Zeitreihenanalyse Exponentielles Glätten

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1 Zeitreihenanalyse Exponentielles Glätten Worum geht es in diesem Lernmodul? Einleitung Prognose mit der Methode des exponentiellen Glättens Die Prognoseformel des exponentiellen Glättens Die Wirkung der Glättungskonstanten Alpha auf das Verhalten der Ein-Schritt-Prognose Die Bestimmung der Glättungskonstanten Alpha Beurteilung der Ein-Schritt-Prognose Weiterführende Links Worum geht es in diesem Lernmodul? Ein vergleichsweise einfaches und effektives Instrument zur kurzfristigen Prognose ist die Methode des exponentiellen Glättens. In diesem Lernmodul können Sie diese Methode kennen lernen. Anhand von Beispielen werden die Stärken und Schwächen der Methode verdeutlicht. In einer detaillierten Animation werden die notwendigen Rechenschritte bei der Anwendung des Verfahrens erläutert. Darüber hinaus wird ausführlich auf die Bestimmung und Wirkung der zu wählenden Parameter eingegangen. Einleitung Nachdem wir uns im vorhergehenden Kapitel insbesondere mit der Glättung von Zeitreihen beschäftigt haben, wenden wir uns nun dem Thema Prognose zu. Ausgangspunkt unserer Betrachtungen sind Zeitreihen ohne Trend und Saison, so dass wir von dem einfachen Modell mit unabhängig identisch verteiltem Restausgehen können. Prognose mit Hilfe des arithmetischen Mittels Auf der Grundlage des einfachen Modells Beobachtungen ist das arithmetische Mittel und unter Einbeziehung von N die beste Schätzung von und damit die beste Prognose für zukünftige Werte. Page 1

2 Beispiel: Jeansverkauf 1: Prognose mit Hilfe des arithmetischen Mittels Die Zeitreihe in der Abb. JEANS 1 () gibt die geschätzte Anzahl (in Tausend) der in Großbritannien verkauften Jeans von Januar 1980 bis Dezember 1985 wieder. Die Frage ist: Wie hoch wird der Verkauf im kommenden Monat, also im Januar 1986 sein? Entsprechend der Modellannahme können wir das arithmetische Mittel () der vergangenen 72 Monate als Prognosewert für die Verkaufszahl im Januar 1986 benutzen. Der orangefarbene Punkt markiert den prognostizierten Wert, der entsprechend dem arithmetischen Mittel bei einer Stückzahl von liegt. Abb. JEANS 1: Verkaufte Jeans in GB und arithmetisches Mittel Quelle: Gareth, Janacek (2001). Practical Time Series. London: Arnold. Prognose mit der Methode des exponentiellen Glättens Das arithmetische Mittel mag zwar auf der Grundlage des theoretischen Modells die beste Prognose eines zukünftigen Wertes sein. Für die praktische Anwendung ist es aber nicht unbedingt sinnvoll, weit zurückliegenden Beobachtungen dasselbe Gewicht zu geben wie neueren Beobachtungen. Möchten wir beispielweise die Entwicklung einer Aktie prognostizieren, hat der Wert der Aktie in den letzten Tagen und Wochen sicherlich eine größere Bedeutung als Jahre oder Jahrzehnte zurückliegende Kurswerte. Es ist daher naheliegend, für Prognosezwecke neueren Beobachtungen mehr Gewicht zu geben als älteren. Beim exponentiellen Glätten wird das einfache arithmetische Mittel durch das gewogene arithmetische Mittel ersetzt. Bei diesem Verfahren wird das Gewicht einer Beobachtung umso kleiner je weiter sie zurückliegt. Beispiel: Jeansverkauf 2: Prognose mit der Methode des exponentiellen Glättens Die Abb. Jeans 2 zeigt die gleiche Ausgangszeitreihe () wie die Abb. JEANS 1. Zur Prognose nutzen wir nun das Verfahren des exponentiellen Glättens(). Der orangefarbene Punkt markiert wieder den prognostizierten Wert. Bei diesem Prognoseverfahren liegt er bei Abb. JEANS 2: Ausgangszeitreihe und exponentiell geglättete Reihe verkaufter Jeans in GB Quelle: Gareth, Janacek (2001). Practical Time Series. London: Arnold. Die Prognoseformel des exponentiellen Glättens Ist eine Zeitreihe gegeben, so sind Prognosen Schätzungen zukünftiger Werte mit. h ist der sogenannte Prognosehorizont. Wir bezeichnen die Prognose des Wertes mit. Legen wir h =1 fest, so erhalten wir die Formel für die sogenannte Ein-Schritt-Prognose: Die Prognose mit dieser Formel wird als exponentielles Glätten bezeichnet. Da wir jeweils um einen Zeitpunkt in die Zukunft prognostizieren, sprechen wir auch von der Ein-Schritt-Prognose. Die Werte der exponentiell geglätteten Zeitreihe werden rekursiv berechnet, d.h. wir Page 2

3 benutzen zur Berechnung des aktuellen Wertes die im vorhergehenden Schritt berechneten Werte. Die Glättungskonstante Die sogenannte Glättungskonstante realisiert die unterschiedliche Gewichtung der Beobachtungen. Wir wählen zwischen Null und Eins. Der Startwert Für die Berechnung eines Prognosewertes mit Hilfe der Formel des einfachen exponentiellen Glättens müssen wir einen Startwert für bestimmen. Für die Wahl des Startwertes gibt es verschiedene Varianten. Wir werden als Startwert setzen. Die Wahl des Startwertes ist allerdings nur bei kurzfristigen Betrachtungen von Bedeutung und verliert mit zunehmender Länge der Zeitreihe an Einfluss. Beispiel: Prognose des Tabellenplatzes für den HSV Seit 1964 ist die Platzierung des Hamburger Sportvereins in der Fußballbundesliga ein Auf und Ab. Für den Fußballunkundigen bietet die Methode des exponentiellen Glättens eine Möglichkeit, den Tabellenplatz der nächsten Saison zu prognostizieren. In der folgenden Animation werden die einzelnen Rechenschritte erklärt und das Ergebnis grafisch dargestellt. Online-Version : Flashanimation ' Animation Berechnung der Ein-Schritt-Prognose ' siehe Die Firma Hutmacher möchte an Hand ihres Verbrauchs von Imbusschrauben in den letzten 48 Monate ihren Bedarf für den kommenden Monat planen. Prognostizieren Sie die benötigte Stückzahl! Labordatei öffnen ( aba.spf ) Die Wirkung der Glättungskonstanten Alpha auf das Verhalten der Ein-Schritt-Prognose Wie bereits erwähnt, realisiert die unterschiedliche Gewichtung der Beobachtungen. Wenn wir z.b. 0.2 wählen, so geht die aktuellste Beobachtung mit 20% in die Berechnung des arithmetischen Mittels ein. Der vorherige, um einen Zeitpunkt ältere Wert, geht nur noch mit einem Gewicht von 0.16 also mit 16% in die Berechnung ein. Der einen Zeitpunkt davor liegende Wert wiederum hat nur noch ein Gewicht von 0.128, usw.. D.h. das Gewicht eines Wertes nimmt mit steigendem Alter ab, im Fall 0.2 von Schritt zu Schritt um 20%. Dies hat zur Folge, dass die Ein-Schritt-Prognose bei einem großen Wert von stark auf den jeweils letzten Wert der Ausgangszeitreihe reagiert. D.h. die Prognose passt sich bei Veränderungen im Verlauf der Ausgangszeitreihe relativ schnell an. Wählen wir hingegen ein kleines, so wird die Prognose recht unempfindlich gegen den jeweils aktuellen Wert der Ausgangszeitreihe. Die Ein-Schritt-Prognose reagiert dann sehr Page 3

4 sehr träge auf Änderungen im Verlauf der Ausgangszeitreihe. In der folgenden Simulation können Sie für die exponentielle Glättung einen Startwert vorgeben und die Glättungskonstante wählen. Sie haben die Möglichkeit, experimentell die Auswirkung des gewählten Startwertes auf den Verlauf der Ein-Schritt-Prognose zu erkunden. Am Beispiel sehen Sie die Wirkung der Glättungskonstanten. Simulation Die Ein-Schritt-Prognose (ae4.jar) Die Bestimmung der Glättungskonstanten Alpha Wir bestimmen eine geeignete Glättungskonstante indem wir für verschiedene die Ein-Schritt-Prognose mit den Werten der Ausgangsreihe vergleichen und dasjenige wählen, für welches die Summe der Abstandsquadrate minimal wird: Die untere Summationsgrenze m wählen wir so, dass der Einfluss des Startwertes vernachlässigbar wird. Bestimmen Sie für die im Statistiklabor vorgegebene Zeitreihe die Glättungskonstante so, dass die Summe der Fehlerquadrate minimal wird. Labordatei öffnen ( b14.spf ) Beurteilung der Ein-Schritt-Prognose Von der Vergangenheit auf die Zukunft schließen Beim exponentiellen Glätten wird aus dem Verlauf der Reihe in der Vergangenheit auf den zukünftigen Verlauf geschlossen. Die Methode ist vergleichbar mit einem Autofahrer, der zwar vorwärts fährt, aber durch die Heckscheibe schaut und von der zurückgelegten Strecke auf den weiteren Verlauf der Straße schließt. So lange die Fahrt geradeaus geht oder die Strecke nur langsam die Richtung ändert, bleibt das Auto auf der Straße. Kommt aber plötzlich eine scharfe Kurve, findet sich unser Fahrer abseits der Piste wieder! "Nachhinken" Die nachfolgende Abbildung zeigt die Zeitreihe der jährlichen Erdbebenanzahl mit Stärke sieben oder größer weltweit. Vergleichen wir die Ausgangsreihe (blauer Linienzug) mit der Ein-Schritt-Prognose bei Verwendung von (roter Linienzug), erkennen wir, dass die Mini- und Maxima nicht nur abgeflacht werden sondern auch "nachhinken". Abb. ERDBEBEN: Zahl der Beben weltweit mit Stärke größer, gleich sieben Quelle: Hyndman Die Ein-Schritt-Prognose folgt der Ausgangszeitreihe stets zeitlich verzögert. Anwendungsbereich Die Methode des exponentiellen Glättens ist für saisonfreie Zeitreihen ohne Trend Page 4

5 konzipiert. Trotzdem ist durch die Art der Berechnung die Anwendung auf Reihen mit nur leichtem Trend möglich, erst bei einem deutlichen Trend kommt es zu systematischen Fehlprognosen. Machen Sie anhand der Schneefallhöhe von 1910 bis 1972 in Buffalo eine Prognose für das Jahr 1973! Labordatei öffnen ( b34.spf ) Weiterführende Links Zeitreihen zum Üben und Ausprobieren: vergleiche: Chatfield, Christopher (1982). Analyse von Zeitreihen. München, Hanser. Janacek, Gareth (2001). Practical Time Series. London, Arnold. Maser, Torsten M. (2002): Exponentielles Glätten saisonaler Zeitreihen. Internet: Schlittgen, Rainer (2001). Angewandte Zeitreihenanalyse. München; Wien, Oldenbourg. Schlittgen, R.; Streitberg, B.H.J. (2001).Zeitreihenanalyse. München; Wien, Oldenbourg. (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 5