I.V. Methoden 4: Regressionsund Pfadanalyse WiSe 02/03

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1 I.V. Methoden 4: Regressionsund Pfadanalyse WiSe 02/03 Vorlesung: Life is the art of drawing sufficient conclusions from insufficient premises. Samuel Butler Dr. Wolfgang Langer Institut für Soziologie Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Dr. Wolfgang Langer 2002

2 Gliederung I: 3 Einführung in die nichtlineare (polynome) Regression Exploration nichtlinearer Zusammenhänge mit Hilfe des Streudiagramms HZ rechtsextremer Gewalttaten gegen Ausländer auf Ausländeranteil an der Wohnbevölkerung 1998 Entwicklung der von gemeldeten Neuerkrankungen an AIDS (Robert-Koch-Institut) Entwicklung des Bevölkerungswachstums in den USA

3 Gliederung II: 3Die quadratische Regression: Modellgleichung Berücksichtigung der quadratischen Komponente im linear-additiven Modell über eine Hilfsvariable Ermittlung der Steigung/Tangente mit Hilfe der partiellen Ableitung Schätzung des linearen und quadratischen Regressionsmodells für den GEWALT98-Datensatz Zentrierung des Ausländeranteils Bildung der Hilfsvariablen Schätzung beider Modellformen mit hierarchischem Modelltest Interpretation der Effekte

4 Gliederung III: 3Das exponentielle Wachstumsmodell Die Zunahme der US-Bevölkerung von Modulierung des exponentiellen Wachstumsmodells Reformierung in logarithmierter Form Modellschätzung und Rücktransformation in die exponentielle Form

5 Exploration nichtlinearer Zusammenhänge 3HZ Rechtsextremer Gewalttaten gegen Ausländer auf Ausländeranteil ,5 LSA 3,0 MV 2,5 BR B 2,0 SAC 1,5 TH SH HH 1,0,5 NS RP NRW BW BAY H 0,0 SAAR HB Ausländeranteil an Wohnbevölkerung 1998 in %

6 Entwicklung der Neuerkrankungen an AIDS (1984: alle zuvor gemeldten Fälle) Erhebungsjahr

7 Bevölkerungswachstum der US von Bevölkerungsgröße in Millionen (absolut) Logarithmische Darstellung

8 (Urban 1982, S. 168f.)

9 Die quadratische Regression: 3 Modellgleichung für die Parabellform y = b 0 + b 1 *X + b 2 *X 2 + e 3 Berücksichtigung im linear-additiven Modell durch eine zusätzliche Hilfsvariable, welche die quadrierten Beobachtungswerte von X enthält. 3 Zuvor Zentrierung von X erforderlich, damit die Regressionskonstante b 0 inhaltlich interpretiert werden kann. Zentrierung am durchschnittlichen Ausländeranteil von % Zentrierung am Minimum des Ausländeranteils von 1,30 % (Thüringen)

10 Vergleich der geschätzten linearen und qudratischen Regressionsmodelle: Zentrierung am Mittelwert des Ausländeranteils Modellzusammenfassung c Änderungsstatistiken Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat Standardf ehler des Schätzers Änderung in R-Quadrat Änderung in F df1 df2 Änderung in Signifikanz von F 1,538 a,289,239,90670,289 5, ,032 2,779 b,607,547,69940,318 10, ,006 a. Einflußvariablen : (Konstante), Ausländeranteil am Mittelwert von 7,87% zentriert b. Einflußvariablen : (Konstante), Ausländeranteil am Mittelwert von 7,87% zentriert, AUSLPRC2 c. Abhängige Variable: Häufigkeitsziffer rechtsextremer Gewalttaten gegen Ausländer 1998

11 Vergleich der Regressionskoeffizienten des linearen und quadratischen Modells Modell 1 2 Koeffizienten a Standardisiert Nicht standardisierte e Koeffizienten Koeffizienten Standardf B ehler Beta T Signifikanz 1,236,227 5,451,000 (Konstante) Ausländeranteil am Mittelwert von -,104,044 -,538-2,387,032 7,87% zentriert (Konstante),621,258 2,406,032 Ausländeranteil am Mittelwert von -,135,035 -,694-3,850,002 7,87% zentriert AUSLPRC2,023,007,585 3,245,006 a. Abhängige Variable: Häufigkeitsziffer rechtsextremer Gewalttaten gegen Ausländer 1998

12 Interpretation des Effekts des Ausländeranteils über die zugehörige partielle Ableitung: 3 Prognosegleichung: Y=0,621-0,135*AUSPROZ Z7,87 +0,023*AUSPROZ 2 Z7,87 3 Partielle Ableitung von Y nach X: (Ausgangspunkt:Land mit durchschnittl.ausländeranteil) 0Y 0X b 1 2b 2 X 0, ,023X

13 Verteilung der geschätzten HZ Rechtsextremer Gewalttaten in Abhängigkeit vom Ausländeranteil 3,0 TH 2,5 MV LSA SAC 2,0 BR HH 1,5 SH 1,0 NS SAAR,5 RP BAY NRW BW HB H B 0, Ausländeranteil an Wohnbevölkerung 1998 in %

