Wolfram Thorwartl Günther Wagner Helga Wagner. Mathematik p sitiv! Klasse HS, NMS und AHS. Österreichischer Lehrplan

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1 Wolfram Thorwartl Günther Wagner Helga Wagner Mathematik p sitiv! 1. Klasse HS, NMS und AHS Österreichischer Lehrplan

2 INHALTSVERZEICHNIS SK 1 Die vier Grundrechnungsarten... 5 A Natürliche Zahlen Große Zahlen Das dekadische Zahlensystem... 7 SK 2 Dekadische Einheiten Runden von Zahlen SK 3 Runden von Zahlen Der Zahlenstrahl Ordnen von Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen SK 4 Zahlenstrahl, Ordnen von Zahlen, Menge B Das Rechnen mit natürlichen Zahlen Addition und Subtraktion SK 5 Addition und Subtraktion Multiplikation und Division SK 6 Multiplikation und Division Verbindung der vier Grundrechnungsarten SK 7 Verbindung der vier Grundrechnungsarten C Einfache Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Arbeiten mit Formeln Ungleichungen SK 8 Einfache Gleichungen und Ungleichungen D Brüche Bruchzahlen SK 9 Brüche Rechnen mit Brüchen SK 10 Rechnen mit Brüchen E Dezimalzahlen Dezimalbrüche Dezimalzahlen SK 11 Dezimalbrüche Dezimalzahlen Verschiedene Maße in Dezimalschreibweise SK 12 Verschiedene Maße in Dezimalschreibweise Runden von Dezimalzahlen SK 13 Runden von Dezimalzahlen F Das Rechnen mit Dezimalzahlen Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen SK 14 Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen SK 15 Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen SK 16 Division von Dezimalzahlen Verbindung der vier Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen SK 17 Die vier Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen G Quader Körper im Alltag Darstellung eines Quaders SK 18 Körper im Alltag und Quader H Grundlegende geometrische Begriffe Gerade Linien Das Zeichnen von Strecken Zeichnen von parallelen und normalen Geraden SK 19 Grundlegende geometrische Begriffe I Symmetrie J Der Winkel Was ist ein Winkel? Die Einteilung der Winkel Das Messen von Winkeln Das Zeichnen von Winkeln SK 20 Der Winkel

3 K Der Maßstab SK 21 Der Maßstab L Rechteck und Quadrat Konstruktion von Rechtecken Konstruktion eines Quadrats Zeichnen von Rechteck und Quadrat im Maßstab Der Umfang von Rechteck und Quadrat Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat SK 22 Rechteck und Quadrat M Oberfläche und Volumen von Quader und Würfel Das Netz von Quader und Würfel Oberfläche von Quader und Würfel Rauminhalt von Quader und Würfel SK 23 Oberfläche und Volumen N Der Kreis Lage einer Geraden bezüglich eines Kreises Kreissegment und Kreissektor Gegenseitige Lage von Kreisen O Statistik Grafische Darstellung Andere Darstellungsmöglichkeiten SK 24 Statistik Die Aufnahme in den Anhang zur Schulbuchliste für HS, AHS, BAKIP, BASOP wurde vom Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur mit GZ /1-V/1/01 vom 3. Mai 2002 empfohlen. Idee und Gestaltung der Rahmengeschichte: Walter Thorwartl Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist 42 Absatz (3) der Urheberrechtsgesetznovelle 1996: Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind. ISBN Schulbuchnummer Auflage 2001, Nachdruck 2013 (1,04) Satz, Grafiken und Layout: Jochen Ulm Printed by Brüder Glöckler, Wöllersdorf 2007 G&G Verlagsgesellschaft mbh, Wien Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch die des auszugsweisen Nachdrucks, der fotomechanischen Wiedergabe sowie der Einspeicherung und Verarbeitung in elektronische Systeme, gesetzlich verboten. Aus Umweltschutzgründen wurde dieses Buch auf chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt.

