit soga ihtig shön und hoagnd infah. JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 6

7 Wnn man al Zahlnwt instzt, kommt fü di Ed ( = 8,87 mm, = 6378 km) dabi, km/s Fluhtgshwindigkit on d Obfläh haus, fü di Sonn ( = 954,3 m, = km) kommt dabi 68 km/s Fluhtgshwindigkit on d Obfläh haus. Bi in Fluhtgshwindigkit on /0 düft d Fhl duh di Anwndung d klassishn nihtlatiistishn Glihungn in d Gößnodnung on % lign. 4. Rlatiistish Glihungn bi nihtlatiistishn Gshwindigkitn Wnn man di latiistishn Glihungn fü di potntill Engi in di Glihungn zu Emittlung d Fluhtgshwindigkit instzt, muß mit nihtlatiistishn Wtn das slb Egbnis hauskommn wi im 3. Kapitl fü di Nwtonsh nihtlatiistish Lösung. Und das möht ih hi ofühn. In [] ist di Ändung d klinn Mass bi d Annähung an di goß Mass anggbn mit : (4.) m KA = m K0 4 (Glihung (.33 in [] ) Dabi ist m KA di aktull klin Mass, m K0 di klin Mass in unndlih Entfnung on d goßn Mass, d Shwazshild-Radius d goßn Mass und wid d Abstand d bidn Masszntn. Uns intssit nu di Massändung, wil das d potntilln Engi zwishn unndlih Entfnung und dm Radius ntspiht. Dis Massändung ist : (4.) m K = m K0 - m K0 4 m K0 kann man ausklammn und hält dann : R S (4.3) m K = m K0 4 JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 7

8 Um dn slbn Btag ändt sih auh di goß Mass, dnn di Engi wid zu glihn Tiln aus dm Gaitationsfld d klinn und d goßn Mass ntnommn (sih Hlitung in [] ). Di kompltt Massnändung on goß und klin Mass ist also : R S (4.4) m = m K0 4 Zu Emittlung d potntilln Engi muß man dis Massändung mit multiplizin und hält dann : R (4.5) E = m K0 S 4 Dis latiistish mittlt potntill Engi wid j nah Masshältnis on goß zu klinn Mass (sih Kapitl ) fast ollständig in kintish Engi d klinn Mass umgstzt. Wi wolln di latiistish potntill Engi im nihtlatiistishn Bih tstn, und könnn dazu di nihtlatiistish Bwgungsngi instzn. Dann haltn wi : (4.6) R m K0 = m K0 S 4 Dis Glihung (4.6) multiplizit man mit und diidit man duh m K0 und hält dann : R (4.7) S = 4 4 Jtzt muß man nu noh di Wuzl zihn und hält : R S (4.8) = 4 4 Dn Ausduk in d Klamm kann man fü klin Wt nu sh shlht aushnn. Fü sh klin Wt im Exponntn d -Funktion ( goß ggn ) stht da in d Klamm im Pinzip -, dnn di Wt d -Funktion sind nu sh ging abwihnd JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 8

9 on. Dshalb muß man hi mit in nünftign Nähung fü di -Funktion im Nullpunkt hnn. Di -Funktion hat im Nullpunkt dn Funktionswt und dn Anstig. Ein Fakto o dm Exponntn ändt nu dn Anstig auf dn Fakto. Dshalb kann man di -Funktion im Nullpunkt sh gut duh in Gad annähn. Dis Gad ist : (4.9) X + x (Nähung im Nullpunkt) Auf uns Glihung 4.8 angwndt bdutt das : (4.0) S 4 - R 4 (Nähung im Nullpunkt) Dis Nähung stzt man in di Klamm d Glihung (4.8) in und hält : (4.) - 4 RS = - 4 = 4 Dis Nähung ist fü = 0 twa,3% gnau. Dis Gnauigkit wähst stak an, j göß wid. Das Egbnis d Glihung (4.) stzt man in di Klamm d Glihung (4.8) in und hält : RS (4.) = 4 4 = Diss Egbnis ntspiht xakt dm klassish mittltn Wt in d Glihung (3.3) Di latiistish potntill Engi ntspiht also im Fnfld d klassishn potntilln Engi! Auh wnn s duh di -Funktion niht so kla sihtlih ist. 5. Di kompltt latiistish Btahtung d Fluhtgshwindigkit Zu kompltt latiistishn Btahtung wid di in d Glihung (4.5) mittlt potntill Engi bi d Annähung in klinn Mass aus dm Unndlihn bis zum Radius jtzt mit d latiistishn Bwgungsngi glihgstzt. JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 9

10 JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 0 Di latiistish Engi in Mass ist : (5.) E = m Daon muß man di Ruhmass subtahin um di kintish Engi zu haltn und s gibt sih : (5.) E KIN = m - m = m Es soll di kintish Engi d klinn Mass mittlt wdn. Dshalb muß man fü m di aktull klin Mass m KA bim Abstand on d goßn Mass instztn. Di Glihung lautt dann : (5.3) E KIN = m KA = 4 m K0 Dis kintish Engi stzt man d potntilln Engi aus Glihung (4.5) glih und hält : (5.4) 4 m K0 = m K0 4 Wnn man bid Sitn d Glihung (5.4) duh m K0 diidit, hält man : (5.5) 4 = 4

11 Dis Glihung (5.5) muß man nun nah auflösn um di Fluhtgshwindigkit zu haltn. Dazu diidit man bid Sitn d Glihung (5.5) duh di -Funktion und hält : (5.6) = 4 Dazu addit man auf bidn Sitn d Glihung (5.6) und hält : (5.7) = 4 - Daon bildt man dn Khwt und hält : (5.8) = JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 4 Dis Glihung (5.8) muß man Quadin und hält : (5.9) = 4 Von Glihung (5.9) muß man auf bidn Sitn subtahin und mit - multiplizin und hält dann : (5.0) = 4 Nun muß man nu noh mit multiplizin und di Wuzl zihn und man hält : (5.) = 4

12 Das ist di latiistish Fluhtgshwindigkit in klinn Mass aus dm Gaitationsfld in goßn Mass mit dm Shwazshild-Radius om Abstand zum Zntum d goßn Mass aus. D Fakto o ist imm zwishn 0 und, di Fluhtgshwindigkit kann also nu zwishn 0 und lign. Di Fluhtgshwindigkit wid nigndwo unndlih od göß als di Lihtgshwindigkit. Gnau so goß ist natülih auh di Fallgshwindigkit in klinn Mass aus dm Unndlihn bis zum Abstand zum Zntum d goßn Mass. Nu di Rihtung d Fallgshwindigkit ist ntggngstzt zu Rihtung d Fluhtgshwindigkit. Fü = unndlih hält man : (5.) = ( 0 ) = ( ) = 0 Das ist plausibl, im Unndlihn ist di Fluhtgshwindigkit 0. Fü = 0 hält man : (5.3) = ( ) = = = 0 ist unmöglih, dnn Mass hat imm in ndlih Diht. Unndlih Dihtn gibt s niht! Dshalb muß zwishn dn Masszntn d bidn Massn imm in Abstand xistin. Am Shwazshild-Radius d goßn Mass, also fü =, gibt sih : (5.4) = 4 = (, ) 568 = 0,7703 Das sind plausibl Wt d Fluhtgshwindigkit. Auh dis Glihung (5.) muß fü klin Wt d klassishn Lösung ntsphn. Disn Tst möht ih hi im Folgndn JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit

13 dalgn. Dazu stzt man di Nähung (4.9) fü di -Funktion mit klinn Wtn in di Glihung (5.) in und hält : (5.5) = RS + 4 = RS + Das Binom unt dm Buhstih muß man quadin und man hält : (5.6) = RS + + RS Fü klin Wt R RS gilt, daß das Quadat noh wsntlih S klin ist. Man kann s dah in d Nähung wglassn. Dann hält man : (5.7) = RS + Jtzt muß man wid di Nähung mit d Popotion instzn : (5.8) RS + R S Wnn man di ht Sit d Popotion (5.8) in di Glihung (5.7) fü dn Buh unt d Wuzl instzt, hält man : (5.9) = RS = Das Egbnis ist di Bstätigung, daß auh di Glihung (5.) fü latiistish Fluhtgshwindigkitn im Fnfld fü Wt im Bih d nihtlatiistishn Physik gnau d klassishn Lösung Glihung (3.3) ntspiht. Das muß auh so sin. JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 3

14 In d Glihung (5.) ist di Fluhtgshwindigkit in blibign klinn Mass aus dm Shwfld in blibign goßn Mass mit ndlih Diht bshibn. Di Fluhtgshwindigkit ist fü all aushnba und gibt sinnoll Wt. Di Funktion () ist im gsamtn Wtbih on dfinit. Nu fü dn wgn d ndlihn Diht on Massn unmöglihn Wt = 0 gibt sih di unmöglih Fluhtgshwindigkit =. Di Abhängigkit d Fluhtgshwindigkit om Abstand d klinn Mass zum Zntum d goßn Mass ist plausibl. Bi d numishn Übpüfung gibt sih als latiistish Effkt in Vingung d Fluhtgshwindigkit ggnüb d klassishn Lösung. Dis Vingung d Fluhtgshwindigkit btägt bi d Sonn 0,8 m/s bi in Fluhtgshwindigkit on 68 km/s. Bim Abstand = (am Shwazshild-Radius) gibt sih in Fluhtgshwindigkit on 3097 km/s, also dutlih wnig als di Lihtgshwindigkit. In dn Bildn und ist di Abhängigkit d Fluht- und Fallgshwindigkit ins Köps om Abstand zum Zntum in goßn shwn Mass gafish dagstllt. Dazu wudn j Dkad 0 Funktionswt ntsphnd Glihung (5.) ausghnt und daaus zwi Dastllungn hgstllt. Um nomit Bild zu zugn wud d Abstand in / anggbn. Bild ist in Ausshnitt aus Bild. Di Wuzlfunktion d Glihung (3.3) ist in d dopplt logaithmishn Dastllung in Gad. Dis Gad kann man im Bild auf d htn Sit knnn. In d Näh ds Shwazshild-Radiusss knikt di Ku in di Waaght ab und näht sih d Funktion =. Dis Funktion wid ni iht, ab das kann man in d gafishn Dastllung niht knnn. Im Bild kann man d Übgang on d Wuzlfunktion nah Glihung (3.3) zu Funktion = sh gut knnn. JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 4

15 in m/s / Bild : Di Fluhtgshwindigkit in Abhängigkit om Abstand zum Zntum in goßn Mass. D Abstand ist in / anggbn in m/s / 0-0 Bild : Di Fluhtgshwindigkit in Abhängigkit om Abstand zum Zntum in goßn Mass. D Abstand ist in / anggbn. JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 5

16 5. Litatu / Rfnz Di Shiftn sind als PDF-Datin im Intnt auf : hältlih. Dot sind auh noh and Datin zum huntladn, inig auh in nglish Spah. Di nglish-spahign Datin sind Übstzungn d dutshn Oiginaldatin. [] Jügn Altnbunn, Di Rlatiitätsthoi ohn Singulaitätn Slbstlag (PDF im Intnt auf (in nglish auh [] Jügn Altnbunn, Di Mass-Engi-Äquialnz Slbstlag (PDF im Intnt auf [3] Jügn Altnbunn, Di kosmologish Rotshibung als Folg d allgminn Rlatiitätsthoi Slbstlag (PDF im Intnt auf (in nglish auh JÜRGEN ALTENBRUNN Di Fluhtgshwindigkit Sit 6