14 Schätzung des linearen und quadratischen Modell mit dem am Minimum von 1,3% zentrierten Ausländeranteil Modellzusammenfassung c Änderungsstatistiken Modell R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat Standardf ehler des Schätzers Änderung in R-Quadrat Änderung in F df1 df2 Änderung in Signifikanz von F 1,538 a,289,239,90670,289 5, ,032 2,779 b,607,547,69940,318 10, ,006 a. Einflußvariablen : (Konstante), Ausländeranteil zentriert am Minimum von 1,3% b. Einflußvariablen : (Konstante), Ausländeranteil zentriert am Minimum von 1,3%, Quadrat des am Minimum zentrierten Ausländeranteils c. Abhängige Variable: Häufigkeitsziffer rechtsextremer Gewalttaten gegen Ausländer 1998

15 Vergleich der Regressionskoeffizienten des linearen und quadratischen Modells Modell 1 2 (Konstante) Ausländeranteil zentriert am Minimum von 1,3% (Konstante) Ausländeranteil zentriert am Minimum von 1,3% Quadrat des am Minimum zentrierten Ausländeranteils Koeffizienten a Standardisiert Nicht standardisierte e Koeffizienten Koeffizienten Standardf B ehler Beta T Signifikanz 1,920,366 5,253,000 -,104,044 -,538-2,387,032 2,490,332 7,496,000 -,435,107-2,242-4,053,001,023,007 1,795 3,245,006 a. Abhängige Variable: Häufigkeitsziffer rechtsextremer Gewalttaten gegen Ausländer 1998

16 Interpretation des Effekts des Ausländeranteils über die zugehörige partielle Ableitung: 3 Prognosegleichung: Y=2,490-0,435*AUSPROZ Z1,30 +0,023*AUSPROZ 2 Z1,30 3 Partielle Ableitung von Y nach X: (Ausgangspunkt:Thüringen als Bundesland mit niedrigsten Ausländeranteil) 0Y 0X b 1 2b 2 X 0,435 20,023X

17 Bei welchem Ausländeranteil kippt die Entwicklung rechtsextremer Gewalttaten um? 3 Die Abnahme rechtsextremer Gewalttaten schlägt am Minimum der Parabel in eine Zunahme der Gewalttaten um 3 Um das Minimum der Parabel zu bestimmen, setzen wir die partielle Ableitung gleich Null und addieren auf das für X errechnete Ergebnis den Zentrierungswert von 1,3auf. 0 = -0, *0,023*X X = 0,435 / 0,046 = 9, ,3 = 10,76

18 Vergleich der beobachteten (rot) und geschätzten HZ (blau) rechtsextremer Gewalttaten 1998

19 Das exponentielle Wachstumsmodelle I: 3 Multiplikative Modellgleichung: Y = a * e b*x * u ; u: Fehlerterm 3 Durch Logarithmieren beider Seiten erhalten wir die linear-additive Form: (Logarithmus naturalis) ln Y = ln a + b*x + ln u 3 Der unstandardisierte Regressionskoeffizient b läßt sich direkt als Wachstumsrate interpretieren wobei sie als Anteilswerts [0;1] geschätzt wird.

20 Das exponentielle Wachstumsmodelle II: 3Um nach der Schätzung die multiplikative Form wieder zu erhalten, bilden wir den Antilogarithmus (e x ) der beiden Seiten der Prognosegleichung Y = e a * e b*x 3Vor der Schätzung müssen wir die unabhängige Variable X, in unserem Fall das Erhebungsjahr sinnvoll zentrieren, um das exponentielle Wachstumsmodell zu verankern. Wonnacott&Wonnacott (1977, S.449) verwenden hierzu in die Intervallmitte 1880

21 Das exponentielle Wachstumsmodell III: Übersicht der transformierten Daten JAHR POPULAT JAHRK JAHRKC80 LNPOP ,00-20,00 3, ,00-10,00 3, ,00,00 3, ,00 10,00 4, ,00 20,00 4,33

22 Das exponentielle Wachstumsmodell IV: 3 Schätzgleichung der linear additiven Form des Wachstumsmodells: LNPOP = a + b * JAHRKC80 3 Modellanpassung: Modell 1 Modellzusammenfassung b Standardf Korrigiertes ehler des R R-Quadrat R-Quadrat Schätzers,999 a,998,998,01740 a. Einflußvariablen : (Konstante), um 80 zentriertes Erhebungsjahr b. Abhängige Variable: Natürliche Logarithmus der Bevölkerungsgröße

23 Das exponentielle Wachstumsmodell V: Geschätzte Regressionskoeffizienten des linearisierten Wachstumsmodells: Modell 1 (Konstante) um 80 zentriertes Erhebungsjahr Koeffizienten a Nicht standardisierte Standardisierte Koeffizienten Koeffizienten Standardf B ehler Beta T Signifikanz 3,904, ,660,000,022,001,999 40,471,000 a. Abhängige Variable: Natürliche Logarithmus der Bevölkerungsgröße Additive Form: LNPOP = 3, ,022*JAHRKC80 3,904 +0,022*JAHRKC80 Multiplikative F.:POP = e = e 3,904 * e 0,022*JAHRKC80 = 49,6 * e 0,022*JAHRKC80

24 Interpretation der geschätzten Regressionskoeffiziente: 3 Regressionskonstante a: Linearer Form: Natürliche Logarithmus für Y im zentriertem Jahr Null (1880) Multiplikative Form: Geschätzte Bevölkerung in Millionen im zentrierten Jahr Null (1880): 49,6 Millionen 3 Regressionskoeffizient b: Geschätzte Wachstumsrate von 2,2% pro Jahr (Als Anteilswert: 0,022)

25 Vorhergesagte Werte der linearen und multiplikativen Form: