Zeitreihenanalyse. Zerlegung von Zeitreihen Saisonindex, saisonbereinigte Zeitreihe Trend und zyklische Komponente Prognose Autokorrelation

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1 Zeitreihenanalyse Zerlegung von Zeitreihen Saisonindex, saisonbereinigte Zeitreihe Trend und zyklische Komponente Prognose Autokorrelation

2 Beispiel für Zeitreihe

3 Zerlegung der Zeitreihe F t Trendkomponente S t Saisonale komponente C t Zyklische Variation (längere Perioden als Saison, ev. Keine fixe Periodenlänge) E t Zufallsschwankungen

4 Zwei Modelle Multiplikative Zeitreihenstruktur X t = F t C t S t E t Additive Struktur X t = F t +C t +S t +E t Exp und Log führen die beiden Modelle ineinander über

5 Bsp. 10.1: Verkaufszahlen über 3 Wochen Woche Mo Di Mi Do Fr Frage ob der Wochentag einen Einfluss auf die Verkaufszahlen hat

6 Graphische Darstellung Verkauf Tag

7 Behandlung der saisonalen Komponente (hier: Wochentag) X t = F t C t S t E t Verwende zunächst gleitende Mittel um saisonalen Effekt zu eliminieren (d.h. ich schätze F t C t ) GM 3 = (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 )/5 GM 4 = (X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 )/5 GM 5 = (X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 )/5 etc. Beachte die ungerade Periodenlänge p=5 (Wochentage) GM 1 und GM 2 werden nicht berechnet (ebenso GM n-1 und GM n

8 Gleitendes Mittel in der Graphik Verkauf Gleitendes Mittel Tag

9 Bereinigte Zeitreihe und saisonaler Index Von Trend und Zyklus bereinigte Zeitreihe: X t (-TC) = S t E t = X t /(F t C t ) Berechnung des saisonalen Index: Ersetze F t C t durch GM t, mittle über alle so erhaltenen Werte des gleichen Wochentags und multipliziere mit 100 Bsp Mittwoch: SI 3 =100(49/ / /46) /3 = Normierter saisonaler Index: NSI j = 100 SI SI j

10 Saisonales Gewicht und saisonbereinigte Zeitreihe Saisonales Gewicht = Saisonindex / Periodenlänge = SI j / p Saisonbereinigte Zeitreihe: X t (-S) = X t 100/SI j wobei SI j der (normierte) Saisonindex des entsprechenden Tages ist! Bemerkung: Zur Berechnung von SI wird manchmal anstelle des Mittelwerts auch der Median verwendet

11 Gleitende Mittel bei gerader Periodenlänge (Bsp 10-2: p=4) Bilde zunächst die Mittel jeweils über die Periodenlänge HM 2,5 = (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 )/4 HM 3.5 = (X 2 + X 3 + X 4 + X 5 )/4 HM 4,5 = (X 3 + X 4 + X 5 + X 6 )/4 etc. Verwende diese Hilfsgrößen um die zentrierten gleitenden Mittel zu berechnen GM 2 = (HM 2,5 +HM 3,5 ) GM 3 = (HM 3,5 +HM 4,5 ) etc.

12 Schätzung von Trend und zyklischer Komponente Schätze den Trend F t als linearen Anteil der saisonbereinigten Zeitreihe X t (-S) mittels Regression 2 Möglichkeiten: 1) Regression für die logarithmierte Zeitreihe log X t (-S) lineares Fehlermodell: log X t (-S) ~b 0 + b 1 t = log F t oder: ˆ = b0 b1t Ft e e 2) Regression direkt für X t (-S) ~c 0 + c 1 t = F t Buch S. 271ff, Bsp. 10-4, alles durchgerechnet ^ ^

13 Zyklische Komponente C t Wir haben nun also F t C t mit gleitendem Mittel und F t selbst durch lineare Regression der saisonbereinigten Zeitreihe geschätzt. Zur Bestimmung von C t können wir nun einfach diese beiden Schätzer dividieren (C t = F t C t /F t ) Abgesehen von den zufälligen Schwankungen, die ja prinzipiell nicht berechenbar sind, haben wir die Zeitreihe somit vollständig nach unserem multiplikativen Modell X t = F t C t S t E t zerlegt! Beachte, dass C t schwieriger zu schätzen und auch schwieriger zu interpretieren ist als S t.

14 Verbrauch von Brennstoffen Wie wird der Verbrauch im Jahr 2010 aussehen?

15 Deutscher Aktienkurs Wo befindet sich der DAX in 3 Monaten?

16 Konjunkturprognose

17 Erstellen von Prognosen Verwende Zerlegung der Zeitreihe! X t = F t C t S t E t Zur Bestimmung von X T verwende: F T c 0 + c 1 T S T passenden saisonalen Index (Tag, Quartal,etc.) C T geeignete Wahl am schwierigsten, erfordert zumeist spezielle Überlegungen, z. Bsp. welcher Teil der Zeitreihe sich in der Vergangenheit ähnlich verhalten hat

18 Natürlich gibt es viele weitere Verfahren zur Prognose, die hier nicht besprochen werden können. So wird häufig die Methode der exponentiellen Glättung bevorzugt. Weiterführende Literatur findest Du z.bsp hier: Beachte, dass wir hier nur Informationen aus der Zeitreihe selbst zur Prognose verwendet haben. In der Praxis wird man natürlich auch zusätzliche Informationen heranziehen (z.bsp. Diverse andere Wirtschaftsdaten zur Konjunkturprognose).

19 Autokorrelation Heuer nicht mehr durchgenommen Weiterführende Links zur Statistik auf meiner Homepage unter dem Link Weiterführende Literatur im Internet