4 Liebe Schülerin! Lieber Schüler! Mathematik positiv soll es dir ermöglichen, die Lernziele der Klasse zu erreichen dich gründlich auf die Schularbeiten vorzubereiten Erfolg und Spaß mit Mathematik zu haben Dieses Buch ist folgendermaßen aufgebaut: 1. Mach dich fit für Mathe In diesem Teilkapitel wird der Lehrstoff, der dir aus der Volksschule bekannt ist, wiederholt. Bearbeite dieses Kapitel gründlich, denn es ist Grundlage für den neuen Lehrstoff. 2. Lehrstoff mit Erklärungen, Musterbeispielen und Aufgaben aufbereitet. Dies macht den Hauptteil des Buches aus. 3. Durchgerechnete Aufgaben in einem eigenen Lösungsbuch sollen zur Kontrolle dienen und beim Fehlersuchen helfen. 4. Die Selbstkontrollen am Ende jedes Kapitels führen zu Bildern und Lösungsworten. Damit kannst du die kleine Geschichte, die sich durch das ganze Buch zieht, vervollständigen. Die Selbstkontrollen dienen aber auch zur Überprüfung des Lehrstoffs bevor es zur 5. Lernzielkontrolle kommt. Diese deckt den Lehrstoff komplett ab. Die Fragen der Lernzielkontrolle solltest du dreimal richtig beantworten. Vergleiche jeweils mit dem Lösungsband! Hake bei jeder richtigen Antwort ein Kästchen ab und wiederhole die Fragen ein oder mehrere Tage später! Solltest du eine Frage falsch haben, wiederhole zunächst den dazu gehörenden Lehrstoff!. Viel Spaß und Erfolg wünschen dir die Autoren Die folgenden drei Figuren werden dich durch dieses Buch begleiten: Diese Figur zeigt an, dass hier etwas Wichtiges steht. Diese Figur deutet auf knifflige Aufgaben hin. Diese Figur zeigt an, dass du gerade etwas Schwieriges und Wichtiges geschafft hast. Liebe Eltern! Mathematik positiv 1 deckt den gesamten Kernstoff der ersten Klasse (fünfte Schulstufe) nach dem neuen Lehrplan ab und hilft mathematische Probleme zu erfassen, Lösungsmethoden zu erkennen und diese anzuwenden. Die große Anzahl vollständig durchgerechneter Musterbeispiele ermöglicht es, jeden Gedankengang und Rechenschritt nachzuvollziehen, der zur Lösung der Aufgabe führt. So werden mathematische Methoden und Zusammenhänge nahegebracht, die dann von den Kindern selbstständig auf andere Beispiele angewandt werden können. Das durchgerechnete Lösungsheft bietet Ihnen und Ihren Kindern die Möglichkeit, Fehler zu erkennen und auszubessern. Den Umgang mit dem durchgerechneten Lösungsheft sollten Sie mit Ihrem Kind genau besprechen. Ihr Kind sollte langsam zum selbstständigen Arbeiten kommen und das Lösungsheft zur Kontrolle und Hilfe verwenden. Die Kinder sollen zur Selbstständigkeit herangeführt werden, wobei aber die Kontrolle für Rückmeldungen notwendig ist. Die Richtigkeit einer Aufgabe wird das Kind in seiner Arbeit bestätigen! Hat es eine Aufgabe falsch gelöst, so soll das Lösungsheft mit weiteren Anleitungen helfen. Die Stofflücken werden bei konsequentem Üben bald verschwunden sein. 4

5 SK 1 DIE VIER GRUNDRECHNUNGSARTEN Führe die folgenden Rechnungen in deinem Übungsheft aus! Vergleiche deine Lösungen mit den unten stehenden Zahlen und male die entsprechenden Felder an! Beachte, dass die Lösungen mehrmals vorkommen können! 1) 735 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 208 : 8 = 17) 372 : 12 = 18) 252 : 18 = 19) 1035 : 23 = 20) 1674 : 27 = Hallo, ich bin Ich lade dich herzlich ein, meine Insel zu besuchen. Der Weg dorthin ist voller Abenteuer. Jede Selbstkontrolle bringt dich einen wichtigen Schritt weiter. Wenn du alles schaffst, wirst du der Liebling meines Landes werden! Viel Mut, aber auch viel Spaß dabei. 5

6 SACHAUFGABEN ZUR WIEDERHOLUNG 1 Der höchste Berg Europas, der Mont Blanc in Frankreich, ist m hoch. Der Großglockner, der höchste Berg Österreichs, ist m hoch. Um wie viele Meter ist der Mont Blanc höher als der Großglockner? 2 Im Schlussverkauf kostet ein Mini-Scooter statt vorher Um wie viel Euro wurde der Preis reduziert? 3 Mathias bekommt 3 2 Taschengeld pro Woche. Wie viel bekommt er in einem Jahr (52 Wochen)? 4 Ein Wanderer legt in 4 Stunden m zurück. a) Wie weit geht er in einer Stunde? b) Wie lange muss er noch gehen, wenn die gesamte Strecke m beträgt? 5 Für den Bau einer Straße werden 405 t Schotter benötigt. Wie oft muss ein LKW die Baustelle beliefern, wenn er mit einer Fuhre 20 t Schotter liefern kann? 6 Welcher LKW liefert mehr Schotter? 1. LKW: Ladegewicht 22 t, fährt 12 mal, 2. LKW: Ladegewicht 18 t, fährt 15 mal, 3. LKW: Ladegewicht 15 t, fährt 17 mal. 7 Die 1b-Klasse mit 26 Kindern macht einen Ausflug in den Tiergarten. Für den Bus sind insgesamt zu bezahlen, der Eintritt in den Tiergarten kostet 2 2 pro Kind. a) Wie viel Geld muss die Lehrerin insgesamt einsammeln? b) Wie viel Euro kostet der Ausflug für jeden Schüler? 8 In einem Kinosaal ist Platz für 330 Besucher. Es gibt 15 Reihen. Wie viele Zuschauer sitzen in einer Reihe? 9 Eine Familie fährt auf Urlaub. Zu Beginn der Fahrt zeigt der Kilometerzähler km, am Urlaubsort km. a) Wie weit ist der Urlaubsort vom Heimatort entfernt? b) Welchen Kilometerstand zeigt der Kilometerzähler nach der Rückkehr an, wenn die Familie am Urlaubsort zusätzlich 305 km gefahren ist? 10 Herr Maier möchte sich ein neues Auto kaufen. Er hat gespart. Außerdem erhält er für sein altes Auto Den Restbetrag bezahlt er in 12 Monatsraten zu je Wie teuer ist das Auto? 11 Bei einem Fussballmatch waren insgesamt Zuschauer, davon waren Erwachsene. a) Wie viele Kinder sahen das Fussballmatch? b) Wie hoch waren die Einnahmen, wenn eine Erwachsenenkarte 9 2 und eine Kinderkarte 4 2 kostet? 12 Der Millenniumstower in Wien ist 202 m hoch. Der Eiffelturm, das Wahrzeichen von Paris, ist um 98 m höher und der Stephansdom in Wien ist um 65 m niedriger als der Millenniumstower. a) Wie hoch ist der Eiffelturm? b) Wie hoch ist der Stephansdom? c) Um wie viel Meter ist der Eiffelturm höher als der Stephansdom? 6

7 A NATÜRLICHE ZAHLEN 1 Große Zahlen Das dekadische Zahlensystem L E R N Z I E L E : Dekadische Einheiten kennen und verwenden können *) große Zahlen lesen *) Anschreiben von Zahlen in dekadischen Einheiten *) Verwandeln von dekadischen Einheiten Mach dich fit für Mathe Beispiel Wie hoch ist der abgebildete Geldbetrag? 3 H Z E 2 H... Hunderter Z... Zehner E... Einer Es sind In unserem Zahlensystem gibt es Einer, Zehner, Hunderter, Tausender,... (die größeren Stellenwerte lernst du später kennen). Wie Zahlen entstehen Jede Zahl besteht aus Ziffern besteht aus den Ziffern 1, 9, 8, 4. Aus diesen vier Ziffern kann man viele vierstellige Zahlen bilden: z. B.: 9 841, 8 914, Um die Zahl zu bilden, muss man jede Ziffer an die richtige Stelle setzen: T H Z E T... Tausender = 1 T 9 H 8 Z 4 E Für die Zahl gilt: = 9 T 8 H 4 Z 1 E In einer Zahl hat jede Ziffer einen bestimmten Stellenwert. 7

8 Eine Stellenwerttafel hilft dir die Zahlen anzuschreiben: ZT T H Z E ZT Zehntausender T 9 H 8 Z 4 E Eintausendneunhundertvierundachtzig T 8 H 4 Z 1 E Neuntausendachthunderteinundvierzig ZT 5 T 8 H 0 Z 5 E = 2 ZT 5 T 8 H 5 E Fünfundzwanzigtausendachthundertfünf 13 Trage die Zahlen in eine Stellenwertafel ein und gib sie mit E, Z, H, T und ZT an! ZT T H Z E = = 4 ZT 2 T 3 H 1 Z 5 E = = = = = = 14 Zerlege die gegebenen Zahlen (ohne Stellenwerttafel)! z. B.: = 7 ZT 3 T 7 H 8 Z 5 E a) = b) = c) = d) = e) = f) = 15 Schreibe die Zahlen an! ZT T H Z E 5 ZT 3 T 8 H 7 Z 3 E = = ZT 5 T 8 Z 4 E = = 6 ZT 5 T 0 H 8 Z 4 E = 0 4 ZT 7 T 5 H 9 E = 1 ZT 4 H 3 Z 7 E = 6 ZT 3 T 8 H 9 Z = 3 ZT 4 T 5 H 6 Z 3 E = 8 T 6 H 3 Z = 16 Bilde aus den Ziffern die größte und die kleinste Zahl! a) 3, 7, 2, 4, 8 b) 5, 6, 1, 9 17 Zähle jeweils in Zehnerschritten! a) von bis 1 900, (1 760, 1 770, 1 780,...) b) von bis 3 020! 18 Zähle in Tausenderschritten von bis ! (12 000, ,...) 19 Zähle in Hunderterschritten von bis ! 8

9 Große Zahlen Unser Planetensystem: Du weißt sicher schon, dass die Sonne der Mittelpunkt unseres Planetensystems ist. Die anderen Planeten, Planetoiden (Erde, Jupiter, Mars, Merkur, Neptun, Saturn, Uranus, Venus und der Planetoid Pluto) bewegen sich auf sogenannten elliptischen Bahnen um die Sonne. Erde Merkur Venus Mars Uranus Neptun Pluto Sonne Jupiter Saturn Aus der Skizze kann man erkennen, dass die Planeten, der Planetoid verschieden weit von der Sonne entfernt sind. Planet, Planetoid Erde Jupiter Mars Merkur Neptun Pluto Saturn Uranus Venus Entfernung zur Sonne km km km km km km km km km Um solche Zahlen lesen zu können, müssen wir unser Stellenwertsystem erweitern. Mit Einern, Zehnern, Hundertern, Tausendern und Zehntausendern kann man fünfstellige Zahlen angeben. E, Z, H, T und ZT sind die dekadischen Einheiten, die du bereits kennst. Die Umwandlungszahl ist 10 ( deka ist das griechische Wort für 10): 10 E = 1 Z 10 Z = 1 H 10 H = 1 T 10 T = 1 ZT 9

10 Größere dekadische Einheiten a) HT ZT T H Z E 10 ZT = 1 HT HT... Hunderttausender = 7 HT 2 ZT 5 T 3 H 2 Z 1 E 725 Tausender 321 Zahl lesen: siebenhundertfünfundzwanzigtausenddreihunderteinundzwanzig b) M HT ZT T H Z E 10 HT = 1 M M... Million = 1 M 5 HT 9 ZT 6 T 7 H 4 Z 3 E 1 Million 596 Tausender 743 Zahl lesen: eine Million fünfhundertsechsundneunzigtausendsiebenhundertdreiundvierzig c) ZM M HT ZT T H Z E 10 M = 1 ZM ZM... Zehnmillion = 2 ZM 9 M 5 ZT 3 T 7 H 1 E 29 Millionen 53 Tausender 701 Zahl lesen: neunundzwanzig Millionen dreiundfünfzigtausendsiebenhunderteins d) ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E 10 ZM = 1 HM HM... Hundertmillion 10 HM = 1 Md Md... Milliarde 10 Md = 1 ZMd ZMd... Zehnmilliarde = 5 ZMd 3 Md 7 HM 2 ZM 9 M 3 HT 4 T 9 Z 7E 53 Milliarden 729 Millionen 304 Tausender 97 Zahl lesen: dreiundfünfzig Milliarden siebenhundertneunundzwanzig Millionen dreihundert vier tausend siebenundneunzig e) B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E 10 ZMd = 1 HMd HMd... Hundertmilliarde 10 HMd = 1 B B... Billion = 3 B 7 HMd 2 ZMd 5 Md 8 HM 3 Billionen 725 Milliarden 800 Millionen Zahl lesen: drei Billionen siebenhundertfünfundzwanzig Milliarden achthundert Millionen 10

11 Mit Billionen hört das Stellenwertsystem keineswegs auf. Es gibt noch größere dekadische Einheiten: 10 B = 1 ZB ZB Zehnbillion 10 ZB = 1 HB HB Hundertbillion 10 HB = 1 Bd Bd Billiarde usw. Am Beispiel der Zahl wird in der folgenden Tabelle gezeigt, wie unser Zahlensystem aufgebaut ist: ** *** *** *** *** Hunderter, Zehner, Einer (H, Z, E) dreihunderteinundzwanzig Tausender (HT, ZT, T) siebenhundertviertausend Millionen (HM, ZM, M) neunhunderteinundvierzig Millionen Milliarden (HMd, ZMd, Md) dreihundertzweiundsiebzig Milliarden Billionen (HB, ZB, B) fünfunddreißig Billionen Damit Zahlen besser gelesen werden können, schreiben wir Zahlen in Dreiergruppen von der Einerstelle ausgehend an: Stellenwerttafel z. B.: = sieben Milliarden zweihundertdreiundfünfzig Millionen neunhunderteinundzwanzigtausendachthundertvierundfünfzig Milliarden Millionen Tausender Zurück zu den Planeten: Entfernung der Erde zur Sonne: km = 1 HM 5 ZM km Zahl lesen: einhundertfünfzig Millionen Millionen Entfernung des Pluto zur Sonne: km = 5 Md 9 HM km Zahl lesen: fünf Milliarden neunhundert Millionen Milliarden Millionen Eintragen der Entfernungen in die Stellenwerttafel: Billionen Milliarden Millionen Tausender B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E Beispiel Gib die Zahl 5 M 3 HT 4 ZT 3 H 7E ohne dekadische Einheiten an. 1) mit Stellenwerttafel Millionen Tausender M HT ZT T H Z E Fehlende Stellen werden durch eine Null ergänzt. 2) ohne Stellenwerttafel..5 M 3 HT 4 ZT 0 T 3 H 0 Z 7 E = Millionen Tausender Für fehlende Einheiten werden Nullen gesetzt. Achte auf die Dreiergruppen! 11

12 20 Gib die Entfernung der einzelnen Planeten zur Sonne mit dekadischen Einheiten an und schreib die Zahl in Worten auf! Verwende dazu die Tabelle am Beginn dieses Kapitels! 21 Schreib ohne dekadische Einheiten an! a) 5 M 4 HT 2 ZT 3 H 2 E = b) 6 Md 4 HT 3 T 7 H 3 Z = c) 4 B 6 Md 5 M 4 T 3 E = d) 3 ZMd 4 HM 3 M 4 HT 5 ZT = 22 Schreib mit dekadischen Einheiten an! a) = b) = c) = d) = 23 Schreib die Zahlen mit Ziffern an! a) dreihundertachtundzwanzig Millionen siebenhundertfünftausenddreihundertachtzig b) acht Milliarden fünfhundertdreiundzwanzig Millionen c) fünf Billionen d) einhundertzweiundneunzig Milliarden fünf Millionen dreizehntausendsieben 24 Die Sonne hat einen Durchmesser von 1 Md 3 HM 9 ZM 2 M Kilometer. Schreibe ohne dekadische Einheiten an! 25 Ordne die Entfernungen der Planeten zur Sonne der Größe nach! Beginne mit der kleinsten Entfernung! Verwende dazu die Tabelle am Anfang dieses Kapitels! Beispiel Das Licht legt in einer Sekunde eine Strecke von ungefähr km zurück. Welche Strecke legt das Licht in a) 1 Minute b) 1 Stunde c) 1 Tag d) 1 Jahr (= 365 Tage) zurück? a) 1 Minute hat 60 Sekunden: Multipliziere mit 6 und hänge eine Null an In einer Minute legt das Licht km ( = 18 Millionen Kilometer) zurück. b) 1 Stunde hat 60 Minuten: In einer Stunde legt das Licht km ( = 1 Milliarde 80 Millionen Kilometer) zurück. c) 1 Tag hat 24 Stunden: In einem Tag legt das Licht km (= 25 Milliarden 920 Millionen Kilometer) zurück. d) 1 Jahr hat 365 Tage: In einem Jahr legt das Licht km (= 9 Billionen 460 Milliarden 800 Millionen Kilometer) zurück. Diese Streckenlänge bezeichnet man als 1 Lichtjahr. 12

13 26 Vervollständige die folgende Tabelle! Zeit Strecke, die das Licht zurücklegt (in km) 1 s min min 4 min 6 min 8 min 9 min 12 min 13 min 40 min 50 min 1 h h 3 h 4 h 5 h 6 h 27 In der Tabelle des vorigen Beispiels hast du für verschiedene Zeiten die Strecke, die das Licht zurücklegt, errechnet. Überlege dir (ohne zu berechnen), wie lang das Licht von der Sonne zu jedem der neun Planeten braucht (Entfernungen aus der Tabelle S. 9)! z. B.: Erde Zeit Strecke, die das Licht zurücklegt Entfernung Planet - Sonne 8 min km 9 min km km Die Entfernung von der Erde zur Sonne beträgt km. Das Licht braucht etwas mehr als 8 Minuten, um diese Strecke zurückzulegen. Verwandeln von dekadischen Einheiten Beispiel sollen in Scheinen ausbezahlt werden. Wie viele Scheine sind das? Tausender HT ZT T H Z E = E = H = H 2 Es sind Hundert Euro Scheine. H Beispiel Verwandle T in Z! 1. Schrittweises Verwandeln T = H = Z 1 T = 10 H 1 H = 10 Z T = Z 100 1T = 100 Z 13

14 2. Verwenden der Stellenwerttafel Millionen Tausender M HT ZT T H Z E Bis zur Zehnerstelle Nullen einsetzen Z T = Z 28 Die Währung der Vereinigten Staaten von Amerika heißt US-Dollar (USD) USD sollen in Dollar Scheinen ausbezahlt werden. Wie viele Scheine sind das? 29 Die Währung Japans heißt YEN YEN sollen in YEN Scheinen ausbezahlt werden. Wie viele Scheine sind das? sollen in a) Scheinen b) 10 2 Scheinen ausbezahlt werden. Wie viele Banknoten werden dafür benötigt? Gib das Ergebnis auch in Worten an! 31 Verwandle in die angegebene Einheit! a) 520 H =... Z b) ZT =... H c) 3 Md =... M d) Z =... T 32 Schreib ohne dekadische Einheit an! a) Z =... b) 5 M =... c) 200 H =... d) T =... SK 2 DEKADISCHE EINHEITEN Welche Lösungen stimmen überein? Schreibe die entsprechenden Buchstaben in das jeweilige Kästchen! Schreib mit dekadischen Einheiten! 1) achthundertneun Millionen dreihundertsiebzigtausend = 2) vierundsiebzig Milliarden achthundertfünfzig Millionen = 3) = 3 M 8 HT 7 ZT 5 T 4 Z 2 E 4) fünfhundertsiebenundzwanzigtausendzehn = 5) eine Million siebenhundertzwanzigtausend = 6) = 7) vierzig Millionen = 8) = 9) = 10) = Schreibe ohne dekadische Einheiten! P: 3 M 8 HT 7 ZT 5 T 4 Z 2 E = R: 4 HM 1 ZM 9 M 8 HT 7 ZT 3 H 5 E = N: Z = L: T = Ü: 7 ZMd 4 Md 8 HM 5 ZM = H: 8 HM 9 M 3 HT 7 ZT = F: 5 HT 2 ZT 7 T 1 Z = A: 1 B 5 Md = D: 3 Milliarden = E: H = Dein neuer Freund Grips lädt dich in seine Heimat ein. Wie lautet der Name der Insel? P 14

15 L E R N Z I E L K O N T R O L L E : Kapitel A, 1 Grosse Zahlen - Dekadische Einheiten Dekadische Einheiten kennen und verwenden können *) Große Zahlen lesen 1) Lies die Zahl und schreib sie in Worten auf! a) q q q b) q q q c) q q q d) q q q *) Anschreiben von Zahlen in dekadischen Einheiten 2) Gib die dekadischen Einheiten bis zur Billion an! q q q 3) Schreib mit dekadischen Einheiten an! a) q q q b) q q q c) q q q d) q q q 4) Gib die Zahl ohne dekadische Einheit an! a) 7 B 3 HMd 5 Md 8 ZM 4 M q q q b) 4 ZMd 3 Md 8 HM 5 M 3 ZT 4 T 5E q q q c) 8 Md 4 ZM 3 M 5 HT q q q d) 7 B q q q *) Verwandeln von dekadischen Einheiten 5) Verwandle in die angegebene Einheit! a) in H q q q b) 5940 T in Z q q q c) 7300 H in T q q q d) 1Md in M q q q e) Gib 7 M 2 in Scheinen an! q q q f) Gib YEN in YEN Scheinen an! q q q 15

16 2 Runden von Zahlen L E R N Z I E L E : Zahlen runden *) Runden auf Z, H, T, ZT, HT, M *) Sinnvolles Runden *) Rundungsfehler berechnen Mach dich fit für Mathe Beispiel Claudia hat zum Geburtstag bekommen. Im Kaufhaus sieht sie ein T- Shirt um 17 2, eine Hose um 52 2, einen Pulli um 31 2 und Schuhe um Hat Claudia genug Geld, um sich diese Dinge zu kaufen? Bevor sie die Dinge kauft, berechnet sie schnell den ungefähren Preis. Dazu rechnet sie: genauer Preis gerundeter Preis In der Mathematik schreibt man: < ist rund < 50 2 <...Rundungszeichen < < Claudia kann sich die vier Dinge kaufen, der Preis dafür beträgt ungefähr An der Kasse wird der genaue Preis berechnet: Der genaue Preis beträgt Überschlagsrechnung Wenn man Ergebnisse schnell abschätzen möchte, ist es sinnvoll die Zahlen zu runden. Man kann dann im Kopf das ungefähre Ergebnis (= Überschlag) berechnen. Die Überschlagsrechnung dient auch zur Kontrolle der Rechnung. Im vorigen Beispiel war das Ergebnis der Überschlagsrechnung, das Ergebnis der genauen Rechnung. Auf Zehner runden Abrunden Aufrunden Beim Runden auf Zehner kommt es auf die Einerziffer an. Wenn an der Einerstelle 0, 1, 2, 3, 4 steht, wird abgerundet und die Zehnerstelle bleibt gleich. z. B.: 51 < 50, 53 < 50, 54 < 50 Bei 5, 6, 7, 8, 9 wird auf die nächsthöhere Zehnerzahl aufgerundet. z. B.: 55 < 60, 57 < 60, 58 < 60 Beim Runden auf Zehner muss man immer Zehnerzahlen erhalten. 33 Runde auf Zehner! 69 < 178 < 43 < 34 < 311 < 9 < 227 < < 536 < 551 < < < 16

17 34 Gib die benachbarten Zehnerzahlen an und runde auf Zehner! kleinere Zehnerzahl Zahl größere Zehnerzahl gerundete Zahl Auf Hunderter runden Abrunden Aufrunden Beim Runden auf Hunderter kommt es auf die Zehnerziffer an. Wenn an der Zehnerstelle 0, 1, 2, 3, 4 steht, wird abgerundet, die Hunderterstelle bleibt gleich. z. B.: 402 < 400, 411 < 400, 424 < 400, 436 < 400, 443 < 400 Bei 5, 6, 7, 8, 9 wird auf die nächsthöhere Hunderterzahl aufgerundet. z. B.: 458 < 500, 468 < 500, 475 < 500, 498 < 500 Beim Runden auf Hunderter muss man immer Hunderterzahlen erhalten. Hunderterzahlen haben an der Zehnerstelle und an der Einerstelle eine Null. 35 Runde auf Hunderter! 659 < 682 < 559 < < < < < < < 36 Gib die benachbarten Hunderterzahlen an und runde auf Hunderter! kleinere Hunderterzahl Zahl größere Hunderterzahl gerundete Zahl Auf Tausender runden Abrunden Aufrunden

18 Beim Runden auf Tausender kommt es auf die Hunderterziffer an. Wenn an der Hunderterstelle 0, 1, 2, 3, 4 steht, wird abgerundet, die Tausenderstelle bleibt gleich. z. B.: < 5 000, < 5 000, < 5 000, < 5 000, < Bei 5, 6, 7, 8, 9 wird auf die nächsthöhere Tausenderstelle aufgerundet. z. B.: < 6 000, < 6 000, < 6 000, < Beim Runden auf Tausender muss man immer Tausenderzahlen erhalten. Tausenderzahlen haben an der Hunderter-, Zehner- und Einerstelle eine Null. 37 Runde auf Tausender! < < < < < < < < < 38 Gib die benachbarten Tausenderzahlen an und runde auf Tausender! kleinere Tausenderzahl Zahl größere Tausenderzahl gerundete Zahl Runden auf größere dekadische Einheiten Genauso wie beim Runden auf Zehner, Hunderter und Tausender, kommt es auch beim Runden auf größere dekadische Einheiten auf die nächstkleinere Stelle an. Beispiel a) Schreib alle Zehntausenderzahlen von bis an! , , , , , , , , , , b) Zwischen welchen Zehntausenderzahlen liegt ? liegt zwischen und Beachte: Zehntausenderzahlen haben an der Tausender-, Hunderter-, Zehner- und Einerstelle eine Null. Beispiel Runde auf ZT! Beim Runden auf ZT kommt es auf die ZT T H Z E T-Stelle an. Die T-Stelle ist 8, daher wird aufgerundet, d. h. die ZT-Stelle wird um 1 erhöht < ist rund Beim Runden auf Zehntausender erhält man immer eine Zehntausenderzahl. Beispiel Runde auf HT! liegt zwischen den HT-Zahlen und < Beim Runden auf HT kommt es auf die ZT-Stelle an. HT ZT Die ZT-Stelle ist 4, die Zahl wird auf die nächst < kleinere HT-Zahl abgerundet. 18

19 Beispiel Im Jahr 2000 wurde die Œresund-Verbindung zwischen Dänemark und Schweden eröffnet. Sie besteht aus zwei Brückenrampen, einer überhöhten Brücke, einer künstlich angelegten Insel und aus einem Tunnel. Länge des Tunnels: m Länge der Hochbrücke: m Länge der Anschlussbrücken: m Für den Bau dieser Verbindung waren die genauen Längen notwendig. Ein Bauingenieur kann nicht mit gerundeten Werten einen exakten Bauplan erstellen. Einen Autofahrer, der von Dänemark nach Schweden fährt, wird die ungefähre Länge dieser Verbindung interessieren. Berechne die ungefähre Länge dieser Verbindung! m m m m < m Die Œresund-Verbindung ist rund m = 11 km 400 m lang. Der Rundungsfehler Die Straßenverbindung von Dänemark nach Schweden ist m lang. Der auf Hunderter gerundete Wert ist m. Der Unterschied zwischen dem genauen und dem gerundeten Wert wird als Rundungsfehler bezeichnet m m 45 m Der Rundungsfehler beträgt 45 m. Beispiel Runde auf die angegebene Einheit und berechne den Rundungsfehler! a) auf H b) auf T a) < Rundungsfehler (Rf): b) < Rundungsfehler (Rf): Beim Abrunden kannst du den Rundungsfehler auch leicht ohne Rechnung erkennen Beim Runden von Zahlen kommt es immer auf die nächstkleinere Stelle an: Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. Der Rundungsfehler ist der Unterschied zwischen der genauen und der gerundeten Zahl (Differenz der beiden Zahlen). Auf welche Stelle gerundet werden soll, ergibt sich entweder aus einem Text (sinnvolles Runden der Höhe eines Berges, der Bevölkerung eines Landes, ) oder es ist angegeben. Beachte: Eine bereits gerundete Zahl darf nicht noch einmal gerundet werden! a) < auf Hunderter gerundet, Rf.: 46 b) < auf Zehner gerundet < auf Hunderter gerundet ist nicht der auf Hunderter gerundete Wert von Schrittweises Runden (zuerst auf Zehner, dann auf Hunderter) führt nicht zum selben Ergebnis! 19

20 Mathematik positiv! 1 deckt den gesamten Lehrstoff nach dem neuen österreichischen Lehrplan der 1. Klasse Hauptschule, NMS und AHS ab und hilft, mathematische Zusammenhänge zu analysieren, Lösungsmethoden zu erkennen und diese anzuwenden. Eine große Anzahl vollständig durchgerechneter Musterbeispiele ermöglicht, jeden Gedankengang und Rechenschritt nachzuvollziehen, der zur Lösung des Problems führt. So werden mathematische Methoden und Zusammenhänge nahegebracht, die die Lernenden dann selbstständig auf andere Beispiele anwenden können. Alle Übungen dieses Buches sind in Mathematik positiv! 1, Lösungen (ISBN ) vollständig durchgerechnet und mit zahlreichen Anleitungen versehen. Ohne fremde Hilfe können die Rechnungen kontrolliert und etwaige Fehler gefunden und beseitigt werden. Österreichischer Lehrplan Der gesamte Lehrstoff der 1. Klasse HS/NMS/AHS Zahlreiche Anleitungen Selbstständiges Lernen Schulbuchnummer ,95